Оптимизация сетевой модели комплекса производственных работ (работа 1)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
(ГОУ МГИУ)
Специальность: менеджмент организации
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по предмету "Экономико-математическое моделирование систем управления"
на тему "Оптимизация сетевой модели комплекса производственных работ"
Оглавление
Исходные данные
Введение
1. Построение сетевого графика
2. Анализ сетевого графика
3. Оптимизация сетевого графика
Заключение
Список литературы
Исходные данные
Вариант № 51.
|
События (предки) |
начало работ |
готовность деталей |
готовность документации |
поступление дополнительного оборудования |
готовность блоков |
|
События (потомки) |
|||||
|
готовность деталей |
изготовление деталей (4/3) |
||||
|
готовность документации |
подготовка документации (5/2) |
||||
|
поступление дополнительного оборудования |
закупка дополнительного оборудования (10/5) |
составление инструкций (11/6) |
|||
|
готовность блоков |
сборка блоков (6/4) |
||||
|
готовность изделия |
установка дополнительного оборудования (12/6) |
компоновка изделия (9/6) |
|
Работы |
Нормальный вариант |
Ускоренный вариант |
Прирост затрат на одни сутки ускорения |
||
|
Время (сутки) |
Затраты (у.е.) |
Время (сутки) |
Затраты (у.е.) |
||
|
изготовление деталей |
4 |
100 |
3 |
120 |
20 |
|
закупка дополнительного оборудования |
10 |
150 |
5 |
225 |
15 |
|
сборка блоков |
6 |
50 |
4 |
100 |
25 |
|
подготовка документации |
5 |
70 |
2 |
100 |
10 |
|
установка дополнительного оборудования |
12 |
250 |
6 |
430 |
30 |
|
составление инструкций |
11 |
260 |
6 |
435 |
35 |
|
компоновка изделия |
9 |
180 |
6 |
300 |
40 |
|
ВСЕГО |
1060 |
ВСЕГО |
1710 |
Заданная продолжительность выполнения всего комплекса производственных работ – 19 суток.
Введение
При планировании и оперативном управлении сложными комплексами взаимосвязанных работ используются методы сетевого планирования и управления (СПУ).
Спектр приложения СПУ в экономике чрезвычайно широк. Это календарное планирование, подготовка производства, освоение новой техники, внедрение новых технологий и т.д.
Основано СПУ на графическом изображении комплекса работ, т.е. работы в их логической последовательности и взаимосвязи представляются графической моделью – сетевым графиком (сетью).
С математической точки зрения сетевой график – это связанный орграф без петель и контуров. Под работой понимаются действия, трудовые процессы, сопровождающиеся затратами ресурсов или времени и приводящие к определенным результатам. Работа имеет начало и конец. Под событием понимают результат завершения одной или нескольких работ. Событие не является процессом, но является предпосылкой для выполнения работ, последующих за ним. Поэтому любая работа на сетевом графике может быть определена двумя событиями, между которыми она располагается.
До появления сетевых методов календарное планирование программ (т.е. планирование во времени) осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный (линейный) график Ганта, задававший сроки начала и окончания каждой операции на горизонтальной шкале времени.
При реализации некоторых программ может ставиться цель не просто обеспечения равномерного использования ресурсов, а ограничения максимальной потребности в них определенным пределом. Чтобы снизить потребность в ресурсах, приходится увеличивать продолжительность некоторых критических операций.
Повышение качества организационного управления можно достичь за счет улучшения качества управляющих решений, координации, контроля, и также за счет создания более совершенных систем. Применение математического моделирования позволяет резко повышать качество управляющих решений. Сетевые модели в виде графов могут точно описывать многие реально существующие системы. Такие модели более понятны практикам, чем другие методы исследования операций
Сетевые методы позволяют решать задачи проектирования больших оросительных систем, вычислительных комплексов, транспортных систем, систем связи, практические задачи, связанные со складированием, распределением товаров, календарным планированием выполняемых работ (сетевые графики проекта), заменой оборудования, контролем издержек, перевозками, работой систем массового обслуживания, обеспечением ритмичности производственного процесса, управлением запасами.
ПОСТРОЕНИЕ СЕТЕВОГО ГРАФИКА
Сетевой график - это связанный упорядоченный взвешенный орграф без контуров (петель). Если все соединения в графе изображаются дугами, то граф называется ориентированным, или орграфом. Граф называется связанным, если две любые его вершины можно соединить путем, в котором не учитывается ориентация дуг.
При построении сетевого графика необходимо следовать следующим правилам:
график должен иметь только одно начальное событие (исток) и только одно конечное событие (сток);
ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы;
ни одна работа, выходящая из какого-либо события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие;
график должен быть упорядоченным.
Построение сетевого графика необходимо начинать с выявления исходных работ модели. Если согласно условию некоторая работа может выполняться, не ожидая окончания каких-либо других работ, то такая работа является исходной в сетевой модели и ее начальным событием является исходное событие. Если исходных работ несколько, то их стрелки выходят все из одного исходного события.
Если, согласно условию, после окончания некоторой работы не должны выполняться никакие другие работы, то такая работа является завершающей работой сетевой модели и ее конечным событием является завершающее событие. Если завершающих исходных работ несколько, то их стрелки заходят все в одно завершающее событие.
Начальным событием-истоком I является «начало работ», а завершающим событием - стоком S – «готовность изделия». Поэтому пронумеруем их соответственно числами 1 и 6.
Из события 1 (по горизонтали) выходят две работы-дуги, которые ведут к соответствующим событиям по вертикали. Их обозначим по порядку 2 и 3. Соответствующим событиям по горизонтали присвоим те же числа.
Из события 2 (по горизонтали) выходит одна работа-дуга, ведущая к событию по вертикали, которое обозначим по порядку 4. То же событие по горизонтали обозначим тем же числом 4.
Из события 4 (по горизонтали) выходит вторая работа-дуга, ведущая к событию по вертикали, которое обозначим по порядку 5. То же событие по горизонтали обозначим тем же числом 5.
|
События (предки) |
начало работ (1) |
готовность деталей (2) |
готовность документации (4) |
поступление дополнительного оборудования (3) |
готовность блоков (5) |
|
События (потомки) |
|||||
|
готовность деталей (2) |
изготовление деталей (4/3) |
||||
|
готовность документации (4) |
подготовка документации (5/2) |
||||
|
поступление дополнительного оборудования (3) |
закупка дополнительного оборудования (10/5) |
составление инструкций (11/6) |
|||
|
готовность блоков (5) |
сборка блоков (6/4) |
||||
|
готовность изделия (6) |
установка дополнительного оборудования (12/6) |
компоновка изделия (9/6) |
Таким образом, у нас оказались пронумерованы все события. Используя эту нумерацию, а так же указанные веса дуг, построим график.
2 5
4/3 5/2 6/4
I
1 4 9/6
11/6
10/5
3
6
12/6 S
Полученный график оказался неупорядоченным, т.к. предок 4 предшествует потомку 3 (4<3). Поэтому эти числа необходимо поменять местами, чтобы получился упорядоченный граф - сетевой график.
Получим окончательный сетевой график.
2 5
4/3 5/2 6/4
I
1 3 9/6
11/6
10/5
4
6
12/6 S
График построен на основе данных о продолжительности работ, которые выполняются только после того как будут выполнены все предшествующие ей работы.
Используя полученную нумерацию событий в графике, изменим вторую таблицу исходных данных в задании. Она примет вид:
|
Работы |
Нормальный вариант |
Ускоренный вариант |
Прирост затрат на одни сутки ускорения |
||
|
Время (сутки) |
Затраты (у.е.) |
Время (сутки) |
Затраты (у.е.) |
||
|
1 - 2 |
4 |
100 |
3 |
120 |
20 |
|
1 - 4 |
10 |
150 |
5 |
225 |
15 |
|
3 – 5 |
6 |
50 |
4 |
100 |
25 |
|
2 - 3 |
5 |
70 |
2 |
100 |
10 |
|
4 - 6 |
12 |
250 |
6 |
430 |
30 |
|
3 – 4 |
11 |
260 |
6 |
435 |
35 |
|
5 - 6 |
9 |
180 |
6 |
300 |
40 |
|
ВСЕГО |
1060 |
ВСЕГО |
1710 |
Любой путь от истока к стоку называется полным.
Критическим называется наиболее продолжительный из полных путей;
работы, лежащие на этом пути, также называются критическими. Именно длительность критического пути определяет наименьшую общую продолжительность работ по проекту в целом.
Длительность выполнения всего проекта в целом может быть сокращена за счет сокращения длительности задач, лежащих на критическом пути. Соответственно, любая задержка выполнения задач критического пути повлечет увеличение длительности проекта. Концепция критического пути обеспечивает концентрацию внимания менеджера на критических работах. Однако основным достоинством метода критического пути является возможность манипулирования сроками выполнения задач, не лежащих на критическом пути.
Расчет полных путей:
При нормальном режиме
1) 1 – 4 – 6 => 10 + 12 = 22
2) 1 – 2 – 3 – 4 – 6 => 4 + 5 + 11 +12 = 32
3) 1 – 2 – 3 – 5 – 6 => 4 + 5 + 6 + 9 = 24
При ускоренном режиме
1) 1 – 4 – 6 => 5 + 6 = 11
2) 1 – 2 – 3 – 4 – 6 => 3 + 2 + 6 + 6 = 17
3) 1 – 2 – 3 – 5 – 6 => 3 + 2 + 4 + 6 = 15
Таким образом, критические пути при нормальном режиме число 32, при ускоренном число 17.
|
Полные пути |
Продолжительность (сутки) |
|
|
Нормальный режим |
Ускоренный режим |
|
|
1 – 4 – 6 |
22 |
11 |
|
1 – 2 – 3 – 4 – 6 |
32 |
17 |
|
1 – 2 – 3 – 5 – 6 |
24 |
15 |
ОПТИМИЗАЦИЯ СЕТЕВОГО ГРАФИКА
С каждой работой, имеющей определенный неизменный объем, связаны затраты на ее выполнение. Как правило, затраты на выполнение работы с неизменным ее объемом возрастают с уменьшением ее продолжительности и снижаются при увеличении ее продолжительности.
В связи с этим возможны варианты организации комплекса работ, отличающиеся продолжительностью его выполнения и затратами на его выполнение.
Для выбора наилучшего варианта служит оптимизация. Оптимальным считается тот вариант, который отвечает заданному критерию.
Оптимизация сетевого графика может осуществляться по следующим двум критериям:
- минимизация времени выполнения комплекса работ при заданных затратах на это выполнение;
- минимизация затрат на выполнение комплекса работ при заданном времени этого выполнения.
Таким образом, нельзя добиться выполнения комплекса работ одновременно в минимальные сроки и с наименьшими затратами.
Целью оптимизации по критерию является сокращение времени выполнения проекта в целом. Эта оптимизация имеет смысл только в том случае, когда длительность выполнения работ может быть уменьшена за счет дополнительных ресурсов, что влечет к повышению затрат на выполнение работ. Для оценки величины дополнительных затрат, связанных с ускорением выполнения той или иной работы, используются либо нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом.
Исходными данными для проведения оптимизации являются:
нормальная длительность работы;
ускоренная длительность;
затраты на выполнение работы в нормальный срок;
затраты на выполнение работы в ускоренный срок.
Требуется оптимизировать по критерию минимизации затрат сетевой график при заданной продолжительности выполнения всего комплекса работ за 19 суток.
Оптимизировать сетевой график по критерию минимизации затрат при заданной продолжительности выполнения всего комплекса работ можно двумя способами. Первый способ заключается в уменьшении продолжительности выполнения работ, начиная с тех, которые дают наименьший прирост затрат. Второй способ заключается в увеличении продолжительности выполнения работ, начиная с тех, которые дают наибольший прирост затрат. Определяемые любым из указанных способов оптимальные затраты должны иметь одинаковую величину.
Представим решение поставленной оптимизированной задачи первым способом (нормальный вариант выполнения комплекса работ) в таблице:
|
№ шага |
Сут. прир. затрат |
работа |
Количество сокращаемых суток |
Продолжительность полного пути |
Общий прирост затрат |
||
|
1-4-6 |
1-2-3-5-6 |
1-2-3-4-6 |
|||||
|
0 |
- |
- |
- |
22 |
24 |
32 |
- |
|
1 |
10 |
2-3 |
(3) 3 |
- |
21 |
29 |
30 |
|
2 |
15 |
1-4 |
(5) 5 |
- |
- |
- |
- |
|
3 |
20 |
1-2 |
(1) 1 |
- |
20 |
28 |
20 |
|
4 |
25 |
3-5 |
(2) 1 |
- |
19 |
- |
25 |
|
5 |
30 |
4-6 |
(6) 6 |
16 |
- |
22 |
180 |
|
6 |
35 |
3-4 |
(5) 3 |
- |
- |
19 |
105 |
|
7 |
40 |
5-6 |
(3) - |
- |
- |
- |
- |
|
В С Е Г О |
360 |
Такое снижение продолжительности рассматриваемой работы на 3 суток приведет к увеличению затрат на выполнение этой работы, а следовательно, и всего комплекса работ в размере: 3·10=30 у.е.
Работа 1-4, соответствующая второму шагу действия являются излишними и приводят только к неоправданному увеличению стоимости выполнения всего комплекса работ, т.е. к неоптимальному решению, поэтому этот шаг нужно пропустить.
Аналогично первому шагу рассматривается возможность снижения продолжительности работы 1-2 на третьем шаге:
По тем же причинам снижается продолжительность этой работы на максимально возможную величину, в двух полных путях, куда она входит. Так же считаются и дополнительные затраты.
Работа 3-5, соответствующая четвертому шагу, входит только во второй полный путь, и ее продолжительность может быть сокращена на 1 сутки, т.к. продолжительность данного пути будет соответствующей продолжительности всего комплекса работ. Большее сокращение приведет к неоправданным затратам. Затраты на это тоже пропорциональны 1 суткам.
На пятом шаге рассматривается работа 4-6, которая входит в первый и третий полные пути и ее продолжительность может быть сокращена на все 5 суток, т.к. продолжительность третьего полного пути на данном этапе пока выше требуемой.
На шестом шаге уменьшение продолжительности работы 3-4, входящей в третий полный путь, определяется продолжительностью более данного полного пути, соответствующей продолжительности всего комплекса работ. Поэтому эта продолжительность уменьшается на 3 суток и тем самым достигается заданная продолжительность всего комплекса работ.
Подсчитав суммарные дополнительные затраты на произведенное сокращение продолжительностей работ (360 у.е.) и зная первоначальную стоимость (1060 у.е.) всего комплекса работ в рассматриваемом нормальном варианте его выполнения, получим, что при снижении продолжительности выполнения всего комплекса работ с 32 суток до 19 суток оптимальные затраты составят 1060 + 360 = 1420 (у.е.)
Представим решение поставленной оптимизированной задачи вторым способом (ускоренный вариант выполнения комплекса работ) в таблице:
|
№ шага |
Сут. прир. затрат |
работа |
Количество сокращаемых суток |
Продолжительность полного пути |
Общий прирост затрат |
||
|
1-4-6 |
1-2-3-5-6 |
1-2-3-4-6 |
|||||
|
0 |
- |
- |
- |
11 |
15 |
17 |
- |
|
1 |
40 |
5-6 |
(3) 3 |
- |
18 |
- |
-120 |
|
2 |
35 |
3-4 |
(5) 2 |
- |
- |
19 |
-70 |
|
3 |
30 |
4-6 |
(6) - |
- |
- |
- |
- |
|
4 |
25 |
3-5 |
(2) 1 |
- |
19 |
- |
-25 |
|
5 |
20 |
1-2 |
(1) - |
- |
- |
- |
- |
|
6 |
15 |
1-4 |
(5) 5 |
16 |
- |
- |
-75 |
|
7 |
10 |
2-3 |
(3) - |
- |
- |
- |
- |
|
В С Е Г О |
-290 |
Рассматривая работу 5-6 на первом шаге, приходим к выводу, что ее продолжительность можно увеличить на максимально возможную величину 3 суток, т.к. он входит во второй полный путь.
Тогда затраты на эту работу, снизятся на 3·40=120 (у.е.), т.е. -120 у.е.
На втором шаге продолжительность работы 3-4 может быть увеличена только на 2 суток, т.к. при этом продолжительность третьего полного пути станет как требуемая в задании.
Третий шаг придется не использовать, т.к. увеличение продолжительности соответствующей ему работы 4-6 приведет к недопустимому увеличению продолжительности третьего полного пути, а следовательно, и всего комплекса работ.
Аналогично второму шагу, на четвертом - продолжительность работы 3-5 может быть увеличена только на 1 сутки, т.к. при этом продолжительность второго полного пути станет как требуемая в задании.
Пятый шаг придется не использовать, т.к. увеличение продолжительности соответствующей ему работы 1-2 приведет к недопустимому увеличению продолжительности второго и третьего полного пути, а следовательно, и всего комплекса работ.
Рассматривая работу 1-4 на шестом шаге, которая входит в первый полный путь, увеличиваем на максимально возможную величину 5 суток и получаем снижение затрат.
Последний седьмой шаг пропускаем, т.к. увеличение продолжительности соответствующих им работ приведет к недопустимому увеличению продолжительности второго и третьего полных путей, а следовательно, и всего комплекса работ.
Подсчитав суммарное снижение затрат из-за произведенного увеличения продолжительностей работ (-290 у.е.) и зная первоначальную стоимость (1710 у.е.) всего комплекса работ в рассматриваемом ускоренном варианте его выполнения, получим, что при увеличении продолжительности выполнения всего комплекса работ с 17 суток до 19 суток оптимальные затраты составят 1710 - 290 = 1420 (у.е.)
Итоговые результаты, полученные обоими способами, совпадают:
1) продолжительности соответствующих полных путей после оптимизации совпадают – 16, 19, 19;
2) стоимости выполнения всего комплекса работ после оптимизации совпадают – 1420.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Искусство экономико-математического моделирования состоит в выполнении двух противоречивых между собой требований:
с одной стороны, заменить сложный экономический объект его математической моделью для облегчения проводимых исследований;
с другой стороны, обеспечить адекватность математической модели моделируемому экономическому объекту.
В этой курсовой работе был построен сетевой график, проведен его анализ, и произведена оптимизация сетевого графика. Рациональность данных методик заключается в том, что они позволяют найти критический путь сетевого графика. Произведено решение двух основных задач сетевого планирования: задачу анализа оптимальности уже готового сетевого графика и задачу его оптимизации по длительности.
Заключение анализа сетевого графика состоит в том, чтобы выявить резервы времени работ, не лежащих на критическом пути, и направить их на работы, лимитирующие срок завершения комплекса работ. Результатом этого является сокращение продолжительности критического пути.
Сетевое планирование при реализации сложных проектов увеличивает эффективность работ и способствует уменьшению затрат.
Решение экономических задач с помощью метода математического моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом.
Список литературы:
Казаков О.Л., Миненко С.Н., Смирнов Г.Б. Экономико-математическое моделирование: учебно-методическое пособие. – М.: МГИУ, 2006 г. – 136 с.
Миненко С.Н., Казаков О.Л., Подзорова В.Н. Экономико-математическое моделирование производственных систем: Учебно-методическое пособие. – М.: ГИНФО, 2002 г. – 128 с.
Баев И.А., Ширяев В.И., Ширяев Е.В Экономико-математическое моделирование управления фирмой: М.: КомКнига, 2005г. – 224с.