1 Понятие о равновесии. Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и внутренние(в-2.,3.)

Внешние нагрузки:

Р –сосредоточ (а<< h)

q – интенсивность

распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a (площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.

М – пара сил (сосредоточенный момент)

Внутренние силы – это силы взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил т.о. если F_>внеш >отсутствует, то F_>внут> = 0.

R- главный вектор M_>R> гл векторный момент.

N_>я>- продольная сила (раст\сжат)

Q_>x>_{> или у}>поперечная (сдвиг\срез)

М_{>к (}>_>z>_>)> крутящий момент (кручение)

М_{>из (х или у)}>изгуб-щий момент (изгиб

чистыйМ_>и>≠0 поперечный М_>и>≠0 Q≠0

2 Аксиомы статики. Связи, реакции связей.

1Если на свободное абс. Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2 силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P_>1>|=|P_>2>|

Равнов-е – это состояние

покоя или равномерного

движ-я по отношению к

др. телам.

2.Действие данной системы сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему наз-ся эквивалентными.

3.Равнодействующая 2 сил,

сходящихся в 1-ой точке,

изображается диагональю

параллелограмма, построенного на этих силах.

4.III з-н Ньютона: Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е по направлению противодействие.

5.Любое не свободное тело можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует перемещению тела в опред. направлении. Р-я всегда противоп-на внешним воздействиям.

6.Принцып отвердения: Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается, если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем применять к свободному телу поэтому кроме заданных внеш сил необходимо опр и прилож к нему р-ции связи.

Связи:

1)Свободное опирание тела на связь

2)Гибкие связи – это нити,

цепи, тросы, работают на

растяж-е р-ции напр вдоль нити

3)Жесткие стержни,

работают на растяж\сжа

р-ции напр вдоль стержн

4)Шарнирно-подвижная опора(1р-ция)

5)Шарн-неподвиж опора (2 реакции)

6)Жёсткая заделка (3 реакции)

3 Система сходящихся сил. Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

Система сходящихся сил

(2 или более сил, сход в

1 точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾P_>i>). Урав-новешивающая сила R’= по модулю равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|

опред равнодействующей:

1)Графическое суммирование

2) Аналитическое R_>y>=∑(P_>i>)=P_>1>sin(a)+P_>2> sin90+P_>n>sin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. R_>z>=∑(P_>i>)=P_>1>cos(a)+P_>2> cos90+P_>n>cos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√R_>y>²+R_>z>²

Любую систему сил произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом М_>о>. R-гл вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.М_>о>- гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.

М_>о>=m_>o>(P_>1>)- m_>o>(P_>2>)+M_>1>-M_>2>

Условие равновесия плоской системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0

а)при граф-ом суммировании силовой многоугольник должен быть замкнут.

б)при аналитическом R_>y>иR_>z>должны=0.

Условие равновесия: R=0 (∑(P_>i>)_>z>=0, ∑(P_>i>)_>y>=0); M_>o>=0 (∑m_>o>(P_>i>)+∑M_>i>=0)

4 Момент силы относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной плоскости. (в-3)

Пара сил – это 2 силы = по вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся вел-ой и направл вращения.

Св-ва пар сил:

Две пары сил статистически эквивал-

ны(оказывают на плечо одинак действие), если их моменты =

М_>1>=М_>2> если P_>1>*h_>1>=P_>2>*h_>2>

Пару сил можно переносить в плоскости её действия в любое

1)Чистый изгиб М_>изг>≠0, Q=0,N=0,M_>к>=0

2)Поперечный М_>изг>≠0, Q≠0,N=0,M_>к>=0

По расположению силовой плос-ти:

1)Прямой или плоскийили простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси- оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции J_>x> J_>y> имеют экстремальные знач-я J_>x>=∫y²dF (поF) J_>y>=∫x²dF (по F)

2)Косой изгиб- сложная деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости

Внутр усилия опр-ся с помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.

Q=∑(P_>i>)_>y> М_>и>=∑m_>o>(P_>i>)+ ∑M_>i>

Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не влияет на Q

Правило знаков:

М_>и>-изгиб-й момент в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов действующих по 1-у стороны от сеч-я. М_>и>=f(q,P,M) Q и М_>и>-могут быть с разными знаками. Правило знаков:

Постр-е эпюр Q и Ми:

1)Из условия равновесия балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).

2)Балка разбив-ся на отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)

3)Сост-ся аналитич-ие выр-я для Q и Ми для каждого из уч-ков.

4)По получ-м выр-ям вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов

5)Если есть точки где Q=0 то опр-ся местный экстремум.

При движ-ии слева направо:

1)На уч-ах балки где Q>0 Ми-возрас-т

Где Q<0 Ми-убывает

2)Чем больше по абсол-й вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая

эпюру Ми. |Q|↑ то крут-на Ми↑

если Q_>i>>Q_>j> M_>и>_>i>>М_>и>_>j> α_>i>>α_>j>

3)На уч-ах балки на которых Q=const эпюра Ми- прямая

4)В сеч-ях где Q=0 Ми- достигает экстремального знач-я.

27 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование для проверки правильности эпюр.

Q_>I>=R_>a>+P-q*z

М_>и>_>I>=R_>a>*z+P*(z-a)-q*z²/2+M

Q_>II>=R_>a>+P-q*(z+dz)

М_>и>_>II>=R_>a>*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M

Q_>II>-Q_>I>=dQ

dQ=q*dz

q=dQ/dz

Производная от поперечной силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.

М_>и>_>II>-М_>и>_>I>=dМ_>и>= R_>a>*(z+dz)+P*(z+dz-a)-

-q*(z+dz)²/2+M- R_>a>*z-P*(z-a)+q*z²/2-

-M= R_>a>*dz+P*dz-q*z*dz-(q*d²z)/2

(q*d²z)/2→0 dМ_>и>= (R_>a>+P-q*z)*dz= =Q_>I>*dz Q=dМ_>и>/dz

Производная от изгибающего момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q

28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные формы поперечных сечений балок.

Ми≠0(чист из-б)

у-расст-е от

нейтрального слоя

до другого.

Справедлива гипотеза плоских сеч-й.

Продольные линии при чистом из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не меняют своей длины.

a'b’-удлинились

c’d’=cd

e’f ‘-укоротились

ρ-радиус изгиба

О-центр тяж-ти.

Совокупность волокон не меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого сеч-я.

ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd

ac=y ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ ρ=const

т.к. γ=0, то τ=0 т.к.ε≠0 σ≠0

ε=σ/Е σ =Е*ε=Е*у/ρ

Предполагая что средние волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.

Сила действ-ая

на элемен-ую

площадку σ*dF

1)∑(P_>i>)_>x>=0 тожд-

2)∑(P_>i>)_>y>=0 ва

3)∑m_>z>(P_>i>)=0 0=0

положение, а также можно переносить в плоскость || плоскости её действия.Результат действия на тело этой пары сил при этом не изменится.

Сложение пар сил, леж в одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.

М=∑М_>i>. Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих моментов =0. М_>R>=∑М_>i>=0

Момент силы относ

точки= m_>o>(P_>i>)=|P|*h

Следствия: 1)момент

силы относ любой точки, располож-ой на линии действия силы =0

m_>o>(P_>i>)=|P|*h т.к. h=0 <= m_>o>(P_>i>)=|P|*h=0

2)Алге сумма моментов сил образующ

пару, относ-но произвольной точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары сил.

P=P’

∑m_>o>(P_>i>)=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=

P*AB=P*h => m_>o>=M

5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости. Приведение сил к данному центру.(в-3, 4)

Силу Р можно ||

переместить в

любую точку О,

добавив при этом

момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. М_>пр>= Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил.(в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.(в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

ε = σ / Е γ = τ / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.

6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности

δ = δ^Р+ δ^М+ δ^q (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей

если а<<L то:

Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.

Σ(Р_>i>)_>z>=0

Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Р_{>среднее}>=ΔR/ΔF

P_{>истинное}>= lim ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м²=Па]

σ_>z> – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.

τ_>(>_>zx>_{> или} >_>zy>_>)>- (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

Плоская задача

Р=√σ²+τ²

N=f(σ)→σ_>max><=[ σ]

Q=f(τ)→τ_>max><=[ τ] условия

M_>к>=f(τ)→ τ_>max><=[ τ] прочности

M_>и>=f(σ)→ σ_>max><=[ σ]

Деф-ции:

1.линейные а)абсолютные Δl=l_>1>-l Δh=h_>1>-h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х:

Δl=N*l/(E*F) –раст\сжатие

φ = М_>к>*l /(G*J_>p>) – кручение

k= 1/ρ= M_>из>/(E*J_>x>) – изгиб

ΔS= Q*a / (G*F) – сдвиг\срез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса.

б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_>i>_>->_>I>=Σ(Δl_>i>)

условие жесткости: δ_>max><= [δ]

Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным р\с наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.

Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const

σ_>i>=N_>i> /F_>i><=[σ_>c>],[σ_>p>]- условие проч-ти.

Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука Δl/l=N/(F*E) Δl=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

Попереч деф-я:

ε'= - μ*ε ε’-относ

попер деф-я, μ- коэф

Пуассона, ε – относ

Продольная деф-я.

μ хар-ет способность

мат-ла к попер деф-м.

Δ b=ε’ * b

Перемещение (δ) относится к сечению

4)∑(P_>i>)_>z>=0 ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся S_>x> и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

S_>x>=y_>ц.т.>*F т.к.Е/ρ≠0, то S_>x>=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.

5)∑m_>y>(P_>i>)=0 x- плечо σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF ∫xydF= J_>xy> наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)∑m_>x>(P_>i>)=0 ∫yσdF=М_>и> Е/ρ∫у²dF=М_>и> ∫у²dF=J_>x>- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х

Е/ρ*J_>x>=М_>и> 1/ρ=М_>и>/(Е*J_>x>) – кривизна нейтр-ого слоя.

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_>и>/(Е*J_>x>)= у*М_>и>/*J_>x> – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:

2)Расположение балки делают таким чтобы J_>x>=max

3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σ_>max>_> >_>p>_>ас>=σ_>max>_{> сж}>

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

σ_>max>_> >_>p>_>ас><=σ_>max>_{> сж}>

т.к. [σ_>сж>]=(3-5)*[σ_>рас>]

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:

σ_>max>_> >_>p>_>ас>=σ_>max>_{> сж}>=М_>и>*0.5*h/J_>x>=М_>и>/W_>x> W_>x>=J_>x>/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: σ_>max>_> >=М_>и>/W_>x><=[σ]

2)хруп мат-л: σ_>max>_> >=М_>и>/W_>x><=[σ_>рас>]

Ассиметричные сеч-я:

σ_>max>_{> рас} >=М_>и>*y_>max>_{> рас}>/J_>x><=[σ_>рас>]

σ_>max>_{> сж} >=М_>и>*y_>max>_{> сж}>/J_>x><=[σ_>сж>]

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

А_>внеш>=М_>1>*θ_>1>/2 dA_>внут>= - М_>и>*dθ/2

ρ – радиус крив-ны k –кривизна

dz=ρ*dθ

dθ=dz/ρ

k=1/ρ=М_>и>/(Е*J_>x>)

dθ= М_>и>*dz/(Е*J_>x>) dA= - М_>и>²*dz/(2*Е*J_>x>) U= -A_>внут>=

= -∫-М_>и>²*dz/(2*Е*J_>x>)=∫М_>и>²*dz/(2*Е*J_>x>) (от0 до L). – для попер изг-а М_>и>≠const.

Для чистого изгиба: М_>и>=const

U= М_>и>²*L/(2*Е*J_>x>)

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный М_>изг>≠0, Q≠0,N=0,M_>к>=0

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_>и>/(Е*J_>x>)= у*М_>и>/*J_>x> – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я: τ_>zy>=τ=Q_>y>*S_>x>/(J_>x>b_>y>)

Q_>y>-попер сила в рассматр сеч-и S_>x>-статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку J_>x>- момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси _> >b_>y>-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.

32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: у_>max><=[y]

[y]=(0.01-0.001)*L

θ_>A>-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) θ_>A>=tg θ_>A>_> >при α<<

θ_>A>=dy/dz=y’ Условие жесткости: θ_>max><=[θ] [θ]=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.

Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)²)^3/2

Из сопромата: k=1/ρ =M_>и>/(ЕJ_>x> )

Точное диф ур-е:

y’’/(1+(y’)²)^3/2= M_>и>/(ЕJ_>x>)

y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)²-пренебре-

гаем. Получаем: y’’= M_>и>/(ЕJ_>x>)

M_>и>= y’’ЕJ_>x>- основное диф ур-е упругой линии балки.

y'’=d²y/dz²=dy’/dz

аналитическое решение: M_>и>= y’’ЕJ_>x>_> >ЕJ_>x>=const ЕJ_>x>d(y’)=M_>и>dz

ЕJ_>x>y’= ∫M_>и>dz+C y’=θ=(∫M_>и>dz+C)/( ЕJ_>x>)

ЕJ_>x>_> >dy/dz= ∫M_>и>dz+C

ЕJ_>x>_> >dy= dz(∫M_>и>dz+C)

ЕJ_>x>_> >= ∫dz∫M_>и>dz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

y_>A>=0 θ_>A>=0

y_>A>=0 y_>B>=0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

Для данного

напавления

все знаки +

1) ЕJ_>x>θ= ЕJ_>x>θ_>0>+∑M(z-a)+(∑P(z-b)²)/2+ +(∑q(z-c)³)/6+…

2) ЕJ_>x>y= ЕJ_>x>y_>0>+ ЕJ_>x>θ_>0>z+(∑M(z-a)²)/2+ +(∑P(z-b)³)/6+ +(∑q(z-c)⁴)/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью ЕJ_>x>=const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.

то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)³)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)⁴)/24

∑-алгеб сумма 4) y_>0 >и θ_>0> опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.

Объёмная деформация. (В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост

σ_>1>≠0

σ_>2>≠0

σ_>3>≠0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

υ=(V_>1>-V_>0>)/V_>0> υ-относит изменение объёмаV_>1>-объем после деф-ииV_>0>-до

деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_>i>_>->_>I>=Σ(Δl_>i>)

условие жесткости: δ_>max><= [δ]

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти) Е_>стали>=2*10⁵МПа.

Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dА_>внеш>=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ A_>внеш>=

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ.

dA_>внут>= - N*Δ(dz)/2

Δ(dz)=N*dz/(E*F)

dA_>внут>= -N²*dz/(2*E*F)

A_>внут>=-N²*dz/(2*E*F)

A_>внут>= -N²*l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:

U= - A_>внут>=N²*l/(2*E*F), U=N²*dz/(2*E*F) A_>внут>= -А_>внеш>, U=A_>внеш>

Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил

0<=z_>1><=a a<=z_>2><= a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N_>1>=P_>1> N_>2>= - P_>2>+P_>1>строим эпюру прод сил.

Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σ_>i>=N_>i>/F_>i>

Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

Δl_>i>=N_>i>*l/(E*F_>i>) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_>i>_>->_>i>=Σ(Δl_>i>)

Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σ_>x> σ_>y> σ_>z>_> >τ_>xy> τ_>xz> τ_>yx> τ_>yz> τ_>zx> τ_>zy>

Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ_>1> >σ_>2> >σ_>3>(в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-

ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми

Линейное или одноосное напр сост:

σ_>3или1>≠0,

σ_>2>=σ_>1или3>=0

F_>α>=F/ cosα

1) ∑(Р_>i>)_{>площадка}>=0 σ_>α>*F_>α> –σ_>1>*F*cosα=0

σ_>α>* F/ cosα –σ_>1>*F*cosα=0

σ_>α>=σ_>1>*cos² α

2) ∑(Р_>i>)_{>площадка}>=0 τ_>α>*F_>α> –σ_>1>*F*cosα=0

τ_>α>* F/ cosα –σ_>1>*F*cosα=0

τ_>α>=σ_>1>*cos α * sin α = 0.5* σ_>1>* sin 2α

τ_>max>|_>α>_>=45>= σ_>1>/2 τ_>min>|_> >_>α>_>=0, >_>α>_>=90>= 0

σ_>α>_>+π/2>=σ_>1>*cos²(α+π/2)=

=σ_>1>*sin²α т.о.

σ_>α> + σ_>α>_>+π/2>= σ_>1>*cos²α +

+ σ_>1>*sin²α = σ_>1>

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = σ_>1>

τ_>α+>_>π>_>/2>=0.5*σ_>1>*sin2(α+π/2)=0.5*σ_>1>sin(2α+ +π)= - 0.5*σ_>1>sin(2α)

τ_>α>+ τ_>α+>_>π>_>/2>=0.5*σ_>1>sin(2α)- 0.5*σ_>1>sin(2α)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ).

τ_>xy>= - τ_>yx>

τ_>zy>= - τ_>yz>

τ_>xz>= - τ_>zx>

Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f(σ)→ σ_>i>=N_>i>/F_>i><=[σ]–для пластично

σ_>ic><=[ σ_>с>] σ_>i>_>р><=[ σ_>р>] –для хрупкого

Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

[σ]= σ_>u>/n [σ]-допускаемое напяж-е

σ_>u>- предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц.

Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Q_>x> или Q_>y>) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.

Напр-я: Q=P τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ ΔS (абсолют деф-я)= γ*a γ =τ/G

V_>0>=1

l_>1>=l_>2>=l_>3>=1

для ед длины:ε_>1>=Δl_>1>/l_>1>= Δl_>1>/1= Δl_>1> =>

V_>1>= (1+ ε_>1>)* (1+ ε_>2>)* (1+ ε_>3>)=1+ +ε_>1>ε_>2>+…+ ε_>1> ε_>2> ε_>3>+…+ ε_>1>+ ε_>2>+ ε_>3>

Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε_>1>ε_>2>+…+ ε_>1> ε_>2> ε_>3>ε_>2>+…можно пренебречь.=> V_>1>= 1+ ε_>1>+ ε_>2>+ ε_>3>

υ=(V_>1>-V_>0>)/V_>0>=(1+ ε_>1>+ ε_>2>+ ε_>3>-1)/1= ε_>1>+ +ε_>2>+ ε_>3>

ε_>1>= ε_>11> +ε_>12> +ε_>13>=1/Е*(σ_>1>-μ*(σ_>2>+σ_>3>))

ε_>2>= ε_>21> +ε_>22> +ε_>23>=1/Е*(σ_>2>-μ*(σ_>1>+σ_>3>))

ε_>3>= ε_>31> +ε_>32> +ε_>33>=1/Е*(σ_>3>-μ*(σ_>1>+σ_>2>))- обобщенный з-н Гука для объем н.с. υ=(1-2μ)*(σ_>1>+σ_>2>+σ_>3>)/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е 2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:

ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:

ε_{>12 1-}>направление деф-ии _>2->причина деф

ε_>11>= σ_>1> /Е ε_>22>= σ_>2> /Е

ε_>21>= -μ*ε_>11>=_> >-μ* σ_>1> /Е ε_>12>= -μ*ε_>22>=

= -μ* σ_>2> /Е =>

ε_>1>= ε_>11> +ε_>12>= σ_>1> /Е - μ* σ_>2> /Е=

=1/E *(σ_>1>-μσ_>2>)

ε_>2>= ε_>22> +ε_>21>= σ_>2> /Е - μ* σ_>1> /Е=

=1/E *(σ_>2>-μσ_>1>)

2)Для объёмного н.с.:

ε_>1>= ε_>11> +ε_>12> +ε_>13>=1/Е*(σ_>1>-μ*(σ_>2>+σ_>3>))

ε_>2>= ε_>21> +ε_>22> +ε_>23>=1/Е*(σ_>2>-μ*(σ_>1>+σ_>3>))

ε_>3>= ε_>31> +ε_>32> +ε_>33>=1/Е*(σ_>3>-μ*(σ_>1>+σ_>2>))

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

ε_>1>= ε_>11> +ε_>12> +ε_>13>=1/Е*(σ_>1>-μ*(σ_>2>+σ_>3>))

ε_>2>= ε_>21> +ε_>22> +ε_>23>=1/Е*(σ_>2>-μ*(σ_>1>+σ_>3>))

ε_>3>= ε_>31> +ε_>32> +ε_>33>=1/Е*(σ_>3>-μ*(σ_>1>+σ_>2>))

удельная потенц энергия е_>р>=U/V_>0>

Полная энергия U=∫е_>р>dV(по V)

V_>0>=1 е_>р>=U/1=U= - A_>внут>= - (A_{>внут 1}>+

+ A_{>внут 2}>+ A_{>внут 3}>)

A_{>внут 1}>= - (σ_>1>* ε_>1>)/2 A_{>внут 2}>= - (σ_>2>* ε_>2>)/2 A_{>внут 3}>= - (σ_>3>* ε_>3>)/2

е_>р>=(σ_>1>* ε_>1>)/2+(σ_>2>* ε_>2>)/2+(σ_>3>* ε_>3>)/2

подставив ε_>1> ε_>2> ε_>3> получим:

е_>р>=

е_>р>= е_>р>^{формоизменения}+ е_>р>^{объёмоизменения}

е_>р>^ф зависит от угловых деф-ий

е_>р>^о зависит от линейных деф-й сторон

е_>р>^ф=(1+μ)(σ_>1>²+σ_>2>²+σ_>3>²-σ_>1>σ_>2>-σ_>1>σ_>3>-

-σ_>2>σ_>3>)/3Е

е_>р>^о=(1-2μ)*(σ_>1>+σ_>2>+σ_>3>)²/6Е

37 Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

σ_>α>=σ_>1>*сosα+σ_>2>*sinα

τ_>α>=((σ_>1>-σ_>2>)/2)*sinα

τ_>max>|_>α>_>=45>=(σ_>1>-σ_>2>)/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по σ_>α> σ_>β> τ найти σ_>1> σ_>2>

а) tg2ψ_>0>=2τ/(σ_>β>-σ_>α>)-

положение

глав площ-ки

σ_>1(>_>max>_>)/3(>_>min>_>)>= (σ_>α>-σ_>β>)/2±(√((σ_>α>-σ_>β>)²+4τ²))/2 вел-на глав напр-й (+для σ_>1(>_>max>_>) >-для

σ_>3(>_>min>_>)>)

б)для кручения

с изгибом

tg2ψ_>0>=2τ/σ

σ_>1/3>=σ/2±(√(σ²+4τ²))/2

(+для σ_>1(>_>max>_>) >-для σ_>3(>_>min>_>)>)

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(раст\сж, изгиб)

2)простое плоское н.с.(кручение, срез)

3)сложное н.с.

Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σ_>экв> и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным сост-м. σ_>экв> выр-ся ч/з напряж-я σ_>1> σ_>2> σ_>3> т.о. σ_>экв>=f(σ_>1> σ_>2> σ_>3>) и устанавливается гипотезами прочн-и

σ_>экв><=[σ]- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж

σ_>1/3><=[σ] (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

ε_>1/3><=[ε]=σ/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

τ_>max>(для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τ_>max> =(σ_>1>-σ_>3>)/2 [τ]=[σ]/2

(σ_>1>-σ_>3>)/2<=[σ]/2 σ_>1>-σ_>3><=[σ] =>

σ_>экв >_>III>= σ_>1>-σ_>3> т.к. не уч-ет σ_>2> то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (е_>р>^ф) не превосходит допустимой е_>р>^ф установленной для одноосного н.с.

е_>р>^ф(для слож н.с.)<=[е_>р>^ф](для линей н.с.

σ_>экв>_>IV>==

=<=<= [σ] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) σ_{>экв М}>= σ_>1> - ν σ_>3><=[σ_>р>] или [σ_>сж>]

ν=[σ_>р>] / [σ_>сж>] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):

σ_>1>= σ_>3>=

σ_{>экв III}>= σ_>1>- σ_>3>==

=<<=[σ]

σ_>экв>_>IV>===

=

σ_{>экв М}>= σ_>1> - ν σ_>3>=1/2*=

==

σ_>экв>=М_>прив>/W_>x><=[σ] W_>x>=0.1d³

ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

А_>внеш>= -А_>внут> U= -A_>внут>= P*ΔS/2=

=Q* ΔS/2= Q²*a/(2*G*F)

Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Δ l=0 σ =0 γ (угол сдвига)≠0

τ (кас напр)= G*γ

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (М_>кр>)

Внеш скруч

мом-ы: М_>скр>

М_>к>_>i>= ΣM_>скр >_>i> Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ

М_>кр >= f (τ)

Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.

γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус γ_>max>=tg γ_>max>=NN’/dz=r dφ/dz γ_>ρ>= tg γ_>ρ>=kk’/dz= ρ dφ/dz τ_>ρ> =G*dφ/dz* ρ

dφ/dz=const G=const G* dφ/dz=const

S=0 → τ=0 S= r → τ_>max>

При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ. dM_>к>= τ_>ρ>*dF *ρ M_>к>=∫dM_>к>(по F) = =∫ ρ *τ_>ρ>*dF = ∫ ρ²*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ²dF ∫ ρ²dF=J_>p>- полярный момент инерции поперечного сечения.

dφ/dz=М_>к>/(G*J_>p>)

τ_>ρ>= G* ρ* М_>к>/(G*J_>p>)= М_>к>* S/J_>p>

J_>p>(для круга)=0.1*d⁴

J_>p>(пусто-ого вала)=0.1*D⁴*(1-c⁴) c=d/D

τ_>max>=М_>к>*r /J_>p>= M_>к>/W_>p><=[τ] –усл проч-и

W_>p>=J_>p>/r W_>p> – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

W_>p> (круг)= 0.2*d³

W_>p>(пустотел вал)= 0.2*D³*(1-c³) c=d/D

dφ =М_>к>* dz /(G*J_>p>) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL)

М_>к>/(G*J_>p>)=const φ= М_>к>*l/(G*J_>p>) – з-н Гука

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_>i>

Условие жесткости: δφ_>max><=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_>к>/(G*J_>p>)

Услов жесткости: θ <= [θ]

Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. (в-19)

Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

A_>внеш>=М_>скр1>*φ_>1>/2 dА_>внут>= - М_>к>*φ/2

U= -А_>внут>=∫ М_>к>²* dz /(2*G*J_>p>(от0 доL) U=М_>к>²* l/(2*G*J_>p>)

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_>i>

Условие жесткости: δφ_>max><=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_>к>/(G*J_>p>)

Услов жесткости: θ <= [θ]

τ_>max>=М_>к>*r /J_>p>= M_>к>/W_>p><=[τ] –усл проч-и

Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

d-диаметр отверстия d_>зак>-диам заклёпк d≈d_>зак>+(0.5-1)мм

1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q_{>1-й зак}>=P/n n-число заклёпок

2)По плоскости среза τ распед равном

τ=Q/F

условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd²)<=[τ_>cp>] [τ_>cp>]≈0.8[σ]

n>=4P/(πd²[τ_>cp>]) n-числ зек из расчёта на прочность.

Расчёт на смятие:

F_>смят>=d*δ_>min>_> >

δ_>min>-min толщина места. σ_>смят>=Q/F_>смят>=P/(n’dδ_>min>)<=[σ_>c>_>м>]<=2*[σ]

n’-число зак из расчёта на смятие

n’>=P/([σ_>c>_>м>]*d* δ_>min>) из n и n’выбир >

Расчёт на прочность сварных швов.

Для соед-я встык – расчёт на обычное растяж\сжат: σ=P/F_>шва><=[σ]

Соед-е внахлёст:

Шов хар-ся катетом: АВ=ВС=δ=катет

На биссектрису дейст-ет τ_>мах>. Ширина опасного сечения = 0.7*катет

Площади опасного сечения швов:

F_>лоб> =b_>∑>*0.7*кат-т F_>фронт> =l_>∑>*0.7*кат-т

Допустимая нагрузка:

(l_>∑>+b_>∑>)*0.7*кат-т*[τ]>=P

Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

α<=10-12град

D-сред диамет

пружины

d-диам проволок

h-шаг

с=D/d-индекс пруж

с=4-12

n-число раб витков

n_>пол>=n+1.5-2.5

λ-удлинение/осадка

в сечении 2 внутренних усилия:

Q-поперечная сила, М_>к>-крутящ момен

Q=P M_>к>=P*D/2

M_>к>: τ_>max>=М_>к>/W_>p>=P*D/2*W_>p>

W_>p>=π*d³/16 τ_>max> =8PD/πd³

Q: τ=Q/F=4P/ πd²

Условия проч в опасной точке: τ_>max>= τ_>max(>_>Мк>_>)>+ τ_>max(Q)>= 8PD/πd³+4P/ πd²= =(8PD+4Pd)/ πd³= =8PD/πd³*(1+d/2D)<=[τ]

Если d/2D<=1/6, то τ_>max>=8PD/πd³<=[τ]

d>= λ=8PD³n/Gd⁴

хар-ка пруж-ы график P=f(λ)

k-жёсткост k=P/ λ [H/мм]

Изгиб чистый, поперечный. Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.

Изгибом наз-ся деф-я сопровождающ изменением кривизны оси стержня.

Стержни раб-щие в основном на изгиб наз-ся балками

Виды изгиба по внутр-м усилиям:

d_>проч>=

39 Гипотеза max касательных напряжений (III гипотеза прочности)(В-38)

40Гипотеза энергии формоизменения (IV гипотеза прочности)(в-38)

41 Критерий Мора.(в-38)

42 Расчёт на прочность круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38)

1)строим эпюры

М_>к1>=0 М_>к2>=М

М_>и1,2>=Р*z_>1,2>|_>0>=0|_>L>=P*l

2)опасные сечения:

М_>к2>=М М_>и2>=P*l

3)исследу-ые напр-я:

τ_>max>(М_>и>)=М_>к>/W_>p>

σ_>max>(M_>и>)=М_>и>/W_>x>

τ_>max>(Q)=Q*S_>x>/(b*J_>x>)

4)опасная точ на

поверхности вала:

σ=М_>и>/W_>x>

τ_>max>=М_>к>/W_>p>= М_>к>/2W_>х>

W_>p>=J_>p>/r=2*J_>x>/r W_>x>= J_>x>/r= W_>p>/2

J_>p>=