Измерение и Экономико-математические модели
1. Описание объекта
В нашем случае объектом исследования являются совокупность фирм , заводов , предприятий . Моделируемым показателем является Y - производительность труда ( тыс.руб / чел ) .
2. Экономические показатели ( факторы )
Отбор факторов для модели осуществляется в два этапа. На первом идет анализ, по результатам которого исследователь делает вывод о необходимости рассмотрения тех или иных явлений в качестве переменных, определяющих закономерности развития исследуемого процесса, на втором – состав предварительно отобранных факторов уточняется непосредственно по результатам статистического анализа.
Из совокупности экономических показателей мы отобрали следующие :
Зависимый фактор:
У- производительность труда, (тыс. руб.)
Для модели в абсолютных показателях
Независимые факторы:
Х1 - стоимость сырья и материалов ( тыс.руб.)
Х2 - заработная плата ( тыс.руб. )
Х3 - основные промышленно-производственные фонды ( тыс.руб. )
Х4 - отчисления на социальное страхование ( тыс.руб. )
Х5 - расходы на подготовку и освоение производства ( тыс.руб. )
Х6 - расходы на электроэнергию ( тыс.кВт час. )
Данные представлены в таблице 1.
Таблица 1
|
№ Объекта наблюдения |
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
1 |
10.6 |
865 |
651 |
2627 |
54 |
165 |
4.2 |
|
2 |
19.7 |
9571 |
1287 |
9105 |
105 |
829 |
13.3 |
|
3 |
17.7 |
1334 |
1046 |
3045 |
85 |
400 |
4 |
|
4 |
17.5 |
6944 |
944 |
2554 |
79 |
312 |
5.6 |
|
5 |
15.7 |
14397 |
2745 |
15407 |
229 |
1245 |
28.4 |
|
6 |
11.3 |
4425 |
1084 |
4089 |
92 |
341 |
4.1 |
|
7 |
14.4 |
4662 |
1260 |
6417 |
105 |
496 |
7.3 |
|
8 |
9.4 |
2100 |
1212 |
4845 |
101 |
264 |
8.7 |
|
9 |
11.9 |
1215 |
254 |
923 |
19 |
78 |
1.9 |
|
10 |
13.9 |
5191 |
1795 |
9602 |
150 |
599 |
13.8 |
|
11 |
8.9 |
4965 |
2851 |
12542 |
240 |
622 |
12 |
|
12 |
14.5 |
2067 |
1156 |
6718 |
96 |
461 |
9.2 |
Для модели в относительных показателях
Х1- удельный вес стоимости сырья и материалов в себестоимости продукции
Х2- удельный вес заработной платы в себестоимости продукции
Х3- фондовооруженность одного рабочего, тыс.руб./чел.
Х4- удельный вес отчислений на соц. страхования в себестоимости продукции
Х5- удельный вес расходов на подготовку и освоение производства в себестоимости продукции
Х6- электровооруженность одного рабочего, тыс. кВт./ чел.
Данные представлены в таблице 2.
Таблица 2
|
№ Объекта наблюдения |
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
1 |
10.6 |
16,8 |
12,6 |
5,7 |
1,0 |
3,2 |
0,06 |
|
2 |
19.7 |
33,1 |
4,5 |
8,0 |
0,4 |
2,8 |
0,08 |
|
3 |
17.7 |
9,9 |
7,7 |
4,6 |
0,6 |
3,0 |
0,08 |
|
4 |
17.5 |
63,1 |
8,6 |
4,1 |
0,7 |
2,8 |
0,08 |
|
5 |
15.7 |
32,8 |
6,3 |
8,0 |
0,5 |
2,8 |
0,10 |
|
6 |
11.3 |
40,3 |
9,9 |
5,2 |
0,8 |
3,1 |
0,08 |
|
7 |
14.4 |
28,3 |
7,7 |
7,1 |
0,6 |
3,0 |
0,09 |
|
8 |
9.4 |
25,2 |
14,6 |
7,2 |
1,2 |
3,2 |
0,11 |
|
9 |
11.9 |
47,3 |
9,9 |
4,5 |
0,7 |
3,0 |
0,13 |
|
10 |
13.9 |
26,8 |
9,3 |
9,4 |
0,8 |
13,1 |
0,11 |
|
11 |
8.9 |
25,4 |
14,6 |
6,5 |
1,2 |
3,2 |
0,08 |
|
12 |
14.5 |
14,2 |
8,0 |
8,5 |
0,7 |
3,2 |
0,13 |
3. Выбор формы представления факторов
В данной работе мы не используем фактор времени, т.е. в нашем случае мы используем статистическую модель. В 1-ом случае мы строим статистическую модель в абсолютных показателях, во 2-м – статистическую модель в относительных показателях. Проанализировав полученные результаты, мы выбираем рабочую статистическую модель.
4. Анализ аномальных явлений
При визуальном просмотре матрицы данных легко улавливается аномалия на пятом объекте в таблице 1,2 . Здесь все факторы завышены в несколько раз . Скорее всего мы сталкиваемся в данном случае с заводом-гигантом . Поэтому данное наблюдение мы отбрасываем . Теперь формируем обновлённую матрицу данных .
Таблица 3
|
№ Объекта наблюдения |
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
1 |
10.6 |
865 |
651 |
2627 |
54 |
165 |
4.2 |
|
2 |
19.7 |
9571 |
1287 |
9105 |
105 |
829 |
13.3 |
|
3 |
17.7 |
1334 |
1046 |
3045 |
85 |
400 |
4 |
|
4 |
17.5 |
6944 |
944 |
2554 |
79 |
312 |
5.6 |
|
6 |
11.3 |
4425 |
1084 |
4089 |
92 |
341 |
4.1 |
|
7 |
14.4 |
4662 |
1260 |
6417 |
105 |
496 |
7.3 |
|
8 |
9.4 |
2100 |
1212 |
4845 |
101 |
264 |
8.7 |
|
9 |
11.9 |
1215 |
254 |
923 |
19 |
78 |
1.9 |
|
10 |
13.9 |
5191 |
1795 |
9602 |
150 |
599 |
13.8 |
|
11 |
8.9 |
4965 |
2851 |
12542 |
240 |
622 |
12 |
|
12 |
14.5 |
2067 |
1156 |
6718 |
96 |
461 |
9.2 |
Таблица 4
|
№ Объекта наблюдения |
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
1 |
10.6 |
16,8 |
12,6 |
5,7 |
1,0 |
3,2 |
0,06 |
|
2 |
19.7 |
33,1 |
4,5 |
8,0 |
0,4 |
2,8 |
0,08 |
|
3 |
17.7 |
9,9 |
7,7 |
4,6 |
0,6 |
3,0 |
0,08 |
|
4 |
17.5 |
63,1 |
8,6 |
4,1 |
0,7 |
2,8 |
0,08 |
|
6 |
11.3 |
40,3 |
9,9 |
5,2 |
0,8 |
3,1 |
0,08 |
|
7 |
14.4 |
28,3 |
7,7 |
7,1 |
0,6 |
3,0 |
0,09 |
|
8 |
9.4 |
25,2 |
14,6 |
7,2 |
1,2 |
3,2 |
0,11 |
|
9 |
11.9 |
47,3 |
9,9 |
4,5 |
0,7 |
3,0 |
0,13 |
|
10 |
13.9 |
26,8 |
9,3 |
9,4 |
0,8 |
13,1 |
0,11 |
|
11 |
8.9 |
25,4 |
14,6 |
6,5 |
1,2 |
3,2 |
0,08 |
|
12 |
14.5 |
14,2 |
8,0 |
8,5 |
0,7 |
3,2 |
0,13 |
4. Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для абсолютных величин
Таблица 5
|
№ фактора |
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
Y |
1.00 |
0.52 |
-0.22 |
-0.06 |
-0.23 |
0.44 |
0.12 |
|
X1 |
0.52 |
1.00 |
0.38 |
0.52 |
0.38 |
0.74 |
0.60 |
|
X2 |
-0.22 |
0.38 |
1.00 |
0.91 |
1.00 |
0.68 |
0.74 |
|
X3 |
-0.06 |
0.52 |
0.91 |
1.00 |
0.91 |
0.86 |
0.91 |
|
X4 |
-0.23 |
0.38 |
1.00 |
0.91 |
1.00 |
0.67 |
0.74 |
|
X5 |
0.44 |
0.74 |
0.68 |
0.86 |
0.67 |
1.00 |
0.85 |
|
X6 |
0.12 |
0.60 |
0.74 |
0.91 |
0.74 |
0.85 |
1.00 |
Из таблицы 4 находим тесно коррелирующие факторы. Налицо мультиколлениарность факторов Х2 и Х4 . Оставим только один фактор Х2 . Так же достаточно высокий коэффициент корреляции ( 0.91 ) между факторами Х2 и Х3 . Избавимся от фактора Х3 .
5. Построение уравнения регрессии для абсолютных величин
Проведём многошаговый регрессионный анализ для оставшихся факторов : Х1 , Х2 , Х5 , Х6 .
а) Шаг первый .
Y = 12. 583 + 0 * X1 + 0.043 * X2 + 0.021 * X5 - 0.368 * X6
Коэффициент множественной корреляции = 0.861
Коэффициент множественной детерминации = 0.742
Сумма квадратов остатков = 32.961
t1 = 0.534 *
t2 = 2.487
t5 = 2.458
t6 = 0.960 *
У фактора Х1 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х1 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .
б) Шаг второй.
Y = 12.677 - 0.012 * X2 + 0.023 * X5 - 0.368 * X6
Коэффициент множественной корреляции = 0.854
Коэффициент множественной детерминации = 0.730
Сумма квадратов остатков = 34.481
t2 = 2.853
t5 = 3.598
t6 = 1.016 *
У фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х6 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .
в) Шаг третий .
Y = 12.562 - 0.005 * X2 + 0.018 * X5
Коэффициент множественной корреляции = 0.831
Коэффициент множественной детерминации = 0.688
Сумма квадратов остатков = 39.557
t2 = 3.599
t5 = 4.068
В результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение.
6. Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для относительных величин
Таблица 5
|
№ фактора |
Y |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
|
Y |
1.00 |
0.14 |
-0.91 |
0.02 |
-0.88 |
-0.01 |
-0.11 |
|
X1 |
0.14 |
1.00 |
-0.12 |
-0.44 |
-0.17 |
-0.09 |
0.02 |
|
X2 |
-0.91 |
-0.12 |
1.00 |
-0.12 |
0.98 |
-0.01 |
-0.38 |
|
X3 |
0.02 |
-0.44 |
-0.12 |
1.00 |
0.00 |
0.57 |
0.34 |
|
X4 |
-0.88 |
-0.17 |
0.98 |
0.00 |
1.00 |
0.05 |
-0.05 |
|
X5 |
-0.01 |
-0.09 |
-0.01 |
0.57 |
0.05 |
1.00 |
0.25 |
|
X6 |
-0.11 |
0.02 |
-0.38 |
0.34 |
-0.05 |
0.25 |
1.00 |
В таблице выявляем тесно коррелирующие факторы. Таким образом, не трудно заметить достаточно высокий коэффициент корреляции между факторами Х2 и Х4. Избавимся от Х2
7. Построение уравнения регрессии для относительных величин
а) Шаг первый .
Y = 25,018+0*Х1+
Коэффициент множественной корреляции = 0,894
Коэффициент множественной детерминации = 0.799
Сумма квадратов остатков = 26,420
t1 = 0,012*
t2 = 0,203*
t3 =0.024*
t4 =4.033
t5 = 0.357*
t6 = 0.739 *
У фактора Х1 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х1 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .
б) Шаг второй .
Y = e ^3.141 * X2^(-0.722) * X5^0.795 * X6^(-0.098)
Коэффициент множественной корреляции = 0.890
Коэффициент множественной детерминации = 0.792
Сумма квадратов остатков = 0.145
t2 = 4.027
t5 = 4.930
t6 = 0.623 *
У фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно фактором Х6 можно принебречь . Вычеркнем этот фактор .
в) Шаг третий .
Y = e ^3.515 * X2^(-0.768) * X5^0.754
Коэффициент множественной корреляции = 0.884
Коэффициент множественной детерминации = 0.781
Сумма квадратов остатков = 0.153
t2 = 4.027
t5 = 4.930
В результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение :
Y =
Экономический смысл модели :
При увеличении расходов на подготовку и освоение производства производительность труда будет увеличиваться . Это означает что на данных предприятиях есть резервы для расширения производства , для введения новых технологий и инноваций с целью увеличения прибыли .
При увеличении заработной платы производительность труда будет снижаться . Это , скорее всего , будет происходить из-за того , что рабочие на данных предприятиях получают и так высокие зарплаты , либо фонд заработной платы используется по максимуму и дальнейший его рост приведёт к непредвиденным расходам .
8. Сравнительный анализ линейной и степенной моделей
Сравнивая линейную и степенную регрессионную модель видим , что статистические характеристики степенной модели превосходят аналогичные характеристики линейной модели . А именно : коэффициент множественной детерминации у степенной модели равен 0.781 , а у линейной - 0.688 . Это означает , что факторы , вошедшие в степенную модель , объясняют изменение производительности труда на 78.1 % , тогда как факторы , вошедшие в линейную модель , - на 68,8 % ; сумма квадратов остатков степенной модели ( 0.153 ) значительно меньше суммы квадратов остатков линейной модели ( 39.557 ) . Следовательно значения полученные с помощью степенной модели близки к фактическим .