Практические задачи по ТОУЭС
1. Рассчитайте параметры сетевого графа
3
8
10
6
4
5
3
1
16
5
4
3
6
12
4
|
Работа i, j |
Продол. |
Ранние сроки |
Поздние сроки |
Полный резерв |
Свободн. резерв |
||
|
t>i>PH |
t>j>PO |
t>i>ПH |
t>j>ПО |
||||
|
(0, 1) |
10 |
0 |
10 |
5 |
15 |
5 |
5 |
|
(0, 2) |
8 |
0 |
8 |
0 |
8 |
0К |
0 |
|
(0, 3) |
3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
0 |
0 |
|
(1, 5) |
3 |
10 |
13 |
15 |
18 |
5 |
5 |
|
(2, 4) |
4 |
8 |
12 |
9 |
13 |
1 |
1 |
|
(2, 6) |
6 |
8 |
14 |
8 |
14 |
0К |
0 |
|
(3, 6) |
5 |
3 |
8 |
9 |
14 |
6 |
6 |
|
(4, 5) |
1 |
12 |
13 |
17 |
18 |
5 |
5 |
|
(4, 10) |
16 |
12 |
28 |
11 |
27 |
-1 |
-1 |
|
(5, 7) |
5 |
13 |
18 |
18 |
23 |
5 |
5 |
|
(6, 8) |
4 |
14 |
18 |
14 |
18 |
0К |
0 |
|
(6, 10) |
12 |
14 |
26 |
15 |
27 |
1 |
1 |
|
(7, 10) |
4 |
18 |
22 |
23 |
27 |
5 |
5 |
|
(8, 9) |
6 |
18 |
24 |
18 |
24 |
0К |
0 |
|
(9, 10) |
3 |
24 |
27 |
24 |
27 |
0К |
0 |
К – критические операции
Продолжительность критического пути: 8 + 6 + 4 + 6 + 3 = 27
2. Оценить с достоверностью 90% оптимистичный
и
пессимистичный срок завершения работ.
|
Эксперты |
|||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
4 |
4 |
5 |
6 |
6 |
6 |
4 |
4 |
8 |
10 |
3 |
4 |
4 |
5 |
6 |
Упорядочиваем по возрастанию:
10, 8, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3
Отбрасываем первые два значения и находим Q>опт>:
Q>опт> = 89 / 18 = 4,94
Упорядочиваем по убыванию и аналогично находим Q>пес>:
Q>пес> = 100 / 18 = 5,55
Находим Q>ср>:
Q>ср> = 107 / 20 = 5,35
Отклонение Q>опт> от Q>ср> – 7,6%; Q>пес> от Q>ср> – 3,7%. Оба значения в пределах 10%, таким образом достоверность 90% обеспечена.
3. Рассчитать требуемое количество
экспертов, при котором влияние
1
эксперта на среднюю оценку составляет
не более x = 9%.
Пробная оценка x + 1 экспертов:
6, 7, 6, 5, 4, 4, 4, 5, 6, 6
х = 9% => 0,91 E 1,09
Q>ср> = 53 / 10 = 5,3
b = 10
T =
Таким образом, 9 человек – требуемое количество экспертов для проведения групповой оценки с влиянием одного эксперта не более 9%.
4. Проверить оптимальность указанных планов
f (x) = 3 x1 + 2 x2 – 4 x3 +5 x4 –> max
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 – 2 x4 -1
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 – x4 -1
x1 0 x2 0
x3 0 x4 0
Координаты вектора x(1) не соответствуют ограничениям, т .к. х2 < 0
Остальные векторы подставляем в систему неравенств:
Таким образом, вектор х (4) тоже не удовлетворяет условиям. Вычисляем значения f(x):
x(2): f (x) = 0 + 4 – 0 + 5 = 9
x(3): f (x) = 0 + 0 - 4 + 5 = 1
Функция достигает максимума в x(2) (0, 2, 0, 1).
5. Решить графически задачу линейного программирования:
f (x) = 2 x>1> + 4 x>2> –> min
x>1> + 2 x>2> 5
3 x>1> + x>2> 5
0 x>1> 4 0 x>2> 4
Найдем множество решений неравенств:
х>1> + 2 х>2> 5, если х>1> = 0, то х>2> 2,5
если х>2> = 0, то х>1> 5 точки прямой 1: (0; 2,5) и (5; 0)
3 х>1> + х>2> 5, если х>1> = 0, то х>2> 5
если
х>2> =
0, то х>1>
1, 67 точки прямой 2: (0; 5) и (1,67; 0)
Найдем координаты точек A, B, C, D:
A (1,67; 0) и D (4; 0) – из неравенств
B
(1; 2) как точка пересечения прямых
из системы
С (4; 0,5) – x>1> = 4 из неравенства x>1><4, а x>2> из уравнения 4 + 2 x>2> = 5
Вычислим значение функции в этих точках:
A: f (x) = 2 * 1,67 + 4 * 0 = 3,33
B: f (x) = 2 * 1 + 4 * 2 = 10
C: f (x) = 2 * 4 + 4 * 0,5 = 10
D: f (x) =2 * 4 + 4 * 0 = 8
Функция принимает минимальное значение в точке A (1,67; 0).
6. Решить задачу
Механический завод при изготовлении 3-х разных деталей использует токарный, фрезерный и строгальный станки. при этом обработку каждой детали можно вести 2-мя разными способами. В таблице указаны ресурсы времени каждой группы станков, нормы времени при обработке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы детали каждого вида.
|
Норма времени, станко/час |
Ресурсы времени |
||||||
|
Станок |
I деталь |
II деталь |
III деталь |
||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
||
|
Токарный |
0,4 |
0,9 |
0,5 |
0,5 |
0,7 |
– |
250 |
|
Фрезерный |
0,5 |
– |
0,6 |
0,2 |
0,3 |
1,4 |
450 |
|
Строгальный |
0,3 |
0,5 |
0,4 |
1,5 |
– |
1,0 |
600 |
|
Прибыль |
12 |
18 |
30 |
Определить производственную программу, обеспечивающую максимальную прибыль.
Решение:
Пусть x1, x2, x3 – загрузка станков.
Таким образом 0 x1 250;
0 x2 450;
0 x3 600.
При первом способе технологической обработки получаем:
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 250
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 450
0,3 x1 + 0,4 x2 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 12
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 18
0,7 x1 + 0,3 x2 30
Необходимо найти решение, при котором f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max
Каноническая форма записи:
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x>i> > 0, i = 4, 5,…12
x1 + x4 = 250; x2 + x5 = 450; x3 + x6 = 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,7 x3 + x7 = 250
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,3 x3 + x8 = 450
0,3 x1 + 0,4 x2 + x9 = 600
0,4 x1 + 0,5 x2 + 0,3 x3 – x10 = 12
0,5 x1 + 0,6 x2 + 0,4 x3 – x11 = 18
0,7 x1 + 0,3 x2 + x12 = 30
f (x) = 12 x1 + 18 x2 + 30 x3 –> max
Стандартная форма записи:
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0
x1 250, x2 450, x3 600
-0,4 x1 - 0,5 x2 - 0,7 x3 -250
-0,5 x1 - 0,6 x2 - 0,3 x3 -450
-0,3 x1 - 0,4 x2 -600
-0,4 x1 - 0,5 x2 - 0,3 x3 -12
-0,5 x1 - 0,6 x2 - 0,4 x3 -18
-0,7 x1 - 0,3 x2 -30
f (x) = -12 x1 - 18 x2 - 30 x3 –> min
Находим, что: x1 = 0,25 x2 = 0,8 x3 = 277
Значение функции: f (x) = 12 * 0,25 + 18 * 0,8 + 30 * 277 = 10082