Функция фильтрационного сопротивления в условиях неустановившегося притока жидкости (газа) к несовершенной скважине

Министерство общего и профессионального образования РФ

Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет

Кафедра РЭНиГМ

Реферат

“Анализ функции фильтрационного сопротивления для неустановившегося притока жидкости (газа) к несовершенной скважине”

Выполнил студент

Группы НГР-96-1

Принял профессор

Телков А. П.

Тюмень 1999 г.

Рассмотрим функция (F) которая есть функ­ция пяти параметров F=F (f>0>, r>c>, h, x, t*), каждый из которых — безразмерная ве­личина, соответственно равная

>> > > > > > > (1)

где r — радиус наблюдения;

x — коэффициент пьезопроводности;

Т — полное время наблюдения;

h — мощность пласта;

b — мощность вскрытого пласта;

z — координата;

t — текущее время.

Названная функция может быть ис­пользована для определения понижения (повышения) давления на забое скважи­ны после ее пуска (остановки), а также для анализа распределения потенциала (давления) в пласте во время работы скважины.

Уравнение, описывающее изменение давления на забое, т. е. при x=h; r=r>c> или r=r>c>, имеет вид

> > (2)

где безразмерное значение депрессии связано с размерным следующим соот­ношением

>> где>> (3)

здесь Q — дебит;

m — коэффициент вязкости;

k — коэффициент проницаемости.

Аналитическое выражение F для оп­ределения изменения давления на за­бое скважины запишем в виде

>> (4)

Уравнение (2) в приведенном виде не может использоваться для решения инженерных задач по следующим при­чинам: во-первых, функция (4) сложна и требует табулирования; во-вторых, вид функции исключает возможность выделить время в качестве слагаемого и свести решение уравнения (2) к урав­нению прямой для интерпретации кри­вых восстановления (понижения) давле­ния в скважинах традиционными мето­дами. Чтобы избежать этого, можно по­ступить следующим образом.

В нефтепромысловом деле при гид­родинамических исследованиях скважин широко используется интегрально-пока­зательная функция. Несовершенство по степени вскрытия пласта в этом случае учитывается введением дополнительных фильтрационных сопротивлений (C>1>), взятых из решения задач для установившегося притока. В соответствии с этим уравнение притока записывается в виде

>> (5)

Как видно, дополнительные фильтрационные сопротивления являются функ­цией геометрии пласта. Насколько вер­но допущение о возможности использо­вания значений C>1>(r>с>, h), пока еще ни теоретически, ни экспериментально не доказано.

Для неустановившегося притока урав­нение (2) запишем аналогично в виде двух слагаемых, где в отличие от вы­ражения (5) значения фильтрационных сопротивлений являются функцией трех параметров (r>с>, h, f>0>)

>> (6)

Как _ видим, дополнительное слагае­мое R(r>c> , h, f>0>) в уравнении (6) зависит не только от геометрии пласта, но и от параметра Фурье (f>0>). В дальнейшем бу­дем называть это слагаемое функцией фильтрационного сопротивления. Заме­тим, что при h=l (скважина совершен­ная по степени вскрытия) уравнение (2) представляет собой интегрально-по­казательную функцию

>> (7)

С учетом равенства (7) решение (6) за­пишем в виде

>> (8)

Разрешая уравнение (8) относительно функции сопротивления и учитывая уравнение (2), находим

>> (9)

и на основании равенства (7) приведем выражение (9) к виду

>> (10)

Численное значение R(r>с>,h,fo) рас­считано по уравнению (10) на ЭВМ в широком диапазоне изменения парамет­ров r>c>, h, f>0>. Интеграл (2) вычислялся методом Гаусса, оценка его сходимости выполнена согласно работе [3]. С уче­том равенства (7) вычисления дополнительно проконтролированы по значени­ям интегрально-показательной функции.

С целью выяснения поведения депрессии и функции сопротивления проана­лизируем их зависимость от значений безразмерных параметров.

1. Определим поведение Dр в зави­симости от значений параметров r>с>, h, f>0>.

Результаты расчетов значений де­прессии для каждого фиксированного r>c> сведены в таблицы, каждая из кото­рых представляет собой матрицу разме­ром 10х15. Элементы матрицы это зна­чения депрессии Dp(r>c>) для фиксиро­ванных h и f>0>. Матрица построена та­ким образом, что каждый ее столбец есть численное значение депрессии в зависимости от h, .а каждая строка со­ответствует численному значению де­прессии в зависимости от fo (табл. 1). Таким образом, осуществлен переход от значений безразмерной депрессии Dp(r>c>, h, f>0>) к относительной депрессии

Dр*>i,j> (r>c>).

Для удобства построения и иллюст­рации графических зависимостей выпол­нена нормировка матрицы. С этой це­лью каждый элемент i-й строки матри­цы поделен на максимальное значение депрессии в данной строке, что соответ­ствует значению j==15. Тогда элементы новой матрицы определятся выраже­нием

>> (11)

Условимся элементы матрицы назы­вать значениями относительной депрес­сии. На рис. 1 приведен график изме­нения относительной депрессии при фик­сированных значениях h. Характер по­ведения относительной депрессии поз­воляет описать графики уравнением пучка прямых

>> (12)

Рис. 1. Поведение относительной депрес­сии (r>c>=0,0200, h>i>=const, f>0>) при значениях h, равных: 1— 0,1; 2 — 0,3; 3—0,5; 4 — 0.7; 5 —0,9; 6—1,0.

где k>i> — угловой коэффициент прямой, который определяется h и от индекса j не зависит.

Анализ зависимости поведения де­прессии Dp*>i,j> от f>0> для всех r>c> >0,01 показывает, что графики этой зависимости можно описать уравнением пучка прямых для любого значения h. Для r>c>< 0,01 в графиках зависимости появляются начальные нелинейные уча­стки, переходящие при дальнейшем уменьшении параметра f>0> (или же при увеличении его обратной величины 1/f>oj>) в прямые для всех значений h<l,0

(рис. 2). При h=l,0 поведение депрес­сии строго линейно. Кроме того, протя­женность нелинейного участка для раз­ных r>c> при h=const различна. И чем меньше значение безразмерного ради­уса r>c> , тем больше протяженность не­линейного участка (рис. 2).

2. Определим поведение R(r>c>, h, f>0>) и ее зависимость от безразмерных па­раметров r>c>, h, f>0>.

Значения R(r>c>, h, f>0>) рассчитаны для тех же величин параметров r>c>, h, f>0>. ко­торые указаны в пункте 1, обработка результатов также аналогична. Переход от безразмерной функции сопротивле­ния R(r>c>, h, f>0>) к относительной R*>i,j> (r>c>) осуществлен согласно выражению

>>. (13)

Анализ поведения R*>i,j> (r>c>) и резуль­таты обработки расчетного материала, где установлена ее зависимость от па­раметров r>c>, h, f>0>, частично приведены на рис, 2 (кривые даны пунктиром).

При г>c> >0,01 для любого h>i> R*>i,j> (r>c>) уже не зависит от f>0i> .

Из анализа данных расчета и графи­ков рис. 2 следует: при r>c><0,01 в по­ведении R*>i,j> (r>c>) для всех h<l,0 на­блюдается нелинейный участок, перехо­дящий с некоторого значения f>0> (точка С на графике) в прямую линию, парал­лельную оси абсцисс. Важно отметить,

что для одного и того же значения r>c> абсцисса точки перехода нелинейного участка в линейный для R*>i,j> (r>c>) имеет то же самое значение, что и абсцисса точек перехода для графиков зависи­мости Dp*>i,j> (r>c>) от ln(l/f>0i> ) (линия CD). Начиная с этого момента, R*>i,j> (r>c>) для данного r>c> при дальнейшем наблюдении зависит не от времени, а только от h>i> • И чем выше степень вскрытия, т. е. чем совершеннее скважина,. тем меньше бу­дет значение R*>i,j> (r>c>) И при h=l (сква­жина совершенная по степени вскры­тия) функция сопротивления равна ну­лю. Очевидно, нелинейность Dp*>i,j> (r>c>) связана с характером поведения функ­ции сопротивления, которая, в свою оче­редь, зависит от параметра Фурье. От­метим также, что в точке С (рис. 2) численное значение функции сопротив­ления становится равным значению фильтрационных сопротивлений (C>1>(r>c>, h)) для притока установившегося ре­жима.

Рис. 2. Поведение относительной депрес­сии и относительной функции фильтрационного сопротивления (r>c>=0,0014, h=const, f>0>) при h, равных: 1,1'—0,1; 2,2'— 0,3; 3,3'—0,5; 4,4'—0,7; 5,5'— 0,9; 6,6'— 1,0.

выводы

1. Депрессия на забое несовершенной по степени вскрытия скважины для всех r>c> < 0,01 имеет два явно выражен­ных закона изменения: а) нелинейный, который обусловлен зависимостью функ­ции сопротивления от времени и соот­ветствует неустановившемуся притоку сжимаемой жидкости (газа); б) линей­ный, который соответствует квазиустановившемуся притоку и не связан с функцией сопротивления.

2. Величина R(r>c>, h, f>0>) для неуста­новившегося притока качественно опи­сывает С>1>(r>c>, h) для установившегося, и ее численное значение при любом вскры­тии пласта всегда меньше численного значения С>1>(r>c>, h) при установившемся притоке.

3. Полученное аналитическое реше­ние для неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовер­шенной скважине в бесконечном по про­тяженности пласте преобразовано в прямолинейную анаморфозу, которая позволяет эффективно интерпретировать кривые восстановления забойного дав­ления.

4. Выбор fo, дающего значения Dp*>i,j>(r>c>)=1, не влияет на протяжен­ность нелинейного участка, соответст­вующего неустановившемуся движению, на графики зависимости Dp*>i,j>(r>c>) от ln(1/f>0i>).

ЛИТЕРАТУРА

1. Т е л к о в В. А. Приток к точечному стоку в пространстве и к линии стоков в полу бесконечном пласте. НТС. Вып. 30, Уфа, 1975.

2. Л е о н о в В. И„ Телков В. А., Каптелинин Н. Д. Сведение задачи неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважи­не к решению уравнения пьезопроводности. Тезисы докладов на XIII научно-техниче­ском семинаре по гидродинамическим ме­тодам исследований и контролю процессов разработки нефтяных месторождений. Пол­тава, 1976.

3. Б а х в а л о в Н. С. Численные мето­ды. Изд-во “Наука”, М., 1974.

Таблица 1

h>i>

F>0i>

1*10-3

8*10-4

6*10-4

4*10-4

2*10-4

1*10-4

8*10-5

6*10-5

8*10-4

8*10-4

8*10-4

8*10-4

8*10-4

8*10-4

8*10-4

0,1

0,887

0,898

0,912

0,933

0,967

1,002

1,013

1,027

1,048

1,082

1,117

1,232

1,347

1,462

1,577

0,2

1.455

1,477

1,506

1,547

1,616

1,685

1,707

1,736

1,777

1,846

1,915

2,146

2,376

2,606

2,836

0,3

1,837

1,870

1,914

1,974

2,078

2,182

2,216

2,259

2,320

2,424

2,528

2,873

3,218

3,563

3,909

0,4

2,122

2,167

2,224

2,305

2,444

2,583

2,627

2,685

2,766

2,904

3,043

3,504

3,964

4,424

4,885

0,5

2,352

2,407

2,479

2,581

2,754

2,927

2,983

3,055

3,156

3,329

3,503

4,078

4,654

5,229

5,805

0,6

2,546

2,613

2,699

2,821

3,028

3,236

3,303

3,390

3,511

3,719

3,927

4,618

5,309

5,999

6,690

0,7

2,717

2,795

2,896

3,038

3,280

3,523

3,601

3,702

3,844

4,087

4,329

5,135

5,941

6,746

7,552

0,8

2,874

2,963

3,078

3,240

3,518

3,795

3,884

3,999

4,161

4,439

4,716

5,637

6,558

7,478

8,400

0,9

3,022

3,122

3,252

3,434

3,746

4,058

4,158

4,288

4,480

4,782

5,094

6,130

7,166

8,202

9,238

1,0

3,166

3,277

3,421

3,624

3,970

4,317

4,428

4,572

4,775

5,121

5,648

6,619

7,770

8,921

10.073

Примечание. При построении принято: — r>c>=0,10; индекс i=l, 2, ... , 10 соответствует изменению h=0, 1; 0.2; ... , 1,0, a j=l, 2, 3...., — 15—изменению с переменным шагом параметра f>0>.