Побудова экономичной модели (украинск.).

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РОБОТА

з економетрії

Студенток 1 групи

2 курсу ФЕМП

Заморіної Наталії

Знової Юлії

Капітоненко Людмили

Нечай Наталії

Киів-1998

Вступ.

Актуальність роботи.

В нинішній час економіка України наражається на важкі деформації, падає виробництво, росте безробіття, має місце інфляція. Для того, щоб виправити ситуацію ,що склалася на Україні необхідно побудова реальних моделей, за допомогою яких можна достатньо точно прогнозувати економічні процеси.

В нашій роботі ми вжили спробу побудови однієї з таких моделей.

Наукова новизна.

В нашій роботі ми використали засоби математичної статистики, теоретичного аналізу, теорії імовірності, системного аналізу, економетрії. Ми зробили першу спробу побудови економетричної моделі України.

Ми показали, як застосовуючи засоби економетрії можливо управляти економікою і розглянули відзнаки між регресійним аналізом і побудовою економетричної моделі.

Практична цінність.

В нашій моделі ми спробували відбити процеси, зв'язані з виробництвом, і побудували економетричну модель, показали, що можна прорахувати коефіціенти цієї моделі. Однак зараз склалася така ситуація, при якій не уміють цінувати інформацію, їй приділяється мало уваги, хоча за рубіжем вже давно навчилися її цінувати і до неї відносяться як до дуже дорогого товару. В зв'язку з цим у нас склалася ситуація інформаційного «голоду». Тому нам не вистачало статистичних даних. Ми маємо надію, що в найближчий час на Україні будуть розвиватися комп'ютерні технології і програмні продукти, буде приділятися більше уваги побудові економетричних моделей і їхньому використанню.

Апробація роботи.

Апробація моделі була вироблена на реальних статистичних даних, отриманих і взятих з збірника народної господарства, статистичних збірників, а також періодичної преси.

Завдання 1.

На базі статистичних показників змінних X(i) та Y(i), n=17, побудувати графік емпіричних змінних, вибрати форму криволінійної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості =0,9. Перевірити фактор Y на автокореляцію, а також оцінити прогноз для таких значень X: X1(p1)=15, X2(p2)=17, X3(p3)=20.

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X(i)

6,15

6

6,05

6,8

7,15

6,5

7,2

6,65

7,3

7,25

7,25

7

6,9

6,9

6,7

6,9

6,75

Y(i)

12

13,8

14

14,4

13,6

14,2

13,8

14,2

14,6

17

14,6

14,4

15,2

17,4

14,8

16

15,2

Рішення.

1-й крок:

      взяти декартову систему координат на площині;

      відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,….., n;

      обвести всі відкладені точки замкнутою кривою – отримати хмару розсіяння експерементальних даних;

      на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.

У
нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити, що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді

2-й крок:

2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:

2.2)обчислити значення для кожного значення і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;

2
.3)побудувати графік регресійної функції

3-й крок:

3.1) обчислити залишкову дисперсію за формулою:

, де n – довжина вибірки, m – число факторів(m=1)

3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:

,

а середнє значення відносної похибки, як

,

4-й крок:

4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:

, де

,

;

5-й крок:

5.1) обчислити центровані значення за формулою:

5.2) знайти коефіцієнт Стьюдента , де =1-p, =n-2( з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),

в нашому випадку =1.75

5.3) обчислити дисперсію:

5.4) обчислити за формулою:

5
.5) з'єднати неперервною лінією на графіку всі значення і та отримані дані занести у таблицю (отримуємо надійну зону).

6-й крок:

6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою

, де =1, 2,…., n

6.2) визначити d- статистику за формулою

6.3) знайти верхню () і нижню () межу (із додатку в кінці будь-якої книги із статистики ) – d-статистика(Критерій Дарбіна-Уотсона); ;

6.4) зробити висновок про автокореляцію.

Так як , то ряд не містить автокореляцію.

7-й крок:

7.1) у рівняння підставити значення ;

Коли Xp=15, Yp=25,88365.

Коли Xp=17, Yp=28,61847.

Коли Xp=20, Yp=32,7207.

7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою

Коли Xp=15, Yp=12,318.

Коли Xp=17, Yp=15,207.

Коли Xp=20, Yp=19,567.

7.3) записати межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень ( ; ).

(13,56565; 38,20165)

(13,41147; 43,82547)

(13,1537; 52,2877)

n

X(i)

Y(i)

X>i>2

X(i)Y(i)

>>

U(i)

U>i>2

>i>

U>i>> >– U>i-1>

(U>i>> >– U>i-1>)2

1

6,15

12

37,8225

73,8

13,78207

-1,7820715

3,17577883

-14,8506

-0,64118

0,411107

1,112438

12,66963

14,89451

2

6

13,8

36

82,8

13,57696

0,22304

0,04974684

1,616232

-0,79118

0,625959

1,304358

12,2726

14,88132

2,005112

4,020472

3

6,05

14

36,6025

84,7

13,64533

0,3546695

0,12579045

2,533354

-0,74118

0,549342

1,239332

12,406

14,88466

0,131629

0,017326

4

6,8

14,4

46,24

97,92

14,67089

-0,270888

0,07338031

-1,88117

0,008824

7,79E-05

0,591756

14,07913

15,26264

-0,62556

0,391322

5

7,15

13,6

51,1225

97,24

15,14948

-1,5494815

2,40089292

-11,3932

0,358824

0,128755

0,792444

14,35704

15,94193

-1,27859

1,634801

6

6,5

14,2

42,25

92,3

14,26067

-0,060665

0,00368024

-0,42722

-0,29118

0,084783

0,730096

13,53057

14,99076

1,488817

2,216575

7

7,2

13,8

51,84

99,36

15,21785

-1,417852

2,01030429

-10,2743

0,408824

0,167137

0,843106

14,37475

16,06096

-1,35719

1,841957

8

6,65

14,2

44,2225

94,43

14,46578

-0,2657765

0,07063715

-1,87167

-0,14118

0,019931

0,626924

13,83885

15,0927

1,152076

1,327278

9

7,3

14,6

53,29

106,58

15,35459

-0,754593

0,5694106

-5,16845

0,508824

0,258902

0,95338

14,40121

16,30797

-0,48882

0,238942

10

7,25

17

52,5625

123,25

15,28622

1,7137775

2,93703332

10,08104

0,458824

0,210519

0,89693

14,38929

16,18315

2,468371

6,092853

11

7,25

14,6

52,5625

105,85

15,28622

-0,6862225

0,47090132

-4,70015

0,458824

0,210519

0,89693

14,38929

16,18315

-2,4

5,76

12

7

14,4

49

100,8

14,94437

-0,54437

0,2963387

-3,78035

0,208824

0,043607

0,666445

14,27793

15,61081

0,141853

0,020122

13

6,9

15,2

47,61

104,88

14,80763

0,392371

0,153955

2,581388

0,108824

0,011843

0,612841

14,19479

15,42047

0,936741

0,877484

14

6,9

17,4

47,61

120,06

14,80763

2,592371

6,7203874

14,89868

0,108824

0,011843

0,612841

14,19479

15,42047

2,2

4,84

15

6,7

14,8

44,89

99,16

14,53415

0,265853

0,07067782

1,796304

-0,09118

0,008313

0,606592

13,92756

15,14074

-2,32652

5,412686

16

6,9

16

47,61

110,4

14,80763

1,192371

1,4217486

7,452319

0,108824

0,011843

0,612841

14,19479

15,42047

0,926518

0,858436

17

6,75

15,2

45,5625

102,6

14,60252

0,5974825

0,35698534

3,930806

-0,04118

0,001695

0,5947

14,00782

15,19722

-0,59489

0,353892

Сума

115,5

249,2

786,7975

1696,13

249,2

1,55E-05

20,9076491

-9,457

8E-06

2,756176

13,69395

235,506

262,8939

2,379554

35,90415

Таблиця 2

Завдання 2.

На базі статистичних даних показників змінних x (t) за n=18 місяців побудувати графік тренду зміни x (t), вибрати форму однофакторної моделі, оцінити всі її параметри, визначити зони надійності при рівні значимості =0.9.Перевірити показник Х на автокореляцію, а також оцінити для наступних трьох місяців прогноз значення x (t>р>):

t

X (t)

1

9,51

2

11,62

3

11,22

4

15,22

5

13,99

6

15,18

7

14,98

8

17,88

9

16,78

10

18,94

11

20,98

12

15,71

13

20,74

14

24,7

15

20,78

16

20,74

17

19,75

18

23,92

k кор.

0,899208

Рішення:

Побудуємо графік тренду зміни Х(t)

Введемо гіпотезу про те, що зміну Х(t) розподілено за законом X(t)=btα.Визначимо параметри цієї регресії:

18 18

α=(> >Σ t >1> x >1 >(t)-18 t >1 >x >1 >(t) )/(Σ x >1 >2 (t)-18 x >1 >2 ) =0.3081

t=1 t=1

b> 1>=x> 1>(t)-α t >1>=2.2002.

Де х> 1> (t)=ln x(t), t >1> =ln t ,α> 1> = α ,b> 1>= ln b.Звідки a=0.3081,b=9.0268.

Дисперсію визначаємо за формулою:

n

S2= Σ(x> 1>-x)2/( n-p-1)=1.9044

i=1

Вибірковий коефіцієнт детермінації :

n n

R=(1-((x>i>-x>i>)2/(x>i>-x)2))1/2= 0.9095

i=1 i=1

Для оцінки надійності рівняння регресії і значущості індексу кореляції обчислимо значення F>p>-критерію Фішера:

F>p>=>x>2/S2=5.445,

n

де >x>2= Σ(x> 1>-x)2/(n-1).Оскільки F>розр>>F>табл>=1,95,то прийнята

i=1

модель адекватна експерементальним даним.

Для оцінки меж надійних інтервалів лінії регресії спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

x>1i>=t>a,k>S/n1/2(1+(x>1i>-x>1>)2/>x1>2)1/2

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами :

Y>i>Y>i>=exp(Y>1i>Y>1i>).

Складемо таблицю1.

Визначимо автокореляцію за формулою:

n n

d= Σ(l>t>-l>t-1>)2/Σl>t>2=2.425.

t=2 t=1

Визначимо границі d-статистики: d>1>=1.16,d>n>=1.39.Оскільки виконується нерівність d>n><d<4-d>n> ,то враховується гіпотеза про відсутність атокореляції.

Для оцінки меж надійних інтервалів прогнозу спочатку визначимо надійні інтервали здобутої лінійної моделі,

X>1p>=t>a,k>S/n1/2(1+n+(X>1i>-X>1>)2/>x1>2)

а потім виконаємо зворотній перехід за формулами:

Y>p>Y>p>=exp(Y>1p>Y>1p>)

Складемо таблицю 2.

Таблиця 1.

t

x(t)

t>1>

x>1> (t)

x>1r>

x>r>

x>1>

x>min>

x>vf[>

1

9,51

0

2,2523

2,2002

9,0268

2,6461

0,6402

127,267

2

11,62

0,6931

2,4527

2,4137

11,1757

1,8811

1,7034

73,3196

3

11,22

1,0986

2,4177

2,5338

12,6626

1,4754

2,8958

55,371

4

15,22

1,3863

2,7226

2,6273

13,8362

1,228

4,0522

47,2427

5

13,99

1,6094

2,6383

2,696

14,8202

1,0767

5,0498

43,4978

6

15,18

1,7918

2,72

2,7522

15,6771

0,9922

5,8123

42,2844

7

14,98

1,9459

2,7067

2,7997

16,4396

0,9561

6,3193

42,7674

8

17,88

2,0794

2,8837

2,8408

17,13

0,9541

6,5974

44,4772

9

16,78

2,1972

2,8202

2,8771

17,763

0,9753

6,6978

47,1082

10

18,94

2,3026

2,9413

2,9096

18,349

1,0114

6,6738

50,4487

11

20,98

2,3979

3,0436

2,9389

18,8958

1,0568

6,5695

54,3499

12

15,71

2,4849

2,7543

2,9657

19,4092

1,1068

6,4169

58,7071

13

20,74

2,5649

3,0321

2,9904

19,8937

1,1598

6,2377

63,446

14

24,7

2,6391

3,2068

3.0132

20,3532

1,2138

6,0463

68,5134

15

20,78

2,7081

3,034

3,0345

20,7904

1,2678

5,8514

73,8702

16

20,74

2,7726

3,0321

3,0544

21,2079

1,3212

5,6585

79,4872

17

19,75

2,8332

2,9832

3,0731

21,6077

1,3736

5,4709

85,342

Таблиця 2.

t

x>lp>(t)

x>p>(t)

x>lp>

x>pmin>

x>pmax>

19

3.1073

22.3610

7.1463

0.0176

28385.4

20

3.1231

22.7172

7.1565

0.0177

29131.4

21

3.1382

23.0612

7.1666

0.0178

29874.0

Відповідь.

З надійністю р=0,1 можна вважати, що експерементальним даним відповідає така математична модель:Yr=9.0268X0.3081.

Для t>p>=19 точкова оцінка прогнозу показника має значення X>p>=22,36.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0176;2838,4).

Для t>p>=20 точкова оцінка прогнозу показника має значення X>p>=22,72.З надійністю p=0,1прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0177;29131,4).

Для t>p>=21 точкова оцінка прогнозу показника має значення X>p>=22,36.З надійністю p=0,1 прогноз показника буде набувати значення в інтервалі (0,0178;29874,0).

Завдання 3.

Визначити параметри лінійної моделі залежності витрат на споживання С від рівня доходів D,збережень S та заробітної плати L.Оцінить коефіцієнти детермінації,автокореляції та перевірте показники на мультиколінеарність між факторами.Обчислення виконати на базі 13 статистичних даних певного регіону (C,D,S,L подані у тис $).

Дано:

І

С(і)

D(i)

S(i)

L(i)

1

9,08

10,11

12,29

9

2

10,92

12,72

11,51

8,03

3

12,42

11,78

11,46

9,66

4

10,9

14,87

11,55

11,34

5

11,52

15,32

14

10,99

6

14,88

16,63

11,77

13,23

7

15,2

16,39

13,71

14,02

8

14,08

17,93

13,4

12,78

9

14,48

19,6

14,01

14,14

10

14,7

18,64

1625

14,67

11

18,34

18,92

16,72

15,36

12

17,22

21,22

14,4

15,69

13

19,42

21,84

18,19

17,5

Рішення:

Припустимо, що між показником Ŷ і чинниками Х1 Х2 Х3 існує лінійна залежність Ŷ=А>1>Х>1>+А>2>Х>2>+А>3>Х>3> . Знайдемо оцінки параметрів,використовуючи матричні операції. Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]ā=[X]TY. Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]T[X]]-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу:

ā=[[X]T[X]]-1[X]Ty, звідки а>1 >=0,0603; а> 2>=0,151;а>3>=0,859.

Складемо таблицю:

І

D(i)

S(i)

L(i)

C(i)

C>роз> (i)

1

1

10,11

12,29

9

9,08

10,1954

1,1154

2

12,72

11,51

8,03

10,92

9,4018

-1,5182

3

11,78

11,46

9,66

12,42

10,7376

-1,6824

4

14,87

11,55

11,34

10,9

12,3803

1,4803

5

15,32

14

10,99

11,52

12,4768

0,9568

6

16,63

11,77

13,23

14,88

14,1429

-0,7371

7

16,39

13,71

14,02

15,2

15,1

-0,1

8

17,93

13,4

12,78

14,08

14,0809

0,0009

9

19,6

14,01

14,14

14,48

15,4418

0,9618

10

18,64

16,25

14,67

14,7

16,1774

1,4774

11

18,92

16,72

15,36

18,34

16,8579

-1,4821

12

21,22

14,4

15,69

17,22

16,9296

-0,2904

13

21,84

18,19

17,5

19,42

19,0939

-0,3261

Коефіцієнт множинної детермінації:

13 13

R2=1-Σ(y>i>-ŷ>i>)2/Σ(y-ỳ)2=0.863

I=1 i=1

Визначимо автокореляцію за формулою:

13 13

d=Σ(l>t>–l>t-1> )2/Σl>t>2=2.0531.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х2 . Розрахункове значення Х2 знаходимо за формулою:

Х2>р>=[n-1-1/6(2m+5)]ln│[X]T [X]│=3.1025

Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3 X2=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного,то можна вважати,що загальноі мультиколінеарності не існує.

Відповідь:

Коефіцієнт детермінації R2=0.863,автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.

Завдання 4.

Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа,що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі,коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками Y ,k та L за 12 років.

T

Y(t)

k(t)

L(t)

1

54,24

4,41

11,89

2

49,56

4,97

11,04

3

52,32

6,63

11,46

4

73,92

7,39

15,56

5

67,2

7,44

15,67

6

64,44

8,31

17,44

7

80,04

8,9

15,71

8

93,12

12,12

19,91

9

95,4

14,77

16,52

10

90,54

15,06

21,54

11

116,94

14,21

17,9

Рішення:

Виробничою функцією називають функцію,яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання,хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:ŷ=b>0>x>1>b1x>2>b2…x>m>bm,де ŷ -продуктивність ; x>1>, x>2>,…, x>m> –впливові фактори ;b>0> -нормований множник ; b>1>, b>2>, b>m> -коефіціенти еластичності.

Припустимо ,що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність : ŷ=bx2 (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y>1>=Ln(y), X>1>=Ln(x) та b>1>=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y>1>= b>1>+a X>1 .> Оцінки параметрів і для цієї регресії визначаються за формулами:

n n n n n

a=(nΣX>1i > Y>1i >- Σ X>1i> Σ Y>1i>)/(n Σ X 2>1i >- (Σ X>1i>)2 )> =>>0.3695>

> i=1 i=1 i=1 i=1 i=1>

> >- -

b>1>=Υ>1>-aΧ>1>=1.7655,b=exp(b>1>)=5.8444.

Складемо таблицю:

t

Y(t)

k(t)

L(t)

x=k/l

x

y

y

y

1

54.24

4,41

11,89

0,3709

-0,9918

1,5177

1,39896

4,0651

2

49.56

4,97

11,04

0,4502

-0,7981

1,5017

1,470543

4,3516

3

52.32

6,93

11,46

0,6047

-0,503

1,5185

1,579598

4,853

4

73.92

7,39

15,56

0,4749

-0,7446

1,5583

1,490325

4,4385

5

67.20

7,44

15,67

0,4748

-0,7449

1,4559

1,490214

4,438

6

64.44

8,31

17,44

0,4765

-0,7413

1,307

1,491533

4,4439

7

80.04

8,90

15,71

0,5665

0,5682

1,6282

1,555488

4,7374

8

93.12

12,12

19,91

0,6087

-0,4964

1,5427

1,582051

4,8649

9

95.40

14,77

16,52

0,8941

-0,112

1,7535

1,724102

5,6075

10

90.64

15,06

21,54

0,6992

-0,3579

1,4359

1,633232

5,1204

11

116.94

14,21

17,9

0,7939

-0,2309

1,8769

1,68017

5,3665

Коефіцієнт множинної детермінації

11 11

R2=1-Σ(y>1i>-ŷ>1i>)2/Σ (y>l>>1->ý>1>)2 =0,4370.

t=1 t=1

Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою:

11 11

d = Σ(l>t>- l>t-1> )2/Σ l>t>2 = 2,4496.

t=2 t=1

Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.

Відповідь:

Статистичним показникам відповідає класична модель Кобба-Дугласа з параметрами:

Y=5.8444*X0.3695

Коефіцієнт множинної детермінації R =0.437, при цьому автокореляцію можна вважвти відсутньою.

Завдання 5.

Визначить параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону на підставі статистики за 12 років:

,

,

де e(t) – стохастичне відхилення, похибка; C(t) – споживання; Y(t) – національний дохід; I(t) – інвестиції (всі дані у тис.$).

Дано:

t

C(t)

Y(t)

I(t)

1

58,8

7,3

9,22

2

67,4

9,56

13,82

3

68,9

11,1

15,02

4

80,1

12,04

17,08

5

70,45

13,34

18,94

6

84,35

13,26

20,36

7

77,25

15,4

21,56

8

81,4

13,98

22,2

9

73,35

16,86

27,56

10

77,95

15,88

30,36

11

77,65

18,98

28,14

12

82,35

17,18

31,46

Рішення.

Введемо гіпотезу про те, що змінну C(t) розподілено за законом лінійної парної регресії, тобто . Визначимо параметри цієї регресії:

.

Складемо таблицю:

T

C(t)

Y(t)

I(t)

C(t)Y(t)

Y2

Cr(t)

e(t)

1

58,8

7,3

9,22

429,24

53,29

65,43599

-6,63599

2

67,4

9,56

13,82

644,344

91,3936

68,79084

-1,39084

3

68,9

11,1

15,02

764,79

123,21

71,07689

-2,17689

4

80,1

12,04

17,08

964,404

144,9616

72,47227

7,627726

5

70,45

13,34

18,94

939,803

177,9556

74,40206

-3,95206

6

84,35

13,26

20,36

1118,481

175,8276

74,2833

10,0667

7

77,25

15,4

21,56

1189,65

237,16

77,46002

-0,21002

8

81,4

13,98

22,2

1137,972

195,4404

75,3521

6,047897

9

73,35

16,86

27,56

1236,681

284,2596

79,62731

-6,27731

10

77,95

15,88

30,36

1237,846

252,1744

78,17255

-0,22255

11

77,65

18,98

28,14

1473,797

360,2404

82,77434

-5,12434

12

82,35

17,18

31,46

1414,773

295,1524

80,10234

2,247663

Сумма

899,95

164,88

255,72

12551,78

2391,066

899,95

-2,6E-05

Відповідь:

Параметри найпростішої мультиплікативної моделі споживання Кейнса для певного регіону:

C(t)=54,59952+1,484448Y(t)+e(t)

Y(t)=C(t)+I(t)