Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинетические Свойства

§ 6. Кинетическое уравнение

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию f_>k>(r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция f_>k>(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть v_>k> — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь tv_>k>. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – tv_>k> в момент времени 0:

f_>k>(r, t) = f_>k>(r – tv_>k>, 0). (35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть

f_>k>/t]_>diff> = – v_>k>f_>k>/r = – v_>k>f_>k>. (36)

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству

(37)

Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)

следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью

(39)

(мы использовали здесь обозначение f_>k>/k для градиента в k-пространстве — оператора _>k>).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция f_>k> меняется со скоростью

f_>k>/t]_>scatt> = ∫{ f_>k'> (1 – f_>k>) – f_>k> (l – f_>k'>)}Q(k, k') dk'. (40)

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению f_>k>. Вероятность этого процесса зависит от величины f_>k> — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – f_>k>_>'>) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции f_>k>; он пропорционален величине f_>k>_>'>(1 – f_>k>). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции f_>k>(r) равна нулю, т. е.

f_>k>/t]_>scatt> + f_>k>/t]_>field> + f_>k>/t]_>diff> = 0. (41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f⁰_>k>, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим

g_>k> = f_>k> – f⁰_>k>. (42)

где

f⁰_>k> = 1/{exp[(E_> >_>k> – )/kT] + 1} (43)

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f⁰_>k> в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим

gk(r)=f_>k>(r) – f⁰_>k>{3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например

g_>k>(r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

– v_>k>f_>k >/r – e_> >/ħ(E + 1/c[v_>k>  H]) f_>k >/k = – f_>k >/t]_>scatt> , (46)

или

– v_>k>f_>k>_> >/T T – e_> >/ħ(E + 1/c[v_>k>  H])  f⁰_>k>_> >/k = – f_>k>_> >/t]_>scatt> + v_>k>g_>k>_> >/r + e_> >/ħ(E + 1/c[v_>k>  H]) g_>k>_> >/k. (47)

С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

(f⁰_> >/E)v_>k>{( E_> >(k) – )_> >/_> >TT + e_> >(E – 1/e)} = – f_>k >/t]_>scatt> + v_>k>g_>k >/r + e_> >/ħc[v_>k>  H] g_>k >/k. (48)

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (Eg_>k>_> >/k) порядка E², соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член v_>k> [v_>k>  H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» g_>k>(r) к функции распределения. Функция g_>k>(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.

§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем

(– f⁰_> >/E)v_>k>eE = – (f⁰_> >/t)]_>scatt> = (f_>k>– f_>k>_>>)Q(k,k)dk= (g_>k>– g_>k>_>>)Q(k,k)dk (49)

Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции g_>k>.

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:

– f_>k >/t]_>scatt> = g_>k>/ (50)

Тем самым мы вводим время релаксации . При выключении поля любое отклонение g_>k> от равновесного распределения будет затухать по закону

– g_>k >/t = g_>k>/, (51)

или

g_>k>(t) = g_>k>(0)e ^{– t / } . (52)

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

g_>k> = (– f⁰_> >/E) v_>k>eE (53)

Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

(54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

f⁰_>k>ev_>k>(r)dk  0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– f⁰_> >/E) ведет себя как -функция от (E – ), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J = E, (56)

где  – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть

(v_>k >v_>k > E) = v²_>x>E, (58)

что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v²E. Поэтому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

 = v. (60)

Это есть основная формула для электропроводности.

Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения f_>k>, заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция g_>k> велика только вблизи поверхности Ферми.

Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми.

Небольшая добавка появляется с той стороны, где v_>k>eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны.

Фактически по теореме Тейлора можно написать

(61)

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (e/ħ)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью.

Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости t). Эта же формула справедлива при T = 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми.

Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

f_>k> = f⁰(E_>k> + ev_>k>E), (62)

как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

E_>k> = ev_>k>E. (63)

Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью v_>k> двигался в поле E в течение интервала времени . Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости v в направлении поля; именно

v(E/v) = evEt, (64)

или для классической частицы массы m

v(E/v) = evEt / mv. (65)

Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

J = nev, (66)

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

 = ne²/m. (7.33)

Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.

Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi.

С другой стороны, формула кинетической теории (67) удобна для полупроводников. При этом под п следует понимать концентрацию свободных носителей заряда. Обычно пишут

 = n|е| (68)

где

 = |e|/m (69)

есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что электроны и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их подвижности равенством

 = n_>h> |е| _>h> + n_>e> |е| _>e> . (70)

Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в качестве f° классическую функцию распределения. При этом мы допускаем, что время релаксации  может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить его среднее значение

(71)

где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,

_>e>= |e|_>e> /m_>e> (7.38)

где т_>е> — эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и для дырок. Из этих формул видно, что подвижность может зависеть от температуры. С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение  (E_>F>).

10