Построение двухфакторной модели, моделей парной линейной прогрессии и множественной линейной регрессии
ЗАДАНИЕ №1
По предложенной выборке наблюдений результативного признака у и факторных признаков х1,х2,х3 требуется с помощью корреляционного анализа выбрать факторные признаки для построения двухфакторной модели и пояснить свой выбор.
|
n |
у |
х1 |
х2 |
х3 |
|
1 |
88 |
38 |
54 |
87 |
|
2 |
71 |
49 |
92 |
57 |
|
3 |
62 |
44 |
74 |
68 |
|
4 |
49 |
78 |
76 |
42 |
|
5 |
76 |
62 |
41 |
76 |
Решение
Для получения искомых величин составим расчетную таблицу:
Получим: x1 = 54,2, х2=67,4, х3= 66; у*х1=3617; у*х2=4542,4; у*х3=4750,6; х1*х2=3657,2; х1*х3=3415,8; х2*х3= 4256,4
Рассчитаем r коэффициент корреляции между величинами у и х1; у и х2; у и х3; х1 и х2; х2 и х3; х1 и х3;
Cov (x*у)= х*у –х*у
Cov (x1*у)=3617-54.2*69.2 =-133,64
Cov (x2*у)=4542,4-67,4*69,2 =-121,68
Cov (x3*у)=4750,6-66*69,2 =183,4
Rх1у = cov(х1;у) = -133,64 = -133,64 =- 0,712
Var(x1)Var(y) 204,16*172,56 187,696
Rх2у = cov(х2;у)=-121,68= -121,68 = -0,5179
Var(x2)Var(y) 319,84*172,56 234,928
Rх3у = cov(х3;у)=183,4 =183,4 = 0,900
Var(x3)Var(y) 240,4*172,56 203,675
Cov (x1*x2)=x1*x2-x1*x
Cov(x1*x2)=3657,2-54,2*67,4=4,12
Cov(x1*x3)=3415,8-54,2*66=-161,4
Cov(x2*x3)==4256,4-67,4*66=-192
Rх1х2 = cov(х1;х2)=4,12= 4,12 = 0,016
Var(x1)Var(х2) 204,16*319,84 255,5357
Rх1х3 = cov(х1;х3) = -161,4 = -161,4 = -0,728
Var(х1)Var(х3) 204,16*240,4 221,54
Rх2х3 = cov(х2;х3) = -192 = -192 = -0,692
Var(х2)Var(х3) 240,4*319,84 277,288
Построим расчетную таблицу для двухфакторной модели
Для построения двухфакторной модели по модулю подходят х1 и х3 т.к у них более высокий показатель, но по факторному признаку х1 и х3> 0,6 значит выбираем х1 и х2
ЗАДАНИЕ № 2
Результаты обследования десяти статистически однородных филиалов фирмы в таблице (цифры условные). Требуется:
А. Построить модель парной линейной прогрессии производительности труда от фактора фондовооруженности, определить коэффициент регрессии, рассчитать парный коэффициент корреляции, оценить тесноту корреляционной связи, найти коэффициент эластичности и бета – коэффициент: пояснить экономический смысл всех коэффициентов;
Б. Построить модель множественной линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- и энерго- вооруженности, найти все коэффициенты корреляции и детерминации, коэффициенты эластичности и - коэффициенты, пояснить экономический смысл всех коэффициентов.
Решение
А. Обозначим производительность труда через у – резтивный признак, два других признака фондовооруженость и энерговооруженность будут фак.х1 и х2. Рассмотрим линейную модель зависимости производительности труда – у от величины фондовооруженности – х1 это модель выражения линейной функции f вида у = а0 + а1*х1, параметры которой находят в результате решения системы нормального уровня, сформированных на основе метода наименьших квадратов, суть которого заключается в то, что бы сумма квадратов отклонений фактических уравнений ряда от соответствующих, выровненных по кривой роста значений была наименьшей.
а0*n+а_х1=_у
а0*_х1+а1*_х1^2=_(у*х1),
где суммирование приводится по всем
- n- группам,
- параметры а0 и а1можно рассчитать по формуле:
а1=
cov(х1*у) = ух1-ух1
var(х1) х2-2/х1
а0 = у-а1*х
10*а0+396*а1
= 959
396*а0+15838*а1 = 38856
Составим расчетную таблицу
Из расчета таблицы имеем
ух1 = 3885,60
х1 = 1583,80
Дополнительно рассчитываем
ух1 = 95,9*39,6 = 3797,64
х1 = (39,6)^2 = 1568.16
а1 = 3885,6-3797,64 = 87,96 = 5,624040
1583,8-1568,16 15,64
а0 = 95,9-5,624040*39,6 = -126,81,
таким образом однофакторная модель имеет вид:
у регр = а0+а1*х1
у регр = -126,812+5624041*х1
Полученное уравнение является уравнением парной регрессии, коэффициента а1 в этом уравнении называется коэффициентом регрессии. Знак этого коэффициента определяется направлением связи между у и х2. В нашем случае эта связь образуется а1 = +5,624040(+) – связь прямая.
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
Теснота
связи между у и х1 определяется
коэффициентом корреляции:
rух1 = V1-о у регр.^ 2/ оу^2 , где оу – средняя квадратная ошибка выборки у из значений таблицы
|
rух1 |
0.8809071 |
rух1 = V1-142.79937/637.49 = 0.8809071
Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь: rух1=0,881, следовательно, связь между производительностью труда и фондовооруженностью достаточно тесная.
Коэффициент детерминации rух1^2
|
rух1^2 |
0.7759974 |
Это означает, что фактором фондовооруженности можно объяснить 77,6% изменения производительности труда.
Коэффициент эластичности Эух1 = а1*х1 ср./ у ср.; Эух1 = 5,624040*39,6/95,9
|
Эух1 |
2,322336 |
Это означает, что при увеличении фондовооруженности на 1%, производительность труда увеличится на 2,3223%.
Бета коэффициент _ух1 = а1*ох1/оу,
_ух1 = 5,624040*V15.64/ V637,49 = 0,8809072
|
_ух1 |
0,8809072 |
Это значит, что увеличение фондовооруженности на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения производительности труда на 0,88 среднеквадратического отклонения.
Б. Модуль множественных регрессий рассматривается на периметре двухфакторной линейной модели, отражающей зависимость производительности труда у, от величины фондовооруженности (х1) и энерговооруженности (х2), модуль множественной регрессии имеет вид у = а0+а1у1+а2х2. Параметры модели а0,а1,а2, находятся путем решения системы нормальных уравнений:
а0*n+а1*Sх1+а2*Sх2=Sу
а0*Sх1+а1*Sх1^2+а2*S(х1*х2) = S(у*х1)
а0*Sх2+а1*S(х1*х2)+а2*Sх2^2 = Sу*х2)
10*а0+396*а1+787*а2
= 959
396*а0+15838*а1+31689*а2 = 38859
787*а0+31689*а1+64005*а2 = 78094
Рассчитаем таблицу
Решаем систему нормальным уравнением,методом Гаусса (метод исключения неизвестных).
Разделим каждое уравнение системы на коэффициент при а0 соответственно:
а0+39,6*а1+78,7*а2
= 95,9
а0+39,994949*а1+80,022727*а2 = 98,128787
а0+40,26556*а1+81,327827*а2 = 99,229987
из первогоуравнения системы вычитаем второе уравнение системы
а0+39,6а+78,7а2
= 95,9
а0 +39,994949а1+30,022727а2 = 98,128787
-0,394949-1,322727 = -2,228787
Из первого вычитаем третье уравнение:
а0+39,6а+78,7а2
= 95,9
а0+40,26556*а1+81,327827*а2 = 99,229987
-0,665563-2,627827 = -3,329987
получим систему с двумя неизвестными
0,394949*а1+1,322727а2
= 2,228787
0,665565*а1+2,627827а2 = 3,329987
Делим каждое уравнение на β при а1 соответственно:
а1+3,349108а2
= 5,643227
а1+3,948265а2 = 5,003248
из первого вычитаем второе
-0,599157а2 = 0,639979
|
а2 = -1,0681323 |
Полученное значение а2 подставим в уравнение с двумя неизвестными:
а1+3,349108а2 = 5,643227
а1 = 5,643227-3,349108*(-1,0681323)
а1 = 5,643227+3,577290
|
а1 =9,220517 |
Полученное значение а1 и а2 подставим в любое из уравнений с тремя неизвестными
а0+39,6а+78,7а2 = 95,9
а0 = 95,9-39,6 а1-78,7 а2
а0 = 95,9-39,6*9,220517-78,7*(-1,0681323)
а0 = 95,9-365,132473+84,062012
а0 = 185,170461
|
а0 = -185,170461 |
Получим модель:
у = а0+а1х1+а2х2
у = -185,170461+9,220517х1-1,0681323х2
Ответ: у = -185,170461+9,220517х1-1,0681323х2
Парные коэффициенты корреляции:
А. rух1 = ((у*х1)ср-уср*х1ср)/(оу*ох1)
|
rух1 |
0,881 |
Б. rух2 = ((у*х2)ср-уср*х2ср)/(оу*ох2), где ох2 = VS(х2-х2ср)^2/10
|
rух2 |
0,722 |
|
ох2 |
14,38 |
В. rх1х2 = ((х1*х2)ср-х1ср*х2ср)/(ох1*ох2)
|
rх1х2 |
0,921 |
Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее связь.
Коэффициент множественной корреляции:
А. rух1х2 = V(rух1^2+rух2^2-2*rух1*rух2*rх1х2)/(1-rх1х2^2)
|
rх1х2 |
0,91 |
Таким образом, степень тесноты связи производительности труда с факторами фондовооруженности и энерговооруженности является высокой.
Совокупный коэффициент детерминации:
|
rух1х2^2 |
0,829 |
Это означает, что совместное влияние двух факторов определяет 82,9% производительности труда.
Частные коэффициенты корреляции:
А. rух1(х2) = (rух1-rух2*rх1х2)/V(1-rух2^2)*(1-r х1х2^2)
|
rух1(х2) |
0,831 |
т.е. теснота связи между производительностью труда и фондовооруженностью, при энерговооруженности, значительная.
В. Rух2(х1) = (rух2-rух1*rх1х2)/V(1-rух1^2)*(1-r х1х2^2)
|
rух2(х1) |
-0,486 |
т.е. связи между производительностью труда и энерговооруженностью, при неизменной фондовооруженности, в данной выборке нет.
Частные коэффициенты эластичности:
А. эух1(х2) = а1*х1ср/уср
|
эух1(х2) |
3.807 |
т.е. при увеличении фондовооруженности на 1% и неизменной энерговооруженности, производительность труда увеличится на 3,807%.
Б. эух2(х1) = а2*х2ср/уср
|
эух2(х1) |
-0,877 |
т.е. при увеличении энерговооруженности, производительность труда не изменится.
Частные бета β коэффициенты:
А. βух1(х2) = а1*ох1/оу
|
βух1(х2) |
1,444 |
это означает, что при неизменной энерговооруженности, увеличение на величину среднеквадратического отклонения размера фондовооруженности приведет к увеличению средней производительности труда на 1,444 среднеквадратического отклонения.
Б. Βух2(х1) = а2*ох2/оу
|
βух2(х1) |
-0,6083377 |
это означает, что связи нет.