Лекции по Физической оптике

я2Московский Физико-Технический Институт я2Факультет Физической и Квантовой Электроники я_я3Л. Н. КУРБАТОВ. я_я3КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА. я_я2Москва 1993я2

я_я2Составители| я_я2Осипов Т.Ю. я_я2Федотов В.Н. я_я2Ученов А.В. я_я2Чудинов А.В. я_я2Магулария Е.А. я_я2Борисова И.Г. я_я2Соловьев Д.В. я_я2Терешок И.Б. я_я2Редактировал и подготовил к выпуску я_я2Исаков Д.А.я2

я2- 3 - я_ГЛАВА 1. я_я21.Применяемые обозначения. Некоторые формулы, связывающиея_я2перечисленные величины. я2Электромагнитная теорияя2E - напряженность электрического поля;я2H - напряженность магнитного поля;я2D - электростатическое смещение;я2B - магнитная индукция;я2P = - вектор Пойнтинга,плотность потока мощности;я2V - световой вектор , заменяет вектор E , когда нет необходимостия2учитывать электромагнитную природу света. я2Величины , описывающие волнуя2c - скорость света в вакууме; я2- длина волны в вакууме; я2- частота света; я2- круговая частота;я2k - волновое число (или волновой вектор). я2Связь между этими величинами : я2; я2- фазовая скорость, где n - показатель преломленияя2среды; я2- групповая скорость, где под k понимается kn в средея2с дисперсией. я2Квазичастицы - фотоны. я2- энергия, p - импульс, s - момент импульса - спин.я2Связь волновых и фотонных величин дается формулами : я2Определим оптический диапазон длин волн в широком смысле,я2как ультрафиолетовую (УФ), видимую и инфракрасную областия2(ИК). Границами видимой области являются 0.4мкм и 0.76мкм,я2граница УФ, ИК, рентгеновского и радиодиапазона условны.ИК-об-я2ласть подразделяется на поддиапазоны : 0.76-1.5 мкм - ближний,я21.5-12мкм - средний, 12-120мкм - дальний. Излучение с длинойя2волны 120-1000мкм оптики включают в дальний ИК-диапазон, ноя2существует другое название - субмиллиметровый поддиапазон. я_я22. Равновесное тепловое излучение. Фотоны. я2Тепловое движение электрических зарядов в любом теле соз-я2дает электромагнитное излучение, интенсивность которого за-я2висит от температуры и оптических свойств тела. Происхождениея2этого излучения представляется на основе моделей тела в видея2системы осцилляторов, излучающих электромагнитные волны воя2внешнее поле и поглощающих энергию из поля. Если в среднемя2мощность излучения в поле равна мощности, приходящей из поля,я2то система тело-поле находится в равновесии, и излучение телая2называется равновесным. Условие равновесия выполняется в замк-я2нутой изотермической полости. Такая полость ведет себя какя2абсолютно черное тело(АЧТ), т.к. луч, проникший в полость изв-я2не, будет полностью поглощен при многократных отражениях ия2рассеяниях на стенках полости. я2Напомним о законе Кирхгофа: отношение излучательнойя2способности любого тела (выраженной в ед. мощности с ед. пло-я2щади) к его поглощательной способности(доля поглощенного излу-я2чения) является универсальной функцией температуры и частотыя2излучения. Поглащательная способность АЧТ равна 1. Отсутствиея2

я2- 4 -я2зависимости от материала стенок полости АЧТ делает его эталон-я2ным излучателем. я2Проблема нахождения вида универсальной функции, выражающейя2распределение мощности излучения по спектру при заданной тем-я2пературе АЧТ была решена на основе квантовой гипотезы Планка,я2согласно которой испускание и поглощение электромагнитного из-я2лучения происходит дискретно(фотонами). Фотон имеет спин 1,я2что соответствует круговой поляризации волны. Фотоны относятсяя2к классу бозонов. Статистика Бозе-Эйнштейна исходит из положе-я2ния, что любое состояние системы может быть занято любымя2числом частиц. Вероятность рождения фотона в данном состояниия2w пропорциональна числу уже имеющихся фотонов n в этом состоя-я2нии плюс 1. Наличие единицы означает, что фотон может возник-я2нуть, если других фотонов в этом состоянии нет (процесс спон-я2танной эмиссии). я2Еще один вывод квантовой механики заключается в том, чтоя2энергия гармонического осциллятора равна ,я2где m - целое число. При m=0 осциллятор имеет энергию .я2Это "нулевые" колебания. я2Наличие фотонов в данном состоянии увеличивает вероят-я2ность рождения нового фотона. Эта стимулированная или индуци-я2рованная эмиссия служит основой генерации лазерного излучения. я_я23. Формула Планка. я2На рис. 1.1 стрелками изображены процессы поглощения ия2испускания двух типов (спонтанного и стимулированного) дляя2двухуровневой системы. Число актов поглощения за 1с. пропорци-я2онально числу атомов в нижнем состоянии , а число актовя2испускания пропорционально числу атомов в верхнем состоянии я2. Вероятности переходов вверх и вниз одинаковы - они опреде-я2ляются волновыми функциями нижнего и верхнего состояний. я2При равновесии число переходов вверх равно числу переходовя2вниз . Учтем теперь принцип Больцманая2и далее я21.1я2Тогда для энергии фотона я21.1ая2Нужно знать, сколько состояний в интервале частотя2имеет электромагнитное поле в полости АЧТ ? При квантовом под-я2ходе каждому состоянию приписывается обЪем в фазовом прост-я2ранстве, равный ,как следствие соотношения неопределен-я2ностей Гейзенберга я2Нас интересуют состояния в сферическом слое dp (рис.1.2).я2Его объем равен , а число состоянийя2равно я2Заменив , получим я2Каждое состояние характеризуется еще и спином, то есть по-я2ляризицией вправо или влево по кругу, поэтому полное числоя2состояний вдвое больше. я2Итак, число состояний в интервале частот равноя2

я2- 5 -я2Выражение называется спектральной плотностьюя2состояний. Умножив среднюю энергию одного состояния на числоя2состояний, получим энергию электромагнитного поля в единицея2объема в интервале частот я21.2я2Это и есть знаменитая формула Планка. я2Формулу Планка целесообразно переписать для плотности по-я2токов мощности излучения, иначе говоря энергетической свети-я2мости я2Формула Планка для энергетической светимости приобретаетя2вид 1.2ая2Заменим на получим я21.2б я2Эта функция табулирована. График ее на рис.1.3. Определивя2положение максимума распределения, получим закон Вина я21.3.я2Проинтегрировав распределение Планка по всем длинам волн, по-я2лучим закон Стефана-Больцмана для всего спектра излучения АЧТ,я2согласно которому полная (интегральная) энергетическая свети-я2мость пропорциональна 4-ой степени абсолютной температуры я21.4. я2Для отличия теплового излучения реальных тел от излученияя2АЧТ вводится коэффициент излучения ("коэффициент се-я2рости"). Это отношение энергетических светимостей реальногоя2тела и АЧТ. Ясно, что коэффициент излучения всегда меньше 1.я2Наименьшей величиной обладают полированные металли-я2ческие поверхности (зеркала). Для золотого зеркала - 0.02.я2Близкой к АЧТ является поверхность, покрытая сажей (0.98). Бе-я2лая бумага и кожа человека имеют =0.93 и 0.98 соответственноя2при температурах 20 и 32 градуса Цельсия. я_я24. Флуктуации теплового излучения. я2Как и во всех областях метрологии, при измерении слабыхя2потоков излучения флуктуации определяют предельные возможностия2измерительного устройства. я2Приведем формулы для среднего числа квантов и дисперсиия2числа квантов я21.6 я2В случае формула дисперсии приобретает вид,я2присущий классической статистике Пуассона для случайныхя2величин 1.7.я2Для коротковолновой области Планковского спектра и среднегоя2ИК-диапазона справедлива именно эта формула. я2В случае дисперсия принимает вид я2.я2То есть средняя квадратичная флуктуация энергии равна kT. Этотя2результат относится к длинноволновому ИК-диапазону и радиодиа-я2пазону. я_я25. Тепловой шум. я2В 1928г. Джонсон обнаружил, что любой резистор в электрон-я2ных схемах представляет собой источник флуктуирующего напряже-я2ния, которое получило название "шум Джонсона" или тепловойя2

я2- 6 -я2шум. Шум Джонсона привлекал все больше внимания, как фактор,я2ограничивающий параметры измерительных устройств.Тепловой шумя2имеет универсальный характер и не зависит от природы материалая2резистора, средний квадрат флуктуирующего напряжения по форму-я2ле Найквиста я21.8.я2Так на резисторе 1Мом при температуре 295К и ширине полосы 1Гця2шум - 0.13мкВ. я_я26.Понятие о тепловидении (термографии). я2Инфракрасная область на два порядка шире видимой. Вполнея2понятно желание освоить методы получения оптической информациия2ИК-области. Излучение тела с температурой ниже 390 К ужея2совсем невидимо. Зато в ИК-области оно дает мощное излучение,я2несущее много информации о своем источнике. Проблема визуали-я2зации слабо нагретых объектов по их собственному ИК-излучениюя2получила название тепловидения или термографии. Объектами наб-я2людения будут тела с температурой вблизи 300К. По закону Виная2получим, что максимальная интенсивность излучения будет прия2длине волны около 10мкм. Тепловидение в условиях поверхностия2Земли сталкивается с непрозрачностью атмосферы для многих ин-я2тервалов длин волн. К счастью, в спектре поглощения атмосферыя2имеются "окна прозрачности". Для тепловидения важны окная23-5мкм и 8-12мкм. Излучение тел с температурой 300К попадает вя2окно 8-12мкм. я2В ИК-области контрастность картины хуже, чем в видимой.я2Еще одна особенность тепловидения связана с различиями коэффи-я2циентов излучения отдельных деталей сцены. Установлено, чтоя2различие в коэффициентах излучения на 1% эквивалентно разностия2температур 1К. Все эти обстоятельства приводят к сильным разли-я2чиям между видимым изображением, к которому мы привыкли, ия2тепловизионным. Несмотря на это оно полезно не только для ноч-я2ных, но и для дневных наблюдений. Так как в области 8-12 мкмя2имеется менее 0.1% общего излучения Солнца - это "хвост" План-я2ковского распределения. я2Аппараты, служащие для получения тепловизионных изображе-я2ний, называются тепловизорами. Схема простейшего тепловизорая2изхображена на рис 1.5. На нем показаны ИК-объектив из герма-я2ния, сканнер в виде 2-х зеркал, фотоприемное устролйство (ФПУ)я2и индикаторный блок. Так как этот ФПУ имеет один молоразмерныйя2чувствительный элемент, развертка изображения должна вестисья2по 2-м координатам. Тепловизоры с одним фоточувствительнымя2элементом в ФПУ не достигают той чувствительности, которая не-я2обходима для многих применений. Поэтому используются ФПУ ся2многоэлементными линейками чувствительных элементов. каждыйя2элемент линейки осматривает свою строку. Но возникают труд-я2ности, связанные с неоднородностью параметров фоточувствитель-я2ных элементов линейки. Неприятности параллельное сканированиея2встречает при появлении дефекта хотя бы в одном из элементовя2линейки. я2В последние годы часто применяется последовательное скани-я2рование, реализующее режим временной задержки и накопленияя2(ВЗН). При последовательном сканировании линейкма работает какя2один элемент, поэтому нужно сканирование по двум координатам.я2При N- элементах линейки сигнал растет в N раз, а шум только вя2корень из N раз. я2Дальнейшее развитие техники сканирования пошло путем ком-я2бинации параллельного и последовательного сканирования. Прия2этой системе ФПУ имеет несколько линеек, и каждая из них рабо-я2

я2- 7 -я2тает в режиме ВЗН. Мечта разработчиков тепловизоров - двумер-я2ная система чувствительных элементов ФПУ (матрица, двумернаяя2решетка). я2Фоточувствительные элементы приемников излучения для теп-я2ловизоров делаются на основет нескольких полупроводниковых ма-я2териалов. Для области 3-5мкм используются антимонид индия ия2селенид свинца, а для области 8-12мкм твердый раствор теллури-я2дов кадмия и ртути (КРТ) и легированный германий. Фотоприемни-я2ки из перечисленных материалов должны охлаждаться, поэтому вя2состав ФПУ тепловизора включается микрокриогенное устройство -я2малогабаритные газовые холодильные машины. Воспроизведениея2изображэения по сигналам ФПУ реализуется несколькими методами.я2С помощью управления лучом миниатюрного кинескопа, свечениея2линейки из полупроводниковых светодиодов, а можно записыватья2информацию в память ЭВМ или на специальной электрохимическойя2бумаге. я2Для примера заметим, что в ручной тепловизионной ночнойя2визир человека можно увидеть в полной темноте на расстояниия2300 м. Объекты обычной военной техники видны ьна расстояниия22-3км. я2Тепловизоры применяются в народном хозяйстве, промышлен-я2ности и медицине. Состовляются тепловые карты местности, вя2авиации созданы системы переднего обзора, позволяющие видетья2турбулентности атмосферы, для машиностроения очень полезна ди-я2агностика распределения температур по микросборкам и по аппа-я2ратуре в целом. Обнаруживаются места утечек тепла из зданий ия2из трубопроводов. Легко представить себе, какую информацию дляя2врача может дать термограмма человека. я_ГЛАВА 2. Электромагнитные волны в свободном пространстве и в диэлектрическом световоде. я_я21.я. В этом разделе мы рассмотрим кроме задачи о плоскихя2волнах задачи о волнах в цилиндрических диэлектрических свето-я2водах. я2Запишем систему уравнений Максвелла я22.1 я2Будем искать решение в виде плоской волны я2где -волновой вектор, имеющий компонентыя2Легко видеть, что при заданном виде решенияя2подставив эти равенства в уравнения Максвелла, получимя2Равенства показывают, что векторыя2образуют правовинтовую систему координат. Кроме тогоя2Перемножая эти равенства, получим формулу Максвелла дляя2показателя преломления 2.2.я2

я2- 8 -я2Для немагнитных сред 2.2а,я2тогда для показателя преломления 2.2б. я2Рассмотренная поперечная электромагнитная волна в свобод-я2ном пространстве называется волной ТЕМ. Нас будет интересоватья2коэффициент отражения волны ТЕМ от границы раздела двух диэ-я2лектриков. Формулы для коэффициентов отражения и пропусканияя2были впервые выведены Френелем. я2При нормальном падении волны на границу раздела (рис.2.1)я2для вывода нужно использовать граничные условия, согласно ко-я2торым тангенциальные составляющие полей должны быть непрерыв-я2ными на границах раздела. На рис. 2.1 направление вектора я2отраженной волны противоположно направлению векторов я2в падающей и прошедшей волнах - это из требования о пра-я2вовинтовой системе я2При нормальном падении можно записать граничные условия вя2виде я2На основании 2.2 я2Далее имеемя2Обозначив коэффициент отражения по амплитудея2получим формулу Френеля я2Коэффициент отражения по мощности (интенсивности) волны я22.3 я2Если волна отражается от оптически более плотной среды, тоя2есть n2>n1, то коэффициент отражения по амплитуде становитсяя2отрицательным. Это означает изменение фазы отраженной волны ная2180 градусов - "потеря полуволны". я2Можно аналогично рассмотреть случай произвольного угла па-я2дения. Коэффициент отражения волны с вектором электрическогоя2поля в плоскости падения я22.4,я2где и углы падения и отражения. Мы видим,что при я2коэффициент отражения обращается в 0 - падение подя2углом Брюстера. Легко убедитьсяя2где n -относительный коэффициент преломления 2-х сред. я2Отсутствие отражения для одного из состояний поляризациия2использовалось для получения поляризованного света, затем прия2изготовлении лазерных трубок(кювет). я_я22. Волны в стекловолоконных световодах. я2На рис.2.2 изображен отрезок цилиндрического световода,я2состоящего из сердцевины с коэффициентом преломленияя2и оболочки с коэффициентом преломления , причем я2. Луч, вошедший в плоский торец световода, будетя2испытывать многократные полные внутренние отражения, если уголя2падения удовлетворяет условию , где я2. я2Величина называется числовой апертурой световода. За-я2тухание волны в этом простейшем световоде проявится на рассто-я2яниях порядка нескольких км. Более сложные структуры светово-я2

я2- 9 -я2да, в которых создается градиент состава стьекла, обеспечиваетя2распространение волны с допустимым затуханием на расстоянияя2более 100км. я2Зачем нужна оболочка световода? Во-первых, это связано ся2проникновением волны на глубину порядка длины волны во вторуюя2среду, во-вторых, с передачей информации по световоду в видея2очень коротких световых импульсов (рис.2.2). Вычисления пока-я2зывает, что уширение импульса вследствие разности ходая2аксиальных и наклонных луучей выражается формулойя2где длина пути в световоде в км., ия2разность показателей преломления внутренней и внешней сред.я2Дальнейшее сокращение импульсов достигается, когда "профиль"я2показателя преломления становится параболическим или болеея2сложным (рис. 2.3). я2Решение для двухслойного световода получается в аналити-я2ческой форме. Для аксиальной составляющей полей получены фор-я2мулы я2для сердцевины я2для оболочки я2где и - функция Бесселя и Ханкеляя2порядка k. Аргументы функцийзависят от двух параметров k и m.я2При k=0 решения распадаются на два класса: ТЕ-моды не имеютя2продольного электрического поля, ТМ-моды не имеют продольнойя2составляющей магнитного поля. При k=0 обращаются в 1 и распре-я2деление полей не зависит от азимута. На рис.2.5 изображены ра-я2диально-симметричные моды. Кроме того изображена более сложнаяя2мода -"гибридная", она наиболее полезна, когда нужно обеспе-я2чить одномодный режим. я_я23.Применение световодов. я2За последнее десятилетие имелся быстрый прогресс в техникея2оптической связи, ставший возможным в результате создания све-я2товодов с малым поглощением, новых типов полупроводниковых ла-я2зеров и фотоприемников.Наиболее впечатляющим достижениемя2явился ввод в эксплуатацию в 1988г. трансатлантической воло-я2конно-оптической линии связи (ВОЛС) между США и Европой длинойя27000 км. Эта линия обеспечивает возможность вести одновременноя240000 телефонных разговоров. Ведутся работы по сооружению ти-я2хоокеанской ВОЛС от Японии до Гавайских островов длиной 12000я2км.Кроме гигантских ВОЛС имеются сотни линий меньшей длины ия2множество внутриобъектовых и бортовых ВОЛС. я2Основным материалом световодов служит кварцевое стекло ся2предельно достижимой чистотой,легированное двуокисью германияя2и другими примесями. я2Оксиды, образующиеся при реакции, оседают в виде стекла ная2тонком стержне из такого же материала,какой хотят получить.я2Управляя составом реагиирующей смеси, можно нарастить толстыйя2стержень с заданным градиентом состава. Толстый стерженья2поступает в прецизионную установку для вытягивания более тон-я2ких стержней. Повторяя процедуру вытягивания, получают волокноя2диаметром 10-100мкм в виде многокилометровых отрезков. В ближ-я2нем ИК-диапазоне 1.3-1.6мкм стекло имеет минимальный коэффици-я2ент поглощения и минимальную дисперсию. я2Потери мощности излучения в световоде характеризуютсяя2числом децибел на 1км. Рекордно малое затухание составляетя2несколько сотых дБ/км. При передаче информации на большиея2

я2- 10 -я2расстояния в линии делаются ретрансляторы, состоящие из парыя2фотоприемник с усилителем(лазер). я2Информация передается по световоду в цифровой форме в видея2последовательности импульсов излучения полупроводникового ла-я2зера. Для передачи одного звукового канала требуется передатья264кБит/с, поэтому при стандартной информационной емкости кана-я2ла 256МБит/с по одному световоду можно передать 4000 звуковыхя2каналов. Для большей скорости передачия0 я2 информации делаетсяя2кабель, включающий несколько световодов. Конструкция опти-я2ческого кабеля показана на рис.2.6. Она обеспечивает абсолют-я2ную герметичность и защищенность световодов от механическихя2повреждений и рассчитана на десятки лет пребывания на дне оке-я2ана. я2Вторым типом световодных изделий для переноса изображенияя2являются волоконно-оптические пластины (ВОП), состоящие изя2миллионов коротких световодов. Технология ВОП основана на мно-я2гократных вытягиваниях и спеканиях, приводящих к получениюя2стержня, который разрезается на пластинки требуемой толщины. я2Интерес к ВОП возник при разработке оптико-электронныхя2систем, в которых требуется перенос изображения. Простейшимя2примером может служить фотографирование экрана электронно-лу-я2чевой трубки. Если люминофор нанесен на плоскую поверхностья2сравнительно толстого переднего стекла трубки, а не на ВОП, тоя2подавляющая доля света теряется. ВОП также очень полезны прия2стыковке электронно-оптических усилителей изображения с пере-я2дающими телевизионными трубками и при многих аналогичных про-я2цедурах. Также очень удобны ВОП, выполняющие поворот изображе-я2ния на 180 градусов. Задача поворота на 180 градусов изящноя2решается ВОП, в котором задняя поверхность повернута относи-я2тельно передней на 180 градусов. я_ГЛАВА 3. Квазимонохроматический свет. я21. В этой главе для описания электромагнитной волныя2используется "световой" вектор V. Аналог вектора Пойнтинга -я2интенсивность излучения . Тогда спектральный состав из-я2лучения будет характеризоваться функцией . На рис.3.1я2изображены три спектральных распределения интенсивности: дель-я2та-функция, узкополосное и широкополосное. Если ширина спектрая2значительно меньше центральной частоты полосы, то излучениея2называется квазимоноя0хя2ромотическим. В общем случае широкогоя2спектра говорят о полихроматическом излучении. я2Если световое колебание описывается функцией V(t), то пря-я2мое преобразование Фурье представляет его как суперпозициюя2бесконечного числа одночастотных колебаний с амплитудами .я2Обратное преобразование дает возможность вычислить эти ампли-я2туды:я2Отрицательные амплитуды не имеют физического смысла. Их нали-я2чие связано с тем, что тригонометрические функции выражаютсяя2по формулам Эйлера. я2Для квазимонохроматического света прямое преобразованиея2даетя2Под знаком интеграла остаются колебания с частотами многоя2меньшими, чем центральная частота. Поэтому интеграл представ-я2ляет собой медленно изменяющуюся функцию:я2

я2- 11 - я2Итак, квазимонохроматический свет описывается формулой:я2где амплитуда является сравнительно медленно меняющейся функ-я2цией времени. я2Введем понятие о форм-факторе спектральной линии, обозна-я2чаемом функцией . Она определяет спектральное распределе-я2ние интенсивности в пределах линии , причем вводитсяя2условие нормировкия2Тогда , где Io полная интенсивность в пределахя2спектральной линии. я2Смысл форм-фактора можно понять на примере излучения вя2двухуровневой системе. Нижний уровень можно считать неуширен-я2ным, а верхний уширенным в узкую зону. Тогда будет ха-я2рактеризовать априорную вероятность переходов электрона с раз-я2личных компонент уширенного уровня, я0 я2 что соответствуетя2испусканию фотонов с различными частотами. я_я22. Естественная ширина линии. я2Согласно принципу Гейзенберга . В двухуровневойя2системе нижний уровень может быть занят электронами неограни-я2ченно долго, следовательно его ширину можно считать пренебре-я2жимо малой. Занятость возбужденного уровня зависит от вероят-я2ности перехода электрона на нижний уровень.Ушя0ия2рение спектраль-я2ной линии,вызванное принципиально неустранимой причиной, какойя2является соотношение неопределенностей, принято называтья2естественной. я2Спад населенности верхнего уровня происходит по тому жея2закоя0ня2у, что и радиоактивный распад, поэтому можно считать, чтоя2излучение состоит из цугов волн с затухающей амплитудойя2при t>0, и V(t) = 0 при t<0. я2Спектр излученияя2Нижний предел интегрирования в этом случае можно считать рав-я2ным нулю, так как затухающие колебания начинаются в моментя2t=0. Выполнив вычисления, получим:я2Вторым членом в скобках можно пренебречь, так как в его знаме-я2натель входит сумма частот, в то время как в первом члене -я2разность частот. Интенсивность компоненты равная2Графия0кя2е функции изображен на рис. 3.2. Такая форма линиия2называется Лоренцевой. Формула (3.6) позволяет найти ширинуя2линий на уровне 1/2 от максимума. Она равна ,я2т.е. между шириной линии и временем затухания колебания су-я2ществует связь типа соотношения неопределенности. я2Для форм-фактора получаются выраженияя2из которых следует, что я2Таким образом, максимальное значение форм-фактора обратноя2пропорционально ширине линии.я2

я2- 12 - я_я23. Доплеровское уширение. я2Тепловое движение атомов и молекул в активных средах газо-я2вых лазеров приводит к эффекту Доплера и уширению на порядокя2спектральных линий. я2Как известно , где - частотая2излучения покоящегося атома, дельта ню - изменение частоты прия2эффекте Доплера, - составляющая скорости атома по направле-я2нию наблюдения (рис. 3.3), с - скорость света. я2Распределение по скоростям является Максвелловскимя2где m - масса атома, N - число атомов в единице объема. Оче-я2видно, что каждая группа атомов со скоростями в интервале я2дает свой вклад в общее излучение, пропорциональный числуя2атомов в этой группе. Поэтомуя2Подставив вместо ее значение из формулы Доплера , получим я2Форма линии, уширенной эффектом Доплера, является Гауссо-я2вой. Удобна для расчетов формула я2Для форм-фактора можно получить выражение я2При Доплеровском уширении каждому интервалу частоты соот-я2ветствует своя группа атомов, а при естественном уширении каж-я2дый атом дает свою уширенную линию. Уширение, аналогичноея2естественному, называется однородным, а аналогичное Допле-я2ровскому - неоднородным. я_я24. Спектры цугов волн. я2Первым примером будет ограниченный во времени отрезок гар-я2монического колебательного процесса изображенный на рис.3.4.я2Примем, чтоя2Применив преобразование Фурье, получимя2Спектральное распределение интенсивности имеет вид, изображен-я2ный на рис. 3.4. В этом случае целесообразно определить ширинуя2полосы частот как интервал между первыми нулями . Тогдая2получим соотношение неопределенности я2Второй пример относится к Гауссовым цугам, когдая2где характеризует длительность импульса. я2Выполнив преобразование Фурье, получим спектр с Гауссовымя2форм-фактором: я_я25. Уширение спектральных линий при столкновении атомов вя2

я2- 13 -я_я2газах. я2При обсуждении вопроса о естественной ширине спектральнойя2линии мы не вникали в проблему о факторах, определяющих времяя2жизни возбужденного состояния. я2Скя0оя2рость изменения заселенности возбужденного уровня прия2спонтанных переходах подчиняется уравнениюя2где - вероятность перехода за единицу времени (коэффициентя2Эйнштейна). Решение даетя2Квантовая механика позволяет вычислить коэффициент Эйнштейна,я2если известны волновые функции возбужденного и нормальногоя2состояний. я2Мы ограничимся ролью столкновения атомов и молекул в га-я2зах. я2Если считать , что каждое столкновение разрушает возбуж-я2денное состояние, то время жизни его будет определяться време-я2нем между столкновениями. При больших давлениях оно становитсяя2значительно меньше времени спонтанного распада, и шириная2спектральной линии будет определяться соотношением неопреде-я2ленности. я2Уширение в результате столкновений находит применение вя2инфракрасных лазерах, перестраиваемых по частоте. я2Мы видели, что характерные времена процессов, вызывающихя2уширение, обратны соответствующим вероятностям. Если все про-я2цессы независимы, то можно записать результирующее характерноея2время в видея2где в общем случае предполагается наличие уширения верхнего ия2нижнего уровней от различных внешних факторов. Ширину линиия2можно вычислить, считая, что она сохраняет Лоренцеву форму. я_я26. Спонтанное и стимулированное излучение. я2Следуя Фейнману, очень просто получить формулу для средне-я2го числа фотонов в данном состояниия2Такая же формула была получена при рассмотрении квантовогоя2осциллятора методом, который применил сам Планк. я2Для преобладания стимулированной эмиссии нужно получитья2неравновесное состояние среды. Рассматривается система с двумяя2уровнями энергии. я2Условие баланса скоростей эмиссии и поглощения фотоновя2получается из предположения, что скорость спонтанного излуче-я2ния пропорциональна числу возбужденных атомов среды в состоя-я2нии с энергией ; введя коэффициент Эйнштейна , запишем еея2в виде ; скорость поглощения пропорциональна произведе-я2нию числа атомов в нормальном состоянии на плотность энергиия2равновесного излучения , введя коэффициент , запишемя2ее в виде ; скорость стимулированного излучения про-я2порциональна числу атомов в возбужденном состоянии и плот-я2ности равновесного излучения, введя коэффициент , выразимя2ее как я2Из (5.4) найдемя2

я2- 14 -я2Учтя, что в соответствии с принципом Больцманая2получим формулу я2Для совпадения с формулой Планка должны выполняться соот-я2ношенияя2Исходя из (5.2), можно найти по времени спада люминисцен-я2ции среды при возбуждении импульсом коротковолнового света илия2электронным лучом. Тогда я_я27. Коэффициенты поглощения и усиления. я2Рассмотрим плоскую электромагнитную волну с частотой ,я2распространяющуюся в направлении X, являющуюся одним из типовя2колебаний (мод), которые могут существовать в среде. Определимя2плотность мощности Р(x), поглощаемую в слое dx. В соответствиия2с определением коэффициента В, имеемя2Связь эпсилон(х) и Р(х) дается формулойя2Тогдая2Его решение имеет видя2где введено обозначение я2Все изложенное относилось к одночастотному излучению,я2спектр которого выражался дельта-функцией. В действительности,я2спектральные линии испускания или поглощения более или менеея2уширены. Поэтому в выражении (5.12) нужно добавить в правойя2части множитель . Таким образомя2В силу условия нормировки форм-фактора я2Совершенно аналогично можно получить формулу для стимули-я2рованного излучения (процесса обратного поглощению), при этомя2получится формула для коэффициента усиления я2В общем случае изменения мощности волны при распростране-я2нии в среде будет выражаться я2Если нас интересует усиление электромагнитной волны, тоя2N2>N1. я_я28. Квантовый усилитель бегущей волны. я2Среда с инверсией заселенности энергетических уровней уси-я2ливает электромагнитную волну. По мере роста интенсивностия2

я2- 15 -я2волны истощается инверсная населенность, т.е. опустошениея2верхнего уровня самой волной при конечной скорости возбужденияя2внешнего источника.Поэтому экспоненциальный закон спя0ря2аведлив вя2ограниченном диапазоне интенсивностей, а далее происходит пе-я2реход к насыщению. я2Полупроводниковый усилитель представляет собой кристалликя2арсенида галия или иного материала, в котором создан р-n пере-я2ход. Его грани имеют антиотражающее покрытие. Как и в лазере,я2подача положительного смещения на р-n переход вызывает инжек-я2цию носителей заряда в область кристалла, где они становятсяя2неосновными и сильно неравновесными. В процессе рекомбинациия2носителей заряда возникает излучение с энергией примерно рав-я2ной ширине запрещенной зоны. Если бы грани кристалла действо-я2вали как зеркала, началсяя0 я2 бы процесс генерации лазерного из-я2лучения. Но этого не происходит: внешний сигнал, вошедший вя2активную область кристалла испытывает усиление за счет стиму-я2лированного излучения. я2Усилители бегущей волны световодного типа представляют со-я2бой отрезки волоконного световода из материала, легированногоя2ионами редкоземельных элементов, дающих собственное излучениея2на тех же волнах, как и подлежащие усилению. Возбуждение ред-я2коземельных ионов достигается подсветкой световода полупровод-я2никовым лазером. я_ГЛАВА 4.Лазеры (краткий обзор). я2Любой квантовый усилитель входит в режим генерации при на-я2личии достаточной положительной обратной связи. В лазере дляя2этого активная среда размещается в интерферометре Фабри-Пероя2(с плоскими или сферическими зеркалами). я2Инвертированная среда при каждом проходе усиливает волну,я2повышая плотность фотонов, причем аксиальные моды (волны ся2волновым вектором вдоль оси) усилятся больше, чем внеаксиаль-я2ные.Поскольку вероятность рождения фотонов пропорциональна ко-я2личеству уже имеющихся, то в итоге останутся только аксиальныея2моды,и из широкой спектральной линии спонтанного излучения вы-я2делится узкая линия стимулированного излучения аксиальной мо-я2ды. я2Встречные волны аксиальных мод образуют стоячую волну. Ная2расстоянии между зеркалами должно уложится целое число полу-я2волн(интерферометр с плоскими зеркалами).я2Поэтому интерферометер имеет много собственных частот, соот-я2ветствующих резонансам, которые он и выбирает из широкого кон-я2тура усиления(см.рис.4.3). При достаточно слабой инверсии мо-я2жет остаться только одна центральная мода. я2Условие самовозбуждения лазера.я2где - мощность аксиальной моды "затравочного" спонтанногоя2излучения, - мощность аксиальной моды после прохода "ту-я2да и обратно"; - коэффициент усиления средой; -я2коэффициент ослабления; , - коэффициенты отражения зер-я2кал; я2Для самовозбуждения нужно : я2Отсюдая2

я2- 16 - я2Основные типы лазеров: я21. гелий-неоновый. Разряд в чистом неоне не может привестия2к инверсии, но атом гелия имеет метастабильное состояние ся2энергией близкой к требуемой для возбуждения атома неона. Прия2столкновениях эта энергия передается атомам неона.Возможныея2испускаемые длины волн: 0.63, 1.15 и 3.39 мкм. Мощность пучкая2составляет единицы мВт. Применяются в оптическом приборострое-я2нии, исследовательской работе и метрологии (оптический гиро-я2метр). я22. аргоновый. В отличие от первого мощность излученияя2составляет 500 Вт, но при этом КПД менее 0.1%. Дает несколькоя2линий в сине-зеленой части спектра. я23. на парах меди. Дает мощное излучение в желтой и зеленойя2частях спектра. Работает в импульсном режиме. я24. углекислотный. Активная среда - смесь углекислоты, азо-я2та и гелия. Для создания инверсной заселенности энергия отя2возбужденной молекулы азота передается молекуле углекислоты.я2Гелий вводят в смесь для создания высокой теплопроводностия2(т.к. перегрев током разряда при больших мощностях,генерируе-я2мых лазером, затрудняет получение инверсии). Возбужденная мо-я2лекула углекислого газа совершает колебания трех типов. Однов-я2ременно с колебаниями происходит вращение молекулы. Квантыя2вращательной энергии значительно меньше квантов колебательнойя2энергии, что приводит к многоуровневому спектру излучения.я2Множество вращательно-колебательных переходов позволяет пе-я2рестраивать лазер по частоте с помощью селективного резонато-я2ра, состоящего из двух неселективных зеркал и дифракционнойя2решетки, выделяющей нужную спектральную линию. Спектр излуче-я2ния лежит в области 10.6мкм - 9.6мкм.Существующие лазеры ся2мощностью непрерывного излучения около десятков кВт и им-я2пульсные лазеры с энергией в импульсе в сотни кДж, при КПД доя230%. Используются в машиностроении, лазерных локаторах и даль-я2номерах, для контроля состава атмосферы. я2В конструкции лазера обычно используется замкнутый кон-я2тур, по которому циркулирует газовая смесь, проходящая для ре-я2генерации через устройство для каталитического окисления окисия2углерода (образуется при разложении углекислоты электрическимя2разрядом). я25. "эксимерный".Активная среда - смесь инертных газов ся2парами соединений, содержащих галоиды. Принцип получения ин-я2версной заселенности заключается в переходе молекулы из устой-я2чивого возбужденного состояния в неустойчивое нормальное, пе-я2рейдя в которое молекула диссоциирует. Создав в смеси условияя2для химической реакции образования молекул типа криптон-фтор,я2ксенон-фтор и т.д.,мы получаем инверсию, т.к. в нормальномя2состоянии таких молекул нет. Образование возбужденных молекуля2идет при сильном электрическом разряде и сжатом газе с добав-я2кой гелия при давлении выше 1 атм., или при облучении сжатогоя2газа быстрыми электронами. я2Дают импульсное УФ-излучение. Самое коротковолновое излу-я2чение получается в системе аргон-хлор(175 нм), а самое длинно-я2волновое в системе ксенон-фтор(351 нм). длительность импульсовя210 - 50 нс. Мощность до нескольких ГВт. Используются для изго-я2товления эпитаксиальных пленок полупроводников. я26. лазеры на активированных кристаллах и стеклах: я2- рубиновый: излучение на длине волны 0.69 мкм. я2- на стеклах, легированных ниодимом: для созданияя2

я2- 17 -я2инверсии активный элемент облучается импульсной лампой белогоя2света. Излучение вблизи 1.06 мкм. я2- на сапфире, активированном титаном: может перестраива-я2ться по длине волны в широкой области. я_ГЛАВА 6. Полупроводниковые лазеры и их применение. я_я21.я.К методам возбуждения электронной подсистемы полупровод-я2ника относятся инжекция через p-n переход,ионизация быстрымия2электронами и фотоионизация. Основные достижения в области по-я2лупроводниковых лазеров основаны на первом методе. я2Первые инжекционные лазеры были созданы в 1962г. на основея2арсенида галлия. Их простая конструкция(рис.6.1): пластинкуя2арсенида галлия n типа, полученная диффузией цинка, разделяютя2на кристаллики около 1мм; грани,перпендикулярные плоскости p-nя2перехода,служат зеркалами резонатора. Арсенид галлия имеетя2высокий показатель преломления ( 3.7 ), поэтому френелевскоея2отражение составляет около 30%. Этого достаточно для полученияя2генерации (например, при коэффициенте усиления 22 1/мм и длинея2резонатора 0.4мм усиление составляет 4500). Технологическиея2доработки приводят к приборам с исключительно ценным комп-я2лексом качеств: малые размеры области свечения,высокая яркостья2даже при малой мощности излучения, высокий КПД,простота моду-я2ляции излучения током питания, квазимонохроматичность излуче-я2ния и возможность интеграции с другими твердотельными прибора-я2ми на общей подложке. Последнее требуется, например,в прием-я2но-передающих модулях волоконно-оптических систем связи,вклю-я2чающих в себя лазер и фотодиод. Для усовершенствования приме-я2няют полупроводниковые гетероструктуры (системы контактирующихя2на атомном уровне различных полупроводников с неодинаковойя2щелью, но с предельно малым различием постоянных кристалли-я2ческой решетки, напр.:арсенид галлия - арсенид галлия-алюми-я2ния) и квантово-размерные структуры (настолько тонкослойныея2структуры, что движение в них электронов является двумерным). я2С энергетической точки зрения тонкий слой между слоями ся2несколько большей щелью является потенциальной ямой с верти-я2кальными стенками, в которой возникают устойчивые состояния,я2соответствующие стоячим волнам электронной волны. Оптическимя2аналогом квантово-размерной системы является интерферометря2Фабри-Перо. я2Простейшая структура лазера с одной квантовой ямой изобра-я2жена на рис.6.2. я2Мощность лазеров с гетероструктурами квантовой ямой дове-я2дена до единиц Вт в непрерывном режиме при комнатной темпера-я2туре, КПД достигает 50%.Повышение мощности достигается при по-я2мощи многоэлементных лазерных линеек (решеток). я2Для уменьшения расходимости светового пучка вместо зеркаля2на Френелевском отражении применяются структуры типа дифракци-я2онной решетки, нанесенной на поверхность кристалла. По анало-я2гии с отражением рентгеновских лучей от кристаллов эти дифрак-я2ционные зеркала называются Брэгговскими. Лазеры этого типа - "я2лазеры с распределенной обратной связью". Диаграмма направлен-я2ности их имеет ширину порядка 1 градуса, что существенно упро-я2щает оптическую систему формирования выходного пучка. я2Предыдущее изложение относилось к лазерам на основе арсе-я2нида галлия с щелью 1.47эВ, что соответствует длине волныя20.84мкм. я2Развитие ВОСС потребовало перехода к длинам волн 1.3 -я21.6мкм для уменьшения поглощения волн кварцевым стеклом ия2уменьшения дисперсии. Для этого применяются сложные полупро-я2

я2- 18 -я2водниковые системы из 4-х компонентов индий-галлий-фос-я2фор-мышьяк на подложке из фосфида индия. я_я22.Квазиуровни Ферми. Условие инверсии для полупроводников. я2В системе фермионов в равновесном состоянии уровни Фермия2всех подсистем равны. В сильно неравновесных системах стимули-я2рованное излучение доминирует над спонтанным. Вводя избыточныея2по сравнению с равновесным состоянием носители заряда в С- ия2V- зоны,мы заставляем их занимать более высокие состояния,я2т.к. по принципу Паули нижние уровни уже заняты носителями за-я2ряда. Поэтому в первый момент избыточные носители("горячие")я2не подчиняются распределению Ферми. я2Однако в процессе "остывания" за время порядка 1нс уста-я2навливается распределение Ферми, отличающееся от равновесногоя2значением энергии Ферми. После этого избыточные носители су-я2ществуют в зонах в течение времени на несколько порядков боль-я2ше времени остывания. Энергию Ферми для такого состояния назы-я2вают "квазиуровнем Ферми". Очевидно, что квазиуровни Ферми дляя2электронов и дырок не совпадают, как в равновесном состоянии. я2Определим условия для положения квазиуровней Ферми прия2преобладании стимулированной эмиссии над поглощением. Для это-я2го рассмотрим баланс переходов из С-зоны в V-зону и обратно.я2Число переходов за 1с пропорционально произведению вероят-я2ностей занятости состояния в С-зоне и V-зоне. Аналогично дляя2скорости переходов обратно. Коэффициенты пропорциональностия2одинаковы для переходов "вниз и вверх". Здесь нужно использо-я2вать формулу распределения Ферми-Дирака. При инверсии числоя2переходов "вниз" должно быть больше числа переходов "вверх".я2Поэтому условие инверсиия2где и функции, выражающие распределения Ферми дляя2электронов соответственно в С- и V-зонах. Введя вместо уровнейя2Ферми квазиуровни и , запишем их в видея2Для выполнения неравенства нужно, чтобыя2Отсюда следует я2Но есть энергия испускаемого фотона, которая не может бытья2меньше ширины щели (при выбранной нами модели собственного по-я2лупроводника). Поэтомуя2означающее, что квазиуровни должны быть расположены ниже по-я2толка V-зоны и выше дна С-зоны. я2Полученный результат не содержит информации о количествен-я2ном соотношении скоростей переходов с излучением и поглощени-я2ем. Решение этой задачи дается интеграломя2Этот интеграл аналогичен рассмотренному в главе 5 при рассмот-я2рении спектра спонтанного излучения. Положительный знак ре-я2

я2- 19 -я2зультата соответствует преобладанию стимулированных излуча-я2тельных переходов, а отрицательный - преобладанию переходов ся2поглощением. Для непосредственного измерения удобно ввести ве-я2личину эффективной плотности тока :я2где j - плотность тока, - внутренняя квантовая эффектив-я2ность, d - толщина области, где происходит рекомбинация. я2Результаты вычислений баланса излучательных переходов ия2переходов с поглощением и последующих вычислений коэффициентовя2усиления и поглощения изображены на рис.6.3 применительно кя2арсениду галлия. я2Зная коэффициент усиления, можно определить порог генера-я2ции лазерного излучения, когда усиление компенсирует потерюя2излучения. Вблизи порога начнется генерация на одной моде, со-я2ответствующей максимуму усиления, а при увеличении тока нач-я2нется генерация и на других модах, если они не подавляются ре-я2зонатором. я_я23. Условие перехода к генерации. Двойная гетероструктура. я2Для перехода к генерации лазерного излучения нужно обеспе-я2чить положительную обратную связь при помощи резонатора, поз-я2воляющего повысить плотность фотонов для определенных типовя2колебаний (мод) и реализовать принципиальную особенность фото-я2нов, заключающуюся в повышении вероятности рождения фотоная2пропорционально плотности уже имеющихся. Поэтому резонаторя2способствует рождению фотонов, соответствующих по частотея2собственных колебаний резонатора. Начало генерации обычноя2соответствует максимуму спектрального контура усиления, причемя2появляется одномодовое излучение, а затем при повышении токая2усиление становится достаточно высоким для начала генерациия2других мод. Спектр приобретает многомодовую структуру, изобра-я2женную на рис.6.4. я2При сильном возбуждении полупроводника без резонатора по-я2является излучение со сплошным спектром (суперлюминисценция).я2Полупроводниковые излучатели, в которых реализуется такой ре-я2жим, называются суперлюминисцентными светодиодами. я2Общее условие перехода к генерации:я2где R1 и R2 - коэффициент отражения зеркал резонатора, l -я2длина резонатора, ?? - коэффициент усиления и ?? - коэффициентя2поглощения на примесях и при рассеянии на неоднородностях. Дляя2полупроводникового лазера нужно учесть, что выше порога гене-я2рации связь коэффициента усиления и эффективной плотности токая2линейна я2Кроме того, следует уменьшить коэффициент усиления факто-я2ром Г ("фактор оптического ограничения") за счет ухода частия2излучения за пределы активного слоя. я2Для снижения пороговой плотности тока нужно уменьшить тол-я2щину активного слоя d и увеличить Г. Эти соображения реализо-я2ваны в гетероструктуре, использующей контактирующие слои по-я2лупроводников с разным химическим составом (арсенида галлия ся2

я2- 20 -я2арсенидом галлия-алюминия). я2Очень важно, что показатель преломления у арсенида гал-я2лия-алюминия меньше, чем у арсенида галлия, и на их границея2может иметь место полное внутреннее отражение. Поэтому слойя2арсенида галлия между двумя слоями арсенида галлия-алюминияя2образует световод. Кроме того, арсенид галлия-алюминия прозра-я2чен для излучения арсенида галлия, т.к. обладает большей шири-я2ной щели. я2Наконец, особенности контакта двух полупроводников с раз-я2ными щелями способствуют накоплению избыточных неосновныхя2носителей заряда в активном слое. Этот процесс поясняется ная2рис.6.5. я2Первая диаграмма относится к равновесному состоянию. Вто-я2рая соответствует прямому смещению ( - на n-области). Будемя2считать, что p-область заземлена. Подъем части диаграммы дляя2n-области заставит электроны устремиться в p+ -область, обрат-я2ный переход затруднен возникшим потенциальным барьером. Уйти вя2p-область они также не могут, т.к. барьер на границе p+ ия2p-областей сохранился. Дырки в p+ -области также остаются "за-я2пертыми", т.к. их выходу препятствуют барьеры, а на выходе изя2p-области барьера нет. я2Таким образом, двойная гетероструктура создает пространс-я2твенное ограничение для фотонов, заставляя их распространятьсяя2по световоду в активной области, и для электронов и дырок,я2"запирая" их p+ -области. я_я24. Примеры конструкций полупроводниковых лазеров. я2Примеры конструкций полупроводниковых лазеров приведены ная2рис. 6.1, 6.2, 6.9-6.12. Характерен рис.6.2, где показаная2структура одноэлементного гетеролазера с одним квантово-раз-я2мерным слоем, причем изображен профиль показателя преломленияя2в активной области и в ограничивающих слоях гетероструктуры.я2Длина узкой полоски активной области составляет доли мм. я2На рис.6.9 изображена более сложная конструкция лазера ся2активной областью из четверного соединения двух составов, из-я2лучающей на длинах волн 1.18мкм и 1.52мкм. Вышележащий слойя2фосфида индия p-типа и нижележащий слой n-типа образуют вместея2с активным слоем двойную гетероструктуру. Сама активная об-я2ласть расположена на "столике", который зарощен слоями фосфидая2индия, служащими для предотвращения диффузии избыточных носи-я2телей заряда в боковом направлении. Таким образом, они оказы-я2ваются "запертыми" в пределах активной зоны, что соответствуетя2повышению эффективной плотности тока. Рядом показана зависи-я2мость мощности излучения от тока через структуру при различныхя2температурах. По шкале оси абсцисс можно судить о величине по-я2рогового тока. я2Рис.6.11 дает представление о конструкции лазера с дифрак-я2ционной решеткой (отражателем Брегга). Решетка наносится не ная2активный слой, а на нижележащий волновой слой. Это делаетсяя2для предотвращения появлений дефектов в активном слое. я2Рис.6.12 изображает схему фазированной решетки из несколь-я2ких лазеров, которые могут обмениваться излучением благодаряя2наличию связей между ними. В результате обмена устанавливаетсяя2общее поле и лазеры начинают излучать в фазе друг с другом,я2что приводит к улучшению диаграммы направленности. я_я25. Применение полупроводниковых лазеров. я2Самый крупный потребитель лазеров - бытовая и специальнаяя2видеотехника.я2

я2- 21 - я2Вторая область массового применения - волоконно-оптическиея2линии связи (ВОЛС). Общая структура ВОЛС включает приемо-пере-я2датчики и кабель со световодами, а на длинных линиях еще пов-я2торители-ретрансляторы. Расстояние между ретрансляторамия2достигает 100 км. - такой прозрачностью обладают световоды изя2легированного кварцевого стекла. я2Приемо-передатчики представляют собой модули, содержащиея2лазер, стыкуемый со световодом, фотодиод и электронные мик-я2росхемы. Принципиальная схема изображена на рис.6.13. я2Созданы ВОЛС, в которых используется оптическое усилениея2сигнала. Для этого служит отрезок световода из стекла, легиро-я2ванного ионами примесей, которые возбуждаются излучением по-я2лупроводникового лазера на арсениде галлия. Этот отрезок явля-я2ется усилителем бегущей световой волны сигнала от основногоя2лазера-передатчика. я2Среди других применений отметим ряд типов волоконно-опти-я2ческих датчиков различных физических величин. Все эти устройс-я2тва по сути являются волоконно-оптическими интерферометрами,я2регистрирующими разность фаз, которая возникает при воздейс-я2твии внешних факторов на чувствительный элемент. я_ГЛАВА 7 я_я21.я. При изложении материала о приемниках оптического излу-я2чения будем использовать сокращения: ФП - фотоприемник, ФПУ -я2фотоприемное устройство, ФЭПП - фотоэлектрический полупровод-я2никовый приемник, ТФП - тепловой фотоприемник. я2ФП классифицируются по механизму реакции на излучение,я2т.е. преобразования оптического сигнала в электрический. Фо-я2тонные (квантовые): эл. сигнал возникает при прямом преобразо-я2вании энергии фотона в первичную реакцию ФП (например: фотоди-я2оды, фоторезисторы, фотоэмиссионные приемники, усилители изоб-я2ражения). Тепловые: энергия фотона преобразуется в теплоту, ия2реакция ФП создается в результате повышения температуры егоя2чувствительного элемента. я2Принцип действия фотодиодов основан на разделении полемя2контактной разности потенциалов избыточных (неравновесных) не-я2основных носителей заряда, созданных при поглощении фотоновя2(см.рис.5.8). Фототок добавляется к току равновесных неоснов-я2ных носителей. я2Принцип действия фоторезисторов основан на изменении соп-я2ротивления чувствительного элемента при поглощении фотонов. я2Можно конструктивно объединить фоточувствительный элементя2с предусилителем. Такие приборы называются фотоприемными уст-я2ройствами. Чувствительные элементы ФПУ могут быть сделаны изя2любого материала, применяемого в фотоэлектронике, а электрон-я2ный тракт состоит из обычных кремниевых компонентов. Многиея2ФПУ имеют по одному чувствительному элементу, но большая частья2применений требует наличия многих чувствительных элементов(я2напр. ФПУ для систем телевидения). я2К фотонным приемникам эмиссионного типа относятся все при-я2боры с внешним фотоэффектом эмиссии в вакуум. Среди них широкоя2используются фотоэлектронные умножители(ФЭУ) и электронно-оп-я2тические преобразователи(ЭОП). я2К тепловым фотоприемникам(ТФП) относятся болометры разныхя2типов, радиационные термоэлементы и пироэлектрические ТФП. я2Болометры преобразуют оптический сигнал, воспринимаемыйя2резистивным чувствительным элементом(ЧЭ), в теплоту. Повышениея2температуры изменяет сопротивление элемента, регистрируемоея2

я2- 22 -я2электронной схемой. Часто используются приборы с двумя рядомя2расположенными одинаковыми чувствительными элементами, один изя2которых принимает сигнал, а другой остается неосвещенным. Вя2этом случае используется мостовая схема, позволяющая уменьшитья2влияние изменений температуры окружающей среды. Чувствительныея2элементы неохлаждаемых болометров изготовляются из композицийя2оксидов металлов, обладающих полупроводниковыми свойствами,я2или из тонких пленок металлов. В охлаждаемых болометрахя2используются элементы из германия и кремния, легированные при-я2месями. Для повышения коэффициента поглощения излучения на по-я2верхность ЧЭ наносится слой черни. Спектральная областья2чувствительности болометра определяется свойствами черни ия2прозрачностью окна прибора, его можно считать неселективным вя2широкой области спектра. Недостатком болометров является боль-я2шая инертность с характерным временем порядка 1мс. По чувстви-я2тельности к слабым сигналам неохлаждаемые болометры уступаютя2фотоэлектрическим ФП на 2-3 порядка. Полупроводниковые боло-я2метры, охлаждаемые до гелиевых температур, имеют очень высокуюя2обнаружительную способность. я2Важным фактором, определяющим качество болометра, являетсяя2термический коэффициент сопротивления материала ЧЭ. Были раз-я2работаны сверхпроводящие болометры с очень резкой зависимостьюя2сопротивления от температуры в области сверхпроводящего пере-я2хода. я2Пироэлектрические ФП (ПФП) основаны на температурной за-я2висимости поляризации сегнетоэлектрических кристаллов, которыея2обладают постоянной поляризацией. Сигнал ПФП состоит в измене-я2нии плотности заряда на поверхности образца при нагревании.я2Образец пироэлектрика в виде пластинки с электродами на граняхя2подобен заряженному конденсатору. Нагревание пластинки сигна-я2лом излучения изменяет заряд и во внешней цепи проходит им-я2пульс тока. Если сигнал не модулирован, то тока во внешней це-я2пи не будет, т.е. ПФП реагирует только на изменение сигнала.я2ЧЭ для ПФП делаются обычно из триглицинсульфата или танталатая2лития. ПФП имеют большую инертность, чем фотоэлектрические ФП.я2Ия0мя2ется возможностья0 я2 повысить быстродействие ПФП ценой сниженияя2чувствительности. я_я22. Материалы, используемые при изготовлении ФЧЭ фоторе- я_я2зисторов и фотодиодов. я2Успехи современной микроэлектроники в основном связаны ся2хорошо разработанной технологией кремния и отчасти арсенидая2галлия. Для области 3-5мкм одним из основных материалов счита-я2ют антимонид индия. Для области 8-12мкм оптимальным материаломя2является твердый раствор теллуридов кадмия и ртути с составомя20.2 по кадмию. я2В среднем ИК-диапазоне до 10мкм можно использовать рядя2собственных полупроводников, а в дальнем - примесные полупро-я2водники. В области 8-12мкм пригодны собственный полупроводникя2КРТ и примесный германий с ртутью. я_я23.Конструкция фотоэлектрических полупроводниковых приемников я_я2излучения(ФЭПП). я2Одноэлементные неохлаждаемые ФЭПП в простейшем случае нея2имеют герметизирующего корпуса. ФЧЭ защищается от внешних воз-я2действий тонкой пластинкой, на которую наносится отражающеея2покрытие, заставляющее излучение проходить через чувствитель-я2ный слой дважды. Герметизация достигается с помощью полимерно-я2го герметика и обеспечивает сохранение свойств ФЧЭ при дли-я2

я2- 23 -я2тельном пребывании во влажной атмосфере. Более сложные ФППя2имеют металлический корпус с окном. Для устранения потерь ная2отражение на окна наносится антиотражающее покрытие. Иногда кя2ФЧЭ приклеивается иммерсионная линза. Она позволяет собратья2излучение на ФЧЭ малого размера, имеющий меньшие шумы и боль-я2шую чувствительность. Фотодиоды для ВОЛС имеют для ввода излу-я2чения короткий отрезок световода, который стыкуется с линией ся2помощью разъема. я_ГЛАВА 8. я_я21. ВАХ фотодиода. Структура фотодиода. Лавинный фотодиод. я2При освещении p-n перехода излучением, вызывающем переходыя2зона-зона, в каждой области происходит генерация свободныхя2носителей заряда (фотоносителей), которые не отличаются отя2"темновых", созданных тепловым движением. Они также "скатыва-я2ются" с потенциального барьера в сою область, где становятсяя2избыточными. Поэтому реакцией кристалла на фотоионизирующуюя2радиацию является рост тока насыщения и формула для ВАХ прини-я2мает видя2где Iф - фототок. Величина Iф связана с плотностью мощностия2монохроматического фотоионизирующего излучения формулойя2где - квантовая эффективность, т.е. доля фотонов, создав-я2ших фотоносители в области настолько близкой к ОПЗ и p-n пере-я2ходу, чтобы принять участие в токе неосновных носителей черезя2переход. я2Ампер-ваттная чувствительность для фотодиодов определяетсяя2как фототок, вызванный излучением с мощностью равной единице.я2Учитывая (8.1): я2ВАХ фотодиода изображена на рис 8.1. Обратим внимание ная2две возможности измерения мощности оптического сигнала. Перваяя2состоит в режиме обратного смещения с выходом на ток насыщенияя2и измерении разности токов при освещении и без него, а втораяя2- в измерении напряжения без внешнего смещения. Первый режимя2называется фотодиодным, а второй фотовольтаическим. При фото-я2диодном режиме кристалл действует аналогично фоторезитору, ая2при фотовольтаическом аналогично фотоэлементу - источнику ЭДС.я2Величину фотоЭДС Eф легко вычислить, положив в формуле ВАХя2I=0. В результатея2

я2- 24 -я2Если , то и связаны линейной зависимостью. Как ия2всякий источник напряжения, фотодиод имеет внутреннее сопро-я2тивление, на котором получается падение напряжения, поэтомуя2фотовольтаический режим в чистом виде реализуется при большомя2внешнем сопротивлении. Фотодиод следует делать на основея2пластинки p-типа и создавать на одной из ее поверхностей тон-я2кий слой n-типа. Излучение должно входить через слой n-типа ия2поглощаться в материале p-типа. я2Многие фотодиоды кроме высокой квантовой эффективностия2должны иметь малую инерционность, иначе говоря, большую ширинуя2информационной полосы частот. За последние десятилетия былия2разработаны лавинные фотодиоды(ЛФД), представляющие собой по-я2лупроводниковые аналоги вакуумных ФЭУ. В отличие от обычныхя2фотодиодов они имеют внутреннее усиление сигнала, которое соз-я2дается ударной ионизацией полупроводника ускоренными электро-я2нами или дырками. Для этого в структуре ЛФД должны иметься по-я2ля с напряженностью порядка 100кВ/см. я_я22. Шумы фотоэлектрических полупроводниковых приемников я_я2излучения (ФЭПП).Мощность эквивалентная шуму (МЭШ). я2Существуют два вида случайных процессов, связанных с кван-я2товой природой излучения, а именно, фотонный шум и тепловойя2шум резисторов. Есть также дробовой и генерационно-рекомбина-я2ционный шумы, существующие как при наличии освещенности фото-я2чувствительного элемента ФЭПП, так и без нее. Кроме этих шумовя2существует Фликкер-шум (1/f-шум), возникающий в результатея2различных явлений, которые можно в той или иной степени устра-я2нить технологическими приемами. я2Определим МЭШ. Начнем с радиационного шума. Обозначив МЭШя2через имеем в соответствием с формулой Шоткия2Если бы измерительная схема, включая фотоприемник, не имелая2шумов, то, при единичной ширине полосы, пропускаемой электрон-я2ным трактом, можно было бы зарегистрировать сигнал из несколь-я2ких фотонов. Фоторезистор, не имеющий темнового тока, но даю-я2щий усиление фототока по сравнению с фотодиодом вя2раз, имеет МЭШ в два раза большую,чем фотодиод. Это видно изя2вычисления, аналогичного проведенному для фотодиода :я2Перейдем к радиационному шуму, вызванному внешней подсветкойя2излучением фона с мощностью Pф. я2Повторяя те же вычисления получим для фотодиодая2Выразив мощность фоновой подсветки формулойя2где Eф - плотность потока фотонов фона и A - площадь ФЧЭ, по-я2лучим формулу для МЭШ фотодиода при ограничении флуктуации мо-я2нохроматической фоновой подсветки я2Аналогичная формула для фоторезистора, имеющего фотоэлект-я2рическое усиление G имеет видя2

я2- 25 -я2Коэффициент фотоэлектрического усиления сократился, а МЭШ ока-я2залась в корень из 2 раз больше, чем доя фотодиода. я2При использовании ФЭПП в аппаратуре космического назначе-я2ния плотность потока фотонов фона может быть снижена на многоя2порядков и доминируюшим становится тепловой шум. Выполнивя2простое вычисление по той же схеме получим формулу для МЭШ прия2ограничении тепловым шумом:я2где R и T - сопротивление и температура ФЧЭ. я2При ограничении флуктуациями темнового тока фоторезисторая2МЭШ вычисляется по формулея2в которую входит коэффициент фотоэлектрического усиления G. Вя2предыдущих формулах он сокращался, что означало одинаковоея2усиление фототока и его флуктуаций, но здесь он способствуетя2снижению МЭШ. я2Надо заметить, что фотоэлектрическое усиление полезно не-я2зависимо от влияния на МЭШ, т.к. повышение сигнала при наличиия2помех всегда желательно. я_я23. Обнаружительная способность. я2Понятие о МЭШ очень хорошо характеризует качество ФЭПП, ноя2более целесооразно выбрать новую меру качества так, чтобы вя2нее не входили и . Это достигается введением понятия обя2удельной обнаружительной способностия2Исключение и равносильно условию, что A=1кв.см и я2= 1Гц. я2Как видно из определения, величина измеряется едини-я2цами . Используя формулы для МЭШ получим: я2- при ограничении фотодиода флуктуациями фона в пределахя2телесного угла : я2- при ограничении фоторезистора флуктуациями фона в пределахя2телесного угла : я2- при ограничении тепловым шумом :я2где произведение - простая мера качества p-n переходов. я2Для идеального ФЭПП вычисляется по формулея2где введено , - предельная длина волны (квантовая эф-я2фективность равна 1 во всем диапазоне длин волн от0 до ия2равна нулю при более длинных волнах). я2Для теплового приемника излучения имеем я_я24.Гетеродинный (когерентный) прием излучения оптического я_я2диапазона. я2ФЭПП,рассмотренные в главе 8, пригодны для приема излуче-я2

я2- 26 -я2ния независимо от степени когерентности.Но одночастотный светя2во всех отношениях аналогичен одночастотному излучению радио-я2диапазона и для его приема можно применять метод гетеродиниро-я2вания.В отличие от гетеродинирования обычный метод получиля2название прямого детектирования.Напомним ,что идея гетеродини-я2рования состоит в смещении двух гармонических сигналов, разли-я2чающихся по частоте, на квадратичном детекторе. Один из нихя2подлежит приему, а другой, более мощный, создается местным ге-я2нератором - гетеродином, входящим в приемное устройство. Прия2смещении возникает разностная частота, сигнал которой поступа-я2ет в электронный тракт усиления и обработки. В оптическом диа-я2пазоне квадратичным детектором служит ФЭПП с достаточно высо-я2ким быстродействием, а процесс смещения осуществляется простойя2суперпозицией сигналов на его ФЧЭ. я2При гетеродинном приеме МЭШ пропорциональна (1), а не (2),я2как при прямом детектировании , и равна (3). я2Гетеродинный прием имеет существенные принципиальные преи-я2мущества по сравнению с прямым детектированием, но его реали-я2зация обычно встречает трудности согласования волновых фронтовя2сигнала и гетеродина. я_ГЛАВА 9. я_Фотоэлектрические приемники изображения. я2К приемникам оптического изображения относятся электрон-я2но-оптические преобразователи (ЭОП), полупроводниковые матрицыя2с системой считывания сигналов с отдельных элементов и вакуум-я2ные телевизионные трубку со считыванием сигнала электроннымя2лучом. я2ЭОП предназначены для усиления и визуализации изображенийя2слабо светящихся объектов, недоступных прямому наблюдению че-я2ловеческим глазом. ЭОП служит основой приборов ночного виденияя2и многочисленных видов аппаратуры научного и народнохо-я2зяйственного назначения. Основная идея преобразования и усиле-я2ния изображения состоит в превращении оптического изображенияя2в электронное и затем снова в оптическое. Если исходное изоб-я2ражение было невидимым - ультрафиолетовым или инфракрасным доя2длины волны 1 мкм -, то оно преобразуется в видимое. Усилениея2получается путем ускорения электронов сильным электрическимя2полем. Эти процессы были впервые реализованы в 1934 г., в при-я2боре , получившем название "стакан Холста" /см. рис. 9.1/. я2Полупроводниковые фотоматрицы для телевидения и тепловиде-я2ния представляют собой приборы с зарядовой связью (ПЗС) .я2Основная идея ПЗС состоит в накоплении фотоэлектронов (или фо-я2тодырок) в миниатюрном конденсаторе со структурой ме-я2талл-окись-полупроводник (МОП) и передаче накопленного зарядая2по цепочке таких конденсаторов, управляемых электрическими им-я2пульсами. Заряд каждого конденсатора соответствует освещен-я2ности проектируемого на него элемента изображения (пикселя).я2Пройдя по цепочке конденсатора этот заряд, несущий информациюя2о данном пикселе, попадает в общий усилитель и далее служитя2видеосигналом. я2ПЗС фотоматрица по пороговой освещенности значительноя2уступает ЭОП, способному регистрировать отдельные фотоны . По-я2этому в последние годы были созданы гибридные системы с ЭОП ная2входе и стыкованной с ним ПЗС фотоматрицей.я2

я2- 27 - я_ГЛАВА 10. я_Интерференция квазимонохроматического света. я_Многолучевая интерференция. я_я21. Закон интерференции квазимонохроматического света. я2Излучение, удовлетворяющее условию , где цент-я2ральная частота полосы, называется квазимонохроматическим вя2отличие от идеального монохроматического одночастотного излу-я2чения. Закон интерференции одночастотного света легко получа-я2ется суммированием колебаний в двух интерферирующих волнах.я2Представим себе, что мы наблюдаем интерференцию при помощия2интерферометра Маха-Цендера /рис. 10.1/, в котором исходнаяя2волна разделяется на две светоделителем, причем для одной изя2них вводится временная задержка , соответствующая разнос-я2ти хода а затем обе волны сводятся вместе. Не учитываяя2векторный характер световых колебаний можем записать интенсив-я2ность результирующей волны в видея2гдея2Соответствующие интенсивности равныя2отсюда следует, чтоя2Заметим, что первые два члена дают "фотометрическое" сложение,я2а третье описывает интерференцию. Интерференционная картиная2будет представлять собой систему светлых и темных линий, сое-я2диняющих те точки, в которых результат интерференции одинаков.я2Контраст интерференционной картины (или видность) определяетсяя2по формулея2Подставив значения и в соответствии с закономя2интерференции, получим, что С=1 или 100% . я2Закон интерференции для квазимонохроматического света по-я2лучается по той же схеме, как для одночастотного света. Прия2этом будем считать, что процессы изменения амплитуд со време-я2нем стационарны, то есть результаты усреднения по времени нея2зависят от начала отсчета времени. Вычисление даетя2

я2- 28 -я2Интерференционный член имеет видя2где представляет собой функцию взаимнойя2корреляции величин и . я2Функция описывает степень связанности двух изменяю-я2щихся случайно величин. Нормированная функция взаимной корре-я2ляциия2Физический смысл легко понять, рассмотрев интерференциюя2двух волн с одинаковой интенсивностью и вычислив видность ин-я2терференционной картины. Оказывается, что С= .я2называют степенью когерентности. Для идеального одночастотногоя2света она равна 1,при фотометрическом сложении равна 0,а дляя2монохроматического света имеет промежуточное значение. я_я22.Теорема ван-Ситтерта-Цернике. я2Можно ли наблюдать интерференционную картину от источника,я2излучение которого заведомо некогерентно, например, от Солнцая2или любого нагретого тела ? Этот вопрос получил положительныйя2ответ в исторически первом интерференционном опыте Юнга, в ко-я2тором наблюдалась интерференционная картина при суперпозициия2волн от двух дырок, проколотых в непрозрачном экранея2/рис.10.3/.Наша задача будет состоять в теории опыта Юнга,ре-я2зультатом которой является теорема ван-Ситтерта-Цернике.Ная2рис.10.4 в плоскости изображен плоский некогерентныйя2источник, а в плоскости экран с двумя дырками. я2Будем считать, что на пути волн установлен светофильтр,я2пропускающий полосу частот, удовлетворяющую условию квазимо-я2нохроматичности. Для выяснения вопроса, получится ли достаточ-я2ная интерференционая картина при суперпозиции волн от дырок Р1я2и Р2 на экране, нужно найти функцию взаимной корреляции коле-я2баний в Р1 и Р2. я2Выделим на плоскости источника элемент площади ия2запишем колебания в точках Р1 и Р2, создаваемые сферическимия2волнами от элемента :я2Для определения колебаний от всех элементов поверхностия2источника запишем суммы: я2Подставив суммарные колебания, получим я2Вторая сумма с разными индексами n и m равна нулю, так какя2мы считаем источник пространственно не когерентным .Первуюя2сумму можно преобразовать в интеграл по площади источника,я2введя плотность интенсивности и заменив ная2При условии ,что источник расположен достаточно далеко отя2

я2- 29 -я2экрана с дырками :я2где введены безразмерные координаты p=(x1-x2)/R, q=(y1-y2)/R. я2При сделанных предположениях произведение R1*R2 можно за-я2менить на R*R и вынести за знак интеграла .В заключение можноя2распространить пределы интегрирования до бесконечности, такя2как за пределами источника в плоскости я2Конечный результат имеет видя2Функция взаимной корреляции с точностью до множителя являетсяя2двумерным Фурье-преобразованием от распределения интенсив-я2ностей по площади источника. я_я23.Применение теоремы ван-Ситтерта-Цернике к источнику в я_я2виде равномерно светящегося круглого диска . я2На рис.10.5 применим полярную систему координат вя2плоскостях и X,Y : я2Для отрезка , показанного на рис.10.6 имеем:я2Тогда интеграл приобретает вид, хорошо известный в теориия2Бесселевых функций я2Напомним, что Бесселева функция первого рода и нулевогоя2порядка равна интегралуя2и что существует формула, связывающая Бесселевы функции перво-я2го и нулевого порядкая2В нашем случае я2График функции показан на рис.10.6. При =3.83я2видность интерференционной картины обращается в 0, затемя2несколько возрастает и снова обращается в 0.я2Т.к. , тоя2

я2- 30 - я2Введя угловой размер светящегося диска получимя2конечный результат я2Иначе говоря, на поверхности волнового фронта можно выде-я2лить кружок, в пределах которого имеется пространственная ко-я2герентность. Диаметр этого кружка когерентности равен я_я24.Звездный интерферометр Майкельсона и измерение я_я2угловых размеров звезд. я2Схема звездного интерферометра изображена на рис.10.7.я2Увеличивая базу перемещением зеркал, можно как бы проходить поя2кружку когерентности. Эксперименты состояли в визуальном наб-я2людении интерференционной картины при увеличении базы. Интер-я2ференционная картина становилась все менее контрастной и, на-я2конец исчезала,а затем снова появлялась при значительно мень-я2шем контрасте. Т.о., величина b1 становилась известной, и фор-я2мула 10.9 давала возможность вычислить угловой размер звезды.я2Майкельсон измерил угловые диаметры ряда звезд, в частности,я2звезды Бетельгейзе, угловой диаметр которой составил 0.05 угл.я2сек. я_я25.Радиоинтерферометр. я2На рис.10.7 изображена схема радиоинтерферометра на основея2двух радиотелескопов. Размер базы пока ограничен размерамия2Земли, но имеются сведения о выносе радиоинтерферометров вя2космос .Реализовать непосредственную суперпозицию радиосигна-я2лов от двух далеко расположенных телескопов невозможно, поэто-я2му электронная система каждого телескопа должна обеспечиватья2их магнитную запись с привязкой к сигналам точного глобальногоя2времени,после чего можно наблюдать в лабораторных условиях ин-я2терференцию электрических сигналов от двух магнитных записей. я_я26.Фурье-спектроскопия. я2Фурье-спектрометр состоит из интерферометра Майкельсона ся2механизмом плавного перемещения одного из зеркал (по оси X),я2фотоприемного устройства (ФПУ), аналого-цифрового преобразова-я2теля и компьютера с дисплеем и графопостроителем (смя2рис.10.9). Пусть распределение интенсивности в спектре иссле-я2дуемого излучения выражается функцией , вид котор ой под-я2лежит определению. Перемещая зеркало по оси X, мы изменяемя2разность хода и тем самым интенсивность излучения на ФПУ. за-я2висимость тока ФПУ от перемещения зеркала (интерферограмма)я2преобразуется двоичным кодом и записывается в памяти компьюте-я2ра. Переменная составляющая тока , вызванная излучением ся2частотой , будет равная2где -ампер-ваттная чувствительность, а общий ток от всехя2частот выразится интегралом я2Совершая обратное преобразование Фурье, получимя2

я2- 31 - я2Ошибка при распространении верхнего предела по X до беско-я2нечности оказывается незначительной. я_я27.Многолучевая интерференция. я2На рис.10.10 изображена схема хода лучей при фокусировкея2выходящих лучей в фокальной плоскости линзы. Легко показать,я2что разность фаз соседних лучей, от которой зависит результатя2интерференции, равная2где d-толщина пластинки, -угол преломления и n-показателья2преломления. При нормальном падении будет я2Найдем теперь результат интерференции всехпрошедших лучейя2и паолучим формулу Эйри. я2На рис.10.11 показана часть рис.10.10, где введены следую-я2щие обозначения коэффициентов отражения и пропускания по амп-я2литудпе: r-для отражения от пластинки в воздух, r'=-r-для от-я2ражения от поверхности пластинки в пластинку, t-для пропуска-я2ния из воздуха впластинку и t'-для пропускания из пластинки вя2воздух. Если принять амплитуду падающей волны за 1, то надписия2на схеме дадут амплитуды сответствующих лучей. Заметим так же,я2что r'=-r в силу различия условий отражения, а коэффициент от-я2ражения по мощности от поверхнолсти пластинкия2Коэффициент пропускания по интенсивности T=t*t'.Очевидно, чтоя2R+T=1. Ряд, выражающий результат интерференции при сделанныхя2обозначениях, имеет вид геометрической прогресиия2откудая2введем обозначениея2тогда формула Эйри примет видя2Величина F называется фактором резкости.я2Коэффициент пропускания обращается в 1 при условиия2Стопроцентное пропускание получается при условии ,я2где q-целое число, илия2На оптической толщине пластинки должно укладываться целоея2число полуволн, что совпадает с условием образования стоячихя2волн. Ширина резонансных полос на уровне 1/2 от максимума рав-я2на я2Отсюда видно, что узкие максимумы получаются при высокомя2коэффициенте отражения поверхности. я_я28. Интерферометр Фабри-Перо как спектральный прибор и я_я2резонатор. я2Рассмотрим сканирующий интерферометр. Зеркала сканирующегоя2интерферометра могут перемещаться параллельно самим себе прия2

я2- 32 -я2помощи прокладки из пьезоэлектрического материала. Изменениея2базы настраевает прибор на определенную длину волны,для кото-я2рой система максимально прозрачна.Направив прошедшее через ин-я2терферометр излучение на фотоприемник и подав его сигнал ная2осцилограф, получим наглядную картину контура спектральной ли-я2нии. я2Интерферометр Фабри-Перро используется как резонатор ся2межмодовым расстояниемя2и добротностью я_я29.Просветление оптики. я2По мере усложнения оптических систем с целью снижения хро-я2матической и геометрической аббераций, проблема контраста ста-я2новилась все более актуальной, и в 30-е годы получила техноло-я2гическое рещение, состоящее в нанесении на поверхности опти-я2ческих деталей тонких пленок с оптической толщиной 1/4 длиныя2волны. При этом условии лучи, отраженные от передней и заднейя2поверхностей пленок имеют разность хода в 1/2 длины волны. Дляя2пролного гашкния отраженной волны материал пленки должен иметья2показатель преломления, равный среднему геометрическому из по-я2казателей преломления подложки и среды на входе. я_я210. Интерференционное зеркало. я2Обычно применяемые металлические зеркала при самой совер-я2шенной технологии не могут иметь коэффициент отражения, близ-я2кий к 100%, т.к. электромагнитная волна проникает на глубинуя2скин-слоя и индуцирует в металле токи оптической частоты,выде-я2ляющие джоулево тепло.Границы раздела диэлектриков свободно отя2жтого недостатка, но коэффициент Френелевского отражения оченья2мал. Выход был найден путем создания многослойных структур изя2чередующихся слоев двух диэлектриков с неодинаковыми показате-я2лями преломления. типичной парой являются сернистый цинк ия2криолит, имеющие показатели преломления соответственно 2.3 ия21.3. Все отражения усиливают друг друга при интерфыеренции. Ная2рис. 10.17 изображена схема хода лучей, возникащих при многок-я2ратных отражениях. Среда на входе (воздух) имеет показателья2преломления n0, подложка - n3. Между ними m пар слоев с пока-я2зателями преломления n1 и n2. Коэффициент отражения системыя2равен я2Полученная формула показывает, что при большом числея2слоев коэффициент отражения стремится к 100% независимо отя2того, будет ли n1>n2 или n1<n2. я_я211. Интерференционный светофильтр. я2Для лазерной техники, например, для дальнометрии и лока-я2ции, необходимы светофильтры с очень узкой полосой пропусканияя2и достаточно высоким пропусканием в максимуме. Этим требовани-я2ям удовлетворяют интерференционные светофильтры, которыея2представляют собой тонкопленочные интерферометры Фабри-Перо.я2Максимум пропускания получается при условиия2

я2- 33 - я2Длины волн, для которых интерферометр прозрачен, при m=1я2удовлетворяют условиям я2Предположим, что мы хотим выделить длину волны =1мкм,я2относящуюся к близкой ИК-области. Ближайшими соседними про-я2пускаемыми длинами волн будут =0.5мкм в зеленой областия2спектра и =0.33мкм в ближней УФ-области. Зеленое излучениея2легко удалить, поместив последовательно абсорбционный свето-я2фильтр (типа окрашенного стекла), а УФ-излучение поглотитьсяя2стеклянной подложкой,на которую нанесены пленки, образующиея2интерферометр. я_ГЛАВА 11. я_Дифракция света. я_я21. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. я2Принцип Гюйгенса-Френеля является сочетанием принципа Гюй-я2генса, согласно которому любая точка волнового фронта испуска-я2ет вторичные волны, с принципом интерференции вторичных волн.я2Проверка справедливости принципа Гюйгенса-Френеля состоит вя2доказательс ве того, что сферический фронт волны в процессе еея2распространения является сферическим. Следуя Френелю, нанесемя2на исходный сферический фронт систему кольцевых зон с такимя2расчетом, чтобы разность расстояний от соответствующих краевя2соседних зон до очки Р, в которой будет находиться фронт черезя2некоторое время, была равна 1/2 длины волны. Так мы получимя2систему кольцевых зон Френеля, в которой каждая зона дает ко-я2лебание в противофазе с соседней. Запишем теперь амплитудыя2световых колебаний на исходном фронте с радиусом r0 и в новомя2положении фронта с радиусом r в предположении, что волная2действительно остается сферической я2Запишем амплитуду вторичной волны от элемента кольцевойя2зоны j в точке Р с учетом наклона площадки по отношению к нап-я2равлению на точку Р. Введя фактор наклона Кj­(Q), зависящий отя2угла Q между нормалью к площадке и направлением на точку Р,я2получимя2Интегрируя это выражение по кольцевой зоне получимя2Теперь применим теорему косинусовя2Далее запишем я2Члены ряда знакопеременны в силу условия, по которомуя2строились зоны. Остается оценить я2Мы не знаем закона по которому бывает фактор наклона, ноя2это и не нужно, так как известно, что сумма знакопеременногоя2

я2- 34 -я2ряда с медленно убывающими членами равна 1/2 cуммы первого ия2последнего членов, а последним членом можно пренебречь исходяя2из геометрии рисунка. Окончательно получаем я2Для полного совпадения полученного результата с ожидаемымя2нужно выполнить условиея2т.е. я2Например, если радиусы зон определяются формулойя2т.е. пропорциональны корням квадратным из номера зоны n, ая2площадь всех зон одинакова. Тогда суммирование вторичных волня2приводит к знакопеременному ряду:я2где vj означает амплитуды j-ой зоны. Если этот ряд бесконеч-я2ный, то сумма сводится к 1/2 первого члена. Иначе говоря, ная2точку Р "работает" только 1/2 центральной зоны, а вклады всехя2прочих зон взаимно уничтожаются при интерференции. я_я22. Теория Кирхгофа. я2Строгое решение задачи о суммировании скалярных вторичныхя2волн было найдено Кирхгофом в 1882 г. Его основная идея состо-я2яла в решении волнового уравнения при условии, что функцияя2U(x,y,z), выражающая световое колебание, и ее правая производ-я2ная на некоторой произвольной замкнутой поверхности, окружаю-я2щей точку Р, в которой мы хотим найти результат сложения всехя2вторичных волн. При решении конкретных задач эта поверхностья2может быть выбрана наиболее удобным способом, так что часть еея2будет со падать с волновым фронтом, а другие части будут зак-я2рыты непрозрачными экранами или отодвинуты в бесконечность. Нея2связывая себя выбором формы поверхности (см.рис. 11.4) можноя2использовать известную из математической физики формулу Гриная2для двух функ ий U и U', удовлетворяющих условию непрерывностия2самих функций, их первых и вторых производных по координатамя2внутри объема, охватываемого этой поверхностью, и на самой по-я2верхности. Формула Грина имеет вид:я2где означает дифференцирование вдоль внутренней нормали кя2поверхности. Обе функции U и U' должны удовлетворять волновымя2уравнениям я2Поэтому объемный интеграл обратится в 0 при правильном вы-я2боре замкнутой поверхности. Если мы примем, что функция U' от-я2носится и выражается обычной формулой U'=eiks/s, то она нея2удовлетворяет условию применимости формулы Грина, так как об-я2ращается в бесконечность при s_0, т.е. в точке Р, где мы ищемя2результат суммирования. Положение легко исправляется, если ок-я2ружить точку P малой сферой и считать, то интересующий нася2объем заключен между произвольной поверхностью и сферой, какя2изображено на рис. 11.4. Теперь можно считать, что я2Разобьем поверхностный интеграл на два - по сфере и поя2замкнутой внешней поверхности. Обозначив радиус сферы через е,я2получимя2

я2- 35 -я2При вычислении интеграла по сфере дифференцирование по нормалия2можно заменить дифференцированием по радиусу сферы. Подставивя2где d - элемент телесного угла, и перейдя к пределу при е_0,я2получимя2Тогдая2который называется интегралом Гельмгольца-Кирхгофа. Зная U ия2на произвольной замкнутой поверхности можно вычислить колеба-я2ние в любой точке внутри поверхности. Рассмотрим теперь конк-я2ретную задачу о дифракции расходящейся сферической волны ная2отверстии в непрозрачном экране. Удобно провести поверхностья2по отверстию, затем по непрозрачному экрану и далее по сферея2большого радиуса R. Если принять, что R_ к бесконечности, гдея2колебание отсутсвует, то единственным вкладом в интеграл будетя2интеграл по отверстию А. Полагаяя2имеемя2Рассмотрим производные считая, что отрезки s и r значи-я2тельно больше длины волны. Тогда в подинтегральном выражениия2можно пренебречь дробями 1/s и 1/r. Далее учтемя2Конечным результатом будет формулая2имеющая вид, как при непосредственном применении принципа Гюй-я2генса-Френеля, но с явным выражением для фактора наклона я_я23. Дифракция Френеля и Фраунгофера. я2Интеграл Гельмгольца-Киргофа является строгим решениемя2дифракционной задачи при любом расположении источника излуче-я2ния и точки наблюдения; соответствующую дифракционную картинуя2можно назвать теневым изображением, искаженным дифракцией.Пря-я2мой экран на дает области света и тени, но без резкой границыя2между ними.Решение такой задачи показывает, что в области све-я2та образуются полосы с чередующимеся максимумами и минимумамия2интенсивности, параллельные краю экрана, а в области тени име-я2ет место плавный спад интенсивности. Этот общий случай принятоя2называть дифракцией Френеля. Пусть расстояния от экрана доя2источника и до точки наблюдения велики и лучи можно считатья2параксиальными. Для наблюдения дифракционной картины при этомя2используется линза. Такой круг дифракционных явлений относитсяя2к дифракции Фраунгофера. На рисунке 11.9 показаны экран с от-я2верстием А произвольной формы, на который падает плоская вол-я2на, и плоскость, в которой наблюдается дифракционная карти-я2на.Примем, что распределение амплитуды по отверстию выражаетсяя2функцией U( ) и найдем распределение амплитуды V(P). При вы-я2числении по теореме Пифагора ограничемся линейными и квадра-я2тичными членами по x,y и подставим полученное выражение вя2экспоненциальный множитель; S в знаменате е можно вынести зая2знак интеграла, так как 1/S медленно изменяющаяся функция и мыя2

я2- 36 -я2считаем лучи параксиальными.я2Под знаком интеграла остались два экспоненциальных множителя,я2один из которых линеен по , а второй квадратичен и соот-я2ветствует дифракции Френеля. Для перехода к дифракции Фраунго-я2фера нужно, чтобы . Выясним, при каком условиия2это можно реализовать. Заметим, что является характерным раз-я2мером отверстия. При дифракции Фраунгофера распределение амп-я2литуды колебания по дифракционной картине выражается формулойя2Вид полученной формулы точно совпадает с формулой двумерногоя2преобразования Фурье, если распространить пределы интегрирова-я2ния до бесконечности. Это можно сделать, считая, что функцияя2U( ) за пределами отверстия везде равна 0. Этот очень важныйя2факт означает, что дифракционная картина Фраунгофера являетсяя2Фурье-образом двумерного объекта, на котором происходит диф-я2ракция. я_я24. Дифракция на круглом отверстии. я2Разрешающая способность объектива. я2Объективы и линзы обычно имеют круглую форму, поэтому диф-я2ракция на круглом отверстии-оправе объектива вызывает большойя2интерес. Пусть объектив равномерно освещен, т.е. U=const, ия2вычислим интеграл я2Т.е.я2Величина r=R/b есть угловой радиус на экране, соответствующийя2радиусу-вектору R точки Р. я2Идеальный объектив, не имеющий каких-либо аббераций, даетя2в фокальной плоскости не точку, а сложную систему колец.я2Поскольку мы считали, что на отверстие падает параллельный пу-я2чок лучей, созданный точечным источником, то можно сказать,я2что эта система колец является изображением точки. Отсюда сле-я2дует, что при наличии в источнике двух точек, соответствующиея2им системы колец могут восприниматься регистрирующей системойя2как отдельные или слившиеся в зависимости от расположенияя2систем, т.е. от угла между направлениями на источники. я2Вычислим угловое расстояние между двумя источниками, удов-я2летворяющее критерию Релея. На рис. 11.9 показаны главная ия2побочная оптические оси объектива, определяющие центры системя2колец на фокальной плоскости. Мы видим, что минимальный уголя2между направлениями на два точечных источника, которые воспри-я2нимаются как раздельные, равен угловому радиусу первого коль-я2ца. Условие разрешимости по Релею принимает вид формулы Эйри я2Линейную разрешающую способность получим умножив минималь-я2ный угол между направлениями на два точечных источника на фо-я2кусное расстояние объектива. Итак, разрешающая способность оп-я2ределяется отношением длины волны к диаметру объектива. Коэф-я2фициент 1,22 получился как следствие критерия Релея и отражаетя2состояние экспериментальной техники конца ХIХ века. я_я25. Теория Аббэ. я2При соблюдении условий дифракции Фраунгофера изображениея2

я2- 37 -я2является результатом двукратного и двумерного преобразованияя2Фурье. Сам Аббе предложил рассматривать возникновение изобра-я2жения в два этапа: первый этап - это образование картины диф-я2ракционных максимумов в фокальной плоскости линзы при освеще-я2нии объекта параллельным пучком лучей; второй этап - это ин-я2терференция вторичных волн, испускаемых дифракционными макси-я2мумами, в плоскости изображения. Каждому из этих этапов соот-я2ветствует преобразование Фурье. Используем теорему о двукрат-я2ном интегралея2Доказательство теоремы исходит из формул прямого и обратногоя2преобразований Фурье я2На рисунке 11.5 изображены объект типа диапозитива с расп-я2ределением амплитуды U( ), линза, диафрагма в фокальнойя2плоскости, плоскость изображений и дифракционные максимумы. Вя2фокальной плоскости показаны только оси дифрагированных пуч-я2ков. ( ) - распределение амплитуды в фокальной плоскости U'( )я2- распределение амплитуды в плоскости изображения. Запишем ( )я2в видея2Аналогично для U'-я2Исключив функцию из этих выражений, получимя2который после перегруппировки сомножителей и перемены порядкая2интегрирования примет видя2Двойной интеграл в квадратных скобкахя2К оставшемуся интегралу также можно применить эту теорему. Оня2равеня2Подставив значения интегралов, получим функциюя2Обратим внимание, что в рамках геометрической оптики отношениея2где М - линейное увеличение, а знак минус означает, что изоб-я2ражение перевернуто. Подставив значения С и С'получим распре-я2деление интенсивности в плоскости изображенияя2Мы видим, что при сделанных предположениях вид функциия2распределения интенсивностей в объекте и в изображении одина-я2ков и различаются только масштабом. я_ГЛАВА 12. ПОГЛОЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СВЕТА. я_КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ. я21. Электромагнитные волны в проводящей среде. я2Закон поглощения света. я2Рассмотрим задачу в которой среда имеет электропровод-я2ность. При этом электромагнитные волны, распространяющиеся вя2

я2- 38 -я2этой среде, окажутся затухающими, так как колебания полей ин-я2дуцируют в среде переменные токи, выделяющие Джоулево тепло.я2Запишем систему уравнений Максвелла с учетом электропровод-я2ностия2Считаем среду немагнитной. Из уравнений 3 и 4 видно, что как ия2в диэлектрической среде, волна поперечна относительно векторовя2Е и Н. Новые свойства решения вытекают из уравнений 1 и 2.я2Чтобы его получить, нужно иметь волновое уравнение, содержащеея2лишь один из них. Для исключения Н нужно применить операциюя2rot к уравнению 1 и подставить в него rotН из уравнения 2.я2Тогда получится волновое уравнениея2Будем искать решение в виде плоской волныя2Из принятой нами формы решения следуетя2Тогда волновое уравнение превращается в простое равенствоя2Наличие мнимой части показателя преломления К приводит к зату-я2ханию волны. Поэтому К называется показателем затухания.я2Подставив комплексный показатель преломления в выражение дляя2плоской волны, распространяющейся в направлении Х, получимя2Поскольку интенсивность пропорциональна Е2 из (49) получаетсяя2закон поглощения света я2При экспериментальном определении коэффициента поглощенияя2материала пластинки нельзя непосредственно пользоваться форму-я2лой (50), т.к. в ней не учтено отражение от граней пластинки.я2Проще всего учесть отражение от одной передней грани. Для этоя2две пластинки из одного и того же материала, но с разной тол-я2щиной и . Взяв отношение интенсивностей прошедшего излучения,я2мы исключаем потери на отражение. Выполнив измерения в требуе-я2мом интервале длин волн, мы получим спектр поглощения. я_я22. Коэффициент отражения от проводящей среды. я2Формула Френеля для коэффициента отражения при нормальномя2падении(см. гл.2) остается справедливой и при комплексном по-я2казателе преломления m=n-iK. Тогда коэффициент отражения вы-я2числяется по формулея2При К2>>n2 коэффициент отражения стремится к 100%. Иначе гово-я2ря энергия луча слабо проникает в сильно поглощающую среду ия2почти полностью отражается. я_я23. Классическая теория дисперсии. я2Одним из ваэнейших вопросов при изучении распространенияя2волн в среде является зависимость их скорости от частоты. Этая2

я2- 39 -я2задача сводится к определению зависимости ДП и показателя пре-я2ломления от частоты, т.е. дисперсии. Идея вывода дисперсионныхя2формул состоит в следующем: воспользоваться формулой элект-я2ростатики для связи диэлектрической проницаемости e с напря-я2женностью электрического поля в среде и вызванной этим полемя2поляризацией Р, т.е. дипольным момент единицы объема. Далеея2вычислить смещение заряда осциллятора в поле волны, т.е. ре-я2шить задачу о вынужденных колебаниях осциллятора и определитья2поляризацию; и, наконец, применить формулу Максвелла для связия2ДП и показателя преломления. Поле, действующее на отдельныйя2осциллятор в среде будем называть эффективным и обозначатья2Еэф. Формулы электростатики для 1-го этапа вывода имеют вид я2Переходим к задаче о вынужденных колебаниях осциллятора.я2Примем, что эффективное и макроскопическое поля равны. Перехо-я2дя ко 2-му этапу вывода запишем уравнение движения одномерногоя2осциллятора по осия2Это уравнение легко решается подстановкой iwt. Смещение осцил-я2лятора получается комплекснымя2Поэтому поляризуемость и ДП комплексны. Получаемя2Теперь остается применить соотношение Максвелла между ДП и по-я2казателем приломления. Для разряженного газа можно считать,я2что .В этом случае дисперсионные формулы дляя2n и К принимают видя2Введем обозначениея2и считаем поглощение достаточно слабым. Тогда в облостия2частот, близкой к собственной частотея2и дисперсионные формулы принимают видя2При дальнейшем анализе формул (59) нужно учесть, что функция я2изменяется медленно, в то время как функции имеют резо-я2нансный характер. Как видно из определения, представляетя2собой разность собственной частоты резонатора и частоты внеш-я2него электрического поля. Функциия2изображены на рис.12.2. я2В дальнейшем нас будет интересовать ширина Лоренцевой ли-я2нии на уровне 1/2 от максимума. Легко видеть, что она равна g.я2Область, где показатель преломления увеличивается с ростомя2частоты называется нормальной дисперсией, а внутри полосы пог-я2лащения - аномальной дисперсией. я_я24. Частные случаи дисперсионных формул. я_я24.1. Формула Зельмейера для области прозрачности (g=0).я2

я2- 40 - я2Учтем вклад всех типов осцилляторов в поляризацию среды ия2ддисперсию. Будем считать число осцилляторов каждого типа рав-я2ным N. Поляризация аддитивна и мы можем обощить дисперсионнуюя2формулу для показателя преломления, записавя2Формула Зельмейерая2справедлива с удивительной точностью даже для прозрачных твер-я2дых тел, хотя все изложенное относилось к разряженныь газам. я_я24.2. Плазменное отражение. я2Плазма представляет собой нейтральную среду, имеющую рав-я2ные концентрации положительных и отрицательных зарядов. Поло-я2жим и g=0, что соответствует свободным зарядам и маломуя2поглощению , получимя2Величина wp называется плазменной частотой. При (т.е. я2) , а при . Как ни странно, показатель пре-я2ломления в силу соотношения Максвелла оказывается чисто мнимойя2величиной . Подставим ее в формулу Френеля для нормальногоя2падения (63), получим, что коэффицикнт отраженияя2тождественно равен 100%. я2Происхождение плазменной частоты можно понять следующимя2образом: представим себе, что тяжелые положительные ионы плаз-я2мы расположены в фиксированных положениях, образуя слои, ая2между ними движутся свободные электроны; плазма нейтральна,я2плотность заряда =0 и div D =0. Поскольку мы считаем, чтоя2постоянного поля в плазме нет, D=0. Воспользовавшись связьюя2векторов D,E,P, выражающейся формулой электростатики D=E+4пP,я2мы приходим к выводу, что макроскопическое поле в плазмея2E=-4пР. Поляризация среды равна . Напишем уравнение движе-я2ния электроновя2Его решением является , что соответствует кол-я2лективному колебательному процессу с плазменной частотой. я_я24.3. Плазменный минимум отражения от полупроводников. я2Плазма в полупроводниках имеет большую концентрацию сво-я2бодных зарядов, зависящую от степени легирования, поэтомуя2плазменная частота попадает в оптическую область спектра. Вя2твердом теле нужно учитывать вклад в поляризацию от ионов илия2атомов кристаллической решетки. Считая поляризацию аддитивнойя2можно просто сложить ДП электронной подсистемы и решетки. Тог-я2дая2При условии (66) ДП всей системы равна 1. Это означает,я2что полупроводник не отражает и не поглощает. В действитель-я2ности при точном расчете коэффициент отражения не обращается вя20, но проходит через резкий минимум. я_я24.4. Поглощение на свободных носителях заряда в полупро-я_я2водниках я2Все чистые полупроводники имеют область сильного фундамен-я2

я2- 41 -я2тального поглощения, соответствующего переходам из валентнойя2зоны в зону проводимости через энергетическую "щель". Прия2энергии фотонов, равной щели, коэффициент поглощения резкоя2убывает дальнейшем уменьшении энергии фотонов в дальней ИК-об-я2ласти начинается медленный рост (см. рис. 12.1) по закону .я2Показатель степени p зависит от природы полупроводника, ноя2обычно мало отличается от 2. Выясним природу сплошного погло-я2щения, возрастающего по закону . Это легко сделать, еслия2в формуле (55) для принять и заменитья2по формуле (50). Тогда получится формулая2Свободный заряд не может получить энергию от электрическогоя2поля волны, но заряды, считающиеся свободными в полупроводни-я2ке, в действительности не совсем свободны, т.к. взаимодейству-я2ют с кристаллической решеткой. я_я24.5. Отрицательное поглощение и отрицательная дисперсия. я2Выведенные выше дисперсионные формулы относились к обычнойя2среде, в которой верхние энергетические уровни атомов и моле-я2кул практически не заселены. Соответствующие осцилляторы былия2аналогами переходов "вверх" на незаселенные или виртуальные уя2сли заселенность инвертирована, то доминируют переходыя2"вниз". Естественно, что таким переходам следует приписатья2осцилляторы с отрицательной силой и тогда можно использоватья2все выведенные ранее формулы. При полной инверсии, когда ная2нижнем уровне нет заселенности, можно отбросить все положи-я2тельные члены в сумме вкладов осцилляторов в диэлектрическуюя2проницаемость, оставив только отрицательные члены. Тогдая2дисперсионные кривые примут вид, изо й на рис.12.3, соот-я2ветствующий отрицательной дисперсии и отрицательному поглоще-я2нию, т.е. усилению. Переход среды при инверсии заселенности отя2поглощения к усилению уже был рассмотрен в гл.4 с привлечениемя2коэффициента Эйнштейна В. Теперь мы получили другую интерпре-я2тацию того же явления и одновременно обосновали явление отри-я2цательной дисперсии. я_я24.6.Дисперсионная формула для рентгеновской области спектра. я2Собственные частоты осцилляторов - аналогов квантовыхя2переходов внешних электронных орбиталей атома - значительноя2меньше частот w ренгеновских фотонов. Это условие, а такжея2услови о поглощения позволяет упростить дисперсионную формулу,я2приведя ее к виду (68). Мы видим, что показатель преломленияя2становится меньше 1.При достаточно большом угле падения воз-я2можно полное внутренние отражение от твердого тела в вакуум.я2Можно вывести формулу, определяющую критический угол скольже-я2ния для полного внутреннего отражения. Для легких элементов уя2которых атомная масса в два раза больше порядкового номера,я2эта формула имеет вид (68). На рис. 12.5 изображена зависи-я2мость коэффициента отражения от угла скольжения, а на рис.я212.6 зависимость критического угла от длины волны. Разработаныя2зеркальные ренгеновские объективы, позволяющие фокусироватья2ренгеновские лучи и получать изображения. я_ГЛАВА 13. я_Краткие сведения из кристаллооптики. я_Электрооптический эффект Покельса.я2

я2- 42 - я_я21. Плоские волны в анизотропой среде. я2Диэлектрическая проницаемость анизотропной среды представ-я2ляет собой симметричный тензор второго ранга. Приведя его кя2главным осям, получим три диагональные компонента ,я2которые связывают электрическую индукцию с напряженностьюя2электрического поля соотношениямия2что означает несовпадение направлений этитх векторов. я2Наша задача - изучить свойства решений системы уравненийя2Максвеллая2в виде плоских волнб распространяющихся в диэлектрической не-я2магнитной среде. я2Плоская волна выражается формулой видая2где , n - показатель преломления и - единичный век-я2тор нормали к волновому фронту. я2Подставив (13.2) в (13.1) получим:я2Отсюда видно, что волны поперечны относительно векторов D и Hя2(см. рис. 13.1). D, E, k расположены в одной плоскости, ноя2вектор Е непараллелен D. Это приводит к несовпадению направле-я2ний волнового вектора и вектора Пойнтинга. я2Обозначим: я2Тогда я2Подставив Н из первой формулы во вторую получим одну изя2основных формул кристаллооптики я_я22. Закон Френеля. Двупреломление. я2Расписав (13.7) в проекциях, получим три выражения типа я2Умножив каждое из них на соответствующую проекцию n ия2вспоминая, что , получимя2что представляет собой закон Френеля, позволяющий вычислитья2показатель преломления для заданного значения направляющих уг-я2лов, если известны значения компонент тензора ДП. В общем слу-я2чае (13.8) имеет 2 разных решения, соответствующих разнымя2электромагнитным волнам (двупреломление). я2Два луча, возникающие при двупреломлении, поляризованы вя2перпендикулярных плоскостях. я_я23. Оптические оси кристалла. я2Направления, вдоль которых отсутствует двупреломление, на-я2

я2- 43 -я2зываются оптическими осями. я2Рассмотрим поверхность волновых векторв, отложенных от на-я2чала координат. При наличии двупреломления такая поверхностья2состоит из двух полостей, определяемых выражениемя2Если они пересекаются, то в соответствующем направлении пока-я2затели преломления одинаковы для обеих волн. я2В общем случае кристаллы имеют две оптические оси, но уя2многих они сливаются в одну, что происходит, если 2 компонентая2тензора ДП одинаковы.Поверхность волновых векторов в этом слу-я2чае состоит из сферы и эллипсоида вращения. Сфере соответству-я2ет обыкновенный луч, для которог показатель преломления не за-я2висит от направления, а эллипсоиду необыкновенный луч (лучия2обозначаются "о" и "е" соответственно). я2Из рисунка 13.3 следует, что я_я24. Кристалл исландского шпата. Пластинка . я2Классическим примером одноосного кристалла является ис-я2ландский шпат (кальцит). Объясним на его примере, как найтия2оптическую ось и направления,по которым колеблются векторы лу-я2чей "o" и "e" (рис.4). Форма кристалла,полученная скалываниемя2по плоскости спайности, есть параллелепипед с углами 72 междуя2сторонами параллелограммов. Возмем соответствующий ромбоэдр,я2он симметричен относитльно прямой, проведенной через 2 верши-я2ны, образованные 3 тупыми углами. Любая прямая, параллельнаяя2этой оси симметрии, будет оптичесой осью. Необыкновенный лучя2имеет вектор Е в плоскости главного сечения, т.е. в плоскости,я2содержащей оптическую ось. я2В любом анизотропном кристалле вектор Е распадается на двая2направления, которые называются главными направлениями. В об-я2щем случае два луча, прошедшие через пластинку, приобретаютя2разность фаз на выходе. Когда E падающего пучка образует ся2главными направлениями угол 45 , тогда амплитуды обоих лучейя2одинаковы и разность фаз равная2где и - показатели преломления для главных направлений. я2Если разность фаз равна , тогда выходящий свет будетя2поляризован по кругу, с направлением вращения вектора E, за-я2висящим от знака разности фаз. Пластинку, создающую разностья2фаз ,т.е. разность хода 1/4 длины волны, называютя2"пластинкой ". Она находит широкое применение для преобра-я2зования линейно поляризованного света в циркулярно поляризо-я2ванный и обратно. я2Одноосные кристаллы применяются для изготовления поляризу-я2ющих призм, напр. призма Николя из исландского шпата. Поляри-я2зующие призмы дают наилучшие результаты, но в обычной практикея2чаще применяются пленочные поляризаторы (поляроиды). я_я25. Коэффициент пропускания системы поляризатор - кристал- я_я2лическая пластинка - анализатор. я2Система, названная в заголовке раздела, используется вя2электрооптических затворах и модуляторах на основе эффекта По-я2

я2- 44 -я2кельса. я2На рис. 13.7 показано расположение векторов E по отношениюя2к плоскостям колебаний, пропускаемых поляризатором и анализа-я2тором (П и А) для двух случаев: 1.- когда П и А ориентированныя2одинаково, и 2.- когда они взаимно перпендикулярны. Следя2плоскости, в которой колеблется вектор E, после прохожденияя2через П составляет 45 с главными направлениями пластинки. Вя2обоих случаях интенсивность лучей, прошедших через пластинку,я2будут одинаковыми и равными 1/2 исходной амплитуды. При выходея2из системы оба луча будут интерферировать при разности фаз я2Отсюда, коэффициент пропускания системыя2Для П Ая2Для П А я_я26. Эллипсоид Френеля. я2Эллипсоид Френеля имеет полуоси равные , , , которыея2называются главными показателями преломления. Уравнения эл-я2липсоида в главных осяхя2где Х,Y и Z - безразмерные координаты. я2Согласно Френелю, геометрические свойства эллипсоида поз-я2воляют найти два показателя преломления для лучей, возникающихя2при двупреломлении. Для этого нужно рассечь эллипсоидя2плоскостью, перпендикулярной волновому вектору и проходящейя2через центр. Получившееся сечение в общем случае будет эл-я2липсом, полуоси которого будут равны показателям преломленияя2двух лучей. я2Для выяснения физического смысла главных показателей запи-я2шем плотность энергии поля в диэлектрикея2Введя обозначенияя2получим, что 13.17 совпадает с уравнением эллипсоида Френеля,я2если главные показатели преломления равны я_я27. Электрооптический эффект Покельса. я2Рассмотрим влияние электрического поля на показатель пре-я2ломления кристаллов. Дальнейшее изложение будет относиться кя2эффекту Покельса в кристаллах сегнетоэлектриков. Наибольшеея2значение среди них приобрели кристаллы КДП (калий дигидро-я2фосфат) и его аналоги, ниобат лития и отчасти силенит. я2В общем случае эллипсоид Френеля определяется квадратичнойя2формой я2При наличии электрического поля коэффициенты изменятсяя2и квадратичная форма примет вид я2Основное свойство эффекта Покельса состоит в его линей-я2ности в широком диапазоне напряженности поля, поэтому для из-я2

я2- 45 -я2менмния коэффициентов можно записатья2где величины называются электрооптическими коэффициентами.я2При наличии симметрии по двум индексам число компонент мож-я2носвести к 18. При этом индексы объединяются в один индекся2m по правилу:я2Тогда матрица электрооптических коэффициентов для КДП приобре-я2тает вид я2Электрооптические коэффициенты имеют порядок величины я2Рассмотрим теперь одноосный кристалл КДП в поле, направ-я2ленном по его оптической оси OZ, причем свет распространяетсяя2также вдоль оптической оси. До включения поля эллипсоид Френе-я2ля был эллипсоидом вращения с осью OZя2При включении поля эллипсоид Френеля становится трехосным, ая2кристалл становится двупреломляющим в направлении OZ. Квадра-я2тичная форма эллипса имеет видя2поэтому показатели преломления будут равныя2Разность фаз двух лучей, возникшая при прохождении имия2пластинки кристалла толщиной d будет равная2где - напряжение, приложенное к кристаллу. я2Если одноосный электрооптический кристалл поместить междуя2"скрещенными" поляризатором и анализатором, то коэффициентя2пропускания будет я2Зависимость изображена на рис.13.11. Желательно пере-я2нести рабочую точку в среднюю область характеристики, что нея2трудно сделать введя в схему правильно ориентированнуюя2пластинку " ". я_ГЛАВА 14. я_Продольный магнитооптический эффект Фарадея. я_я21. Основные свойства эффекта. я2Продольный магнитооптический эффект состоит в поворотея2плоскости поляризации луча света, проходящего через прозрачнуюя2среду, находящуюся в магнитном поле. Этот эффект был открыт вя21846 году. Открытие магнитооптического эффекта долгое времяя2

я2- 46 -я2имело значение в чисто физическом аспекте, но за последниея2десятилетия оно дало много практических выходов. Также былия2открыты другие магнитооптические эффекты, в частности, хорошоя2известный эффект Зеемана и эффект Керра, проявляющийся в пово-я2роте плоскости поляризации луча, отраженного от намагниченнойя2среды. Наш интерес к эффектам Фарадея и Керра обусловлен ихя2применением в физике, оптике и электронике. К ним относятся : я2- определение эффективной массы носителей заряда или ихя2плотности в полупроводниках; я2- амплитудная модуляция лазерного излучения для оптическихя2линий связи и определение времени жизни неравновесных носите-я2лей заряда в полупроводниках; я2- изготовление оптических невзаимных элементов; я2- визуализация доменов в ферромагнитных пленках; я2- магнитооптическая запись и воспроизведение информациия2как в специальных, так и бытовых целях. я2Принципиальная схема устройства для наблюдения и многихя2применений эффекта Фарадея показана на рис. 14.1. Схема состо-я2ит из источника света, поляризатора, анализатора и фотоприем-я2ника. Между поляризатором и анализатором помещается исследуе-я2мый образец. Угол поворота плоскости поляризации отсчитываетсяя2по углу я6 я2поворота анализатора до восстановления полного га-я2шения света при включенном магнитном поле. я2Интенсивность прошедшего пучка определяется законом Малюса я2На этом основана возможность использования эффекта Фарадеяя2для модуляции пучков света. Основной закон, вытекающий из из-я2мерений угла поворота плоскости поляризации я6 я2, выражаетсяя2формулойя2где я6 я2 - напряженность магнитного поля, я6 я2 - длина образца, пол-я2ностью находящегося в поле и я6 я2 - постоянная Верде, которая со-я2держит в себе информацию о свойствах, присущих исследуемомуя2образцу, и может быть выражена через микроскопические парамет-я2ры среды. я2Основная особенность магнитооптического эффекта Фарадеяя2состоит в его невзаимности, т.е. нарушении принципа обрати-я2мости светового пучка. Опыт показывает, что изменение направ-я2ления светового пучка на обратное /на пути "назад"/ дает такойя2же угол поворота и в ту же сторону, как на пути "вперед".Поэ-я2тому при многократном прохождении пучка между поляризатором ия2анализатором эффект накапливается. Изменение направления маг-я2нитного поля, напротив, изменяет направление вращения на об-я2ратное. Эти свойства объединяются в понятии "гиротропная сре-я2да". я_я22. Объяснение эффекта циркулярным магнитным двупреломлением. я2Согласно Френелю, поворот плоскости поляризации являетсяя2следствием циркулярного двупреломления. Циркулярная поляриза-я2ция выражается функциями я6 я2 для правого вращенияя2/по часовой стрелке/ и я6 я2 для вращения против часо-я2вой стрелки. Линейная поляризация может рассматриваться какя2результат суперпозиции волн с циркулярной поляризацией с про-я2тивоположным направлением вращения. Пусть показатели преломле-я2ния для правой и левой циркулярной поляризаций неодинаковы.я2

я2- 47 -я2Введем средний показатель преломления n и отклонение от него я2. Тогда получим колебание с комплексной амплитудойя2что соответствует вектору E, направленному под угломя2к оси X. Этот угол и есть угол поворота плоскости поляризациия2при циркулярном двупреломлении, равный я_я23. Вычисление разности показателей преломления. я2Из теории электричества известно, что система зарядов вя2магнитном поле вращается с угловой скоростьюя2которая называется скоростью прецессии Лармора. я2Представим себе что мы смотрим навстречу циркулярно поля-я2ризованному лучу, идущему через среду, вращающуюся с частотойя2Лармора; если направления вращения вектора я6 я2в луче и Лармо-я2ровского вращения совпадают, то для среды существенна относи-я2тельная угловая скорость я6 я2, а если эти вращения имеют раз-я2ные направления, то относительная угловая скорость равна я6 я2.я2Но среда обладает дисперсией ия6 мы видим, что я2Отсюда получаем формулу для угла поворота плоскости поля-я2ризациия2и для постоянной Верде я_я24. Практические применения эффекта Фарадея. я2Эффект Фарадея приобрел большое значение для физики полуп-я2роводников при измерениях эффективной массы носителей заряда.я2Эффект Фарадея очень полезен при исследованиях степени одно-я2родности полупроводниковых пластин, имеющих целью отбраковкуя2дефектных пластин. Для этого проводится сканирование поя2пластине узким лучом-зондом от инфракрасного лазера. Те местая2пластины, в которых показатель преломления, а следовательно, ия2плотность носителей заряда, отклоняются от заданных, будут вы-я2являться по сигналам фотоприемника, регистрирующего мощностья2прошедшего через пластину излучения. я2Рассмотрим теперь амплитудные и фазовые невзаимные элемен-я2ты /АНЭ и ФНЭ/ на основе эффекта Фарадея. В простейшем случаея2оптика АНЭ состоит из пластинки специального магнитооптическо-я2го стекла, содержащего редкоземельные элементы, и двух пленоч-я2ных поляризаторов /поляроидов/. Плоскости пропускания поляри-я2заторов ориентированы под углом 45 друг к другу. Магнитное по-я2ле создается постоянным магнитом и подбирается так, чтобы по-я2ворот плоскости поляризации стеклом составлял 45 . Тогда ная2пути "вперед" вся система будет прозрачной, а на пути "назад"я2непрозрачной, т.е. она приобретает свойства оптического венти-я2

я2- 48 -я2ля. ФНЭ предназначен для создания регулируемой разности фазя2двух линейно поляризованных встречных волн. ФНЭ нашел примене-я2ние в оптической гирометрии. Он состоит из пластинки магнито-я2оптического стекла и двух пластинок я6" я2", вносящих разностья2фаз я6 я2и я6 я2. Магнитное поле, как и в АНЭ создается постоян-я2ным магнитом. На пути "вперед" линейно поляризованная волна,я2прошедшая пластинку "я6 я2" преобразуется в циркулярно поляризо-я2ванную с правым вращением, затем проходит магнитооптическуюя2пластинку с соответствующей скоростью и далее через вторуюя2пластинку "я6 я2", после чего линейная поляризация восстанавли-я2вается. На пути "назад" получается левая поляризация и этая2волна проходит магнитооптическую пластинку со скоростью, отли-я2чающейся от скорости правой волны, и далее преобразуется в ли-я2нейно поляризованную. Введя ФНЭ в кольцевой лазер, мы обеспе-я2чиваем разность времен обхода контура встречными волнами и вы-я2текающую отсюда разность их длин волн. я_ГЛАВА 15. я_Нелинейные оптические явления. я_я21. Общие сведения о нелинейных оптических процессах. я2Все ранее рассмотренные оптические явления - интерферен-я2ция, дифракция и другие - были объяснены принципом суперпози-я2ции, согласно которому все электромагнитные волны могут расп-я2ространяться независимо и их совместное действие определяетсяя2суммированием. Это свойство находит отражение в уравненияхя2Максвелла, которые линейны относительно компонент полей и име-я2ют общее решение в виде суперпозиции частных решений. Все этоя2справедливо, если материальные постоянные /диэлектрическаяя2проницаемость, магнитная проницаемость и электропроводность/я2среды не зависят от напряженностей полей. В действительностия2это справедливо при слабых полях, но при сильных полях это нея2так. я2С квантовой точки зрения нелинейности возникают, когда вя2элементарном акте участвует не один фотон, а несколько. Тогдая2вероятности процессов будут зависеть от квадрата и более высо-я2ких четных степеней напряженности поля. Возможность экспери-я2ментального обнаружения и исследования 2-фотонных и многофо-я2тонных процессов открылась после изобретения лазеров, способ-я2ных генерировать высокие мощности когерентного излучения, ко-я2торое легко фокусировать на малых площадях. Пользуясь техникойя2гигантских импульсов уже в 1964 г. удалось получить вторуюя2гармонику излучения рубинового лазера с длиной волны 0,69 мкм.я2В истории физики этот опыт получил название опыта Франкена.я2Импульс от рубинового лазера направлялся на кристалл кварца ия2выходящее из него излучение падало на светофильтр, пропускаю-я2щий ближнюю ультрафиолетовую область, но полностью отрезающийя2видимую область. Прошедшее через светофильтр излучение регист-я2рировалось фотоэлектронным умножителем, сигнал которого быля2вызван излучением второй гармоники на длине волны 0,345 мкм. я2Механизм многофотонных процессов состоит в изменении пара-я2метров среды в поле мощной световой волны. Деформация частиця2среды создает на очень короткое время энергетические уровни,я2отсутствовавшие в атомах среды. С участием этих уровней про-я2исходят процессы сложения и распада фотонов. я2Происхождение нелинейности легко понять на основе моделия2среды в виде системы осцилляторов. Учтем второй член в разло-я2жении квазиупругой силы по степеням смещения заряда X. я2Запишем уравнение движения ангармонического осцилляторая2при одновременном наличии двух гармонических электрических по-я2

я2- 49 -я2лей, распространяющихся в направлении оси Z. я2Второе приближение даст вторые гармоники с частотами я2,я6 я2 и "нулевую" частоту, а также суммарную и разностнуюя2частоты я6 я2 и я6 я2. Зная величины я6 я2, я6 я2, я2, и т.д. Получим поляризации с соответствующими часто-я2тами, которые излучают электромагнитные волны второй гармони-я2ки, разностной частоты и т.д. я_я22. Генерация второй гармоники. я2При опыте Франкена с использованием кристалла кварца коэф-я2фициент преобразования во вторую гармонику был ничтожен. Толь-я2ко одна замена кварца на другие кристаллы недостаточна. Решаю-я2щее значение имеет правильный выбор ориентации кристалла ия2направления распространения световой волны. Интенсивность из-я2лучения второй гармоники дается формулойя2При условии я6 я2 интенсивность второй гармоники пропорцио-я2нальна квадрату пути в образце. Если это условие не соблюдено,я2то имеют место осцилляции интенсивности. Введя вместо волновыхя2чисел показатели преломления я6 я2 и я6 я2 получим простой результат я2, т.е. показатели преломления для исходного излучения ия2его второй гармоники должны быть равны. Это означает равенствоя2фазовых скоростей волн я6 я2 и я6 я2. Это важнейшее требование назы-я2вается условием синхронизма. Параболическая зависимость ин-я2тенсивности от длины пути в среде получилась по той причине,я2что мы не учитывали ослабления исходного излучения по мере пе-я2рекачки его энергии во 2-ую гармонику. На самом деле параболи-я2ческая зависимость должна смениться переходом к насыщению. я_я23. Преобразование ИК - изображений в видимые. я2В разделе 1 мы рассмотрели решение уравнения движения ан-я2гармонического осциллятора в бигармоническом поле. Выраженияя2для смещения заряда осциллятора содержали члены с основнымия2частотами и их гармониками, а также комбинационные частоты я2и я6 я2. Аналогичные члены появляются в выражениях дляя2поляризации и испускаемых ею электромагнитных волн. я2Физический механизм процессов можно представить себе какя2модуляцию показателя преломления среды электрическим полем од-я2ной из волн с образованием фазовой бегущей дифракционной ре-я2шетки, на которой дифрагирует вторая волна. Эффект образованияя2комбинационных частот лежит в основе практически важных нап-я2равлений в лазерной технике, а именно параметрических преобра-я2зователей инфракрасного излучения в видимое и параметрическихя2перестраеваемых генераторов лазерного излучения. В первом изя2них происходит суммирование фотонов /"конверсия вверх"/, а воя2втором распад фотона на два. я2Практическая направленность исследований "конверсии вверх"я2основана на желании регистрировать ИК - сигналы и изображенияя2с помощью приемников видимого изображения, которые уже давноя2достигли высокого совершенства и обладают более лучшей обнару-я2жительной способностью, чем приемники ИК - излучения. Полезнойя2особенностью "конверсии вверх" является ее ничтожная инерцион-я2ность и возможность регистрации очень коротких сигналов ИК -я2излучения.я2

я2- 50 - я_я24. Обращение волнового фронта. я2С математической точки зрения модулированный фронт харак-я2теризуется функцией я6 я2, где x одна из координат вя2плоскости фронта. Для превращения модулированного фронта вя2плоский нужно обратить знак фазы, т.е. ввести модуляцию я2. Тогда при умножении две экспоненты дадут 1. Обраще-я2ние фазы достигается отражением от фоторефрактивной среды, по-я2казатель преломления которой зависит от интенсивности света.я2Прямоугольная пластинка из фоторефрактивного материала, обла-я2дающего сильно выраженными нелинейными свойствами и поэтомуя2изменяющего показатель преломления при освещении, облучаетсяя2слева и справа мощными опорными лазерными пучками от одногоя2лазера. Снизу под углом падает объектный /обращаемый/ пучок. Вя2результате интерференции опорных пучков с объектным в средея2образуется система поверхностей, на которых интерференция при-я2водит к усилению колебаний или их ослаблению. Поэтому каждаяя2поверхность будет образована участками с уменьшенным или уве-я2личенным показателем преломления. Инерционность процессов из-я2менения показателя преломления ничтожна и при прекращениия2освещения среда практически мгновенно возвратится в исходноея2состояние. Теперь ясно, что в рефрактивной среде образуетсяя2объемная динамическая голограмма. я_ГЛАВА 16. я_Эффект Саньяка. я2Идея опыта Саньяка состояла в наблюдении интерференционнойя2картины при вращении интерферометра. Прибор Саньяка состоял изя24 зеркал, одно из которых было полупрозрачным и служило свето-я2делителем. Такая схема позволяет реализовать обход контура поя2и против часовой стрелки и свести вместе получившиеся лучи.я2При правильной юстировке прибора оба луча в неподвижном конту-я2ре проходят точно одинаковое расстояние и разности фаз не воз-я2никает. Сделав фотоснимок интерференционной картины можно при-я2вести весь интерферометр во вращательное движение с известнойя2угловой скоростью и снова сделать снимок интерференционнойя2картины. Оказалось что даже при умеренной угловой скоростия2наблюдается сдвиг интерференционных полос, позволяющий найтия2разность фаз, возникшую при вращении, или, иначе говоря, изие-я2нение эффективной длины периметра контура. Это явление получи-я2ло название эффекта Саньяка. На практике последний позволяетя2измерять угловые скорости. я2В опыте Саньяка оптический контур имел форму квадрата, ноя2для упрощения вычислений мы заменим его окружностью и рассмот-я2рим мысленный опыт при котором свет может обходить окружностья2по часовой стрелке и против нее. В реальном экспериментея2используется многовитковая катушка круглого сечения из воло-я2конного световода. В мысленном эксперименте имеется один ви-я2ток, вращающийся по часовой стрелке с угловой скоростьюя2вокруг оси, проходящей через центр витка перпендикулярно егоя2плоскости. Примем, что скорость света в витке при обходе поя2часовой стрелке и против неодинаковы и равны я6 я2 и я6 я2. Нашея2предположение о неравенстве я6 я2 и я6 я2 связано с особенностямия2распространения света в среде. я2Пусть фотоны стартуют из сечения витка, отмеченного как А,я2против часовой стрелки. Они встретят сечение А в положении В.я2Обозначив время, прошедшее от старта до встречи в В, черезя2

я2- 51 - я2, можем написать очевидное равенство для пройденного фото-я2нами путия2Отсюдая2Для фотонов, распространяющихся по часовой стрелке, получимя2аналогичня6ое я2равенствя6о я2Найдем разность времен обхода витка по и против часовойя2стрелкия2так как я2Если отказаться от предположения о неравенстве скоростейя2света по и против часовой стрелки, то формула 16.1 упроститсяя2и примет вид я2Из вывода формулы 16.2 следует, что она применима, еслия2оптический контур расположен в среде с показателем преломле-я2ния, равным 1. Однако анализ показывает что она справедливая2при любом показателе преломления. поэтому ее можно применять кя2витку световода, хотя фазовая скорость света в световодея2значительно меньше скорости света в пустоте. Для доказательст-я2ва универсальности формулы 16.2 возвратимся к формуле 16.1.я2Физическая причина различия я6 я2 и я6 я2 состоит в давно извест-я2ном релятивистском эффекте "увлечения света" движущейся сре-я2дой, открытом Физо в середине прошлого века. Опыты Физо пока-я2зали, что среда передает свету долю своей скорости, равную я2и получившую название коэффициента увлечения Френеля.я2Эффект увлечения добавляет к фазовой скорости я6 я2 скорость я2. Подставив в формулу 16.1 значения я6 я2 и я6 я2 по-я2лучим точно ту же формулу 16.2. Еще одно удивительное свойствоя2формулы 16.2 состоит в ее справедливости для контура любой ге-я2ометрии. я2Происхождение "увлечения" можно понять, вспомнив формулуя2сложения скоростей в частной теории относительности: я2Если свет распространяется в среде, то при условиия2скорость света относительно неподвижного наблюдателя будет