Методы и модели в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО Омский государственный технический университет

Кафедра «Экономика и организация труда»

Контрольная раБОтА

по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Вариант 28

Выполнил:

студент гр. ЗУТ-217

Чупраков Д. А.

Проверила:

__________ Е. Н. Казанцева

«___» ___________ 2009 г.

Омск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача №1

1. Составить математическую модель задачи.

Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.

Магазины Склады	№1	№2
№1	20 руб.	45 руб.
№2	30 руб.	20 руб.
№3	40 руб.	35 руб.

Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?

Решение

Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.

Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i	Пункты потребления, j	Объем производства
	1	2	3
1	20	45	0	15
2	30	20	0	20
3	40	35	0	30
Объем потребления (спрос)	25	35	5	65

Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты производства, i	Пункты потребления, j	Объем производства
	1	2	3
1	20 15	45 -	0 -	15/0
2	30 10	20 10	0 -	20/10/0
3	40 -	35 25	0 5	30/5/0
Объем потребления	25/10/0	35/25/0	5/0	65

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

20 15	45 -	0 -	u_>1>=0
30 10	20 10	0 -	u_>2>=-10
40 -	35 25	0 5	u_>3>=-25
v_>1>=20	v_>2>=10	v_>3>=-25

Система для плана имеет вид:

Полагая u_>1>=0, находим значения всех потенциалов: v_>1>=20, v_>2>=10, u_>2>=-10, v_>3>= - 25, u_>3>= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

	0	-35	-25	u_>1>=0
	0	0	-15	u_>2>=-10
∆¹=	10	-10	-5	u_>3>=-25
	v_>1>=20	v_>2>=10	v_>3>=-25

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К_>31>.

-30

+20

∆¹=

+40

-35

Θ == 10. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

20 15	45 -	0 -	u_>1>=0
30 -	20 20	0 -	u_>2>=-5
40 10	35 15	0 5	u_>3>=-20
v_>1>=20	v_>2>=15	v_>3>=-20

Система для плана имеет вид:

Полагая u_>1>=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

	0	-35	-20	u_>1>=0
	-5	0	-15	u_>2>=-5
∆¹=	0	0	0	u_>3>=-20
	v_>1>=20	v_>2>=15	v_>3>=-20

Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х _>оптим>= (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).

Ответ: Х _>оптим>= (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.

Задача №2

2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .

Решить симплекс-методом

РЕШЕНИЕ

а) Решим задачу графически при

z = 3x_>1> – 2x_>2>→ max

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).

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

Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x_>1> – 2x_>2>→ max

Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:

б) Решим задачу графически при

z = 3x_>1> – 2x_>2>→ min

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).

Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x_>1> – 2x_>2>→ min

Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:

Ответ: а) Функция z = 3x_>1> – 2x_>2>→ max и равна 21 в точке (7;0).

б) Функция z = 3x_>1> – 2x_>2>→ min и равна - 2 в точке (0;1).

Задача №3

Решить методом потенциалов транспортную задачу, где – цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .

Решение

Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пункты производства, i	Пункты потребления, j	Объем производства
	1	2	3	4
1	6	8	4	2	10
2	5	6	9	8	10
3	4	2	3	8	15
4	0	0	0	0	13
Объем потребления (спрос)	5	8	15	20	48

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты производства, i	Пункты потребления, j	Объем производства
	1	2	3	4
1	6 5	8 5	4 -	2 -	10/5/0
2	5 -	6 3	9 7	8 -	10/7/0
3	4 -	2 -	3 8	8 7	15/7/0
4	0 -	0 -	0 -	0 13	13/0
Объем потребления	5/0	8/3/0	15/8/0	20/13/0	48

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

u_>1>=0

u_>2>=2

u_>3>=8

u_>4>=16

v_>1>=6

v_>2>=8

v_>3>=11

v_>4>=16

Система для плана имеет вид:

Полагая u_>1>=0, находим значения всех потенциалов: v_>1>=6, v_>2>=8, u_>2>=2,v_>3>=11, v_>4>=16, u_>3>=8, u_>4>=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

	0	0	7	14	u_>1>=0
	-1	0	0	6	u_>2>=2
∆¹=	-6	-2	0	0	u_>3>=8
	-10	-8	-5	0	u_>4>=16
	v_>1>=6	v_>2>=8	v_>3>=11	v_>4>=16

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К_>14>.

- 8

- 9

∆¹=

- 8

Θ == 5. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

u_>1>=0

u_>2>=-12

u_>3>=-6

u_>4>=2

v_>1>=6

v_>2>=-6

v_>3>=-3

v_>4>=2

Система для плана имеет вид:

Полагая u_>1>=0, находим значения всех потенциалов: v_>1>=6, v_>2>=-6, u_>2>=-12,v_>3>=-3, v_>4>=2, u_>3>=-6, u_>4>=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .