Использование эвристических и экономико-математических методов при решении задач управления
Министерство образования и науки Украины
Севастопольский национальный технический университет
Факультет Экономики и менеджмента
Кафедра Финансов и кредита
МОДУЛЬ № 2
на тему: Использование эвристических и экономико-математических методов при решении задач управления
по дисциплине «Экономический анализ»
СОДЕРЖАНИЕ
1 Вводная часть
2 Расчетная часть
2.1 Решение методом экспертных оценок
2.2 Решение симплекс методом
3 Аналитическая записка
1 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Целью данной работы является изучение возможностей эвристических и экономико-математических методов для принятия управленческих решений.
В данной работе были поставлены задачи, решение которых было найдено путем использования такого эвристического метода, как метода экспертных оценок, а также используя линейное прогнозирование (симплекс-метод). В первой части работы необходимо найти с помощью экспертных оценок типы сыров, которые пользуются наибольшим спросом. Именно данные метод представляет собой обобщение оценок экспертов, а особенностью метода является последовательность, индивидуальность опроса экспертов. Такая методика исключает непосредственный контакт экспертов между собой и, следовательно, групповое влияние, возникающее при совместной работе и состоящее в приспособлению к мнению большинства.
Во второй части работы (2ая и 3я задача) определить структуру комплекса оборудования и получения максимальной выгоды при наличии ограниченных исходных данных. Преимущество данного метода перед другими устанавливают, во-первых, с помощью критерия оптимальности F. Для промышленных и с\х предприятий оптимальным считается план, обеспечивающий выпуск заданного объема продукции при минимальных затратах, а также получение максимальной прибыли при ограниченном объеме ресурсов. В данном случае имеется предприятие, совокупность нового оборудовании и получение максимальной прибыли, которая должна покрыть расходы на покупку оборудования.
Объектом анализа является дальнейшее развитие деятельности предприятия по производству сыров, которое находится в данный момент в состоянии кризиса, а также оптимизация производственных процессов.
В работе была использована методика, предложенная в конспекте лекций по экономическому анализу. Расчеты были произведены с помощью программы Microsoft Exсel.
Условие задачи: сырзавод производит 8 типов сыров. На протяжении нескольких последних лет, данное предприятие несет убытки и находится в состоянии кризиса. С целью выхода из кризиса, установлена политика выбора таких типов сыров, которые пользуются наибольшим спросом. Данные сыры будут производится, а производство сыров, которые пользуются в меньшей степени спросом, необходимо прекратить. Остатки готовой продукции сыров, которые пользуются наименьшим спросом, необходимо распродать в кратчайшие сроки.
Для осуществления поставленной цели было принято решение произвести дегустацию сыров покупателями в магазинах. По итогам дегустации был выбран 1 тип сыра, однако в связи с необходимостью выбора ещё 2 видов сыров, был произведен отбор из 7 типов сыров путем экспертных оценок. Таким образом, в 8 магазинах (8 экспертов) был произведен опрос после дегустации и были получены соответствующие оценки спроса на данные сыры. Ранги, присвоенные этим сырам, приведены ниже в таблице. Оценивание происходит по 9-бальной системе, где 9 баллов присваивается типу сыра, который пользуется наибольшим спросом, а 1 балл – наименьшим.
Таблица 1. Данные о мнениях (выставленных рангах) экспертов
|
Эксперты |
Варианты типов сыров |
||||||
|
«Дружба» |
«Весё-лый» |
«Лазурный» |
«Майский» |
«Неженка» |
«Пупырчатый» |
«Традици-онный» |
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
9 |
6 |
|
2 |
2 |
4 |
2 |
3 |
2 |
7 |
5 |
|
3 |
1 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
4 |
|
4 |
2 |
4 |
2 |
3 |
3 |
8 |
6 |
|
5 |
3 |
3 |
1 |
4 |
4 |
9 |
6 |
|
6 |
1 |
5 |
3 |
4 |
4 |
7 |
5 |
|
7 |
3 |
4 |
4 |
2 |
2 |
6 |
4 |
|
8 |
1 |
3 |
1 |
3 |
4 |
9 |
5 |
После определения типов сыров, которые пользуются наименьшим спросом, предприятие решает на часть вырученных денежных средств от продажи остатков данных типов сыров закупить новое оборудование для улучшения и облегчения производства. Новое оборудование предполагается закупить в течение месяца, путем постепенного их приобретения. Предполагается, что:
- первый комплекс оборудования включает в себя: прессы сырные вертикальные - 1000 грн, кассеты для прессования полутвердых сыров - 500 грн., ванна сыродельная - 3000 грн;
- второй комплекс оборудования: прессы сырные вертикальные - 1500 грн, кассеты для прессования полутвердых сыров – 400 грн, ванна сыродельная – 4000 грн.
Исходя из распределения ресурсов, полученных от продажи остатков готовой продукции, на покупку прессов сырных вертикальных предприятие может направить 22000 т грн., на кассеты для прессования полутвердых сыров - 9000 грн, на сыродельные ванны – 56000 грн. Необходимо определить структуру оптимального комплекса оборудования и максимальную прибыль.
Таблица 2 – Исходные данные для симплекс-метода
|
Количество единиц, содержащихся в 1 наборе техники |
Покупка, грн. |
||
|
1 пакет |
2 пакет |
||
|
Прессы сырные вертикальные |
1 |
1,5 |
22000 |
|
Кассеты для прессования полутвердых сыров |
0,5 |
0,4 |
9000 |
|
Ванна сыродельная |
3 |
4 |
56000 |
2 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
2.1 Решение методом экспертных оценок
Решение: был произведен отбор из 7 типов сыров путем экспертных оценок. Таким образом, в 8 магазинах (8 экспертов) после дегустации были получены соответствующие оценки спроса на данные сыры. Ранги, присвоенные этим сырам, приведены выше в условии задачи. Ниже опишем матрицу рангов ответов экспертов по 7 типам сыров в таблице. Оценивание происходит по 9бальной системе, где 9 баллов присваивается типу сыра, который пользуется наибольшим спросом, а 1 – наименьшим. Типы сыров, оцененные низшими, присваивается ранг 1, следующему 2, далее 3 и 4 и т.д. Если же эксперт поставил одинаковые баллы нескольким различным моделям, то это означает, что он присваивает им одинаковые ранги. Ответы экспертов сводятся в матрицу рангов, которая представлена в таблице 3.
Таблица 3 - Матрица рангов ответов экспертов по 7 подразделениям
|
Типы сыров |
|
|
|
Эксперты |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
«Дружба» |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
|
«Весёлый» |
2 |
4 |
5 |
4 |
3 |
5 |
4 |
3 |
|
«Лазурный» |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
|
«Майский» |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
4 |
2 |
3 |
|
«Неженка» |
2 |
2 |
2 |
3 |
4 |
4 |
2 |
4 |
|
«Пупырчатый» |
9 |
7 |
9 |
8 |
9 |
7 |
6 |
9 |
|
«Традиционный» |
6 |
5 |
4 |
6 |
6 |
5 |
4 |
5 |
Таблица 4 - Матрица переранжировки рангов
|
Типы сыров |
Эксперты |
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||||
|
1 |
1,5 |
2 |
1,5 |
1,5 |
2,5 |
1 |
3 |
1,5 |
14,5 |
-17,5 |
306,25 |
|
2 |
4 |
5 |
6 |
5 |
2,5 |
5,5 |
5 |
3,5 |
36,5 |
4,5 |
20,25 |
|
3 |
1,5 |
2 |
1,5 |
1,5 |
1 |
2 |
5 |
1,5 |
16 |
-16 |
256 |
|
4 |
4 |
4 |
4,5 |
3,5 |
4,5 |
3,5 |
1,5 |
3,5 |
29 |
-3 |
9 |
|
5 |
4 |
2 |
3 |
3,5 |
4,5 |
3,5 |
1,5 |
5 |
27 |
-5 |
25 |
|
6 |
6 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
55 |
23 |
529 |
|
7 |
7 |
6 |
4,5 |
6 |
6 |
5,5 |
5 |
6 |
46 |
14 |
196 |
|
Сумма |
28 |
28 |
28 |
28 |
28 |
28 |
28 |
28 |
224 |
0 |
1341,5 |
Произведем переранжировку рангов и оформим в таблицу 4 (см. выше). Также в данной таблице рассчитаем среднее значение Хi по формуле
которое будет равно Хi=224/7=32; найдем значение
Формула коэффициента конкордации имеет вид:
Где t - число связанных рангов в каждом отдельно взятом столбце матрицы рангов,
W:
0,79
0,7.
В данном случае
согласованность считается хорошей.
Для определения значимости коэффициента конкордации исчисляется критерий X2 (Пирсона) с числом степеней свободы n-1:
37,97
Значение X2 сравнивается с табличным X2>T>. Величина X2 должна быть больше X2>T>.
Так как X2 > X2>T> при 5%-ном уровне значимости, то нулевую гипотезу случайности совпадений мнений экспертов следует считать отвергнутой.
Построим гистограмму (рис.1):
Рис.1 – Гистограмма распределения типов сыров по наличию спроса на них
Из данных рисунка 1 видно, что спрос на сыр распределяется следующим образом: Х1, Х3, Х5, Х4, Х3, Х7, Х6. Таким образом, можно сделать вывод о том, что наибольшим спросом пользуется сыр «Традиционный» и «Пупырчатый».
2 2 Решение симплекс-методом
Итак, в конечном итоге было выбрано 3 типа сыра, которые предприятие будет производить в дальнейшем. После продажи остатков оставшихся типов сыров, предприятию потребуется направить имеющиеся деньги на покупку нового оборудования для облегчения и усовершенствования производства. Напомним, что у нас имеется 2 комплекса оборудования, состоящего из 3 типов оборудования: прессы сырные вертикальные, кассеты для прессования полутвердых сыров и сыродельные ванны.
Таблица 5 – Исходные данные для симплекс-метода
|
Количество единиц, содержащихся в 1 наборе техники |
Покупка, грн. |
||
|
1 пакет |
2 пакет |
||
|
Прессы сырные вертикальные |
1 |
1,5 |
22000 |
|
Кассеты для прессования полутвердых сыров |
0,5 |
0,4 |
9000 |
|
Ванна сыродельная |
3 |
4 |
56000 |
1)составим экономико-математическую модель задачи:
2) Составим симплекс-матрицу и определим разрешающий элемент
|
|
х1 |
х2 |
Свободный член |
Q = В/разреш столбец (-Х>2>) |
|
Y1 |
1 |
1,5 |
22000 |
22000/1=22000 |
|
Y2 |
0,5 |
0,4 |
9000 |
9000/0,5=18000 – минимальное |
|
Y3 |
3 |
4 |
56000 |
56000/3=18666,67 |
|
F |
-1 |
-1 |
0 |
Поэтапно оптимизируем симплекс-матрицы:
3) Найдем опорное и оптимальное решение, которому соответствует симплекс–таблица с неотрицательными значениями всех свободных членов в строке F. Выберем разрешающий столбец. Для этого в F-cтроке выберем наибольший по модулю отрицательный элемент столбца свободного члена (мах по модулю отрицательное):
(-С>1>; -С>2>) = -1;
4) Выберем разрешающую строку, найдя для этого минимальное частное от деления элементов столбца свободных членов на соответствующем им элементы, и разрешающий столбец:
Q = мин (В>1>/А>12>; В>2>/А>21..>) =18000 (В>2>);
5) Найдем на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки разрешающий элемент -(А>21>);
6) Выполним преобразование исходной симплекс-таблицы с записью результатов в новую таблицу, начиная всегда с пересчета разрешённого элемента:
А>21> =1/А>21>=1/0,5=2;
7) Произведем пересчет элементов разрешённой строки: А>22>=А>22>/А>21>=0,4/1,5=0,8;
В>2>=В2/А>21>=9000/0,5=18000.
8) Произведем пересчет элементов разрешённого столбца А>11>= -А>11>/А>21>= -1/0,5=-2
А>31>= -А>31>/А>21>= -3/0,5=-6
А>41>= -А>41>/А>21>=-( -1)/0,5=2
9) Произведем пересчет прочих элементов таблицы, внешних свободных членов и элементов F строки, которые вычисляются по правилу прямоугольника: проводится прямоугольник через элемент, подлежащий пересчету и через разрешённый элемент, и делается пересчет по формуле:
А>12>= А>12> – А>22>*А>11>/А>21>=1,5-0,4*1/0,5=-7
А>32>= А>32> – А>31>*А>22>/А>21>=4-3*0,4/0,5=1,6
А>42>= А>42> – А>22>*А>41>/А>21>=-1-0,4*(-1)/0,5=-0,2
В>1>= В>1> – В>2>*А>11>/А>21>=22000-9000*1/0,5=4000
В>3>= В>3> – В>2>*А>31>/А>21>=56000-9000*3/0,5=2000
В>4>= В>4> – В>2>*А>41>/А>21>=0-9000*(-1)/0,5=18000
1-е преобразование:
|
|
У2 |
Х2 |
Свободный член |
Q = В/разреш столбец (-Х>1>) |
|
Y1 |
-2 |
0,7 |
4000 |
4000/0,7 =5714,286 |
|
Х1 |
2 |
0,8 |
18000 |
18000/0,8= 22500 |
|
У3 |
-6 |
1,6 |
2000 |
2000/1,6 = 1250 – минимальное |
|
F |
2 |
-0,2 |
18000 |
Т.к. матрица описывает не оптимальный план (в F-строке есть отрицательный элемент), то есть возможность увеличить целевую функцию). Этапы оптимизации такие же, как и в первом преобразовании.
2-е преобразование (последнее):
|
|
У2 |
У3 |
Свободный член |
|
У1 |
0,625 |
-0,4375 |
3125 |
|
х1 |
5 |
-0,5 |
17000 |
|
Х2 |
-3,75 |
0,625 |
1250 |
|
F |
1,25 |
8 |
18250 |
Поскольку в строке целевой функции больше нет отрицательных элементов, можно говорить о том, что план оптимален и соответствует максимальному значению целевой функции при существующих ограничениях в ресурсах.
3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЗАПИСКА
Таким образом, путем различных преобразований, используя различные экономико-математические методы, пришли к следующему выводу. Перед предприятием по производству сыра была поставлена цель определения типов сыров, которые пользуются наибольшим спросом. Выбор необходимо было сделать между 8 типами сыров. После выбора «победителя» дегустации путем экспертных оценок были определены ещё 2 типа сыров, которые пользуются наивысшим спросом. Такими сырами стали «Традиционный» и «Пупырчатый». Производство остальных сыров («Дружба», «Весёлый», «Лазурный», «Майский» и «Неженка») прекращено.
Также были поставлены задачи по определению максимальной прибыли при использовании определенного комплекса нового оборудования, а также структуры покупки нового оборудования, имея данные о стоимости оборудования, а также об отчислениях на закупку различных комплексов оборудования по различной цене.
После двух преобразований, используя симплекс-метод (линейное программирование), была получена оптимальная (итоговая) симплекс-таблица. По полученным данным можно сделать следующий вывод, что структура оптимальной закупки нового оборудования будет включать покупку первого и второго комплекса оборудования. При этом ресурсы, которые были направлены на покупку вертикальных сырных прессов, кассетов для прессования полутвердых сыров и сыродельных ванн расходуются полностью.
|
|
У2 |
У3 |
Свободный член |
|
|
У1 |
0,625 |
-0,4375 |
3125 |
Остаток средств при покупке вертикальных сырных прессов |
|
х1 |
5 |
-0,5 |
17000 |
Комплекс оборудования 1 |
|
Х2 |
-3,75 |
0,625 |
1250 |
Комплекс оборудования 2 |
|
F |
1,25 |
8 |
18250 |
Остаток средств при покупке вертикальных сырных прессов составит 1250 грн. Максимально возможная прибыль будет равна 18250 грн. Следовательно, можно сказать, что предприятию необходимо в кратчайшие сроки продать остатки продукции, которые в меньшей степени пользуются спросом, чтобы на вырученные деньги закупить новое оборудование и повысить качество продукции, ускорить процесс производства, чтобы покрыть убытки от закупки новых комплексов оборудования.
Все поставленные задачи можно считать решенными. Правильность их решения была проверена по средствам программ: Microsoft Exсel и SIMP.EXE.