Доказательство и его составляющие

В повседневных рассуждениях и тем более в науках стремятся располагать суждения в определенном порядке, в котором переход от одного суждения к другому обоснован логически. Эту последовательность суждений мы называем доказательством.

Если ставится цель установить ложность какого-то суждения, то такое доказательство называется опровержением. Отличие опровержения от доказательства заключается лишь в исследовательской ситуации. Поэтому, все, что говорится о доказательстве, автоматически распространяется на опровержение.

Идеальным для каждой науки был такой способ рассмотрения, который позволял бы доказывать каждое утверждение этой науки.

Однако легко видеть, что этот идеал никогда не может быть осуществлен. Действительно, пытаясь доказать какое-то суждение, мы по необходимости обращаемся к другим положениям, доказывая, в свою очередь, истинность этих положений мы, не впадая в порочный круг, вынуждены обратиться к новым положениям и т.д. Таким образом, перед нами начало процесса, который никогда не может прийти к концу и который, фигурально выражаясь, может быть охарактеризован как бесконечный регресс - regressus in infinitum.

И тем не менее доказывать приходится. Как компромисс между этим недостижимым идеалом и осуществимыми возможностями некоторые суждения помещаются в доказательство без ссылок на другие суждения Тогда они объявляются или аксиомами (при аксиоматическом методе) или допущениями (при гипотеко-дедуктивном методе).

Всякое доказательство состоит из трех частей: тезиса, аргументов или доводов и демонстрации.

Тезис (теорема в математике) - это положение, истинность которого требуется доказать или опровергнуть. Истинность (ложность) доказываемого тезиса обычно не очевидна. Так, трудно усмотреть, что площадь круга равна пr^2.истинность этой теоремы устанавливается доказательством. Но и очевидность также обманчива.

Нам кажется, что Солнце вращается вокруг Земли (люди долгое время верили, а многие и сейчас верят, что это так). Доказательство того, что это не так и что птоломеевская модель мироздания иллюзорна, составило главный смысл всех рассуждений Н. Коперника о структуре мироздания.

Аргументы или доводы - это положения, истинность которых установлена тем или иным путем независимо от тезиса, и которые используются в качестве посылок для вывода из них тезиса. Так, при доказательстве теоремы о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, в качестве аргументов используется положение о том, что накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых третьей прямой, равны, а также положение о том, что сумма смежных углов равна двум прямым. В качестве аргументов того, что движущими факторами эволюции видов является, борьба за существование и естественный отбор, Ч. Дарвин привел в своей книге "Происхождение видов" целый Монблан несомненных фактов.

Демонстрация - это последовательная связь положений, которая призвана проиллюстрировать, что тезис логически следует из аргументов.

Всякое доказательство состоит из системы логически правильных умозаключений. Поскольку умозаключения могут быть или дедуктивными или индуктивными, то и доказательства можно разделить на дедуктивные и индуктивные. В дедуктивных доказательствах тезис всегда есть частное суждение. Его истинность устанавливается посредствам демонстрации того, каким образом он логически следует из аксиом, общезначимых истин или ранее доказанных положений.

Этим типично евклидовским способом мы доказываем теоремы математики, теоретической механики, физики, положения многих других наук.

В индуктивных доказательствах, напротив, тезис всегда есть общее суждение, и он обосновывается с помощью частных и даже единичных суждений. Индуктивные доказательства широко используются в эмпирических науках, например, в биологии, медицине, социологии.

Принято различать прямые доказательства и косвенные доказательства. В прямых доказательствах доказывается истинность тезиса. Так, истинность многих теорем геометрии, например, теоремы о том, что в прямоугольном треугольнике сумма оставшихся острых углов равна прямому углу и др. устанавливается прямым доказательством.

В косвенных доказательствах истинность тезиса обосновывается посредствам установления ложности другого суждения, связанного с тезисом. Косвенное доказательство подразделяется на два вида: апогогические косвенные доказательства или доказательства от противного и разделительные косвенные доказательства. В апологических косвенных доказательствах, они известны нам под названием приведение к абсурду (reduction ad absurdum), истинность тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения.

Так, теорему о том, что прямые а и в, параллельные третьей прямой с параллельны между собой доказывается так. Предположим, что прямые а и в не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и выходит, что через эту точку можно привести две прямые а и в, параллельные прямой с, а это противоречит аксиоме о параллельных прямых.

Разделительное косвенное доказательство ведется по одной из схем разделительно-категорического силлогизма, т.е. так:

Каждое А есть либо В, либо С

Данное А есть В

Значит, А не есть С

Каждое А есть либо В, либо С

Данное А не есть В

Значит, А есть С

Так, если установлено, что имело место преступление, которое могли совершить лица А, В, С, Д и если кроме того установлено, что лица В, С, Д имеют алиби, то тем самым считается доказанным, что преступление совершило лицо А.

Для того, чтобы доказательство действительно обосновывало тезис, надо соблюдать ряд правил. Рассмотрим основные из них, связанные с законами тождества, непротиворечия, исключенного третьего и достаточного основания, а также типичные ошибки в доказательства, вытекающие из несоблюдения этих законов (разумеется, ошибки в доказательствах могут иметь своим источником и нарушение правил умозаключении).

Из закона тождества вытекают два правила:

Тезис и аргументы должны быть суждениями ясными и точно определенными. Невозможно, например, решить вопрос, в котором часу в Сан-Франциско полдень, если не ясно, идет ли речь о полудне по местному времени или по стандартному времени.

Тезис должен оставаться тождественным на протяжении всего доказательства. Типичная ошибка, которая совершается при нарушении этого правила именуется, "подмена тезиса". Часто эту ошибку сознательно или бессознательно делают в длинных речах, когда кто-то, убеждаясь, что открыто доказать выставленный тезис он не может, и подменяет его новым тезисом, внешне похожим на доказываемый, но имеющий совершенно другое содержание. При этом делается вид, что доказывается истинность первого тезиса. Например, желая доказать что-либо несправедливое в моральном смысле, в место этого доказывают, что это несправедливо в логическом смысле (или наоборот).

Из закона непротиворечия и закона исключенного третьего вытекают три правила:

Тезис не должен содержать в себе противоречия. Нарушение этого правила можно наблюдать в софистической уловке, именуемой "ошибка многих вопросов".

Суть ее заключается в том, что под видом одного вопроса задаются сразу несколько вопросов, но при этом на предложенный вопрос требуют однозначный ответ "да" или "нет", в то время как заключенные в данном вопросе подвопросы часто противоречат друг другу, и на один из них нужно отвечать "да", а на другой "нет". Вот пример такой софистической уловки, содержащей видимость доказательства того, что каждый бьет своего отца. Задается вопрос, "Прекратил ли ты бить своего отца? Да или нет?". Если отвечающий скажет "да", то получится, что он бил своего отца. Если же он скажет "нет", то выходит, что он продолжает бить своего отца.

Тезис, который надо доказать, не должен находиться в противоречии с ранее доказанными суждениями по этому вопросу. Если кто-то отстаивает один тезис, а через некоторое время - ему противоположный, то это делает уязвимым оба его рассуждения.

Аргументы, приводимые в подтверждение тезиса, не должны противоречить друг другу. Примером того, как противоречивость аргументов разрушают мысль, может служить "Библия". С первых страниц "Библии" ее составители стремятся убедить верующих, что Бог создал мир, не замечая противоречивость своей аргументации. В книге "Бытие" говорится, сначала Бог "создал свет" и "отделил его от тьмы", а солнце луна и звезды появились лишь на четвертый. Каждый кто задумается над этими строками не поверит им, поэтому что без источника света не может возникнуть и самого света.

Из закона достаточного основания вытекают три правила доказательства.

Аргументы, проводимые в подтверждение тезиса, должны являться достаточным основанием для данного тезиса. Наиболее типичной ошибкой, связанной с нарушением данного правила является ошибка, которая носит название "не вытекает". Так, для обоснования суждения о шарообразности Земли иногда приводятся следующие доводы:

При приближении корабля к берегу сперва показываются из-за горизонта верхушки мачт, а потом уже его корпус;

После захода Солнца его лучи продолжают освещать крыши высоких домов и облака. Однако из этих доводов вовсе не следует, что Земля шарообразна. Они доказывают только кривизну земной поверхности. Эти явления имели бы место, если бы земная поверхность имела и форму эллипса, или параболы, или гиперболы

Аналогичную ошибку часто делают и в индуктивных доказательствах. Она получила название "поспешное обобщение".

Существо ее заключается в том, что не учитываются все обстоятельства, которые могут быть причиной исследуемого явления и останавливаются на первом попавшемся. Когда, например, суеверные люди, увидев кошку, перебежавшую дорогу, умозаключают о том, что "жди несчастья", - они совершают подобную ошибку.

Еще одна ошибка, в доказательствах, которая вытекает из нарушения этого правила, носит название "от сказа в относительном смысле к сказанному безотносительно". Положение, являющееся верным при определенных условиях, приводится в качестве аргумента, годного при всех условиях. Например, правильно, что бром в определенных дозах является целебным средством при лечении ряда заболеваний.

Но это суждение нельзя использовать в доказательство тезиса "бром всегда полезен".

Известно, что если бром применять в больших дозах и бессистемно, то он может вызывать тяжелые отрицательные последствия.

Аргументы, приводимые в подтверждение тезиса, сами должны быть истинными. Самым серьезным нарушением этого правила является ошибка, которая носит название "основное заблуждение".

Существо ее заключается в том, что тезис обосновывается ложными аргументами. Так, люди долгое время считали, что Земля является центром мироздания на том основании, что они наблюдали вращение Солнца и звездного неба вокруг Земли.

Аргументы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Очень распространенным нарушением этого правила доказательства является логическая ошибка, которая называется "порочный круг". Существо ее заключается в том, что тезис выводится из аргументов, которые в свою очередь выводятся из тезиса.

Так сторонники идеи конечности вселенной доказывали свои взгляды ссылкой на суточное вращение мира вокруг центра, в качестве которого принималась Земля (аргумент). Само же суточное вращение доказывалось посредством ссылки на конечность вселенной, ибо нельзя понять, каким образом бесконечная вселенная может в течение суток совершить полный оборот около своего центра.

Литература

Логическое суждение. Руфулаев О. Н.К. - 2005 г.

Логика - искусство мышления. Тимирязев А.К. - К. 2000 г.

Философия и жизнь - журнал - К. 2004 г.

История логики и мышления - Касинов В.И. 1999.

Логика и человек - М. 2000.

Философия жизни. Матюшенко В.М. - Москва - 2003 г.

Философия бытия. Марикова А.В. - К. 2000 г.