Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
Вариант №2
Брянск - 2009
ЗАДАЧА 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Корма Питат. вещества |
Количество питательных веществ в 1 кг корма |
|
1 |
2 |
|
А В |
2 2 |
1 4 |
Цена 1 кг корма, т.руб. |
0,2 |
0,3 |
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим виды кормов через х>1> и х>2>. Целевой функцией задачи является общая стоимость кормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей. Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в состав кормов - 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:
Строим область допустимых решений задачи (см. рис.1).
Область допустимых решений задачи
Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризует поведение целевой функции:
Для
определения положения точки минимума
целевой функции прямая, перпендикулярная
вектору-градиенту, смещается в его
направлении до тех пор, пока она не
покинет область допустимых решений.
Предельная точка области допустимых
решений при этом движении и является
точкой минимума.
В нашей задаче - это точка В, образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II. Ее координаты определяются решением системы
уравнений этих прямых:
откуда x>1>*=2;
x>2>*=2 и
.
Таким образом, чтобы достичь минимальных затрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого вида корма при затратах в 1 тыс. руб.
Решение данной задачи линейного программирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты на корм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум: наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно
.
рис. 1 - Графическое решение задачи линейного программирования
ЗАДАЧА 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья |
Нормы расхода сырья на одно изделие |
Запасы сырья |
|||
А |
Б |
В |
Г |
||
I II III |
1 0 4 |
0 1 2 |
2 3 0 |
1 2 4 |
180 210 800 |
Цена изделия |
9 |
6 |
4 |
7 |
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение. 1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования.
Обозначим количество выпускаемых изделий х>1>, х>2>, х>3>, х>4>.
Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий - 3.
Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных.
Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:
Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):
рис. 2 - Надстройка «Поиск решения»
Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(95; 210; 0; 0). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=2115 (прил. 1).
Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x>1>*=95 изделий А, x>2>*=210 изделий Б и не производить изделия В (x>3>*=0) и Г (х>4>*=0).
2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y>1>, y>2>, y>3> соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи - 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y>1>*=0; y>2>*=1,5; y>3>*=2,25.
Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи
совпадает с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*). Следовательно, оптимальный план двойственной задачи определен верно.
3. Выпуск изделий В и Г невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что затраты по ним превышают цену на 0,5 и 5 соответственно:
Таким образом, выпуск изделий В и Г убыточен и поэтому эти изделия не вошли в оптимальный план (x>3>*=0) и (х>4>*=0).
4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(95; 210; 0; 0) и проверим выполнение неравенств:
Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные от нуля оценки y>2>*=1,5 и y>3>*=2,25.
Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., а увеличение объема ресурса III на единицу - на 2,25 руб.
Ресурс I имеет нулевую двойственную оценку (y>1>*=0) и является недефицитными, т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.
Определим, насколько изменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:
При этом «новая» наибольшая выручка составит:
руб.
Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и 330 ед. изделий Б.
Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:
Следовательно, продукцию Д выпускать выгодно, так как затраты на нее меньше, чем ее стоимость.
ЗАДАЧА 3
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:
t |
y>t> |
1 |
43 |
2 |
47 |
3 |
50 |
4 |
48 |
5 |
54 |
6 |
57 |
7 |
61 |
8 |
59 |
9 |
65 |
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель
,
параметры которой оценить МНК (
- расчетные, смоделированные значения
временного ряда).
3) Построить адаптивную модель
Брауна
с параметром сглаживания =
0,4 и =
0,7; выбрать лучшее значение параметра
сглаживания α.
4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение. 1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика
,
где
- стандартное отклонение уровней ряда.
Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: S>y>=7,29 млн. руб. Расчет значений >t> для всех уровней ряда, начиная со второго. Табличное значение критерия Ирвина для уровня значимости =0,05 и длины временного ряда n=9 составляет =1,5. Видно, что ни одно из значений >t> не превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии аномальных наблюдений.
2. Линейную трендовую модель
строим с помощью надстройки EXCEL
«Анализ данных… Регрессия»:
Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты»):
.
Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,58 млн. руб.
Коэффициент детерминации
уравнения R20,941
превышает критическое значение
для =0,05
и n=9,
что свидетельствует о статистической
значимости линейной модели и наличии
устойчивого линейного тренда во временном
ряду. Само значение R2
показывает, что изменение спроса во
времени на 94,1 % описывается линейной
моделью.
3. Построение адаптивной модели Брауна. Модель Брауна строится в несколько этапов.
1) По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры а>0> и а>1> линейной модели
.
Получаем начальные значения
параметров модели Брауна
и
,
которые соответствуют моменту времени
t=0
(определены с помощью функций EXCEL
«ОТРЕЗОК» и
«НАКЛОН»
соответственно.
2) Находим прогноз на первый шаг (t=1):
.
3) Определяем величину отклонения расчетного значения от фактического:
.
4) Скорректируем параметры модели
для параметра сглаживания
=0,4
по формулам:
;
,
где
- коэффициент дисконтирования данных,
отражающий степень доверия к более
поздним наблюдениям;
-
параметр сглаживания (
=
);
- отклонение (остаточная компонента).
По условию
=0,4,
следовательно значение
равно:
.
Получим:
;
,
5) По модели со скорректированными параметрами a>0(>>t>>)> и a>1(>>t>>)> находим прогноз на следующий момент времени:
.
Для t=2:
.
6) Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.
7) Вычислим среднюю относительную ошибку для данного параметра сглаживания:
8) Корректировка параметров
модели для
=0,7
и
=0,3:
;
9) Средняя относительная ошибка для данного параметра:
Таким образом, судя по средней
относительной ошибке при
=0,4
и
=0,7,
в первом случае
=4,1%,
а во втором случае
=5,0%.
Следовательно,
=0,4
– лучшее значение параметра сглаживания,
т.к. средняя относительная ошибка меньше.
4. Оценим адекватность линейной
модели. Рассчитанные по модели значения
спроса
,
остатки
и их график были получены в EXCEL
одновременно с построением модели (см.
«ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 4).
Случайность остаточной компоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков составляет p=4.
Критическое число поворотных точек для =0,05 и n=9 определяется по формуле
Так как
,
остатки признаются случайными.
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции). Для расчета d статистики используется выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
d статистика имеет значение (см. прил. 4):
;
;
Критические значения d статистики для =0,05 и n=9 составляют: d>1>=0,82; d>2>=1,32. Так как выполняется условие
,
то нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимость остатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 4):
.
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:
Критическое значение коэффициента автокорреляции для =0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Проверим равенство нулю
математического ожидания уровней ряда
остатков. Среднее значение остатков
равно нулю:
(определено с помощью встроенной функции
«СРЗНАЧ»; см.
прил. 4).
Поэтому гипотеза о равенстве математического
ожидания значений остаточного ряда
нулю выполняется.
Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле
,
где e>max>;
e>min>
- наибольший и наименьший остатки
соответственно (определялись с помощью
встроенных функций «МАКС»
и «МИН»);
- стандартное отклонение ряда остатков
(определено с помощью встроенной функции
«СТАНДОТКЛОН»;
см. прил. 4).
Критические границы R/S-критерия для =0,05 и n=9 имеют значения: (R/S)>1>=2,7 и (R/S)>2>=3,7. Так как R/S-критерий попадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этому критерию адекватна.
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.
Оценим адекватность построенной
модели Брауна:
с параметром сглаживания
(см. таблица
2):
Таблица 2 - Анализ ряда остатков модели Брауна
Проверяемое свойство |
Используемые статистики |
Граница |
Вывод |
||
наименование |
значение |
нижняя |
верхняя |
||
Независимость |
d–критерий Дарбина-Уотсона r(1)-коэффициент автокорреляции |
d=2,79
-0,44 |
0,82 |
1,32 0,666 |
Нельзя сделать вывод по этому критерию r(1)<0,666 адекватна |
Случайность |
Критерий пиков (поворотных точек) |
6>2 |
2 |
адекватна |
|
Нормальность |
RS-критерий |
R/S= |
2,7 |
3,7 |
неадекватна |
Мат.ожидание≈0 |
t-статистика Стьюдента |
|
2,306 |
адекватна |
|
Вывод: модель статистически неадекватна |
5. Оценим точность линейной модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
%
Значение E>отн> показывает, что предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.
Оценим точность модели Брауна
с параметром сглаживания
:
Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.
6. Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
1) Точечный прогноз
:
млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 64,5 млн. руб.
2) Интервальный прогноз
с надежностью (доверительной вероятностью) =0,7. необходимые расчеты приведены в таблице 3:
млн. руб.,
где t>таб>=1,083 - табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности =0,7.
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 62,13 до 66,87 млн. руб.
Таблица 3
t |
y>t> |
|||
1 |
43 |
16 |
||
2 |
47 |
9 |
||
3 |
50 |
4 |
||
4 |
48 |
1 |
||
5 |
54 |
0 |
||
6 |
57 |
1 |
||
7 |
61 |
4 |
||
8 |
59 |
9 |
||
9 |
65 |
16 |
||
Среднее |
5 |
- |
60 |
|
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
1) Точечный прогноз:
млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 66,8 млн. руб.
2) Интервальный прогноз с надежностью =0,7:
млн.
руб.,
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до 69,31 млн. руб.
Построим прогноз для модели Брауна на следующие 2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного ряда (т. е. для t=n=9), используются для построения прогноза спроса по формуле:
.
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
млн. руб.
С вероятностью 70 % значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
млн. руб.
Значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.
7. График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «y>t>» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:
Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» «Добавить линию тренда…» «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2.