Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил
«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»
Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V>0>, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t).
Дано:
m = 4, кг
V>0> = 12, м/с
Q = 12, Н
R = 0,8V2, Н
L = 2.5, м
F>x> = -8cos(4t), Н
Определить:
Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ).
Решение:
1. Пусть
груз – материальная точка. Изобразим
и
.
Проведем ось Ax
и составим дифференциальное уравнение
в проекции на эту ось:
Далее
находим:
Учитывая, что V>x> = V:
или
Выведем:
где g = 10 м/с.
Тогда:
Разделяя переменные и интегрируя:
По Н.У. при x = 0: V = V>0>, откуда:
;
Получим:
;
Откуда:
и 
В
результате: 
Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим V>B>:
2. Рассмотрим движение на BC.
Рассмотрим
движение ВС (V>0>
= V).
Изобразим
,
,
и
.
или
,
где
При t=0; V = V>0> = V>B> = 8.29 м/с:
С>2> = V>B> = 8.29 м/с.
К-3 Вариант 18
авр
А
a>A>
C>v>
авр
a>c>
ацс
E>oa>>
>aцс>
>C
a>B>
W>oa>
a>B>
О В
Y
a>B>
X
Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 W>oa>=2 E>OA>=6
Найти: Ускорения во всех точках
Va=Woa*OA=20
Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45
Wab=Va/Cva=4/21/2
Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20
Vc=Wab*CCv=21/22*BC/2ctg45=521/2/2
a>A>bp= E>oa>*OA=60
a>A>цс=W>OA>2*OA=40
a>B>цс= W>OA>2*AB=80
a>B=> a>A>bp +a>A>цс +a>AB>ЦС +a>AB>bp
X: 21/2/2*a>B=> a>A>цс +a>AB>BP
Y: 21/2/2*a>B=> a>A>BP +a>AB>ЦС
a>AB>BP =========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100
E>AB>=100/10=10
a>B=> a>A>вp +a>A>цс +a>AC>ЦС +a>AC>вp
a>AC>вp = E>AB>*АВ=50
a>AC>ЦС= W>AВ>2*АС=40
X: 21/2/2*a>c=> a>A>цс +a>AB>BP
Y: 21/2/2*ac>=> a>A>BP +a>AB>ЦС
a>C>=( a>cx>2 +a>cy>2)1/2
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».
Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и
для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.
Исходные данные:
Решение:
Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:
-
траектория точки в координатной форме.
Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.
Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
Найдем
модуль касательного ускорения точки
по формуле:
-выражает
проекцию ускорения точки на направление
ее скорости. Знак «+» при
означает,
что движение точки ускоренное, направления
и
совпадают,
знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль
нормального ускорения точки:
;
Т.к. радиус кривизны известен, но в
качестве проверки применим другую
формулу для нахождения модуля нормального
ускорения:
Когда
найдено нормальное ускорение, радиус
кривизны траектории в рассматриваемой
точке определяется из выражения:
Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t>1> = 1 c):
|
Координаты (см) |
Скорость (см/с) |
Ускорение (см/с2) |
|
|||||||
|
x |
y |
Vx |
Vy |
V |
Wx |
Wy |
W |
Wτ |
Wn |
|
|
2.5 |
5.6 |
-5.4 |
3.2 |
6.3 |
-12 |
-8.3 |
14.6 |
5.5 |
13.5 |
2.922 |
кривизны
(см)Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.
На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени
Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.
Исходные данные:
Решение:
Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:
- траектория точки в
координатной форме.
Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:
По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:
Найдем
модуль касательного ускорения точки
по формуле:
-выражает
проекцию ускорения точки на направление
ее скорости. Знак «+» при
означает,
что движение точки ускоренное, направления
и
совпадают,
знак «-» значит, что движение замедленное.
Модуль
нормального ускорения точки:
;
Т.к. радиус кривизны не известен, применим
другую формулу для нахождения модуля
нормального ускорения:
Когда
найдено нормальное ускорение, радиус
кривизны траектории в рассматриваемой
точке определяется из выражения:
Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t>1> = 1 c):
|
Координаты (см) |
Скорость (см/с) |
Ускорение (см/с2) |
кривизны (см) |
||||||||||
|
x |
y |
z |
Vx |
Vy |
Vz |
V |
Wx |
Wy |
Wz |
W |
Wτ |
Wn |
|
|
2.5 |
5.6 |
3.5 |
-5.4 |
3.2 |
3.5 |
7.2 |
-12 |
-8.3 |
0 |
14.6 |
5.3 |
15.5 |
3.6 |
«Определение реакций опор твердого тела».
Задание: Найти реакции опор конструкции.
Дано:
Q = 6, кН
G = 2, кН
a = 60, см
b = 40, см
c = 60, см
Определить:
Реакции опор конструкции.
Решение:
К
раме ABCD
приложены сила тяжести
,
сила
,
реакция
стержня
DC
и реакции опор A
и B.
Реакция шарового шарнира А определяется
тремя составляющими:
,
а реакция петли В двумя:
.
Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.
Уравнения моментов сил относительно координатных осей:
Уравнения проекций сил на оси координат:
Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.
Результаты вычислений заносим в таблицу:
|
Силы, кН |
|||||
|
S |
X>A> |
Y>A> |
Z>A> |
X>B> |
Z>B> |
|
1.15 |
-6.57 |
0.57 |
-1 |
-12.57 |
2 |
Проверка:
Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.
В 18. Д – 1.
Дано: V>A> = 0, = 30, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и .
Решение:
Рассмотрим движение камня на участке
АВ. На него действуют силы тяжести G,
нормальная реакция N
и сила трения F.Составляем
дифференциальное уравнение движения
в проекции на ось X>1>
:
=
Gsin
- F
, (F
= fN
= fGcos)
=
gsin
- fgcos,
Дважды интегрируя уравнение, получаем:
=
g(sin
- fcos)t
+ C>1>
, x>1>
= g(sin
- fcos)t2/2
+ C>1>t
+ C>2>
,
По
начальным условиям (при t
= 0 x>10>
= 0 и
=
V>A>
= 0) находим С>1>
и С>2>
: C>1>
= 0 , C>2>
= 0,
Для
определения V>B>
и
используем условия: в т.B
(при t
= )
, x>1>
= ℓ ,
=
V>B>
. Решая систему уравнений находим:
x
>1>
= ℓ = g(sin
- fcos)2/2
2 = 9,81(sin30
- 0,1cos30)2/2
,
= 0,99 c
,
=
V>B>
= g(sin
- fcos)
V>B
>=
9,81(sin30
- 0,1cos30)0,99
= 4,03 м/с
,
Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения
в
проекции на оси X
, Y
:
=
0 ,
= G
,
Дважды
интегрируем уравнения:
=
С>3 >
,
=
gt
+ C>4>
,
x = C>3>t + C>5> , y = gt2/2 + C>4>t + C>6> ,
Для
определения С>3>
, C>4>
, C>5>
, C>6>
, используем начальные условия (при t
= 0): x>0>
= 0 , y>0>
= 0 ,
=
V>B>cos
,
=
V>B>sin
,
Отсюда
находим :
=
С>3>
,
C>3>
= V>B>cos
,
=
C>4
>,
C>4
>= V>B>sin
x>0> = C>5> , C>5> = 0 , y>0> = C>6> , C>6> = 0
Получаем
уравнения :
=
V>B>cos
,
=
gt
+ V>B>sin
x = V>B>cost , y = gt2/2 + V>B>sint
Исключаем параметр t : y = gx2 + xtg ,
2V2>B>cos2
В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение V>B> и d , находим h: h = 9,8132 + 3tg30 = 5,36 м ,
24,032cos230