Регрессионный анализ. Транспортная задача
Регрессионный анализ
Задача
Некоторая фирма занимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города. Необходимо оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого на поставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на время доставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десяти поставках (табл.).
|
Расстояние, км |
3,5 |
2,4 |
4,9 |
4,2 |
3,0 |
1,3 |
1,0 |
3,0 |
1,5 |
4,1 |
|
Время, мин |
16 |
13 |
19 |
18 |
12 |
11 |
8 |
14 |
9 |
16 |
Постройте график исходных данных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и потраченным временем, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионной связи и сделайте прогноз поездки на 2 км.
Решение
Для расчёта стоимости услуг, зависящих от затрачиваемого на поставку времени, вычислим суммы (рис. 1):
|
|
t |
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
3,50 |
16,00 |
12,25 |
56,00 |
256,00 |
15,22 |
2,63 |
|
2 |
2,40 |
13,00 |
5,76 |
31,20 |
169,00 |
12,30 |
1,70 |
|
3 |
4,90 |
19,00 |
24,01 |
93,10 |
361,00 |
18,95 |
28,58 |
|
4 |
4,20 |
18,00 |
17,64 |
75,60 |
324,00 |
17,08 |
12,14 |
|
5 |
3,00 |
12,00 |
9,00 |
36,00 |
144,00 |
13,89 |
0,09 |
|
6 |
1,30 |
11,00 |
1,69 |
14,30 |
121,00 |
9,37 |
17,88 |
|
7 |
1,00 |
8,00 |
1,00 |
8,00 |
64,00 |
8,57 |
25,27 |
|
8 |
3,00 |
14,00 |
9,00 |
42,00 |
196,00 |
13,89 |
0,09 |
|
9 |
1,50 |
9,00 |
2,25 |
13,50 |
81,00 |
9,90 |
13,67 |
|
10 |
4,10 |
16,00 |
16,81 |
65,60 |
256,00 |
16,82 |
10,36 |
|
сумма |
|
||||||
|
|
|
13,60 |
|
|
|
|
|
|
a1 = |
2,66 |
|
|
|
|
|
|
|
a0 = |
5,91 |
|
|
|
|
|
|
|
r2 = |
0,92 |
91,83% |
|
|
|
|
|
|
|
8,17 |
|
|
|
|
|
|
Рис .1 - График исходных данных
Вывод: существует сильная связь между исходными данными.
Задача
В таблице приведены данные по объемам собранного урожая овощей из тепличного хозяйства за последний год (по месяцам), а также данные о затраченной электроэнергии, воде и удобрениях.
|
Месяц |
Объем собранного урожая |
Факторы, влияющие на урожай |
||
|
Электроэнергия, кВт |
Удобрения, тонн |
Вода, литр |
||
|
t |
y |
x>1> |
x>2> |
x>3> |
|
январь |
140 |
165 |
138 |
134 |
|
февраль |
138 |
164 |
139 |
128 |
|
март |
158 |
158 |
157 |
168 |
|
апрель |
144 |
159 |
142 |
147 |
|
май |
142 |
148 |
144 |
146 |
|
июнь |
134 |
152 |
136 |
140 |
|
июль |
122 |
143 |
122,5 |
132 |
|
август |
125 |
146 |
128 |
135 |
|
сентябрь |
124 |
148 |
119 |
125 |
|
октябрь |
138 |
150 |
142 |
126 |
|
ноябрь |
157 |
156 |
159 |
143 |
|
декабрь |
161 |
160 |
164 |
150 |
Необходимо определить степень влияния каждого отдельного фактора на результат (объем урожая). Для этого необходимо построить графики исходных данных, построить уравнения регрессии, проанализировать силу регрессионной связи (по коэффициенту детерминации) и сделать прогноз урожая по двум-трем значениям (в пределах прогноза исходных данных).
Решение
Строим графики исходных данных (рис. 2, 3):
Рис. 2 - График зависимости урожая от удобрения
Рис. 3 - График зависимости урожая от воды
Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости:
Численные коэффициенты функции регрессии
|
X1>i> |
Y>i> |
X1>i>² |
X1>i> Y>i> |
Y>i> ² |
Y>i> p |
(Y>i> p -y)² |
(Y>i> -y)² |
|
165 |
140 |
27225 |
23100 |
19600 |
152,5778 |
151,9747 |
0,0625 |
|
164 |
138 |
26896 |
22632 |
19044 |
151,4485 |
125,4073 |
5,0625 |
|
158 |
158 |
24964 |
24964 |
24964 |
144,673 |
19,56251 |
315,0625 |
|
159 |
144 |
25281 |
22896 |
20736 |
145,8022 |
30,82711 |
14,0625 |
|
148 |
142 |
21904 |
21016 |
20164 |
133,3803 |
47,19267 |
3,0625 |
|
152 |
134 |
23104 |
20368 |
17956 |
137,8974 |
5,534888 |
39,0625 |
|
143 |
122 |
20449 |
17446 |
14884 |
127,734 |
156,6506 |
333,0625 |
|
146 |
125 |
21316 |
18250 |
15625 |
131,1218 |
83,32442 |
232,5625 |
|
148 |
124 |
21904 |
18352 |
15376 |
133,3803 |
47,19267 |
264,0625 |
|
150 |
138 |
22500 |
20700 |
19044 |
135,6388 |
21,26283 |
5,0625 |
|
156 |
157 |
24336 |
24492 |
24649 |
142,4144 |
4,684729 |
280,5625 |
|
160 |
161 |
25600 |
25760 |
25921 |
146,9315 |
44,64219 |
430,5625 |
|
1849 |
1683 |
285479 |
259976 |
237963 |
|
738,2566 |
1922,25 |
|
Среднее значение |
140,25 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент детерминации r2=0,384059.
Коэффициент детерминации низкий поэтому модель не адекватна.
Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:
Численные коэффициенты функции регрессии
|
X2>i> |
Y>i> |
X2>i>² |
X2>i> Y>i> |
Y>i> ² |
Y>i> p |
(Y>i> p -y)² |
(Y>i> -y)² |
|
138 |
140 |
19044 |
19320 |
19600 |
137,5802 |
7,127725 |
0,0625 |
|
139 |
138 |
19321 |
19182 |
19044 |
138,5088 |
3,031641 |
5,0625 |
|
157 |
158 |
24649 |
24806 |
24964 |
155,224 |
224,2202 |
315,0625 |
|
142 |
144 |
20164 |
20448 |
20736 |
141,2947 |
1,091391 |
14,0625 |
|
144 |
142 |
20736 |
20448 |
20164 |
143,1519 |
8,421225 |
3,0625 |
|
136 |
134 |
18496 |
18224 |
17956 |
135,723 |
20,49389 |
39,0625 |
|
122,5 |
122 |
15006,25 |
14945 |
14884 |
123,1866 |
291,1588 |
333,0625 |
|
128 |
125 |
16384 |
16000 |
15625 |
128,294 |
142,9452 |
232,5625 |
|
119 |
124 |
14161 |
14756 |
15376 |
119,9365 |
412,64 |
264,0625 |
|
142 |
138 |
20164 |
19596 |
19044 |
141,2947 |
1,091391 |
5,0625 |
|
159 |
157 |
25281 |
24963 |
24649 |
157,0812 |
283,29 |
280,5625 |
|
164 |
161 |
26896 |
26404 |
25921 |
161,7243 |
461,1463 |
430,5625 |
|
1690,5 |
1683 |
240302,3 |
239092 |
237963 |
|
1856,658 |
1922,25 |
|
Среднее значение |
140,25 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты регрессии — сдвиг а>0> и наклон а>1> прямой у:
|
a0= |
9,430782 |
|
a1= |
0,928619 |
Коэффициент детерминации r2=0,965877.
Коэффициент детерминации высокий, поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.
Прогноз на три шага вперед y13=120.9, y14=154.3, y15=142.2.
Численные коэффициенты функции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:
Численные коэффициенты функции регрессии
|
X3>i> |
Y>i> |
X3>i>² |
X3>i> Y>i> |
Y>i> ² |
Y>i> p |
(Y>i> p -y)² |
(Y>i> -y)² |
|
134 |
140 |
17956 |
18760 |
19600 |
135,8979 |
18,94079 |
0,0625 |
|
128 |
138 |
16384 |
17664 |
19044 |
131,1502 |
82,80727 |
5,0625 |
|
168 |
158 |
28224 |
26544 |
24964 |
162,8018 |
508,5838 |
315,0625 |
|
147 |
144 |
21609 |
21168 |
20736 |
146,1847 |
35,22048 |
14,0625 |
|
146 |
142 |
21316 |
20732 |
20164 |
145,3934 |
26,4545 |
3,0625 |
|
140 |
134 |
19600 |
18760 |
17956 |
140,6456 |
0,156535 |
39,0625 |
|
132 |
122 |
17424 |
16104 |
14884 |
134,3153 |
35,22048 |
333,0625 |
|
135 |
125 |
18225 |
16875 |
15625 |
136,6892 |
12,67937 |
232,5625 |
|
125 |
124 |
15625 |
15500 |
15376 |
128,7763 |
131,6463 |
264,0625 |
|
126 |
138 |
15876 |
17388 |
19044 |
129,5676 |
114,1144 |
5,0625 |
|
143 |
157 |
20449 |
22451 |
24649 |
143,0195 |
7,670238 |
280,5625 |
|
150 |
161 |
22500 |
24150 |
25921 |
148,5586 |
69,03215 |
430,5625 |
|
1674 |
1683 |
235188 |
236096 |
237963 |
|
1042,526 |
1922,25 |
|
Среднее значение |
140,25 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты регрессии — сдвиг а>0> и наклон а>1> прямой у:
|
a0= |
29,86486 |
|
a1= |
0,791291 |
Коэффициент детерминации r2=0,542347.
Коэффициент детерминации низкий, поэтому модель не адекватна.
Задача
Санаторный комплекс ежегодно заключает с пекарней договор на выпечку хлеба сорта С>1>. Чтобы полностью использовать свои производственные мощности пекарня также выпекает хлеб сорта С>2>, который пускает в свободную продажу. В таблице приведены данные выпуска хлеба (тыс. шт.) пекарней за последний год
|
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
С>1> |
1 |
2,3 |
1,5 |
0,5 |
4 |
5 |
2 |
3,5 |
1 |
4,5 |
2,5 |
1,5 |
|
С>2> |
9 |
6,5 |
8,1 |
8,7 |
4 |
0,2 |
7,6 |
5 |
8,7 |
2 |
7 |
8,4 |
Проанализируйте график исходных данных и постройте регрессионную модель функции производственных возможностей пекарни. Проверьте удовлетворительность модели и сделайте прогноз выпуска хлеба С>2>, если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С>1> 3 тысячи булок.
Решение
Рис. 4 - График исходных данных
Суммы, необходимые для расчета коэффициентов линейной регрессии и коэффициента детерминации вычислим с помощью таблицы, учитывая данные зависимости объема собранного урожая от количества электроэнергии.
|
x |
y |
x2 |
xy |
yp |
(yp-y>cp>)2 |
(y-y>cp>)2 |
|
1 |
9 |
1 |
9 |
8.981453 |
7.370065 |
7.471111 |
|
2.3 |
6.5 |
5.29 |
14.95 |
6.533438 |
0.071167 |
0.054444 |
|
1.5 |
8.1 |
2.25 |
12.15 |
8.039909 |
3.144387 |
3.361111 |
|
0.5 |
8.7 |
0.25 |
4.35 |
9.922997 |
13.36875 |
5.921111 |
|
4 |
4 |
16 |
16 |
3.332187 |
8.611173 |
5.137778 |
|
5 |
0.2 |
25 |
1 |
1.449098 |
23.20897 |
36.80444 |
|
2 |
7.6 |
4 |
15.2 |
7.098364 |
0.691721 |
1.777778 |
|
3.5 |
5 |
12.25 |
17.5 |
4.273731 |
3.971792 |
1.604444 |
|
1 |
8.7 |
1 |
8.7 |
8.981453 |
7.370065 |
5.921111 |
|
4.5 |
2 |
20.25 |
9 |
2.390642 |
15.02356 |
18.20444 |
|
2.5 |
7 |
6.25 |
17.5 |
6.15682 |
0.012066 |
0.537778 |
|
1.5 |
8.4 |
2.25 |
12.6 |
8.039909 |
3.144387 |
4.551111 |
|
å=29.3 |
å=75.2 |
å=95.79 |
å=137.95 |
å=85.98811 |
å=91.34667 |
Находим коэффициенты регрессии — сдвиг а>0> и наклон а>1> прямой у:
|
a0= |
10,86454 |
|
a1= |
-1,88309 |
Коэффициент детерминации r2=0,941338.
Коэффициент детерминации высокий поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.
Если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С>1> 3 тысячи булок, то прогноз С>2 >=-1,88309*3000+10,86454=5215,7.
Транспортная задача
Задача
Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально.
Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно.
Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в таблице
Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.
|
D |
E |
|
|
А |
80 |
215 |
|
В |
100 |
108 |
|
С |
102 |
68 |
Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.
Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:
>
>;
>
>
Получаем:
|
Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт |
||||
|
|
D |
Е |
V |
Издержки |
|
А |
80 |
215 |
1000 |
|
|
В |
100 |
108 |
1300 |
|
|
С |
102 |
68 |
1200 |
|
|
Спрос |
2300 |
1400 |
|
291600 |
|
|
||||
|
Продукция |
||||
|
|
D |
Е |
Сумма |
|
|
А |
1000 |
0 |
1000 |
|
|
В |
1300 |
0 |
1300 |
|
|
С |
0 |
1200 |
1200 |
|
|
Y |
0 |
200 |
200 |
|
|
Сумма |
2300 |
1400 |
|
Задача
Постройте транспортную модель для исходных данных задачи 2.1 при условии, что квартальный спрос в пункте распределения D упал до 1900 автомобилей, а выпуск на заводе В увеличился до 1500 автомобилей за квартал.
Решение
Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:
>>;
>>
Получаем:
|
Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт |
|||||
|
|
D |
Е |
F |
V |
Издержки |
|
А |
80 |
215 |
0 |
1000 |
|
|
В |
100 |
108 |
0 |
1500 |
|
|
С |
102 |
68 |
0 |
1200 |
|
|
Спрос |
1900 |
1400 |
400 |
|
273200 |
|
Продукция |
|||||
|
|
D |
Е |
F |
Сумма |
|
|
А |
1000 |
0 |
0 |
1000 |
|
|
В |
900 |
200 |
400 |
1500 |
|
|
С |
0 |
1200 |
0 |
1200 |
|
|
Сумма |
1900 |
1400 |
400 |
|
Задача
Три электрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВт×ч поставляют электроэнергию в три города. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в 30, 35 и 24 миллионов кВт×ч. Цены за миллион кВт-ч в данных городах приведены в табл. 4.4.
Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч
|
Города |
||||
|
1 |
2 |
3 |
||
|
Станция |
1 |
600 |
700 |
400 |
|
2 |
320 |
300 |
350 |
|
|
3 |
500 |
480 |
450 |
В августе на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трех городов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети по цене 1000 за 1 миллион кВт-ч. Но третий город не может подключиться к альтернативной электросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболее экономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка в августе. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели.
Решение
Задаем целевую функцию и ограничения с помощью «Поиска решений»:
>>;
>>
Получаем:
|
Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч |
||||||
|
|
Города |
|
Издержки |
|||
|
1 |
2 |
3 |
Мощность |
|
||
|
Станция |
1 |
600 |
700 |
400 |
25 |
|
|
2 |
320 |
300 |
350 |
40 |
|
|
|
3 |
500 |
480 |
450 |
30 |
|
|
|
|
4 |
1000 |
1000 |
10000 |
12 |
|
|
Потребление |
|
36 |
42 |
29 |
|
48570 |
|
|
Города |
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
Сумма |
||
|
Станция |
1 |
0 |
0 |
25 |
|
25 |
|
2 |
24 |
16 |
0 |
|
40 |
|
|
3 |
0 |
26 |
4 |
|
30 |
|
|
|
4 |
12 |
0 |
0 |
|
12 |
|
|
Сумма |
36 |
42 |
29 |
|
|
Задача
Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:
>
>
Решение
Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется
>
>
Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл.
Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла
|
Пункты отправления,
>
|
Пункты
потребления, >
|
Запасы, ед. продукции |
|||
|
> |
> |
> |
> |
||
|
> |
125 5 |
85 8 |
1 |
2 |
210/85/0 |
|
> |
2 |
5 5 |
130 4 |
35 9 |
170/165/35/0 |
|
> |
9 |
2 |
3 |
65 1 |
65/0 |
|
Потребность, ед. продукции |
125/0 |
90/5/0 |
130/0 |
100/65/0 |
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Опорный план >
>,
найденный методом северо-западного
угла
>
>
[ед.товара]
Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)
>
>
[руб.].
Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента
|
Пункты отправления,
>
|
Пункты
потребления, >
|
Запасы, ед. продукции |
|||
|
> |
> |
> |
> |
||
|
> |
5 |
45 8 |
130 1 |
35 2 |
210/80/45/0 |
|
> |
125 2 |
45 5 |
4 |
9 |
170/45/0 |
|
> |
9 |
2 |
3 |
65 1 |
65/0 |
|
Потребность, ед. продукции |
125/0 |
90/45/0 |
130/0 |
100/35/0 |
Опорный план >
>,
найденный методом минимального элемента
>
>
[ед.товара]
>
>
[руб.]
Транспортная таблица с опорным планом Фогеля
|
> |
> |
> |
> |
> |
Штрафы строк,>
>>
|
||||
|
> |
5 |
8 |
110 1 |
100 2 |
210/110/0 |
1 |
1 |
1 |
7 |
|
> |
125 2 |
25 5 |
20 4 |
9 |
170/45/25/0 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
> |
9 |
65 2 |
3 |
1 |
65/0 |
1 |
1 |
– |
– |
|
> |
125/0 |
90/25/0 |
130/20/0 |
100/0 |
|||||
|
Штрафы
столбцов,> |
3 |
3 |
2 |
1 |
|||||
|
– |
3 |
2 |
1 |
||||||
|
– |
3 |
3 |
7 |
||||||
|
– |
3 |
3 |
– |
>
>
>
>На первом шаге нахождения опорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значений максимальных штрафов транспортной матрицы
>
>
Минимальные тарифы в этих столбцах также совпадают
>
>.
Поэтому
необходимо сравнить суммарные штрафы
>
>
клеток (2,1) и (3,2)
>
>;
>
>.
Т.к. >
>,
то выбираем на первом шаге для заполнения
клетку (2,1).
Опорный план
>
>
>
>
[ед.товара], >
>
[руб.]
Задача
Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 160, 140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200, 110 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:
>
>
Решение
Суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей
Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла
|
Пункты
отправления, >
|
Пункты
потребления, >
|
Запасы, ед. продукции |
|||
|
> |
> |
> |
> |
||
|
> |
120 7 |
40 8 |
1 |
2 |
160/40/0 |
|
> |
4 |
10 5 |
130 9 |
8 |
140/130/0 |
|
> |
9 |
2 |
70 3 |
100 6 |
170/100/0 |
|
фиктивный склад |
0 |
0 |
0 |
10 0 |
10/0 |
|
Потребность, ед. продукции |
120/0 |
50/10/0 |
200/70/0 |
110/10/0 |
Опорный план >
>,
найденный методом северо-западного
угла [ед.товара].
Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)
>
>
Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента
|
Пункты
отправления,
|
Пункты
потребления,
|
Запасы, ед. продукции |
|||
|
> |
> |
> |
> |
||
|
> |
7 |
8 |
160 1 |
2 |
160/0 |
|
> |
110 4 |
5 |
9 |
30 8 |
140/30/0 |
|
> |
9 |
50 2 |
40 3 |
80 6 |
170/120/80/0 |
|
фиктивный склад |
10 0 |
0 |
0 |
0 |
10/0 |
|
Потребность, ед. продукции |
120/110/0 |
50/0 |
200/40/0 |
110/30/0 |
Опорный план >
>,
найденный методом минимального элемента
>
>
>
>
Транспортная таблица с опорным планом Фогеля
|
> |
> |
> |
> |
> |
Штрафы строк,>
>>
|
||||||
|
> |
7 |
8 |
50 1 |
110 2 |
160/50/0 |
1 |
1 |
6 |
- |
- |
- |
|
> |
110 4 |
30 5 |
9 |
8 |
140/110/0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
> |
9 |
20 2 |
150 3 |
6 |
170/20/0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
7 |
- |
|
фикт. |
10 0 |
0 |
0 |
0 |
10/0 |
0 |
- |
- |
- |
- |
- |
|
> |
120/110/0 |
50/30/0 |
200/150/0 |
110/0 |
|||||||
|
Штрафы
столбцов,> |
4 |
2 |
1 |
2 |
|||||||
|
3 |
3 |
2 |
4 |
||||||||
|
3 |
3 |
2 |
- |
||||||||
|
5 |
3 |
6 |
– |
||||||||
|
5 |
3 |
- |
- |
||||||||
|
4 |
5 |
- |
- |
Опорный план
>
>,
найденный методом Фогеля [ед.товара],
>>
Задача
Некоторая фирма производит автомобили четырех различных марок М>1>, М>2>, М>3>, М>4>. Завод в городе А производит только автомобили марок М>3>, M>4>, в городе В – только автомобили марок М>1>, М>2>, M>4>, а в городе С – только автомобили марок М>1>, М>2>. Ежеквартальные объемы выпуска каждого завода и величины спроса в каждом пункте распределения приведены в таблице 1.3. Постройте соответствующую модель экономичных перевозок и определите целевую функцию по двум вариантам:
• каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;
• все виды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифов в клетках, связывающих разные виды продукции.
Объемы производства заводов и спроса пунктов распределения автомобилей, шт/квартал
|
Марка автомобиля |
||||
|
M>1> |
M>2> |
M>3> |
M>4> |
|
|
Заводы |
||||
|
А |
— |
— |
700 |
300 |
|
В |
500 |
600 |
— |
400 |
|
С |
800 |
400 |
— |
— |
|
Пункты распределения |
||||
|
D |
700 |
500 |
500 |
600 |
|
Е |
600 |
500 |
200 |
100 |
Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт
|
D |
Е |
|
|
А |
80 |
215 |
|
В |
100 |
108 |
|
С |
102 |
68 |
Решение:
Составляем для каждого вида продукции транспортную матрицу:
Транспортная матрица для первого вида продукции:
|
|
D |
Е |
Объем |
|
А |
0 |
0 |
0 |
|
В |
100 |
108 |
500 |
|
С |
102 |
68 |
800 |
|
Спрос |
700 |
600 |
|
|
издержки |
111200 |
||
|
|
D |
Е |
Сумма |
|
А |
0 |
0 |
0 |
|
В |
500 |
0 |
500 |
|
С |
200 |
600 |
800 |
|
Сумма |
700 |
600 |
|
Транспортная матрица для второго вида продукции:
|
|
D |
Е |
Объем |
|
А |
0 |
0 |
0 |
|
В |
100 |
108 |
600 |
|
С |
102 |
68 |
400 |
|
Спрос |
500 |
500 |
|
|
издержки |
88000 |
||
|
|
D |
Е |
Сумма |
|
А |
0 |
0 |
0 |
|
В |
500 |
100 |
600 |
|
С |
0 |
400 |
400 |
|
Сумма |
500 |
500 |
|
Транспортная матрица для третьего вида продукции:
|
|
D |
Е |
Объем |
|
А |
80 |
215 |
700 |
|
В |
0 |
0 |
0 |
|
С |
0 |
0 |
0 |
|
Спрос |
500 |
200 |
|
|
издержки |
83000 |
||
|
|
D |
Е |
Сумма |
|
А |
500 |
200 |
700 |
|
В |
0 |
0 |
0 |
|
С |
0 |
0 |
0 |
|
Сумма |
500 |
200 |
|
Транспортная матрица для четвертого вида продукции:
|
|
D |
Е |
Объем |
|
А |
80 |
215 |
300 |
|
В |
100 |
108 |
400 |
|
С |
0 |
0 |
0 |
|
Спрос |
600 |
100 |
|
|
издержки |
64800 |
||
|
|
D |
Е |
Сумма |
|
А |
300 |
0 |
300 |
|
В |
300 |
100 |
400 |
|
С |
0 |
0 |
0 |
|
Сумма |
600 |
100 |
|
Целевая функция равна сумме издержек по каждому виду продукции 347000.
Объединяем все виды продукции в одной общей матрице и с помощью «Поиска решений» находим оптимальный план и целевую функцию:
|
|
D1 |
E1 |
D2 |
E2 |
D3 |
E3 |
D4 |
E4 |
производство |
|
A3 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
80 |
215 |
10000 |
10000 |
700 |
|
A4 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
80 |
215 |
300 |
|
B1 |
100 |
108 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
500 |
|
B2 |
10000 |
10000 |
100 |
108 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
600 |
|
B4 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
100 |
108 |
400 |
|
C1 |
102 |
68 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
800 |
|
C2 |
10000 |
10000 |
102 |
68 |
10000 |
10000 |
10000 |
10000 |
400 |
|
спрос |
700 |
600 |
500 |
500 |
500 |
200 |
600 |
100 |
347000 |
|
|
D1 |
E1 |
D2 |
E2 |
D3 |
E3 |
D4 |
E4 |
|
|
A3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
500 |
200 |
0 |
0 |
700 |
|
A4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
300 |
0 |
300 |
|
B1 |
500 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
500 |
|
B2 |
0 |
0 |
500 |
100 |
0 |
0 |
0 |
0 |
600 |
|
B4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
300 |
100 |
400 |
|
C1 |
200 |
600 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
800 |
|
C2 |
0 |
0 |
0 |
400 |
0 |
0 |
0 |
0 |
400 |
|
|
700 |
600 |
500 |
500 |
500 |
200 |
600 |
100 |
Задача о назначениях
Задача
а). Строительной компании «Спецстройкурнож» необходимо выполнить бетонные работы на 4 строящихся объектах. В фирме имеется 4 бригады бетонщиков, которые могут выполнить эту работу. Бригадиры каждой бригады побывали на объектах, оценили объемы работ и рассчитали сроки, за которые они могут выполнить работы.
|
Бригада |
Объект |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
№1 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
№2 |
36 |
41 |
52 |
58 |
|
№3 |
28 |
44 |
49 |
57 |
|
№4 |
35 |
39 |
49 |
63 |
Перед руководством фирмы стоит задача распределения бригад по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным. Поскольку количества бригад и объектов одинаковы, следовательно, имеем сбалансированную задачу о назначениях.
Решение
С помощью «Поиска решения» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным.
|
Бригада |
Объект |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
№1 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
№2 |
36 |
41 |
52 |
58 |
|
№3 |
28 |
44 |
49 |
57 |
|
№4 |
35 |
39 |
49 |
63 |
|
целевая функция |
175 |
|||
|
Бригада |
Объект |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
№1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
№2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
№3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
№4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
∑ |
1 |
1 |
1 |
1 |
б). Несбалансированная задача. Пока руководство фирмы «Спецстройизбкурнож» решало, какую бригаду бетонщиков послать на какой объект, освободилась от работ на предыдущем объекте еще одна бригада и выразила готовность также подключиться к работе на одном из четырех объектов. Бригадир этой бригады оценил работы на каждом объекте и подсчитал, что работы на первом объекте его бригада выполнит за 29 рабочих дней, на втором объекте за 40 дней, на третьем объекте за 48 дней и на четвертом – за 59 дней
Решение
С помощью «Поиска решений» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный срок выполнения всех работ был минимальным.
|
Бригада |
Объект |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
№1 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
№2 |
36 |
41 |
52 |
58 |
|
№3 |
28 |
44 |
49 |
57 |
|
№4 |
35 |
39 |
49 |
63 |
|
№5 |
29 |
40 |
48 |
59 |
|
цел. функция |
173 |
|||
|
Бригада |
Объект |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
№1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
№2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
№3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
№4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
№5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
∑ |
1 |
1 |
1 |
1 |
Общая распределительная задача линейного программирования
Задача
На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:
производительности станков по каждому виду ткани, м/ч
>
>;
себестоимость тканей, руб./м
>
>;
фонды рабочего времени
станков (>
>):
90, 220, 180 ч;
планируемый
объем выпуска тканей (>
>):
1200, 900, 1800, 840 м.
Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.
Решение
|
1.1 |
|||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||
|
a>i> |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
|||||
|
0,33333 |
0,33333 |
0,33333 |
0,3333 |
||||||
|
1.2 |
|||||||||
|
90 |
1 |
90 |
|||||||
|
220 |
* |
0,5 |
= |
110 |
|||||
|
180 |
0,33333 |
60 |
|||||||
|
1.3 |
|||||||||
|
24 |
30 |
18 |
42 |
||||||
|
b>j> |
12 |
15 |
9 |
21 |
|||||
|
8 |
10 |
6 |
14 |
||||||
|
1200 |
900 |
1800 |
840 |
||||||
|
bj' |
50 |
30 |
100 |
20 |
|||||
|
b(фиктив)' |
60 |
||||||||
|
1.4 |
|||||||||
|
2 |
1 |
3 |
1 |
||||||
|
c>ij> |
3 |
2 |
4 |
1 |
* |
24 |
30 |
18 |
42 |
|
6 |
3 |
5 |
2 |
||||||
|
48 |
30 |
54 |
42 |
||||||
|
= |
72 |
60 |
72 |
42 |
|||||
|
144 |
90 |
90 |
84 |
||||||
|
2. |
a>i> |
b>j> |
|||||||
|
90 |
50 |
||||||||
|
110 |
30 |
||||||||
|
60 |
100 |
||||||||
|
260 |
20 |
||||||||
|
60 |
|||||||||
|
260 |
|||||||||
|
3. |
|||||||||
|
48 |
30 |
54 |
42 |
0 |
90 |
||||
|
72 |
60 |
72 |
42 |
0 |
110 |
||||
|
144 |
90 |
90 |
84 |
0 |
60 |
||||
|
50 |
30 |
100 |
20 |
60 |
|||||
|
50 |
30 |
10 |
0 |
0 |
|||||
|
0 |
0 |
90 |
20 |
0 |
Поиск оптимального решения |
||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
60 |
|
4. |
|||||||||||
|
50 |
30 |
10 |
0 |
0 |
1 |
||||||
|
x>ij> |
0 |
0 |
90 |
20 |
0 |
/ |
0,5 |
= |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
60 |
0,3333 |
||||||
|
50 |
30 |
10 |
0 |
0 |
|||||||
|
= |
0 |
0 |
180 |
40 |
0 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
180 |
|||||||
|
5. |
|||||||||||
|
50 |
30 |
10 |
0 |
0 |
24 |
30 |
18 |
42 |
0 |
||
|
0 |
0 |
180 |
40 |
0 |
* |
12 |
15 |
9 |
21 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
180 |
8 |
10 |
6 |
14 |
0 |
||
|
1200 |
900 |
180 |
0 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
||
|
0 |
0 |
1620 |
840 |
0 |
* |
3 |
2 |
4 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
3 |
5 |
2 |
0 |
||
|
2400 |
900 |
540 |
0 |
||||||||
|
0 |
0 |
6480 |
840 |
L(x)= |
11160 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Задача
Некоторая фирма содержит три магазина, которым еженедельно следует доставлять товар: первому магазину – 1050 кг сыра, второму – 600 мешков муки, третьему – 2400 упаковок сока. Товары доставляются грузовыми машинами четырех транспортных предприятий. Количество машин на этих предприятиях составляет 65, 40, 45 и 20 машин. Все машины имеют различную грузоподъемность [ед. тов. / маш.], в зависимости от типа машины и типа перевозимого груза
>
>
Стоимости использования машин [руб. / маш.] в зависимости от дальности перевозки и емкости машины равны
>
>.
Организуйте экономичную перевозку товаров (при решении используйте метод северо-западного угла).
Решение:
|
Этапы решения распределительной задачи: |
|||||||||||
|
1.1 |
|||||||||||
|
0,2 |
0,2 |
0,2 |
|
||||||||
|
a>i> |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
||||||||
|
0,5 |
0,5 |
0,5 |
|
||||||||
|
1.2 |
|||||||||||
|
65 |
0,2 |
13 |
|||||||||
|
40 |
* |
0,1 |
= |
4 |
|||||||
|
45 |
1 |
45 |
|||||||||
|
20 |
0,5 |
10 |
|||||||||
|
1.3 |
|||||||||||
|
10 |
6 |
12 |
|||||||||
|
b>j> |
5 |
3 |
6 |
||||||||
|
50 |
30 |
60 |
|||||||||
|
25 |
15 |
30 |
|||||||||
|
1050 |
600 |
2400 |
|||||||||
|
b>j> |
21 |
20 |
40 |
||||||||
|
a фикт |
9 |
||||||||||
|
1.4 |
|||||||||||
|
30 |
24 |
24 |
1500 |
720 |
1440 |
||||||
|
c>ij> |
10 |
9 |
6 |
* |
50 |
30 |
60 |
= |
500 |
270 |
360 |
|
250 |
210 |
240 |
12500 |
6300 |
14400 |
||||||
|
100 |
75 |
90 |
5000 |
2250 |
5400 |
||||||
|
2. |
a>i> |
b>j> |
|||||||||
|
13 |
21 |
||||||||||
|
4 |
20 |
||||||||||
|
45 |
40 |
||||||||||
|
10 |
81 |
||||||||||
|
9 |
|||||||||||
|
81 |
|||||||||||
|
3. |
|||||||||||
|
1500 |
720 |
1440 |
13 |
||||||||
|
500 |
270 |
360 |
4 |
||||||||
|
12500 |
6300 |
14400 |
45 |
||||||||
|
5000 |
2250 |
5400 |
10 |
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
9 |
||||||||
|
21 |
20 |
40 |
|||||||||
|
13 |
0 |
0 |
|||||||||
|
4 |
0 |
0 |
|||||||||
|
4 |
20 |
21 |
Поиск оптимального решения |
||||||||
|
0 |
0 |
10 |
|||||||||
|
0 |
0 |
9 |
|||||||||
|
4. |
13 |
0 |
0 |
0,2 |
65 |
0 |
0 |
||||
|
4 |
0 |
0 |
0,1 |
40 |
0 |
0 |
|||||
|
x>ij> |
4 |
20 |
21 |
/ |
1 |
= |
4 |
20 |
21 |
||
|
0 |
0 |
10 |
0,5 |
0 |
0 |
20 |
|||||
|
0 |
0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||
|
5. |
|||||||||||
|
65 |
0 |
0 |
10 |
6 |
12 |
650 |
0 |
0 |
|||
|
40 |
0 |
0 |
5 |
3 |
6 |
200 |
0 |
0 |
|||
|
4 |
20 |
21 |
* |
50 |
30 |
60 |
= |
200 |
600 |
1260 |
|
|
0 |
0 |
20 |
25 |
15 |
30 |
0 |
0 |
600 |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
650 |
0 |
0 |
30 |
24 |
24 |
19500 |
0 |
0 |
|||
|
200 |
0 |
0 |
10 |
9 |
6 |
2000 |
0 |
0 |
|||
|
200 |
600 |
1260 |
* |
250 |
210 |
240 |
= |
50000 |
1E+05 |
3E+05 |
|
|
0 |
0 |
600 |
100 |
75 |
90 |
0 |
0 |
54000 |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
L(x)= |
553900 |
Модели управления запасами
Задача
Объем продажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 40 коп. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Магазин работает 300 дней в году.
Постройте график затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика. Графически определите наиболее выгодный объем заказа.
Решение
Пусть Q -
размер заказа; T=300
- продолжительность периода
планирования; D=500
- величина спроса за период планирования;
К=10 -
издержки одного заказа
(стоимость доставки); >
>
- удельные издержки хранения
за период; с=2
— цена продукта. Тогда:
Издержки заказа за период
планирования:>
>;
Издержки хранения за
период планирования : >
>;
Издержки на закупку
товара: >
>.
При этом совокупные
издержки: >
>.
Формула совокупных издержек:
>
>.
Для нахождения наименьшего значения функции С найдем ее производную и прировняем ее к нулю.
>
>
Отсюда получаем: >
>.
Оптимальное число заказов:
>
>.
Число дней между заказами:
>
>дней.
Так как длина интервала между поставками равна 100 дней, а время доставки – 12 дней, то заказ нужно возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребностей на 12 рабочих дней.
Так как ежедневная
потребность равна 500/300=1,67 упаковок супа
в день, то заказы должны делаться
регулярно при достижении уровня запаса
>
>
пачек супа.
График затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельца магазина на закупку пакетов супа у поставщика (рис. 5):
Рис. 5
Оптимальный размер заказа (точка пересечения графиков издержек заказа и издержек хранения) приблизительно равен 158 пакетов супа.
Величина общих годовых издержек составит примерно 1060 руб.
Задача
На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?
Решение
Для начала определяем сколько производит первый и второй станки за год деталей:
первый станок = 2000*12=24000;
второй станок = 500 * 12 = 6000.
Затем по формулам модели Уилсона находим, оптимальный план, частоту заказов и общие издержки.
>
>
>
>
>
>
>
>
Qопт=5656,85
С=2121,32
τ месс=11,31
Задача
Фирма может производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 руб. Интенсивность производства составляет 120 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты на осуществление заказа равны 15 руб. Затраты на содержание изделия в запасе независимо от того, закупается оно или производится, равны 2 коп. в день. Потребление изделия фирмой оценивается в 26 000 шт. в год.
Предполагая, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать или производить изделие (в месяце 22 рабочих дня).
Подтвердите свое решение графически, для этого на одном рисунке постройте графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий.
Решение
Производство изделий:
Обозначим Q
- размер выпускаемой партии;
D=26000 шт. -
величина спроса в год; >
>шт.
– величина спроса в день; >
>шт.
- интенсивность производства; К=20
руб. – стоимость
каждого запуска изделия в производство;
>
>руб.
- издержки хранения за год.
Тогда:
>
>шт.
Cовокупные издержки:
>
>>
>руб.
Покупка изделий
Обозначим Q
- размер приобретаемой
партии; D=26000
шт. - величина спроса в год; К=15
руб. – стоимость
каждой покупки; >
>руб.
- издержки хранения за год.
Тогда:
>
>шт.
Совокупные издержки:
>
>>
>руб.
Рис. 6 - Графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий
Вывод: выгоднее производить изделия, чем покупать их.
Задача
При строительстве участка автодороги длиной 500 м используют гравий, расход которого составляет 120 кг/м. Сроки строительства составляют 17 дней. Работа идет в одну смену. Расход гравия равномерный. Гравий доставляется грузовыми машинами, емкостью 7 т, в течение 4 часов. Затраты на один рейс грузовика равны 15 руб. Затраты на хранение гравия на месте строительства составляют 1 руб. 10 коп. в сутки за тонну.
Определить: оптимальный объем заказа, количество грузовых машин, используемых для доставки, период поставок, точку заказа, затраты за всю стройку. Постройте график двух последних циклов изменения запаса гравия на месте строительства.
Решение
Пусть Q –
оптимальный объем заказа; D=>
>т
- величина спроса за период строительства;
К=>
>руб.
- издержки
одного заказа (здесь 7 - грузоподъемность
машины); >
>руб.
- удельные издержки хранения
за период; Т=17 дней –
период планирования; >
>сут.
(принимаем время смены 8 часов). Тогда:
Издержки заказа за период
планирования :>>;
Издержки хранения за
период планирования:>>.
Оптимальный размер заказа составит:
>
>
или >
>,
откуда >
>т.
Количество грузовых машин
равно >
>ед.
Период поставок: >
>
дня.
Точка заказа: >
>т.
Затраты на всю стройку составят:
>
>руб.
Так как период поставок равен 4 дня, а время работы равно 17 дней, получим 4 полные поставки и в 16-й день еще одну машину с гравием.
Задача
Пусть затраты на заказ равны 10 руб., затраты на хранение продукции 1 руб. в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара – 2руб. за штуку, а при объеме закупки 15 шт. и более- 1руб.
Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и затраты на управление запасами. Постройте график общих затрат.
Пусть Q -
размер заказа; >
>
- величина потребления за день; К=10
- издержки
одного заказа; h=1
- удельные
издержки хранения за день; с>i>
— цена продукта при
соответствующем размере заказа.
Издержки заказа за период
планирования: >
>;
Издержки хранения за
период планирования: >
>;
Издержки на закупку
товара:>
>.
Совокупные издержки:
>
>.
При размере заказа менее 15 шт формула совокупных издержек запишется в виде:
>
>.
Для нахождения наименьшего значения функции С находим ее производную и прировняем ее к нулю.
>
>
>
>.
Аналогично находим при заказе 15 шт. и более:
>
>;
>
>;
>
>.
>
>
Общие издержки для каждого размера заказа и вида скидок с выбором наименьшего значения:
|
Размер заказа |
Менее 15 шт. |
15 шт. и более |
|
Цена 1 шт., руб. |
2 |
1 |
|
Размер заказа, шт. |
10 |
15 |
|
Издержки заказа, руб. |
5 |
3,33 |
|
Издержки хранения, руб. |
5 |
7,5 |
|
Издержки на закупку товара, руб. |
10 |
5 |
|
Общие затраты, руб. |
20 |
15,83 |
Выбираем размер заказа,
минимизирующий общие годовые издержки.
Заказ в размере 15 шт. будет минимизировать
общие затраты, оптимальный размер заказа
>
>
шт.
При этом цена покупки
составит >
>руб.,
затраты на управление запасами составят
>
>руб.
График общих
Рис.7
Задача
Рассмотрим задачу 5.1. Пусть поставщик супа в пакетах предоставляет следующие скидки
|
Размер заказа |
Цена, руб./шт. |
|
1-199 |
2 |
|
200-499 |
1,96 (2% скидки) |
|
500 и более |
1,92 (4% скидки) |
Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок, предоставляемых поставщиком? Каковы при этом будут размер заказа и общие затраты на управление запасами? Постройте график общих затрат.
Решение
Пусть Q - размер заказа; T=300 - продолжительность периода планирования; D=500 - величина спроса за период планирования; К=10 - издержки одного заказа; Н=0,4 - удельные издержки хранения за период; с>i> — цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:
Издержки заказа за период
планирования: >
>;
Издержки хранения за
период планирования : >
>;
Издержки на закупку товара
: >
>.
Совокупные издержки:
>
>.
Оптимальный заказ:
>
>.
Поэтому для первого уровня
цен принимаем >
>;
для других цен - >
>
>
>.
Рассчитываем общие издержки для каждого
размера заказа и вида скидок, а затем
выбрать наименьшее значение.
|
Размер заказа |
1-199 |
200-499 |
500 и более |
|
Цена пакета, руб. |
2 |
1,96 |
1,92 |
|
Размер заказа, шт. |
158 |
200 |
500 |
|
Издержки заказа за год, руб. |
31,65 |
25,0 |
10 |
|
Издержки хранения за год, руб. |
31,6 |
40 |
100 |
|
Издержки на закупку товара за год, руб. |
1000 |
980 |
960 |
|
Совокупные издержки, руб. |
1063,25 |
1045,0 |
1070,0 |
Выберем тот размер заказа,
который минимизирует общие годовые
издержки. Из таблицы видно, что заказ в
размере 200 пакетов супа будет минимизировать
совокупные издержки, следовательно,
оптимальный размер заказа >
>
пакетов.
При этом совокупные
издержки за год составят >
>руб.
Рис. 8 - График общих затрат
Задача
Какое количество товара заказывать и по какой цене, каковы затраты при оптимальной организации управления запасами? Известно, что n =240 шт./дн.; С>0>= 30 руб.; С>h>> >= 3 руб./шт.дн.; a = 6 руб./шт.; a>1> = 5 руб./шт.; a>2> =3 руб./шт.; Q>p>>1>= 50 шт.; Q>P>>2> =500 шт.
Решение
Пусть Q -
размер заказа; v=240
шт./дн. - величина спроса за период
планирования; С>0>=30
руб. - издержки
одного заказа; >
>руб./шт.дн.
- удельные
издержки хранения за период; с>i>
— цена продукта при
соответствующем размере заказа. Тогда:
Издержки заказа за период
планирования: >
>;
Издержки хранения за
период планирования: >
>;
Издержки на закупку
товара:>
>.
Совокупные издержки:
>
>.
Оптимальный заказ:
>
>.
Поэтому для первого уровня
цен принимаем >
>;
для других цен - >
>
>
>.
Далее рассчитаем общие издержки для
каждого размера заказа и вида скидок,
а затем выбрать наименьшее значение.
|
Размер заказа |
1-49 |
50-499 |
500 и более |
|
Цена ед. товара, руб. |
6 |
5 |
3 |
|
Размер заказа, шт. |
49 |
69 |
500 |
|
Издержки заказа, руб. |
146,94 |
104,35 |
14,40 |
|
Издержки хранения, руб. |
73,50 |
103,50 |
750,00 |
|
Издержки на закупку товара, руб. |
1440,00 |
1200,00 |
720,00 |
|
Совокупные издержки, руб. |
1660,44 |
1407,85 |
1484,40 |
Выберем тот размер заказа,
который минимизирует общие издержки.
Из таблицы видно, что заказ в размере
69 единиц товара будет минимизировать
совокупные издержки, следовательно,
оптимальный размер заказа >
>.
Вывод: совокупные издержки 1407,85 руб.
Расчет и анализ сетевых моделей
1. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.
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
Решение
Расчёты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:
-
hi
i
j
РН
tij
РО
ПО
tij
ПН
Rij
rij
-
0
1
0
2
2
7
2
5
5
0
-
0
2
0
2
2
2
2
0
0
0
-
0
3
0
1
1
7
1
6
6
0
1
1
4
2
4
6
11
4
7
5
0
1
2
5
2
5
7
8
5
3
1
0
1
2
6
2
8
10
10
8
2
0
0
1
3
6
1
3
4
10
3
7
6
6
1
4
7
6
1
7
12
1
11
5
4
1
5
7
7
4
11
12
4
8
1
0
2
6
8
10
5
15
15
5
10
0
0
2
7
8
11
3
14
15
3
12
1
1
2
8
-
15
-
15
15
-
15
0
0
Критический путь: 0-2-6-8
2. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график.. Определите критический путь.
Решение
Расчёты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:
-
hi
i
j
РН
tij
РО
ПО
tij
ПН
Rij
rij
-
1
2
0
2
2
2
2
0
0
0
1
2
3
2
5
7
7
5
2
0
0
1
2
4
2
6
8
9
6
3
1
0
1
2
5
2
3
5
12
3
9
7
2
1
3
5
7
0
7
12
0
12
5
0
1
3
6
7
7
14
14
7
7
0
0
1
4
8
8
8
16
17
8
9
1
1
2
5
7
7
5
12
17
5
12
3
5
1
6
7
14
3
17
17
3
14
0
0
1
6
11
14
8
22
39
8
31
17
17
2
7
8
17
0
17
17
0
17
0
0
2
7
11
17
7
24
39
7
32
15
15
2
8
9
17
4
21
21
4
17
0
0
1
9
10
21
4
25
34
4
30
9
0
1
9
11
21
18
39
39
18
21
0
0
1
10
11
25
5
30
39
5
34
9
9
4
11
-
39
-
39
39
-
39
0
0
Критический путь: 1-2-3-6-7-8-9-11
3. Рассчитайте табличным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.
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
Решение
Расчеты сетевого графика табличным методом приведены в таблице:
-
hi
i
j
РН
tij
РО
ПО
tij
ПН
Rij
rij
-
0
1
0
18
18
48
18
30
30
0
-
0
2
0
15
15
26
15
11
11
0
-
0
4
0
30
30
30
30
0
0
0
1
1
3
18
22
40
70
22
48
30
0
1
1
9
18
12
30
100
12
88
70
52
1
2
5
15
9
24
35
9
26
9
0
1
2
6
15
15
40
62
15
40
25
0
1
3
9
40
30
70
100
30
70
30
0
1
4
7
30
25
55
55
25
30
0
0
1
4
8
30
30
60
90
30
60
30
30
1
5
7
24
20
44
55
20
35
11
11
1
5
10
24
5
29
80
5
75
51
26
1
6
10
40
15
55
80
15
65
25
0
2
7
8
55
35
90
90
35
55
0
0
2
8
11
90
32
122
122
32
90
0
0
2
9
11
70
22
99
122
22
100
30
23
2
10
11
55
42
97
122
42
80
25
25
3
11
-
122
-
122
122
-
122
-
-
Критический путь: 0-4-7-8-11
4.Рассчитайте секторным методом представленный сетевой график. Определите критический путь.
Решение
Критический путь 0-2-3-4-5-6
5. Рассчитайте представленный сетевой график методом диагональной таблицы. Определите критический путь.
Решение
Расчёты сетевого графика методом диагональной таблицы:
-
Ti P
i/j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
2
2
1
3
8
6
4
7
5
2
4
10
3
2
8
4
11
6
5
10
9
6
7
12
7
4
19
8
5
24
9
TiП
0
2
8
13
8
9
12
15
19
24
Ti P
0
2
5
10
8
6
9
12
19
24
r
0
0
3
3
0
3
3
3
0
0
Критический путь: 0-1-4-8-9
6. Рассчитайте представленный сетевой график методом диагональной таблицы. Определите критический путь.
Решение
Расчёты методом диагональной таблицы:
|
Ti P |
i/j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
0 |
1 |
|
8 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
0 |
|
11 |
|
|
8 |
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
8 |
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
14 |
6 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
24 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
28 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TiП |
0 |
8 |
8 |
9 |
8 |
14 |
24 |
28 |
|
|
Ti P |
0 |
8 |
5 |
8 |
8 |
14 |
24 |
28 |
|
|
r |
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Критический путь:1-2-5-6-7-8