Измерение случайных процессов

Реферат на тему : Измерение случайных процессов.

Содержание

Общие сведения об измерениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 3.

Измерения математического ожидания и дисперсии случайного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 9.

Измерение функций распределения вероятности. . . . стр 11.

Измерения корреляционной функции. . . . . . . . . . . . . . стр 13.

Анализ спектра мощности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 14.

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 16.

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . стр 17.

ИЗМЕРЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Измерения вероятностных характеристик случайных процес­сов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В на­стоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь, навигация, управление, диагно­стика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех, описываемых их вероятностными характери­стиками.

Потребность в изучении свойств случайных процессов приве­ла к развитию соответствующих методов и средств (преимуще­ственно электрических). Появление анализаторов функций рас­пределения вероятностей, коррелометров, измерителей математи­ческого ожидания, дисперсиометров и других видов измерителей вероятностных характеристик открыло новые возможности в об­ласти создания современной информационной и управляющей техники.

Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях.

В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги, заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное значе­ние (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка), вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).

Введем следующие обозначения: Х (t) — случайный процесс;

i-порядковый номер реализации случайного процесса Х (t);

xi(tj) —мгновенное значение процесса Х (t), соответствующее значению (i-й реализации в j-й момент времени. Случайным назы­вают процесс Х (t), мгновенные значения которого xi (tj) суть случайные величины.

На рис.1 представлена в качестве примера совокупность реализации случайного процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра Х от времени t.

В теории случайных процессов их полное описание произво­дится с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности, моментных функ­ций, характеристических функций и т. п. В теории статистиче­ских измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями, причем полное представление осуществля­ется с помощью так называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая аб­стракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации, используемые в измерительном эксперименте, пред­ставляют собой физические объекты или явления и входят в ан­самбль как его неотъемлемая часть.

Если случайный процесс представлен ансамблем реализации xi (t), i=1, 2, ..., со, то вероятностная характеристика в может быть определена усреднением по совокупности, т.е.

N

[X (t)]=lim 1/N  g[xi(t)], (1)

N  i =1

где g [Xi (t)]— некоторое преобразование, лежащее в основе оп­ределения вероятностной характеристики . Так, например, при определении дисперсии g [Xi (t)]= xi (t). При этом полагаем, что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием.

Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием k-й реализации xk (t) и тогда

T

 [X(t)]= lim 1/T  g[xi(t)]dt. (2)

T

Например, при определении математического ожидания

T

M [X (t)]= lim 1/T  xk (t) dt. (3)

T  0

В общем случае результаты усреднения по совокупности (1) и по времени (2) неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности (1) представляет собой вероятност­ную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (2) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характери­стик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эрго­дичность. Стационарным, называется процесс, вероятностные ха­рактеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим называется процесс, вероятностные характеристи­ки которого не зависят от номера реализации.

Следовательно, стационарный неэргодический случайный процесс — это такой процесс, у которого эквивалентны времен­ные сечения (вероятностные характеристики не зависят от теку­щего времени), но не эквивалентны реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационар­ный эргодический процесс — это процесс, у которого эквивалент­ны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации), но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени). Классифицируя случайные процессы на основе этих призна­ков (стационарность и эргодичность), получаем следующие четы­ре класса процессов: стационарные эргодические, стационарные неэргодические, нестационарные эргодические, нестационарные неэргодические.

Учет и использование описанных свойств случайных процес­сов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик.

Поскольку измерение представляет собой процедуру нахож­дения величины опытным путем с помощью специальных техни­ческих средств, реализующих алгоритм, включающий в себя операцию сравнения с известной величиной, в статических изме­рениях должна применяться мера, воспроизводящая известную величину.

Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов, различающиеся способом применения ме­ры в процессе измерений, представляются в следующем виде:

* [X (t)]= KSdg [X (t)]; (4)

* [X (t)]= Sd Kg [X (t)]; (5)

* [X (t)]= Sd gK [X (t)]; (6)

где Sd—оператор усреднения; К—оператор сравнения;

* [X (t)]—результат измерения характеристики  [X (t)].

Данные алгоритмы различаются порядком выполнения опе­раций. Операция сравнения с образцовой мерой (К) может быть заключительной [см. (4)], выполняться после реализации оператора g, но до усреднения [см. (5)] и, наконец, быть началь­ной [см. (6)]. Соответствующие обобщенные структурные схе­мы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 2.

На этих рисунках для обозначения блоков, реализующих операторы, входящие в выражения (4) — (6), используют­ся те же обозначения. Так, g — устройство, выполняющее пре­образование, лежащее в основе определения вероятностной ха­рактеристики ; Sd — устройство усреднения (сумматор или ин­тегратор); К— компаратор (сравнивающее устройство), а М—мера, с помощью которой формируется известная величина (., g., x.)

Представленное на рис. 2, а средство измерений реализует следующую процедуру: на вход поступает совокупность реализа­ций {xi (t)} (при использовании усреднения по времени — одна реализация xi, (t)-, на выходе узла g имеем совокупность преоб­разованных реализации {g[xi (t)]}; после усреднения получаем величину Sd {g[xi (t)]}, которая поступает на компаратор, осуще­ствляющий сравнение с известной величиной о, в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики *[X(t)].

Отличие процедуры, реализуемой средством измерений, пред­ставленным на рис. 2, б, заключается в том, что после формиро­вания совокупности {g [xi (t)]} она поступает не на усреднитель, а на компаратор, который выполняет сравнение с известной вели­чиной go; на выходе компаратора формируется числовой массив {g* [xi (ti)]} и усреднение выполняется в числовой форме. На выхо­де усреднителя Sd имеем результат измерения * [X (t)].

Средство измерений (рис. 2, в) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений реализа­ции случайного процесса Х (t), после чего преобразование g и ус­реднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквива­лентно последовательному соединению аналого-цифрового пре­образователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессо­ра). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализа­цию операторов g и Sd,

Погрешность результата измерения вероятностной характе­ристики случайного процесса

* [X(t)]=*[X(t)]-  [ X(t)]. (7)

Для статистических измерений характерно обязательное на­личие составляющей методической погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значени­ях реализации случайного процесса, ибо при проведении физиче­ского эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализации или бесконечный временной интервал. Соотношение (7) определяет результирующую по­грешность, включающую в себя как методическую, так и инстру­ментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для стати­стических измерений методической погрешности, обусловленной конечностью числа реализации и временного интервала.

2. ИЗМЕРЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ИДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Математическое ожидание и дисперсия случайного процес­са — основные числовые вероятностные характеристики, измере­ние которых играет большую роль в практике научных исследова­ний, управления технологическими процессами и испытаний.

При измерении математического ожидания результатом из­мерения является среднее по времени или по совокупности мгно­венных значений реализации исследуемого случайного процесса. Усреднение по времени применяется на практике существенно чаще, чем усреднение по совокупности, поскольку работать с од­ной реализацией удобнее и проще, чем с совокупностью. На рис. 3 приведена структурная схема устройства, реали­зующего алгоритм

t

M* [X (t)]= 1/T xk (t) dt.

t-T

На рисунке Д—преобразователь измеряемой величины в электрический сигнал (датчик); НП — нормирующий преобра­зователь, превращающий входной сигнал в стандартный по виду и диапазону значений; И — интегратор; УС — устройство сопря­жения, обеспечивающее согласование выхода интегратора со входами цифрового вольтметра и регистрирующего прибора;

ЦИП — цифровой прибор (например, цифровой вольтметр);

РП—регистрирующий прибор (самопишущий прибор).

Для оценки среднего квадратичeского значения погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных,

можно пользоваться следующими соотношениями:

1/2

 =[2D[X(t)]  k/T]

M

при усреднении по времени T и

1/2

 =[D[X(t)]/N]

M

при усреднении по совокупности N. Здесь D[X (t)]—дисперсия процесса X(t), а  k — интервал корреляции. Дисперсия случайного процесса характеризует математиче­ское ожидание квадрата отклонений мгновенных значений реали­зации случайного процесса от математического ожидания. Таким образом,

T 2

D[X(t)]= lim 1/T  [xk (t)-[X(t)]] dt

T 0

или

N 2

D[X(t)]= lim 1/N  [xi(t)-[X(t)]] dt

N i=1

Возможны различные варианты построения устройств для измерения дисперсии случайного процесса — дисперсиометров. На рис. 4 приведена структурная схема средства измерений дисперсии случайного процесса, т. е. работающего согласно вы­ражению

t t 2

D* [X(t)]=1/T  [xk (t)- 1/T1  xk (t)dt] dt

t-T t-T1

На рисунке НП — нормирующий преобразователь; И1 и И2 — интеграторы; ВУ— вычитающее устройство; КУ— квадратирующее устройство; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифро­вой прибор; РП — регистрирующий прибор.

Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборочных данных о мгновенных значениях Х (t) может быть определена с помощью соотношений

2 1/2

 =[2D[X (t)]  k/T]

M

, где D[X² (t)]— дисперсия Х (t); T—время усред­нения.

При усреднении по совокупности N реализаций

2 1/2

 =[D[X (t)] /N]

D

3. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Одномерная интегральная функция распределения вероятно­сти F (X) равна вероятности того, что мгновенное значение про­извольной реализации в произвольный момент времени меньше установленного уровня, т. е. Xi (ti)  X. Функция F (X) определя­ется как предел выборочного среднего:

F (X)= lim Sd [ [x (t) ,X]],

d

1 при x (t)  X

Где [x(t) ,X]=

0 при x (t) > X

Поскольку интегральные F (X) и дифференциальные w (X) функции распределения вероятности связаны между собой со­отношениями

X

w (X) =(dF (X))/dX ; F (X)=  w (X) dX

-

справедливо выражение

w (X) = lim ((F(X+X)-F (X))/X)= lim ((Sd [[x(t) ,X]])/X)

X X

1 при X < x (t)  X+X

где  [x(t) ,X]=

0 при x (t)  X, x (t) > X+X

В качестве примера рассмотрим средство измерений для определения интегральной функции распределения вероятности уровня электрического сигнала. Схема средства измерений, реа­лизующего алгоритм

t

F* (X)=1/T   [xk(t) ,X]dt ,

t-T

показана на рис. 5, где ПУ — пороговое устройство, формиру­ющее сигнал X k (t}—X; ФУ—формирующее устройство; И—интегратор, на выходе которого получается сигнал F* (X) при установленных значениях Х и Т; УС — устройство сопряжения;

ЦИП — цифровой прибор; РП — регистрирующий прибор.

Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборки определяется для F {X) с помощью соотношения

2 1/2

 =[2(F - F )  k/T]

F

при усреднении по времени и с помощью соотношения

2 1/2

 =[2(F - F )/N]

F

при усреднении по совокупно­сти. Для (X) соответствующие соотношения имеют вид:

2 1/2

 =[2(w - w X)  k/T]

w

2 1/2

и  =[(w - w X)/N]

w

В приведенных соотношениях F и w — истинные значения измеряемых функ­ций при данном X.

4. ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Для случайного процесса с нулевым математическим ожида­нием корреляционная функция равна:

Rx (s,) = lim Sd[xi (t) xi-s (t-)],

d

где  и s — соответственно сдвиг во времени и в пространстве реализации перемножаемых мгновенных значений.

В практических задачах большую роль играют стационарные случайные процессы, т. е. процессы с постоянными вероятностны­ми характеристиками, не зависящими от текущего времени. Сре­ди случайных процессов можно выделить эргодические процессы, для которых

t

Rx () = lim 1/T x (t) x (t-)dt,

T 0

Большое значение корреляционного анализа в различных областях науки и техники привело к созданию множества измери­тельных приборов для измерений корреляционных функций — коррелометров.

Типовая структура коррелометра, в котором используется усреднение по времени, представлена на рис. 6. При этом реализуется следующий алгоритм:

t

R*x () = 1/T xk (t) xk (t-)dt,

t-T

Как видно, после нормирующего преобразователя НП сигнал поступает в устройство временной задержки УЗ и на перемножа­ющее устройство ПУ, осуществляющее перемножение мгновен­ных значений, сдвинутых по времени на интервал т. Далее с по­мощью интегратора И выполняется усреднение, после которого результирующий сигнал через УС подается на цифровой прибор ЦИП или регистрирующий прибор РП.

Средние квадратические погрешности, обусловленные ко­нечностью объема выборочных данных о мгновенных значениях реализации процесса Х (t), оцениваются с помощью соотноше­ний:

1/2

 ={2D[xk (t) xk (t-)]  k/T}

R

при усреднении по времени Т и

1/2

 ={D[xk (t) xk (t-)]/N}

R

при усреднении по совокупности.

5. АНАЛИЗ СПЕКТРА МОЩНОСТИ

Спектр мощности характеризует ее частотное распределение, и он может быть определен в соответствии со следующими форму­лами:

2

Sx(w) = lim 1/T  xiT (w) 

T

Где

t -jwt’

XiT (w) =  xi (t’) e dt’

t-T

На рис. 7 изображена схема анализатора спектра мощно­сти случайного процесса Х (t).

С выхода нормирующего преобразователя НП i-я реализация случайного процесса xi (t) поступает на блок Ф, выполняющий преобразование Фурье, после чего узлом Кв производится возве­дение в квадрат и нормирование с учетом интервала усреднения Т. С помощью устройства сопряжения УС сформированный сиг­нал поступает на ЦИП и регистратор РП.

В настоящее время отечественной промышленностью серийно выпускаются анализаторы случайных процессов. К ним относят­ся многофункциональный статистический преобразователь Ф790, корреллометр Ф7016, комплекс измерителей характеристик случайных сигналов Х6-4/а, многофункциональные измерители ве­роятностных характеристик Ф36 и Ф37, анализаторы спектра Ф4326, Ф4327, Ф7058 и др. С помощью этих приборов и устройств можно измерять математические ожидания и дисперсии, а также значения функций распределения вероятности, корреляционных и спектральных функций с последующим восстановлением вида самих функций. Перечисленные анализаторы рассчитаны в ос­новном на унифицированный входной сигнал и позволяют изме­рить от 256 до 4096 ординат анализируемой функции. Погреш­ность измерения не превышает ±5 %.

Кроме того, для определения вероятностных характеристик случайных сигналов могут использоваться электроизмеритель­ные приборы, предназначенные для измерения среднего и дей­ствующего значений сигнала. Для определения среднего значе­ния применяют магнитоэлектрические приборы и цифровые ин­тегрирующие приборы. Для определения среднего квадратического отклонения используют приборы, показания которых определяются действующим значением сигнала (термоэлектри­ческие, электростатические и др.).

Корреляционные устройства получили применение в различ­ных областях науки и техники для измерения различных величин. В качестве примера можно указать корреляционное устройство для измерения скорости прокатки. Эти устройства измеряют кор­реляционную функцию, зависящую от т, которая, в свою очередь, зависит от скорости прокатки.

Список литературы :

1.Метрология и электроизмерительные приборы. Душин М .Е.\М.: Энергоатомиздат,1986.

2.Метрология, стандартизация и измерения в технике связи. Под ред. Б.П. Хромого

М.: Радио и связь, 1986.

3.Основы метрологии и стандартизации. Голубева В. П. \М .: Вектор, 1996.