Моделирование экономических систем (работа 2)
Задание 1
Раскрыть сущность экономико-математической модели. Привести классификацию экономико-математических моделей; дать понятие экономико-математического моделирования и рассмотреть его этапы.
С понятием «моделирование экономических систем» (а также математических и др.) связаны два класса задач:
задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область будущего моделирования.
Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).
Модель – изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.
Различают физическое и математическое моделирование.
Классификация моделей:
— вещественные
— символьные
— словесно-описательные
математические
аналитические
имитационные
структурные
= формальные
= функциональные
Этапы практического моделирования
Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования.
Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации.
Верификация модели и уточнение ее параметров
Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их необходимая валидация (исправление, корректирование).
Задание 3
В качестве примера построим модель оптимального размещения активов для некоторого гипотетического банка, работающего более двух лет, баланс которого приводится в таблицах ниже.
Пассив баланса
|
Наименование статей баланса |
Сумма, млн. руб. |
Риск одновременного снятия, % |
|
Средства банков на корреспондентских счетах |
5,1 |
25 |
|
Кредиты и депозиты банков (включая НБ РБ) |
||
|
Кредитные ресурсы, полученные от других банков, депозиты других банков до востребования |
2,8 |
55 |
|
Кредитные ресурсы, полученные от других банков, и депозиты других банков с договорными сроками |
3,4 |
0 |
|
Средства клиентов |
||
|
Остатки на текущих (расчетных) счетах юридических и физических лиц |
196 |
25 |
|
Вклады (депозиты) юридических и физических лиц: |
||
|
до востребования |
5,8 |
25 |
|
с договорными сроками |
85 |
|
|
Прочие пассивы |
7,6 |
|
|
Итого пассивов |
305,7 |
|
|
Собственный капитал банка |
68 |
Актив баланса
|
Наименование статей баланса |
Сумма, млн. руб. |
Доход-ность, % |
Степень риска, % |
Ликвид-ность, % |
|
Касса и приравненные к ней средства |
х>1> |
0 |
0 |
100 |
|
Средства на корреспондентских счетах в банках |
||||
|
Средства в НБ РБ |
х>2> |
0 |
0 |
100 |
|
Средства в банках стран – членов ОЭСР до востребования |
х>3> |
5 |
30 |
75 |
|
Средства в банках стран, не являющихся членами ОЭСР, до востребования |
х>4> |
7 |
65 |
55 |
|
Обязательные резервы в НБРБ |
33,5 |
0 |
0 |
0 |
|
Кредиты и депозиты банкам |
||||
|
Кредиты банкам-резидентам РБ под обеспечение государственных ценных бумаг РБ в бел. руб. |
х>5> |
32 |
0 |
100 |
|
Депозиты в банках-резидентах РБ под гарантии НБ РБ |
х>6> |
25 |
0 |
100 |
|
Кредиты юридическим и физическим лицам: |
||||
|
обеспеченные залогом ценных бумаг, эмитированных юридическими лицами |
х>7> |
38 |
100 |
0 |
|
обеспеченные гарантийными депозитами в бел. руб. и СКВ |
х>8> |
33 |
0 |
0 |
|
обеспеченные залогом имущества |
х>9> |
39 |
100 |
0 |
|
обеспеченные гарантиями и поручительствами юридических лиц |
х>10> |
34 |
100 |
0 |
|
Государственные ценные бумаги РБ, номинированные в бел. руб. |
х>11> |
25 |
0 |
100 |
|
Основные средства и нематериальные активы |
12,4 |
0 |
100 |
0 |
Запишем целевую функцию, в данной модели представляющую процентный доход банка от размещения активов, который следует максимизировать:
f(x)= 0,05х>3> + 0,07х>4> + 0,32х>5> + 0,25х>6> + 0,38х>7> + 0,33х>8> + 0,39х>9> +
+ 0,34х>10> + 0,25х>11>→max
Первое ограничение следует из условия баланса: сумма активных статей баланса должна быть равна сумме пассивных его статей + собственный капитал
х>1> + х>2> + х>3> + х>4> + 33,5 + х>5> + х>6> + х>7> + х>8> + х>9> + х>10> + х>11> + 12,4 = 373,7
Второе ограничение следует из норматива по достаточности капитала, при этом предположим, что R = 0
>
>
Третье ограничение следует из норматива мгновенной ликвидности, которое представляет собой отношение балансовых сумм активов и пассивов до востребования и с просроченными сроками:
>
>
Четвертое ограничение следует из норматива краткосрочной ликвидности, которое представляет соотношение фактической и требуемой ликвидности:
>
>
Пятое ограничение запишем исходя из минимально допустимого значения соотношения ликвидных и суммарных активов баланса:
>
>
Шестое ограничение следует из ограниченности совокупной суммы крупных рисков.
Пусть х>5>≥0,1×68 и х>6>≥0,1×68, тогда
х>5> + х>6>≤6×68
Седьмое ограничение следует из ограниченности средств, размещенных в банках стран — не членов ОЭСР
х>4>≤68
Далее запишем ограничения, вытекающие из норматива максимального размера риска на одного клиента, считая для простоты, что одна статья баланса соответствует одному клиенту:
х>3>≤0,25×68;
х>4>≤0,25×68;
х>5>≤0,25×68;
х>6>≤0,25×68;
х>7>≤0,25×68;
х>8>≤0,25×68;
х>9>≤0,25×68;
х>10>≤0,25×68
В
завершение напишем условие неотрицательности:
х>j>> >≥ 0, j = 1,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
Таким образом, все вышеперечисленные ограничения представляют собой модель оптимального распределения активов банка с рассмотренным выше балансом.
Задание 4
Построить уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли банка (у) от объема межбанковских кредитов и депозитов (х), оценить ее качество и степень зависимости. С помощью построенной регрессии прогнозировать, какой будет средняя прибыль банка при достижении объема межбанковских кредитов и депозитов величины 53 млн. руб.
|
№ банка |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Кредиты и депозиты |
18 |
23 |
28 |
29 |
34 |
36 |
37 |
42 |
44 |
45 |
49 |
50 |
|
Прибыль |
12 |
17 |
15 |
25 |
20 |
32 |
25 |
35 |
30 |
40 |
41 |
45 |
Решение
Информацию, представленную в исходных данных представим графически:
Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов носит линейный характер. Кроме того, исследуется зависимость прибыли банка только от одного фактора — объема межбанковских кредитов и депозитов, поэтому регрессию будем строить в виде
у = а + bх
т.е. это будет простая линейная регрессия. Для расчета ее параметров воспользуемся известными формулами:
>
>
Для этого в рабочей таблице рассчитаем нужные суммы:
|
i |
x>i> |
y>i> |
x>i>y>i> |
x>i>2 |
y>i>2 |
|
1 |
18 |
12 |
216 |
324 |
144 |
|
2 |
23 |
17 |
391 |
529 |
289 |
|
3 |
28 |
15 |
420 |
784 |
225 |
|
4 |
29 |
25 |
725 |
841 |
625 |
|
5 |
34 |
20 |
680 |
1156 |
400 |
|
6 |
36 |
32 |
1152 |
1296 |
1024 |
|
7 |
37 |
25 |
925 |
1369 |
625 |
|
8 |
42 |
35 |
1470 |
1764 |
1225 |
|
9 |
44 |
30 |
1320 |
1936 |
900 |
|
10 |
45 |
40 |
1800 |
2025 |
1600 |
|
11 |
49 |
41 |
2009 |
2401 |
1681 |
|
12 |
50 |
45 |
2250 |
2500 |
2025 |
|
∑ |
435 |
337 |
13358 |
16925 |
10763 |
Подставим результаты, полученные в таблице в формулы:
>
>
>
>
Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов, имеет вид:
у = –7,71 + 0,987х
Оценим качество построенной регрессии. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, используя формулу:
>
>
Значение коэффициента детерминации достаточно близко к единице, поэтому качество построенной регрессии хорошее. Можно утверждать, что изменение прибыли банка на 86,8% зависит от изменения межбанковских кредитов и депозитов, и на 13,2% – от прочих факторов.
Степень зависимости между исследуемыми показателями оценивается на основании коэффициента корреляции:
>
>
Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому имеем достаточно сильную линейную зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов.
Так как качество построенной регрессии хорошее, ее можно использовать для прогнозирования. Подставим прогнозное значение х>пр> = 53 в построенное уравнение регрессии:
у>пр> = –7,71 + 0,987×53 = 44,623 (млн. руб.)
Таким образом, если объем межбанковских кредитов и депозитов достигнет 53 млн. руб., то средняя прибыль коммерческого банка составит 44 млн. 623 тыс. руб.
Задание 5
За компаниями A, B и С проводились наблюдения в течение трех периодов. Данные в процентах приводятся в таблице ниже. Оценить ожидаемую доходность и риск каждой акции, на основании этих оценок дать сравнительную характеристику. Рассчитать ковариации доходностей акций друг с другом. Дать определение эффективного портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющие определить структуру эффективных портфелей.
|
Период наблюдения |
Доходность компании А |
Доходность компании В |
Доходность компании С |
|
1 |
27 |
25 |
22 |
|
2 |
30 |
20 |
18 |
|
3 |
33 |
26 |
16 |
Решение
Оценим ожидаемую доходность каждой акции:
>
>
Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:
>
>
Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.
Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:
>
>
>
>
>
>
Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний А и С отрицательна, т.е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.
Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.
пусть х>А>, х>В>, х>С> — доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т.е.:
х>А> + х>В> + х>С> = 1
Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:
>
>
а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой
>
>
то,
подставляя рассчитанные значения
вариаций, ковариаций, получаем модели,
определяющие структуру эффективных
портфелей:
>
>
>
>
х>А> + х>В> + х>С> = 1
>
>
>
>
х>А> + х>В> + х>С> = 1
Задание 6
Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/€ = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/€ = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/€ = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.
Решение
В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:
А>1> — разместить 500000 руб. на еврорынке;
А>2>— разместить 500000 руб. на рынке США;
А>3>— разместить 250000 руб. на рынке США и 250000 руб. на еврорынке.
У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3×2 в соответствии с количеством стратегий.
Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.
Рассчитаем элемент платежной матрицы а >11>:
1. Конвертируем валюту:
500000/37,7 = 13262,6 €
2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:
13262,6×(1+0,077/12) = 13347,7 €
3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:
13347,7×36,3 = 484,521 руб.
4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:
500000×(1+0,075/12) = 503125 руб.
5. Находим чистый доход от операции
484521,6 – 503125 = –18603,4 руб.
Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:
|
|
П1 |
П2 |
|
A1 |
-18603,45 |
6757,18 |
|
A2 |
7344,87 |
-21617,96 |
|
A3 |
5629,29 |
7430,39 |
Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:
Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А>3>, т.е. разместив по 250000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.
Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:
|
|
П1 |
П2 |
|
A1 |
25948,32 |
673,20 |
|
A2 |
0,00 |
29048,34 |
|
A3 |
1715,59 |
0,00 |
Стратегия А>3> соответствует минимальному из максимальных рисков, т.е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250000 руб. на обоих рынках.
Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр γ в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:
a>1> = 0,4×(-18603,45) + 0,6×6757,18 = -3387,07
a>2> = 0,4× (-21617,96) + 0,6×7344,87 = -4240,26
a>3> = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95
Таким образом при γ = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250000 руб. на обоих рынках.
4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а>1>, а>2>, а>3>:
a>1> = 0,4× (-18603,45) + 0,6× 6757,18 = -3387,07
a>2> = 0,4×7344,87 + 0,6× (-21617,96) = -10032,82
a>3> = 0,4×5629,29 + 0,6×7430,39 = 6709,95
Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А>3>.
Задание 7
Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.
Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.
|
Номер проекта |
I>0> |
Доходы по годам |
||||
|
первый |
второй |
третий |
четвертый |
пятый |
||
|
первый |
1250 |
-200 |
600 |
1200 |
1300 |
1400 |
|
второй |
1300 |
100 |
830 |
700 |
570 |
720 |
|
третий |
1400 |
500 |
250 |
400 |
320 |
710 |
|
четвертый |
2200 |
-330 |
1000 |
1150 |
1600 |
1800 |
Решение
Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:
>
>
i = 1,2,3,4
Отсюда:
NPV>1> = 1258,12
NPV>2> = 558,68
NPV>3> = 22,78
NPV>4> = 835,05
Введем переменные. Пусть х>i>, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если х>i> = 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если х>i> = 1, то i-й проект следует инвестировать.
Используя введенные переменные запишем целевую функцию:
NPV = 1258,12х>1> + 558,68х>2> + 22,78х>3> + 835,05х>4>
Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.
Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:
1250х>1> + 1300х>2> + 1400х>3> + 2200х>4>≤5600
Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:
-200х>1> + 100х>2> + 500х>3> - 300х>4>≥0
Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:
100х>1> + 90х>2> + 120х>3> + 160х>4>≤450
Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:
100х>1> + 120х>2> + 120х>3> + 150х>4>≤450
Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:
х>2> + х>3> ≤1
Модель
оптимального распределения инвестиций
по проектам состоит в максимизации
целевой функции при ограничениях, т.е.
NPV = 1258,12х>1> + 558,68х>2> + 22,78х>3> + 835,05х>4> (max)
1250х>1> + 1300х>2> + 1400х>3> + 2200х>4>≤5600
-200х>1> + 100х>2> + 500х>3> - 300х>4>≥0
100х>1> + 90х>2> + 120х>3> + 160х>4>≤450
100х>1> + 120х>2> + 120х>3> + 150х>4>≤450
х>2> + х>3> ≤1
0,
если i-й проект не
инвестировать
x>i> =
1, если i-й проект инвестировать, i=1,2,3,4