Кинематика
Кинематика
тема 1 кинематика точки
1.1 предмет изучения
С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика».
Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам.
Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени.
Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени.
Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные
кинематические характеристики движения.
Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку.
1.2 Способы задания движения точки
Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный.
1.2.1 Векторный способ
Положение движущейся точки М
определяется с помощью радиуса вектора
>
>,
проведенного из некоторого неподвижного
центра О в эту точку (рис. 1.1). В
процессе движения этот вектор изменяется
по величине и направлению, т.е. является
функцией времени. Зависимость
>
>
(1.1)
называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения.
1.2.2 Координатный способ
С неподвижным центром О связывается неподвижная система координат ОХ у Z. Положение точки определяется тремя координатами: х, у, z (рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени.
Зависимости
х=f>1>(t); у=f>2>(t); z=f>3>(t) (1.2)
называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t).
Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.
1.2.3 Естественный способ
При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета.
Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S, измеряемой вдоль траектории. Зависимость
S = f(t) (1.3)
называется уравнением движения в естественной форме.
1.2.4 Связь между способами задания движения
Координатный векторный способы связаны зависимостью:
>
>
(1.4)
где >
>
- единичные орты координатных осей.
Переход от координатного способа к естественному:
>
>
здесь: >
>; >
> >
>
(т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой).
1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения
Пусть точка за время >
>
переходит из положения М в положение
М>1>, двигаясь вдоль траектории
(Рис. 1.4) >
>
называется вектором перемеще-ния. >
>
- средняя скорость.
Например, вектор >
>
по хорде М М>1>. если уменьшать
промежуток времени >
>,
то хорда будет приближаться к касательной,
а средняя скорость к мгновенной.
Рис. 1.4
>
>
>
>
(1.6)
Направлен вектор скорости по касательной к траектории.
Определение ускорения:
Пусть в положении М
скорость >
>,
а в положении М>1>
(через время >
>)
скорость >
>.
Приращение скорости >
>(рис.
1.5).
Среднее ускорение:
>
>
Ускорение в данный момент
>
>
>
>
(1.7)
Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны.
1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
при координатном способе задания движения:
>
>
(а)
с другой стороны:
>
>
(б)
Сравнивая (а) и (б) находим:
>
>; >
>; >
>
(1.8)
т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат.
Величина скорости:
>
>
(1.9)
направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6).
>
>
(1.10)
Аналогично ищем ускорения:
>
>
Сравнивая (в), (г), (д) находим:
>
>
(1.11)
Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат.
Величина ускорения:
>
>
(1.12)
Направляющие косинусы:
>
>; >
>; >
>;
(1.13)
1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения
Пусть за время >
>
точка переместилась из положения М
в положение М>1>, совершив
перемещение >
>(рис.
1.17).
величина скорости точки:
>
>>
>
>
>
(1.14)
Направлена скорость по касательной к траектории:
Найдем ускорение точки.
Пусть в положении М точка
имеет скорость >
>(рис.
1.8).
Полное ускорение точки будет:
>
> >
> >
>
Обозначим угол между касательными
через >
>
(угол смежности). Спроецируем вектор
ускорения >
>
на касательную >
>и
нормам п.
>
>
>
>
Найдем эти пределы, учитывая,
что при >
>одновременно
и >
>
и >
>.
>
>
где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.
Подставив эти значения в а>п> получим:
>
>
Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами:
>
>
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости.
Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости.
1.6 Частные случаи движения точки
По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении а>п> = 0, т.к. ρ = ∞.
По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные.
Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const).
Закон равномерного движения:
S=S>0>+V>t> (1.18)
Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна.
>
>
Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами:
>
>
(1.19)
Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения
Тема 2 Простейшие движения тела
К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.
2.1 Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе.
Это самое простое движение тела.
Оно описывается одной теоремой:
При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.
Доказательство:
Проведем в теле произвольный отрезок АВ. При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А на величину АВ, т.е. они одинаковые.
Проведем из неподвижного центра
О радиусы-векторы точек А и В
(>
>),
а также вектор >
>
из точки А в точку В.
Очевидно, что
>
>
Продифференцируем это векторное
равенство по времени, учитывая, что >
>.
>
>; но
>
>,
значит
>
>
(2.1)
дифференцируя (2.1) по времени: >
>,
получаем:
>
>
(2.2)
Так как точки А и В взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела.
Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки.
2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси
Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения.
Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2).
Положением тела будет однозначно определяться углом φ между этими полуплоскостями. Угол φ называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ – против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z.
Зависимость
φ = φ(t) (2.3)
называется уравнением вращательного движения.
Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω. Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ к промежутку времени ∆t, за который оно произошло.
>
>
Угловая скорость в данный момент времени:
>
>
(2.3)
Вектор угловой скорости >
>
направлен по оси вращения в ту сторону,
чтобы, глядя навстречу ему, мы видели
вращение происходящей против часовой
стрелки. Изменяется ω
в радиан/сек. На производстве угловую
скорость измеряют в об/мин. В этом случае
она обозначается буквой «п».
Формула перехода:
>
>
(2.4)
Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε, которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени:
>
>
(2.5)
Направлен вектор >
>
также по оси вращения в сторону >
>
при ускоренном и противоположном >
>
при замедленном вращении. Единица
измерения – 1Рад/с2.
2.3 Равномерное и равнопеременное вращение
Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, т.е. ω = const.
Закон равномерного вращения:
φ=φ>0>+ω>t>> > (2.6)
Вращение называется равнопеременным, если угловое ускорение постоянно, т.е. ε = const.
Но >
>.
Разделяя переменные и интеграции >
>
находим, что
>
>
(2.7)
Подставив сюда >
>
и еще раз интегрируя >
>,
получим уравнение переменного вращения:
>
>
(2.8)
2.4 Скорости и ускорение точек вращающегося тела
пусть за время dt тело повернулось на угол dφ, а точка М, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, получила перемещение dS=ч* dφ (рис. 2.3).
Тогда скорость точки
>
>
(2.9)
Направлен вектор скорости >
>по
касательной к траекториям, т.е. по
касательной к окружности радиуса R,
центр которой лежит на оси вращения, а
ее плоскость перпендикулярна оси
вращения.
Найдем нормальное и касательное ускорение точки:
>
>
Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения.
Касательное ускорение направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном – противоположно скорости.
Рассмотрим векторное произведение
>
>
(рис. 2.4). Его модуль >
>,
а направление совпадает с направлением
скорости. Из этого делаем вывод, что
вектор скорости:
>
>
(2.11)
взяв от этого выражения производную по времени, получим:
>
>
Первое произведение по величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным ускорением.
Таким образом, касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном движении определяется формулами:
>
>
(2.12)
Отметим, что радиус-вектор >
>
точки М можно проводить из любой
точки О>1>, лежащей на оси
вращения (все точки оси вращения
неподвижны) и что этот вектор постоянный
по модулю (у него меняется только
направление).
2.5 Простейшие передаточные механизмы
Передаточными называют механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а, а ременных и цепных на рис. 2.5.б.
Найдем скорость точки а: >
>
на колесе І и >
>
на колесе ІІ. Так как
проскальзывание отсутствует, то >
>.
Отсюда:
>
>
(2.13)
т.е. угловые скорости обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i>1-2> называется передаточным отношением.
У зубчатых и цепных передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин».
Тема 3 Сложное движение точки
3.1 Основные определения
До сих пор мы рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако, часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем основные определения сложного движения точки.
Движение точки в подвижной
системе отсчета называется относительным.
Скорость и ускорение точки в этом
движении называются относительными и
обозначаются: >
>
(или >
>).
Движение точки вместе с подвижной
системой называется переносным. Скорость
и ускорение той точки М/
подвижной системы, в которой в данный
момент находится движущаяся точка М,
являются для данной точки переносной
скоростью и переносным ускорением и
обозначаются >
>
(или >
>).
Движение точки относительно
неподвижной системы отсчета называется
абсолютным. Скорость и ускорение точки
в этом движении называются абсолютными
и обозначаются >
>
(или >
>).
Пусть точка М движется в подвижной системе отсчета охуz. Ее координаты х, у, z являются функциями времени, а координаты х/, у/, z/ точки М/ подвижной системы, в которой в данный момент находится движущая точка М, являются константами. Но в любой момент времени
х = х/, у = у/, z = z/ (3.1)
Введем в рассмотрение радиусы-векторы, определяющие положение точек М и М/ в подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1).
>
> -
радиус-вектор, определяющий положение
начала подвижной системы охуz
в неподвижной системе отсчета о>1>х>1>у>1>z>1>.
>
>=>
>-
радиус-вектор, определяющий положение
движущейся точки М в подвижной
системе отсчета. Он описывает относительное
движение точки.
>
>-
радиус-вектор, определяющий положение
точки М/ подвижной системы в этой
же системе.
>
>-
радиус-вектор, определяющий положение
точки М/ подвижной системы
в неподвижной системе отсчета. Он
описывает переносное движение точки.
>
>-
радиус-вектор, определяющий положение
движущейся точки М в неподвижной
системе отсчета. Он описывает абсолютное
движение.
3.2 Теоремы о схождении скоростей и ускорений
Скорости и ускорения точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по времени от соответствующих радиусов-векторов.
Относительную скорость и
относительное ускорение находим как
первую и вторую производные по времени
от радиус-вектора >
>,
считая единичные орты >
>
константами (в подвижной системе – они
постоянны).
>
>
Переносную скорость и переносное
ускорение находим как первую и вторую
производные по времени от радиус-вектора
>
>,
считая координаты х/,
у/, z/
константами, а единичные орты –
переменными.
>
>
так как дифференцирование проведено, то мы можем воспользоваться равенствами (3.1), т.е. заменить х/ на х, у/ на у, z/ на z:
>
>
Абсолютную скорость и абсолютное
ускорение находим как первую и вторую
производные по времени от радиус-вектора
>
>,
считая все величины переменными:
>
>
Таким образом доказана теорема сложения скоростей:
Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
>
>
(3.6)
находим абсолютное ускорение:
>
>
где введено обозначение:
>
>
(3.7)
Величина >
>,
определяемая равенством (3.7) называется
поворотным ускорением или ускорением
Кориолиса, по имени французского ученого,
доказавшего теорему сложения ускорений:
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и Кориолисов ускорений.
>
>
(3.8)
3.3 Ускорение Кориолиса, его величина направление и физический смысл
Рассмотрим ускорение Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение Кориолиса равно нулю.
Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством:
>
>>
>
(3.9)
Рассмотрим переносное вращательное
движение. Пусть подвижная система
вращается вокруг оси О3 с угловой
скоростью >
>(рис.
3.2). единичные орты >
>
можно рассматривать как радиус-векторы
точек А, В и С соответственно.
А производные по времени от радиус-векторов
точек дают скорости точек.
Следовательно:
>
>; >
>; >
>
(а)
с другой стороны, скорости точек А, В и С мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11):
>
>; >
>; >
>
(б)
сравнивая (а) и (б) находим, что:
>
>; >
>; >
>;
(в)
Подставим эти значения в формулу (3.7)
>
>
Таким образом ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости.
>
>
(3.10)
Его величина
>
>
(3.11)
В соответствии с правилом
векторного произведения ускорения
Кориолиса направлено перпендикулярно
плоскости, в которой лежат векторы >
>
и >
>,
в ту сторону, чтобы, глядя навстречу
ему, мы видим поворот вектора >
>
к вектору >
>
на меньший угол происходящим против
часовой стрелки.
Другое правило: чтобы найти
направление ускорения Кориолиса, надо
вектор >
>спроецировать
на плоскость, перпендикулярно оси
переносного вращения, и полученную
проекцию повернуть на 90о в сторону
вращения. Эти и будет направление вектора
>
>.
Физический смысл ускорения
Кориолиса выясним на таком примере.
Пусть круглая платформа вращается с
постоянной угловой скоростью >
>,
а по радиусу платформы двигается точка
М с постоянной относительной
скоростью V>ч>>
>(рис. 3.3). В некоторый момент точка
занимает положение М>о>,>
>а через промежуток времени >
>
положение М>1. >При этом произошло
изменение относительной скорости за
счет переносного движения (изменилось
направление вектора >
>)
и изменение переносной скорости за счет
относительного движения (изменилась
величина >
>
в результате удаления точки от оси
вращения). Эти два изменения и
характеризуются ускорением Кориолиса.
Таким образом, ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате переносного движения и изменение переносной скорости в результате относительного движения.
В общем случае движения формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде:
>
>
(3.12)
Задача кинематики плоского движения твердого тела - найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела.
>Рис.
1>
Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела - векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1)
>
>>B>
= >
>>A>
+ >
>>BA>
= >
>>A>
+ >
>
´
>
>;
(1)
>
>>B>
= >
>>A>
+ >
>
+ >
>
= >
>>A>
+ >
>
×
(>>
´
>
>)
+ >
>
× >
>;
(2)
где >
>,
>
>,
- векторы угловой скорости и углового
ускорения вращения плоской фигуры
вокруг любой оси, например Az'
перпендикулярной плоскости движения
Oxy
относительно системы координат Ax'y'z',
оси которой параллельны осям неподвижной
системы координат Оxyz.На
рис.1 оси Оz.
и Аz'
не изображены, так как считается, что
они перпендикулярны к плоскости рисунка
и направлены на наблюдателя, а плоскости
Охy
и Аx'y'
совпадают с плоскостью рисунка.
Левые части выражений
>>>BA>
= >
>
´
>
>;
>
>
= >
>
×
(>>
´
>
>)
= >
>
×
>
>>BA>;
>
>
= >
>
× >
>;
являются
соответственно векторами скорости,
нормального и касательного ускорения
точки В относительно системы координат
Ax'y'z'
при вращении отрезка
АВ в плоскости рисунка вокруг точки A,
называемой в таком случае полюсом, с
угловой скоростью >
>
и угловым ускорением >
>.
Индексы n
и t,
в выражениях >
>
и >
>указывают,
что эти векторы направлены соответственно
по внутренней нормали и касательной в
точке B
к окружности радиуса
r
= AB
с центром в точке А. Модули упомянутых
векторов находятся по формулам
½>
>>BA>½
= >
>
´ AB;
½>>½
= >
>
= >
>
´ AB;
½>>½
= >
>
´ AB;
(3)
Векторы >
>>BA>,
>
>,
>
>
лежат в плоскости движения плоской
фигуры тела, причем ненулевые векторы
>
>>BA>,
>
>
перпендикулярны отрезку
AB,
а ненулевой вектор >
>
направлен от точки В к точке
А . Таким образом, для этих векторов
всегда известны линии действия.
Поскольку модуль
ускорения >
>может
быть вычислен по формуле
(3) через угловую скорость тела >
>,
обычно известную к этапу нахождения
ускорений, целесообразно в формуле (2)
вектор >
>
записывать вслед за известным вектором
>
>>А>,
т.е. перед вектором >
>.
Векторы >
>
и >
>
параллельны оси Оz
и поэтому полностью определяются своими
проекциями на эту ось
Модуль проекции
равен модулю вектора >
>;
>
>,
а знак проекции указывает на направление
вектора. Например, если проекции векторов
положительны (>
>,
то векторы >
>
направлены так же, как и >
>,
или ось Oz.
Таким образом, при плоском движении
тела задача нахождения векторов >
>
сводится к задаче отыскания их проекций
на ось Oz
или Az'.
Если >
>
(рад) - угол между осью
Ax'
(Ох) и вектором >
>
(рис. 1) и за положительное направление
отсчета угла >
>
для выбранной системы координат принято
направление против хода часовой стрелки,
то
>
>>
>
рад/с; >
>
= >
>>>=
>
>>>рад/с.
(4)
О направлении векторов
>
>
и >
>
судят по круговым стрелкам
>
>
и >
>
согласно правилу: "круговая стрелка,
направленная против хода стрелки часов,
соответствует вектору, направленному
так же, как ось Oz".
Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2,
>
>
´ >
>;
>
>>B>
= >
>;
>
>;
>
>;
>
>,
(5)
следует, что в данный
момент времени распределение скоростей
точек тела при плоском движении таково,
как если бы тело вращалось вокруг оси
Р>z> с угловой скоростью
>
>.
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
Если
отсчитывать угол 90 от направления
вектора скорости точки >
>>A>
к направлению АР от этой точки до МЦС,
то направление отсчета угла совпадает
с направлением круговой
стрелки >
>.
Этот факт можно использовать для
определения направления вектора >
>.
Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3),
>
>
>
>;
>
>>
>;
(6)
>
>,
следует, что в данный
момент времени распределение ускорений
точек тела при плоском движении таково,
как если бы тело вращалось вокруг оси
Q>z>
с угловой
скоростью >
>
и угловым ускорением >
>.
Угол >
>
отсчитывается
от вектора ускорения какой-либо
точки в направлении
круговой стрелки >
>.
При отыскании положения МЦУ по ускорениям
двух точек, например по >
>
и
>
>,
под углом >
>
к
соответствующим ускорениям проводят
лучи AQ
и BQ.
Точка пересечения лучей (точка Q)
является МЦУ плоской фигуры в данный
момент времени.
Направления векторов
>
>
и >
>
помимо формул (4) могут быть найдены из
отдельных векторных формул
>
>;
>
>;
>
>.
(7)
Рис. 4
Чтобы избежать
анализа расположения трех взаимно
перпендикулярных векторов формул (7)
при известных >
>,
>
>,
>
>
направления
>
>
и >
>
находят аналогично случаю вращательного
движения тела вокруг неподвижной оси
(рис. 4).
>Рис.
5>
Кинематика плоского движения
катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общем случае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того, что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении катка расстояние от его центра (точки А) до МЦС является неизменным во времени и равным R.
AP(t) = const = R (8)
Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью:
а) формулы естественного способа задания движения точки
>
>,
где >
>
- единичный вектор естественного
трехгранника, касательный в точке A
к кривой ее движения; S>A>
- криволинейная координата точки;
б) формулы (7) плоского движения тела
>
>,
>
>;
>>-
орт оси Оz,
перпендикулярной плоскости движения
катка Qxy;
j
- угол, задающий направление какого-либо
отрезка плоской фигуры катка. Ввиду
произвольности выбора такого отрезка,
обычно собственно отрезок, не указывают
на рисунках, а изображают лишь круговую
стрелку положительного направления
отсчета угла j,
называя его углом поворота катка.
Приравнивая правые части последних формул, имеем
>
>.
Поскольку вектoр
>
>
коллинеарен результату векторного
произведения
>
>
(>>^>>,
>
>^>
>),
то
>
>.
Откуда, используя свойство (8), получим формулы
>
>,
или >
>,
(9)
справедливые для любого момента времени t.
В правой части формулы (9) берется знак "+", если при мысленном увеличении угла поворота катка j в направлении против хода стрелки часов наблюдается возрастание координаты S>А> центра движущегося катка в положительном направлении ее отсчета, иначе берется знак "-".
Так, например, для случая отсчетов S>А >и j, изображенном на рис.5, в формуле (9) необходимо брать знак "-".
Дифференцируя и интегрируя по времени соотношения (9), придем к выражениям
>
>,
или >
>,
(10),
а также >
>,
где С - некоторая константа, значение которой зависит от выбора начал отсчетов S>А> и j. Обычно принимают С=0, так как считают, что когда S>А>=0, j также равно нулю. Из произведения соответствующих частей формул (9), (10),
>
>
(11)
следует,
что если векторы >
>,
>
>
сонаправлены, то сонаправлены и векторы
>
>,
>
>.
Таким образом, с помощью формул (1-4), (8-9) могут быть найдены характеристики векторов скоростей и ускорений точек, векторов угловых скоростей и ускорений звеньев механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их проверка.
Нахождение
кинематических характеристик движения
(>>,
>
>,
>
>,
>
>)
при помощи векторных формул (1), (2)
рекомендуется проводить следующим
образом:
написать формулу (1) или (2) применительно к конкретным точкам рассматриваемого звена механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными кинематическими характеристиками движения;
установить, известны или неизвестны на данном этапе решения две независимые характеристики {проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора, входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик векторов, которые могут быть установлены из условий движения звена без решения рассматриваемого векторного уравнения;
3) решить векторное уравнение графоаналитическим или аналитическим методом (метод проекций).