Поля и Волны (работа 1)

Лекция 7

Плоские электромагнитные

волны

7.1. Понятие волнового процесса.

7.2. Плоские волны в идеальной среде.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.

7.5. Поляризация ЭМВ.

7.1. Понятие волнового процесса.

Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов ?

Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:

1. Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют волновые процессы ЭМВ.

2. Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ - это скорость света.

3. Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.

4. Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.

Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.

7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.

Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.

 

(7.2.1.) rot H = j _>a> E  Используем для анализа

   1 - е и 2 - е уравнения

(7.2.2.) rot E = - j _>a> H  Максвелла

Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве за пределами

 

зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.



Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):

 

E = () rot H

 

() rot (rot H) = - j_>a> H

  

rot rot H = grad div A - ² H

  

grad div H - ² H = ² _>a>_>a> H



т.к. div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла

 

² H + k² H = 0 однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.3.)

k² = ²_>a>_>a>

Точно так же из второго уравнения получаем



уравнения для вектора Е:

• 

² E + k² E = 0 - однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.4.)

В развернутом виде запишем уравнения:

() +() +() + k² H = 0 (7.2.5.)

Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.

r_>1>  r_>2>  r_>3>

т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате y, х нет, т.е.:

= = 0

() + k² H = 0 (7.2.6.)

Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:

H(z) = A e ^{- jkz} + B e ^jkz  в обычной форме

H(z,t) = e ^jt (A e ^{- jkz} + B e ^jkz)  если поле зависит от времени.

 

H(z,t) = h  означает, что поле векторное.

 

H(z,t) = h [A e ^j(t-kz) + B e ^j(t+kz)] (7.2.7.)

Выделим составляющую поля c амплитудой А:

 

H_>a>(z,t) = h A e ^j(t-kz) - в комплексной форме.

(7.2.8.)

Выделим из комплексного выражения действительную часть:

 

H_>a>^реал(z,t) = Re H_>a>(z,t) = h A cos(t - kz) (7.2.9.)

z_>1> z_>2>

Фотография процесса в момент времени t = t_>1>, t = t_>2>. С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:

Ф_>1> = t_>1> - kz_>1> ; Ф_>2> = t_>2> - kz_>2 > (7.2.10.)

Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф_>1 >= Ф_>2>

t_>1> - kz_>1> = t_>2> - kz_>2>

k (z_>2> - z_>1>) =  (t_>2> - t_>1>)

= V_>ф> - называется фазовой скоростью волны.

k =   _>a> _>a>

V_>ф> = - зависит от свойств среды,

где распространяется ЭМВ.

_>0> = 8,85*10 ^–12 , _>0> = 4*10^-7 ,

V = 3*10⁸ (7.2.11.)

 - называют пространственную периодичность волнового процесса.

 - это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.

в т. Z_>1> Ф_>1> = t - kz_>1>

в т. Z_>2> Ф_>2> = t - kz_>2>

Ф_>1> - Ф_>2> = 2

z_>2> - z_>1> = = 

k = - волновое число

V_>ф> = = f   если в вакууме, то

V_>ф> = c

V_>ф> = f  (7.2.12.)

Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:

 

rot H = j  _>a> E

 

rot E = - j  _>a> H

Спроектируем уравнение на оси координат:

. . .

 i j k

rot H =

H_>x> H_>y> H_>z>

-() = j_>a> E_>x>

= j_>a> E;

0 = j_>a> E_>z>



E_>z> = 0

-() = - j_>a> H_>x> , 0 = - j_>a>H_>z>

= - j _>a> H_>y> , H_>z> = 0 (7.2.13.)

В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости  плоскости распространения:

-() = j_>a>E_>x>

j k H_>y> = j_>a> E_>y>

(7.2.14.)

Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.

 

Ориентация векторов Е и Н.

 

Для плоской ЭМВ Е всегда  Н.



Покажем, что величина Е Н = 0:

 

E H = E H cos (E H) = 0

(i E_>x> + j E_>y>) (i H_>x> + j H_>y>)

E_>x>H_>x> + E_>y>H_>y­> = Z_>c> H_>y>H_>x> - Z_>c>H_>x>H_>y> = 0

E_>x> = Z_>c> H_>y> ; E_>y> = - Z_>c> H_>x>

 

E  H всегда в плоской ЭМВ

 

H = y_>0> A e ^j(t-kz) общая запись

  плоской ЭМВ.

H = x_>0> A Z_>c> e ^j(t-kz) (7.2.15.)

Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются

 

2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление переноса энергии ?

  

П_>ср> = () Re [E H^*]

Итоги:  

1. Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)

2. Отношение = Z_>c> определенная величина в случае вакуума Z_>c> = 120 . Плоская ЭМВ однородная.

3. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.

4. У плоской ЭМВ E_>z> = 0 , H_>z> = 0.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать. Любая реальная среда - набор связанных зарядов (диполей), могут быть и свободные заряды.

Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.

В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины комплексные:

 = `_>a> - j _>a>``

 = _>a>` - j _>a>`` (7.3.1.)

Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры _>а> _>а> - комплексные.

Амплитудные соотношения.

С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в реальной среде:

____ _________________

k =   _>a>_>a> =   (_>a>`- j<sub>>a</sub>>``)(<sub>>a</sub>>`- j_>a>``) =  - j (7.3.1.)

поскольку величины _>а> и _>а> - комплексные, то k - тоже величина комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой процесс:

  

H (z,t) = y_>0> A e ^j(t-kz) = y_>0> A e ^{t-(jz)} =



= y_>0> A e ^{ } e ^{j(t-} (7.3.3.)

Параметр  получил название коэффициента затухания.  - фазовая постоянная - вещественная часть волнового числа.

V_>ф> =  /  в реальных средах (7.3.4.)

Понятие  было введено для идеального диэлектрика. Если затухание мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2 и считать, что это . Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет смысл (соленая вода), понятием  можно пользоваться условно.

Количественная оценка.

Рассмотрим поведение амплитуды в точках:

в т. Z_>1>  H(Z_>1>) = A e ^{- 1}

в т. Z_>2>  H(Z_>2>) = A e ^{- 2}

Изменение

a = 20 lg () = 20 lg () =

= 20 lg e ^{2- 1} = 20  (Z_>2> - Z_>1>) lg ℓ

Z_>2> - Z_>1> = ℓ

a = 8,69  l [дБ] (7.3.5.)

во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .

Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором амплитуда поля убывает в е раз

 

(вектор Е и Н).

Изменение поля Н = A e ^{- }. На расстоянии равном глубине проникновения в точке Z = 0, Н_>1> = А

в т. Z = ⁰ H_>2> = A e ^{- }

= е = е ^{- } ;  ⁰ = 1

⁰ = (7.3.6.)

Фазовые соотношения

Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”

____ ________________

Z_>c> =  = _>a>` - j<sub>>a</sub>>``/ <sub>>a</sub>>`- j_>a>``=Z_>c> e ^j (7.3.7.)

в реальных средах Z_>c> величина комплексная. Поведение

 

Е и Н в реальной среде:

 

H(z,t) = y_>0> A e ^{- } e ^{j(t-}

 

E(z,t) = x_>0> A Z_>c> e ^{- } e ^{j(t-} =



= x_>0> A Z_>c>e ^{- } e ^{j(t-  } (7.3.8.)

Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления показывает величину сдвига фаз между

   

Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.

Волновой процесс в реальных средах

Расчет коэффициента затухания и

фазовой постоянной в реальной среде

Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.

Реальная cреда не магнитный диэлектрик.

_>a> = _>a>`- j<sub>>a</sub>>`` ; <sub>>a</sub>> = <sub>>a</sub>>`- j0 = _>>_> > (7.3.9.)

(почва, вода)

Порядок расчета:

1) Из общих выражений для k:

____________

k =  - j =   (_>a>`- j<sub>>a</sub>>``) <sub>>a</sub>>` (7.3.10.)

Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:

² - 2 j - ² = ²_>a>`<sub>>a</sub> >` - j²_>a>``_>a>`

Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые части.

 ² - ² = ² _>a>`<sub>>a</sub>>`



 2  = ² _>a>``_>a>`

² _>a>`<sub>>a</sub>>` = q - обозначим

² _>a>``_>a>` = <sup>2</sup> <sub>>a</sub>>`_>a> = q tg 

= tg  (7.3.11)

 ² - ² = q ;  =



 2  = q tg

² - () tg² - q = 0

⁴ - q² - () tg² = 0

² =

Какой знак взять + или - ?

Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к.  - будет отрицательная.

² = (1 +  1 + tg²)

 =   ( 1 + tg² + 1) (7.3.12)

для  решение аналогичное:

 =  (7.3.13)

Выводы:

1. По определению V_>ф> =

V_>ф> =

tg  =

V_>ф> зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость V_>ф> от f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.

 = 0 - идеальная среда

  0 - реальная

Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:

1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:

tg  << 1

_____

 =   _>a>`<sub>>a</sub>>` (7.3.14.)

 совпадает с волновым числом для идеального диэлектрика с параметрами _>а>, _>а>.

Для :

________

 1 + tg²  1 + () tg² - разложение в ряд

_____

 1 + x  1 + x²

 =  tg =()  _>a>`<sub>>a</sub>>`

чем > tg , тем > . (7.3.15)

2) Среда с большими потерями.

tg  >> 1

 =  tg

 = 

 =  = 

tg  =

 =  = (7.3.16.)

⁰ =

Пример:

Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном длине волны (в среде с большими потерями).

e ^ = e^ = e ^{} = e ^ = 540 раз

7.4. Групповая скорость плоских волн

Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается ?





_>1 >_>2> _>3>

В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью _>1> _>2> _>3>. С какой скоростью передается сигнал ?

Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов:

_>1> = A cos (_>1>t - k_>1> Z)

_>2> = A cos (_>2>t - k_>2> Z) (7.4.1.)

Рассмотрим сложение двух сигналов:

_{> =} >_>1> + _>2> = A [cos (_>1>t - k_>1> Z) + cos (_>2>t - k_>2>Z)]

 = 2A cos ((_>1> -) t - (k_>1> -) Z) *

*cos ((_>1 >+) t - (k_>1> +) Z)

=   = _>0>

=  k = k_>0>

  << _>0>  k << k_>0>

 = 2 A cos ( t -  k Z) cos (_>0>t - k_>0>Z) (7.4.2.)

----------------------- -------------------

описывает медленно описывает быстро изменяющийся волновой процесс.

При оценке скорости реальных сигналов, специалисты рассматривают скорость переноса max энергии. Рассмотрим с какой скоростью изменяется в пространстве фронт max амплитуд.

в т. Z_>1> , t_>1>  Ф_>1> =  t_>1> -  kZ_>1> ,

в т. Z_>2> , t_>2>  Ф_>2> =  t_>2> -  k Z_>2>

Ф_>1> = Ф_>2>   t_>1> -  kz_>1> =  t_>2> - k Z_>2>

k (Z_>2> - Z_>1>) =  (t_>2> - t_>1>)

=V_>гр>

= V_>гр>  (7.4.3.)

V_>гр> по физическому смыслу характеризует скорость перемещения огибающей сигнала. С движением огибающей связано перемещение энергии, поэтому с групповой скоростью связано перемещение энергии:

V_>гр>  c V_>ф> >< c

V_>ф> связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.

V_>ф> - скорость изменения состояния фазового фронта.

Пример: Лампочки последовательно загораются, изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.

7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн

Под поляризацией будем понимать заданную в

 

пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида поляризации: линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной линии прямой),

 

круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).

Возьмем два ортогональных колебания:

Е_>х> = А cos (t - kz)

E_>y> = B cos (t - kz + ) (7.5.1.)

 - показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.

Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?

1) А  В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.

y ( = 0)

_____ ___________

в E =  E²_>x> + E²_>y> =  A² + B² cos (t-kz)

_>>

 = arctg = arctg () (7.5.2.)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание ориентированное под некоторым углом.

2) А = В ;  =  (/2)

Два ортогональных колебания по определению:

 = arctg () = arctg=

= arctg  tg (t - kz) =  (t - kz)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом  /2 дает вращающее колебание (колебание с круговой поляризацией).

___________ _____________________________

E =E²_>x>+E²_>y>=A²cos² (t - kz) + A²sin² (t - kz) = A

E = A

Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.

3) В общем случае, когда А  В, и фазы разные, вектор

 

Е или Н вращается по эллипсу.

Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с круговой поляризацией, имеющих разное направление.

1 2 3 4 5

Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные устройства (служебная связь - вертикальная поляризация, в России прием ТВ на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация - режим передачи, горизонтальная - режим приема. Круговая поляризация широко используется в радиолокации.

TYPE=RANDOM FORMAT=PAGE>18

Лекция 1

Основы теории электромагнитного

поля.

1.1. Информативность различных диапазонов волн.

1.2. Диапазон сверхвысоких частот (СВЧ).

1.2.1. Особенности СВЧ диапазона.

1.3. Поля или цепи ? Условие квазистационарности.

1.4. Векторные характеристики электромагнитного

поля.

1.5. Материальные уравнения среды.

1.6. Методы описания физических явлений и расчета

устройств СВЧ.

1.1. Информативность различных диапазонов волн.

В последнее время все большее количество людей переходят из сферы материального производства в сферу обработки, хранения и передачи информации. Информацию можно излучать, либо передавать по кабельным линиям, волноводам, световодам и т.д. Количество информации непрерывно растет. Ограничением является количество каналов. Любой канал может передать только определенную информацию.

тф

музыкальная передача

газета

ТВ

20кГц f

240 МГц

6 МГц

Рассмотрим диапазоны метровых волн (КВ).  = 10  100 [м], f = 30  3 [МГц], f = 27 Мгц. Если в этом диапазоне вести телевидение, то можно организовать четыре канала или 6000 телефонных каналов.

Диапазон УКВ.

 = 1  10 [м], f = 300  30 [МГц], f = 270 Мгц

число телевизионных каналов - 40

число телефонных каналов - 6*10⁴

Сантиметровый диапазон:

 = 1  10 см, f = 30  3 ГГц, f = 27 ГГц 

n_>телев.> = 4000, n_>телеф.> = 6*10⁶

Миллиметровый диапазон  = 1 10 мм, f = 30-300 ГГц, ∆f  270 ГГц, n_>тв>  4 ^. 10⁴, n_>тф> = 6 ^. 10⁷

Если посмотреть на оптический диапазон  = 0,3  3 мкм, f = 10⁵ – 10⁶ ГГц, f = 9 ^. 10⁵ ГГц. n_>тв>  1,5 ^. 10⁸, n_>тф > 2 ^. 10¹¹, то можно удовлетворить все потребности технического прогресса. С ростом частоты увеличивается информативность. Наращивание каналов связи - это освоение более высокочастотных диапазонов.

1.2. Диапазон сверхвысоких частот (СВЧ)

Диапазон СВЧ : 1 ГГц - 100 Ггц 1 ГГц = 10⁹ Гц

1.2.1. Особенности СВЧ диапазона.

1. Остронаправленность излучения при сравнительно небольших размерах излучателей.

2. Большая информативность.

3. Квазиоптический характер распространения волн.

1.3. Поля или цепи ? Условие квазистационарности.

Аппарат теории цепей есть, он могучий. Зачем нужна теория электромагнитного поля? Противопоставлять теорию цепей и теорию поля нельзя. В одних условиях лучше одна теория, в других другая. Рассмотрим простейшую схему.

ℓ

Вопрос: Какие показания будут давать амперметры ? Одинаковые или нет в любой фиксированный момент времени?

Ответ: Да, если Т >> t_>зап>. Запаздыванием процесса колебании от одной точки к другой можно пренебречь. Т - период колебаний источника;

t_>зап> - время запаздывания при распространении сигнала в цепи.

Предположим l - линейные размеры цепи, С - скорость света, тогда t_>зап> = . Если Т >>  Т С >> l, т.к. Т С = , следовательно:

 >> l - условие квазистационарности.

(1.3.1.)

Если условие квазистационарности выполняется, то можно пользоваться теорией цепей. Когда условие квазистационарности не выполняется, нужен другой анализ. В сантиметровом и оптическом диапазонах используется теория поля.

1.4. Векторные характеристики электромагнитных

полей.

Для полного описания свойств электромагнитных полей нужно знать положение, величину и направление в пространстве четырех векторов.



Е - вектор напряженности электрического поля.



Е(х, у,z,t)  [В/м]



D - вектор электрического смещения



D(x,y,z,t)  [кл/м²]



Н - вектор напряженности магнитного поля.



Н(х,у,z,t)  [А/М]



В - вектор магнитной индукции



В(x,y,z,t)  [Вб/м²]



Е, В - характеризуют силовые характеристики полей.



D,H - характеризуют источники ЭМП

1.5. Материальные уравнения среды.

Материальные уравнения устанавливают связь между векторными характеристиками электромагнитных полей одинаковой природы. Рассмотрим связь между векторами D и Е, В и Н.

Электромагнитные процессы могут протекать в самых разных условиях. Электромагнитные волны пронизывают ионосферу (от спутника до земной антенны). От свойств среды зависят условия распространения. Физики подробно дают ответ на такие вопросы (физика твердого тела, физика плазмы и т.д.). В простом представлении (грубая модель) среды

разделяют на диэлектрические и магнитные. Диэлектрические среды состоят из зарядов одинаковой величины и противоположных по знаку (диполей).

+ - p^э = q ℓ - электрический момент.

Многочисленные эксперименты и строгие теоретические выводы подтверждают связь:

 

D = _>a> E

где _>а> - абсолютная диэлектрическая проницаемость

среды.

Для вакуума _>a> = _>0> = 8,85 * 10^-12 [Ф/м].

Вводят понятие относительной диэлектрической проницаемости: _>a> = _>отн> _>0>

_>отн> =

В справочной литературе указаны значения _>отн>. Для магнитных веществ ситуация аналогичная:

 

B = _>a> H

_>a> - абсолютная магнитная проницаемость.

Для вакуума:

_>a> = _>0> = 4  * 10^-7

Для удобства расчетов вводят понятие относительной магнитной проницаемости :

_>отн> =

Выражения (1.5.1.) называют материальными уравнениями среды.

 

D = _>a> E

 

B = _>a> H

 

_>пр> =  E (1.5.1.)

_>пр> - плотность тока проводимости []

 - удельная проводимость среды [].

1.6. Методы описания физических явлений и расчета

устройств СВЧ диапазона.

• Электродинамика, как основа описания физических явлений в СВЧ диапазоне.

• Уравнения Максвелла, как обобщение экспериментальных законов электричества и магнетизма.

TYPE=RANDOM FORMAT=PAGE>5

Лекция 2

Интегральные уравнения

электромагнитного поля.

2.1. Теорема Гаусса для электрического поля.

2.1.1. Теорема Гаусса для магнитного поля.

2.2. Закон полного тока. Ток смещения.

2.3. Закон электромагнитной индукции.

2.4. Закон сохранения заряда.

2.1. Теорема Гаусса для электрического поля.

Интегральные уравнения электромагнитного поля являются обобщением экспериментальных законов и являются постулатами.

Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора электромагнитной индукции , проходящим через замкнутую поверхность S и зарядами находящимися внутри поверхности. Теорема Гаусса является обобщением закона Кулона.

q-внутри S

D dS = q =

^S 0 вне S (2.1.1.)

Если заряд вне поверхности, то П = 0, т.к. сколько зарядов вошло, столько и вышло.

Внутри заряженной поверхности могут быть самые разные распределения зарядов.

(2.1.2.)

Физическое понимание этих соотношений роль и сила теоремы Гаусса. Она позволяет судить о процессах происходящих внутри не проникая туда. К примеру, поток  0, значит внутри S есть что-то, что создает поток. Если П=0, то там ничего нет, нет источников полей.

Практическое использование теоремы Гаусса, рекомендации. Форма поверхности произвольная. Любая. Как распорядиться свободой ? Цилиндр, сфера, куб и т.д. Разные поверхности, разные сложности. Универсальная рекомендация. Если поверхность выбрана таким образом, что вектор будет постоянен, то можно использовать теорему Гаусса.

S

h

Пример: Рассчитать вектор , создаваемый бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью _>L>.

По теореме Гаусса (2.1.2.) имеем:

 

D dS = q

Этап 1. Выбор замкнутой поверхности. Цилиндр высотой h и радиусом r.



Этап 2. Вычисление потока вектора D:

     

D dS = 2  D dS +  D dS = D 2 r h

^{Sосн Sбок}

Этап 3. Вычисление заряда:

q =  _>L> dl = _>L>  dL = _>L> h

^L

Этап 4. Применение теоремы Гаусса:

  

D 2 r h = _>L> h ; D = (_>L> / 2 r) r_>0>

2.1.1. Теорема Гаусса для магнитных полей -



устанавливает связь между потоком вектора В и источниками магнитного поля. Магнитных зарядов в природе нет.

 

В dS = 0 (2.1.1.1.)

^S

Cто лет назад этими двумя интегральными уравнениями ограничивались познания человечества о природе.

2.2. Закон полного тока. Ток смещения.

К середине 18 столетия большинство ученых пришли к выводу, что между магнитными и электрическими явлениями нет ничего общего, это разные явления. К началу 19 века накопились факты, утверждающие, что существует связь между электрическими и магнитными явлениями. Датский ученый Эрстед сделал открытие, описав явление, но объяснение этого явления тогда было неправильно. Факт - если пропустить по проводнику электрический ток, то в окружающем пространстве возникает вихревое магнитное поле , направленное по касательной. Стрелка компаса отклоняется.

(2.2.1.)

Физический смысл: Источниками магнитных полей являются движущееся заряды, т.е. ток. 

Введем понятие плотности электрического тока _>пр> - количество зарядов, проходящих в единицу времени, через единичную площадку  к ней направленную.

На площадке S выделим элемент площадью  S, покажем направление площади и плотность тока проводимости: 

_>пр>

 

 I = _>пр> S

 

I =  I =  _>пр> dS (2.2.2.)

^{S S}

В некоторой ситуации имеет место сложное распределение тока.

Выделим в системе некоторый контур L, охватывающий часть токов. Вклад в циркуляцию вектора Н дают только токи, охватывающие выделенный контур:

  _>n>

 H dl =  I_>k> (2.2.3.)

^{L k=1}

I_>1> I_>2> I_>3> I_>4> I_>5>

Для среды с непрерывным распределением тока:

   

 H dl =  _>пр> dS (2.2.4.)

^S

Магнитное поле могут создавать не

только движущиеся заряды, но и пе -

ременное электрическое поле.

2.2.1. Ток смещения:

Попытаемся на различных участках этой цепи вычислить циркуляцию 

вектора Н.

 

= Н dl = I_>пр> (2.2.1.1.)

^L1

Передвинем постепенно контур L_>1> к обкладкам конденсатора. Описанное равенство пока выполняется.

 

Неверно H dl = 0  H = 0 ? ? ?

^L2

Магнитное поле ведь было до обкладок, почему же оно исчезло ?

Максвелл показал, что магнитное поле есть, его порождает переменное электрическое поле что между обкладками есть ток смещения.

По Максвеллу:

 

правильно H dl = I_>смещ> (2.2.1.2.)

^L2

В общем случае могут протекать как токи проводимости, так и токи смещения.

H dl = I_>пр> + I_>см> Закон полного тока

^L (2.2.1.3.)

Если ввести понятие плотности тока смещения, то:

 

I_>см> =  _>см> dS (2.2.1.4.)

^S

Рассчитаем плотность тока смещения в цепи:

I_>см> = I_>пр> = c (2.2.1.5.)

I_>см> = _>a>

C = _>a> U = E d

L_>см> = S

2.3. Закон электромагнитной индукции.

Устанавливает в интегральной форме зависимость ЭДС, наведенной в контуре от магнитного потока. Сформулировал закон электромагнитной индукции Фарадей.

Э = (2.3.1.)

 

Э = Е dl - циркуляция вектора Е по

^L замкнутому контуру L.

  

Ф =  В dS - поток вектора В

^S

Площадка S опирается на контур L

E dl = - (2.3.2.)

^L

Знак (-) говорит о том, что возникшая в контуре ЭДС будет создавать переменное магнитное поле, которое препятствует направлению основного поля, которое вызвало ЭДС.

2.4. Закон сохранения заряда.

В замкнутой системе при любых процессах полный заряд остается неизменным. Если заряд остается неизменным, значит ничего не вышло за пре делы. Если заряд меняется, значит возникает ток:

 

I = Q / t ; I = _>пр> dS (2.4.1.)

^S

Q =  _>v> dV; (2.4.2.)

^v

 

_>пр> dS = -  dV - уравнение

^{s v} непрерывности полного тока.

TYPE=RANDOM FORMAT=PAGE>6

Лекция 3

Уравнения Максвелла. Дифференциальные

уравнения электромагнитного поля.

3.1. Первое уравнение Максвелла.

3.2. Второе уравнение Максвелла.

3.3. Третье уравнение Максвелла.

3.4. Четвертое уравнение Максвелла.

3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме.

3.6. Таблица уравнений ЭМП.

1. Интегральные уравнения не позволяют получать информацию об электромагнитных процессах в каждой точке пространства. Они дают усредненные решения полей в пространстве.

2. Хорошо развитый аппарат математических решений позволят переходить от интегральной формы к дифференциальным решениям.

Впервые переход от интегральных уравнений к дифференциальным сделал Максвелл.

3.1. Первое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона полного тока:



H dl = I_>пол> ; I_>пол> = I_>пр> + I_>см>

^L     

I_>пол> =  _>полн> dS ; _>пол> = _>пр> + _>см> (3.1.1.)

^S

S - опирается на контур L.

  

H dl =  _>полн> dS (3.1.2.)

^{L S}

Используем теорему Стокса:

   

H dl =  rot H dS =  _>полн> dS (3.1.3.)

^{L S S}

Равенство сохраняет силу по любой поверхности, опирающейся на контур L, отсюда следует, что подынтегральные функции равны.

   

rot H = _>полн> ; _>пр> = E - дифференциальная форма закона Ома. 

_>см> =

rot H =  E + - первое уравнение Максвелла. (3.1.4.)

Физический смысл 1-го уравнения Максвелла.

Источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения.

3.2. Второе уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона электромагнитной индукции:

 

E dl = -  dS ; (3.2.1.)

^L   ^S 

 rot E dS = -  dS (3.2.2.)

^{S S}



rot E = - - второе уравнение Максвелла. (3.2.3.)

Физический смысл. Вихревое электрическое поле создается переменным магнитным полем.

3.3. Третье уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для электрических полей.

 

D dS = Q (3.3.1.)

^S

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса, которая позволяет осуществить переход от



поверхностного интеграла П (D) к объемному интегралу от (div D):

  

D dS =    div D dV (3.3.2.)

^{S V}

Запишем правую часть уравнения (3.3.1.) для объемного заряда. Объединим два выражения:

Q =   dV

^V



 div D dV =   dV 

^{v v}



div D =  - третье уравнение Максвелла. (3.3.3.)

Физический смысл. Источниками электрического поля (векторов Е и D) являются заряды с плотностью .

3.4. Четвертое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса для магнитных полей:

 

B dS = 0 ; (3.4.1.)

^S



div B = 0 - четвертое уравнение Максвелла. (3.4.2.)

Физический смысл. Дивергенция вектора В в любой точке пространства равняется нулю, т.е. - источников нет (магнитные заряды в природе отсутствуют). Нет ни стыков, ни источников.

3.5. Закон сохранения заряда в дифференциальной форме:

Используем теорему Остроградского-Гаусса:



 div _>пр> dV = -  dV 

^{v v}

 (3.5.1.)

div _>пр> = - - это уравнение является следствием из предыдущих уравнений

3.6. Таблица интегральных и дифференциальных уравнений электромагнитного поля.

Материальные уравнения cреды.

 

D = _>a> E Все эти уравнения являются обобщением в математической форме опытов всего человечества об электромагнитных явлениях. Они не доказываются и не выводятся - это результат опытов.

 

B = _>a> H

 

_>пр> =  E

 

_>см> = D / t

Интегральные уравнения электромагнитного поля	Дифференциальные уравнения электромагнитного поля. Уравнения Максвелла
1.Закон полного тока:   H dl = I>пр> + I>см> > L> 2.Закон электромагнитной индукции:    E dl = -  dS L S 3.Теорема Гаусса для электрических полей:  D dS = Q 4.Теорема Гаусса для магнитных полей:   B dS = 0 5.Закон сохранения заряда   >пр> dS = -  dV S V	  rot H  E +    rot H = >пр> + >см>  rot E = -  div D =   div B = 0  div >пр> = -

TYPE=RANDOM FORMAT=PAGE>4

Лекция 4

Энергия электромагнитного поля

4.1. Уравнение баланса энергии ЭМП.

4.2. Теорема Пойнтинга.

4.3. Некоторые примеры.

Любое реальное сообщение связано с передачей электромагнитной энергии. Чувствительность приемных устройств оценивается по той минимальной энергии, которой необходимо для того, чтобы эти устройства срабатывали.

Установим правило по которому можно рассчитывать энергию электромагнитного поля, если

   

известны Е и D, Н и В (векторные характеристики).

Уравнения Максвелла дают в целом полное описание уравнений. Любой акт проверки неизбежно связан с извлечением энергии ЭМП. Для сравнения экспериментальных и теоретических результатов ЭМП. Однако возникает вопрос о проверке этих необходимо связать энергию с напряженностью полей (векторные характеристики ЭМП).

4.1. Уравнение баланса энергии.

Баланс энергии ЭМП является следствием закона сохранения энергии для ЭМП. Выберем произвольный объем, ограниченный поверхностью S, внутри находятся источники ЭМП.

Считаем, что мощность источников нам известна, обозначим ее Р_>ст> (сторонняя). Природа сторонних источников не рассматривается. Выясним, на какие процессы расходуется Р_>ст >:

1) Часть Р_>ст> преобразуется в другие виды энергии (тепло и т.д.). Это мощность Р_>пот>.

2) Внутри V могут находиться элементы, которые запасают энергию. Для характеристики этих процессов вводится понятие плотности энергии ЭМП W^ЭМ, удельная мощность По всему объему:

Р^ЭМ = _> > dV (4.1.1.)

^V

Р^ЭМ - мощность расходуемая на изменение накопленной внутри объема энергии ЭМП.

3) С ЭМП связаны процессы переноса энергии.

Эта часть Р называют излучаемой Р^изл. Для характеристики таких процессов введем понятие плотности энергии переносимой ЭМП через единичную поверхность за единицу времени в перпендикулярном поверхности направлении. Эта величина получила название вектора Пойнтинга П и характеризует количество энергии переносимой через единичную площадку за единицу времени  поверхности:



П [Вт/м²]

Мощность излучения:

 

Р_>изл> =_> >П dS (4.1.2.)

^S

В силу закона сохранения энергии имеем:

  (4.1.3.)

Р_>ст> = Р_>пот> +  (W / t) dV + _> >П dS - уравнение баланса энергии.

^{V S}

Пример:

4.2. Теорема Пойнтинга.

Теорема Пойнтинга устанавливает количественную связь между векторными характеристиками полей и отдельными составляющими баланса энергии ЭМП.

Для установления этой связи воспользуемся уравнениями Максвелла:

 

H  rot E = - _> > (4.2.1.)

    

E  rot H = _>см >+_> >_>пр> + _>ст> (4.2.2.)

Вычтем (4.2.2.) из (4.2.1.):

       

H rot E - E rot H = -_> > H - _>см>Е - _>пр>Е - _>ст>Е (4.2.3.)

     

(div [a x b] = b rot a - a rot b) тождество (4.2.4.)

     

div[ E x H] = - (_> >H + _> >E) - _>пр>Е - _>ст>Е (4.2.5.)

Закон сохранения энергии это интегральное соотношение. Поэтому выполним интегрирование последнего уравнения по объему V:

  

 div [E H] dV = -  (_> >H + _> >E) dV -

^V    v 

-  _>пр> E dV -  _>ст> E dV (4.2.6.)

^{V V}

по теореме Остроградского-Гаусса:

 div [E x H] dV = _> >[E x H] dS (4.2.7.)

^{V S}

Упростим выражение под знаком объемного интеграла:

    

_> >H + _> >E = _> >(_>a>H) H +(_> >) (_>a>E) E =

_> > (4.2.8)

-_> > (4.2.9)

Сравним последнее уравнение с составляющими баланса энергии ЭМП (4.1.2.):

 

Р_>ст> =  _>ст> Е dV знак (-) говорит о том,

^v   что энергия расходуется.

Р_{>потерь}> =  _>пр> Е dV

^V

W^эм = _> >

W^э = _> >; W^м = _> >

  

П = [E x H] (4.2.10.)

3. Некоторые примеры.

Для определения направления переноса энергии необходимо определить направления П. В соответствии с правилами векторного произведения направление вектора П, перпендикулярно плоскости векторов Е и Н. Основная энергия, переносимая вдоль линии, распределена вне проводов. Можно показать, что энергия, поступающая внутрь провода в точности равна джоулевым потерям.

TYPE=RANDOM FORMAT=PAGE>4

Лекция 5

Классификация ЭМП

5.1. Статические поля.

5.2. Стационарные поля.

5.3. Квазистационарные поля.

5.4. Относительность свойств реальных сред.

5.5. Быстропеременные поля.

В основе классификации ЭМП лежат 2 критерия:

1. Зависимость полей от времени.

2. Соотношение между токами проводимости и смещения.

5.1. Статические поля.

Статические поля не зависят от времени :



= 0  _>см> = 0



Заряды неподвижные _>пр> = 0.

Уравнения Максвелла:

 

1. rot H = 0; 2. rot E = 0

 

3. div B = 0; 4. div D = 

   

B = _>a> H; D = _>a> E (5.1.1.)

В статических полях электрические и магнитные явления проявляют себя независимо. Уравнения Максвелла распадаются на 2 системы:

 

 rot H = 0  rot E = 0

   

 div B =0  div D =  (5.1.2.)

5.2. Стационарные поля.

Стационарные поля не зависят от времени =0 

_>см> = 0 ; _>пр>  0:

 

rot H = _>пр> - магнитное поле становится вихревым



div B = 0

   

B = _>a> H _>пр> =  Е

 

rot E = 0 div D = 



D = _>a> E (5.2.1.)

Поля зависят друг от друга. Электрическое поле не вихревое, магнитное вихревое.

5.3. Квазистационарные поля.

 0  _>см>  0 Процессы медленно изменяются во времени.

 

rot H = _>пр> rot E = -

 

div B = 0 div D = 

   

B = _>a> H D = _>a> E _>пр> >> _>пр>

(5.3.1.)

Эти поля детально изучаются в ТЭЦ.

5.4. Относительность свойств реальных сред.

В реальных средах существуют токи проводимости и токи смещения. Рассмотрим поведение реальных сред в переменных полях.

Е = Е_>0> cos  t (5.4.1.)

_>пр> =  E =  E_>0> cos t (5.4.2.)

_>см>==(_>a>E)=(_>a>E_>0>cost)=-_>a>E_>0>sint (5.4.3.)

_>пр> =  E_>0> = = tg  - тангенс угла диэлектрических потерь

_>см> =  _>а> Е_>0 > (5.4.4.)

если tg  >> 1 - проводящая среда.

tg  << 1 - диэлектрическая среда.

С ростом частоты все среды тяготеют к диэлектрикам.

5.5. Быстропеременные поля

5.5.1. Гармонические процессы и метод комплексных

амплитуд.

5.5.2. Уравнения Максвелла в комплексной форме.

5.5.1. Гармонические процессы и метод комплексных

амплитуд.

Из-за того, что процесс очень быстро изменяется по времени, то :

>>  _>пр> (производные по времени большие)

Уравнения Максвелла принимают вид:

    

rot H = _>см> ; rot E = -; div D =  ; div B = 0

(5.5.1.1.)

В дальнейшем в курсе мы будем иметь дело с таким классом полей, т.е. быстропеременным. Из всего многообразия временных зависимостей полей в нашем курсе мы рассмотрим группу, где поля изменяются по гармоническому закону:

 cos t

V = V_>0 >cos или sin непринципиально +

 sin t

Метод комплексных амплитуд имеет те же предположения, что и в курсе ТЭЦ, мы несколько распространим его на векторные величины.

 

V = V_>0> cos t - в общем виде записана производная векторная величина, изменяющаяся по гармоническому закону.

Как выражается такая величина в методе комплексных амплитуд ?

  

V = V_>0> cos t  V = V_>0> e ^jt - временная зависимость.

Как вернуться к исходному вектору без точки? Какая теорема используется ? Теорема Эйлера.

 __

V = Re V = V_>0> cos t

  __  

V = V_>0> cos (t + )  V = V_>0> e ^{j(t+} = V_>0> e ^jt

 

V_>0> = V_>0> e ^j В этом методе на амплитуду ничего не действует.

Вывод:

1. В окончательных выражениях зависимость от времени исчезает хотя она всегда известна, ее можно восстановить.

2. Значительно упрощается дифференцирование и интегрирование по времени, дифференцируем  умножаем на j , интегрируем  делим на j

 __

= V_>0> j e ^jt = V j

Средняя мощность:

Р_>ср> = U I^*;

Р_>ср>^акт = Re (U I^*);

Р_>ср>^реак = I_>m> (U I^*)

 __ __

П = [E x H^*]



П^акт_>ср> = Re П



П^реак_>ср> = I_>m> П

5.5.2. Комплексные уравнения Максвелла

Комплексные уравнения Максвелла являются дифференциальной формой законов электромагнетизма для гармонических процессов:

    

E = E_>0> cos (t + _>E>)  E_>0> e ^jt ; E_>0> = E_>0> e ^je

    

D = D_>0> cos (t + _>D>)  D_>0> e ^jt ; D_>0> = D_>0> e ^jd

    

H = H_>0> cos (t + _>H>)  H_>0> e ^jt ; H_>0> = H_>0> e^jh

    

B = B_>0> cos (t + _>B>)  B_>0> e ^jt ; B_>0> = B_>0> e ^jb

(5.5.2.1.)

Применим метод комплексных амплитуд к этому процессу:

 

D =  _>a> E

Формально можно записать хотя деление векторов не встречается.

_>a> =;

где _>а> - комплексная диэлектрическая проницаемость

= e ^{j(de} = _>a> e ^{j(DE} = `_>a> - j``_>a> (5.5.2.2.)

В общем случае фаза, с которой изменяется вектор D и вектор Е могут неравны _>D >- _>E>  0, т.е. возможно опережение или отставание.

В гармонических полях абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости величины комплексные:

.

_>a> = = _>a> e ^{j(bh} = `_>a> - j``_>a> (5.5.2.3.)

Площадь петли равна энергии на перемагничевание. В любых магнитных материалах имеется запаздывание

 

вектора В относительно Н.

Уравнения Максвелла

   

rot H = _>пр> + _>см> =  E + - в обычной дифференциальной форме.

Покажем, что уравнения Максвелла относительно временных процессов являются линейными.

  

H = H_>0> cos t  rot H_>0> cos t 

    применяем операцию rot.

H = j H_>0> sin t  rot j H_>0> sin t 



rot H_>0> (cos t + j sin t) = rot H_>0> e ^jt

Применим первое уравнение Максвелла к векторным характеристикам полей, записанных в комплексной форме:

   

rot H_>0> =  E_>0> + j  _>a> E_>0> = j  E_>0> (_>a> - j )



D_>0> _>a>

  (5.5.2.4.)

rot H_>0> = j  _>a> E_>0> в комплексной форме отсутствует зависимость от времени.

_>a> = _>a> - j= `_>a> - j``_>a>

где: `_>а> = _>a> - характеризует процессы поляризации.

``_>a> = - характеризует джоулевые потери.

По аналогии второе уравнение Максвелла:

 . 

rot E_>0> = - j  _>a> H_>0> (5.5.2.5.)

 

div D =  ; div B = 0

Третье и четвертое уравнения не реагируют на время, не зависят от того, какой процесс гармонический или нет.

Для гармонических процессов третье и четвертое уравнения теряют смысл, они входят в первое и второе.

  

rot E = - j  _>a> H_>0> = - j  B_>0> (5.5.2.6.)

Применим к правой и левой части уравнения (5.5.2.6.) операцию div:

 

div rot E = - j  div B_>0>

 

0  div B_>0> = 0

Метод комплексных амплитуд позволил существенно упростить описание полей, т.к. требуется только два уравнения:

 

rot H = j  _>a> E _>а> = _>а>` - j _>a>``

 

rot E = - j  _>a> H _>a> = _>a>` - j _>a>``

В дальнейшем черточку опускаем, но всегда имеем в виду, что комплексная форма, т.к. присутствует символ j.