Модель парной регрессии
Содержание
ТЕМА 1. Выборка и генеральная совокупность
Задача 1
ТЕМА 2. Модель парной регрессии
Задача 12
ТЕМА 3. Модель множественной регрессии
Задача 13
ТЕМА 4. Нестационарные временные ряды
Задача 23
ТЕМА 1. Выборка и генеральная совокупность
Задача 1
1. Найдите среднее число государственных вузов в России, если данные их статистического учета с 1994 по 2000г таковы
-
Год
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Число государственных вузов
548
553
569
573
578
582
584
2. Найдите вариацию числа государственных вузов в России за 1994 2000гг
Решение
Определим выборочное среднее государственных вузов в России, по зависимости учитывая, что n=7.
Найдем вариацию числа государственных вузов в России за 1994-2000г по формуле:
Таким образом, среднее число государственных вузов в России составляет 570 шт, а вариация 169.
ТЕМА 2. Модель парной регрессии
Задача 12
1. Предварительно
вычисленная ковариация двух рядов
составляет -4.32, а вариация ряда занятых
в экономике равна 7,24. Средние выборочные
равняются 68,5 и 5,87 соответственно. Оцените
параметры линейного уравнения парной
регрессии
.
Решение
Оценим параметры линейного уравнения парной регрессии
Зная выборочные ковариацию и вариацию, вычислим параметр b по формуле (4)
а параметр a по зависимости
На основании полученных данных уравнение парной регрессии примет вид
Определим объясненную сумму квадратов отклонений ESS по формуле (8)
ТЕМА 3. Модель множественной регрессии
Задача 13
В таблице представлены ряды данных по продовольственным ресурсам (производству
и импорту
) и личному потреблению картофеля y (млн. тонн) за 9 лет
-
Год
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
30.8
34.3
38.3
37.7
33.8
39.9
38.7
37
31.4
1.1
1.2
0.4
0.2
0.1
0.1
0.1
0.2
0.33
y
15.7
16.7
17.5
18.8
18
18.3
18.5
19.1
18
Рассчитать вариации и попарные ковариации для этих рядов.
По данным таблицы построить уравнение регрессии, приняв личное потребление картофеля за зависимую переменную, а производство
и импорт
- за объясняющие. Рассчитать коэффициенты при объясняющих переменных.
Для регрессии, описывающей линейную зависимость потребления картофеля от производства
и импорта
, определить свободный коэффициент a.
Рассчитать значения личного потребления y картофеля, используя полученное в задаче уравнение регрессии.
Рассчитать общую, объясненную и необъясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии для личного потребления y картофеля.
Используя полученные в предыдущем пункте TSS и ESS, рассчитать коэффициент детерминации для регрессии по картофелю.
Решение
Определим
выборочные средние
,
и
по
формуле (1) при числе наблюдений: n=9
млн.
т
млн. т
млн. т
Рассчитаем
вариации и попарные ковариации для этих
рядов. Вариации для рядов объясняющих
переменных
и
можно вычислить по зависимостям (11)
А вариацию зависимой переменной y по зависимости (12)
Попарные ковариации для этих рядов определяются по (13) как
По данным таблицы построим уравнение регрессии
,
Приняв личное
потребление фруктов за зависимую
переменную, а производство
и импорт
- за объясняющие, предварительно рассчитав
коэффициенты при объясняющих переменных.
Расчет
коэффициентов
и
производим по зависимостям (15) и (16)
Для регрессии,
описывающей линейную зависимость
потребления фруктов от производства
и импорта
,
определить свободный коэффициент a.
Свободный
коэффициент
уравнения регрессии вычисляется как
млн.
т
Рассчитаем значения личного потребления y фруктов, используя полученное в задаче уравнение регрессии.
Расчет
значений
по зависимости
сведен в табл.2.
Таблица 2
-
Год
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
16.16
16,21
18,04
18,38
18,31
18,73
18,65
18,33
17,68
-
-1,68
-1,63
0,56
0,54
0,47
0,89
0,81
0,49
-0,16
(
-
)2
2,82
2,66
0,3
0,3
0,2
0,8
0,7
0,24
0,03
y>i>
15,7
16,7
17,5
18,8
18
18,3
18,5
19,1
18
(y>i> -
)
-2,14
-1,14
-0,34
0,96
0,16
0,46
0,67
1,26
0,16
(y>i> -
)2
4,58
1,3
0,12
0,92
0,03
0,21
0,45
1,59
0,03
Рассчитаем общую и объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии для личного потребления y фруктов.
Определим объясненную сумму квадратов отклонений ESS по формуле (8)
с помощью результатов, приведенных в табл.2. Тогда получим
Общая сумма квадратов отклонений ТSS находится по зависимости (9)
с использованием данных табл.2. Суммируя результаты, приведенные в последней строке этой таблицы, получим
Используя
полученные в предыдущем пункте величины
TSS
и ESS,
рассчитаем коэффициент детерминации
для
регрессии по фруктам в соответствии с
(7) как отношение ESS
к TSS
Оценим теперь
коэффициент корреляции для фактических
y и
прогнозных значений
.
Фактически, коэффициент детерминации
равен квадрату выборочной корреляции
между y
и
,
т.е.
В соответствии с зависимостью (20) имеем
,
Вывод: Полученная величина коэффициента корреляции лежит в диапазоне 0,7-0,9, что указывает на хорошее состояние соответствия уравнения регрессии фактическому изменению величины у.
ТЕМА 4. Нестационарные временные ряды
Задача 23
По данным таблицы в задаче 18, где представлены данные по личным потребительским расходам на газ (млн. долл.) с 1969 по 1983гг. (США), с помощью критерия, основанного на критерии восходящих и нисходящих серий, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда.
В таблице представлены данные по личным потребительским расходам на газ (млн. долл.) с 1969 по 1983гг. (США)
-
Год
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
расходы
6200
6300
6400
6600
6400
6500
6600
6700
-
Год
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
расходы
6500
6700
6600
6600
6300
6400
6000
Решение
Определяем число наблюдений n=15. Для нахождения медианы производим ранжирование временного ряда, т.е. записываем все значения ряда по порядку от минимального до максимального:
6000,6200,6300,6300,6400,6400,6400,6500,6500,6600,6600,6600,6600,6700,6700.
Поскольку число наблюдений n нечетное, то вычисляем медиану по формуле ( )
Теперь вместо исходного временного ряда, содержащегося в таблице, создаем ряд из плюсов и минусов согласно правилу:
«+» если
и «-» если
. Члены
не учитываются
Ряд, состоящий из плюсов и минусов, имеет вид
«>+>», «+»,«+», «+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+», «+».
Глядя на
полученный ряд из плюсов и минусов,
определяем общее число непрерывных
серий из плюсов и из минусов
.
В данном случае
.
Определяем протяженность самой длинной
серии
.
Проверяем выполнение неравенств
Вывод. Поскольку ни одно из неравенств не выполняется (4<5, а 6>4), то гипотеза о неизменности среднего значения отвергается с вероятностью ошибки от 0,05 до 0,0975.
Список литературы
Эконометрика. Юниты 1,2,3. //Разработка С.Б.Давыдовой. -М.:Современная гуманитарная академия. -2006.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело. 2001.- 400с.
Афанасьев В.Н., Юзданцев М.М., Гуляева Т.Н. Эконометрика. Учебник. – М.: Финансы и статистика., 2006.
Елисеева Н.Н., Кудряшова С.В., Костеева Т.В. . Эконометрика. Учебник. М.: Финансы и статистика., 2005.-576с.
Бородин С.А. Эконометрика: учебное пособие. – М.: Новое издание, 2001.
Колемаев В.А. Эконометрика. Учебник. – М.: ИНФРА – М, 2005 -160с.