Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла
МГТУ им Н.Э.Баумана
гр. ФН2-41
Котов В.Э.
Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.
(по материалам лекций Толмачева В.В.)
Постановка задачи
Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемостью > > и > > соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2) , необходимо выяснить соотношения между углами > > и > >, а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла : > > и > > (1) (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е. > >)
для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):
> > и > > (> >=> >=0) (2)
где A и B , > > и > >, > >- постоянные (не зависят от времени и координаты) ,
> > и> > - характеристики среды , в которой распространяется волна ,
> > , t - рассматриваемый момент времени
x - рассматриваемая координата на оси Х
V - скорость распространения волны в данной среде
(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением )
Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : > >и > > не терпят разрыва на поверхности раздела , > > и > > также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:
> > (3)
(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)
Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1) , удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор > >перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор > > перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.
Случай ТМ -волны (p - волны)
рис.2
Из рисунка видео , что > > , запишем условия равенства > > на границе раздела :
> > ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)
подставляем значения> >:
> >
подставляем > > из (2) :
> >
Аналогично , поскольку > > получаем для вектора > >на границе раздела:
> > ( c учетом (2) )
> >
для выполнения равенств для > >и > > потребуем равенства аргументов косинусов :
> >
потребуем также равенства начальных фаз: > >
из рисунка видно , что : > > > >, > > (4)
(> >,> >и > > - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :
> >
> >
> >
из равенства аргументов получаем :
> >
(т.к. > > , > > )
> >т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света
разделим теперь выражения для> >и > >на > > , получим (c учетом (4) ) следующую систему :
> > (5)
здесь неизвестными являются > >и > > , а > > - заданно.
Умножим первое уравнение на > > а второе на > > и вычтем из первого второе , тогда члены с> > сократятся и получим:
> >
поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость> > незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать > >, тогда:
> >.
( разделим числитель и знаменатель на > >, и учтя , что> > )
применив закон преломления , получим (6):
из второго уравнения системы (5) получаем для > >:
> > (поскольку полагаем > >,) , тогда:
> > (7)
проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли -> > и > >. Второе равенство выполняется заведомо , поскольку > >, проверим первое равенство > > :
из рисунка видно , что > > , а > > подставим значения > >,> > и > >( из 2) , сократив сразу на > > , и учитывая (4) :
> >(выражая > >через второе уравнение системы (5) )
> >
Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
> > и > >
Случай ТЕ -волны ( s - волны)
рис.3
Из рисунка видно , что > >
Условия (3) для > > и > >:
> >
подставляя значения > >и > > из (2) получим :
> >как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на > >и с учетом (4) получим систему :
> > (8)
умножим первое уравнение на > > а второе на > > и вычтем из первого второе :
> >
> >
поскольку мы полагаем > > (см. выше) то > >
> > (9)
из второго уравнения системы (8) получаем:
> > (10)
проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : > > и > > .
Второе условие выполняется , поскольку > > , проверим выполнение равенства : > > из рисунка видно , что > > , а > > подставим значения > >,> > и > >( из 2) , сократив сразу на > > , и учитывая (4) получим : > >
подставляем > > из второго уравнения системы (8) :
> >
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))
> > и > >
Анализ формул Френеля
Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения > >. Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга > > падающей и отраженной (> > и > > в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (> >
и > >) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:
> >
> >
> >
> >
А. Отражение
Исследуем сначала поведение > >и > > на границах отрезка > >:
при > > (просто положить > > равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):
> >
> >
> >
для случая падения из воздуха в стекло (> >) : > >
т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при> >:
> > > >
Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.
В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях > > больших , чем > >, вычисляемого следующим образом:
> >1
Для падения из стекла в воздух > >
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому > > в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до > >, в этом случае:
> > > >
Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции: > > и > >
Нам понадобится производная > >, найдем ее как производную функции , заданной неявно :
> >
> >Знак этой производной ( поскольку > > , > >) зависит только от знака выражения > > , это выражение > 0 , когда > > (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и <0 , когда > > (из более оптически плотной в менее оптически плотную ) , следовательно в первом случае > > монотонно возрастает, а во втором , убывает . Но в случае > > > > , следовательно по модулю это выражение будет возрастать , в случае> >> > оно также будет по модулю возрастать . Таким образом , > > , как квадрат этого выражения , в обоих случаях монотонно возрастает от > >при > > до 1 при > >.или> >.
> >
Знак этой производной ,( поскольку > > ,
есть >0 при > > и <0 при > >.
Знак функции > > меняется следующим образом :
при> > если > > невелико> >>0 , но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения > > в 0 обращаться не может2 это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
> >
Это есть угол Брюстера (> >) , при котором > > обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в стекло > >, для обратного случая (из стекла в воздух) > >При переходе через этот угол > > меняет знак на минус , следовательно > > как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).
При > > для небольших> >> ><0 , при переходе через > > знак будет меняться на плюс. Переход через > > действительно будет иметь место , хотя > > изменяется до > > ,а не до > > , поскольку > >. Таким образом > > снова монотонно убывает до 0 , а затем монотонно возрастает до 1.
Итак , в обоих случаях > > сначала монотонно убывает от > >при > > до 0 при > > , а затем монотонно возрастает до 1 при > > или > >.
Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками :
на первом показана зависимость > >(сплошная линия) и > >(пунктирная линия) от > > для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)
на втором -для случая падения волны из стекла в воздух
В. Преломление
Для анализа поведения > > и > > воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две - прошедшую и отраженную , причем энергия падающей волны (энергия , переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому , поскольку коэффициент > > показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей , > > - отношение энергии отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а > > и > > - аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :
> > и > >
Действительно , проверим это :
> >
рассмотрим отдельно числитель:
> >таким образом действительно > > , аналогично
> >
Таким образом , используя предыдущее исследование > > ,> > можно сказать , что :
> >
Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если среды поменять местами , то это значение не изменится ) > >
> >
Между этими точками > > и > > ведут себя противоположно > >и > > .
Окончательно , > > монотонно возрастает от > > (> > )до > > , а затем монотонно убывает до 0 ( при > > ) , > > монотонно убывает от > > до 0 (при тех же пределах изменения> >). Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.
С. Набег фаз при отражении и преломлении
Из формул Френеля следует , что отношения > >,> >,> >и > > могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть существенно положительная величина , в этом случае имеет место сдвиг фазы волны на> > . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.
В случае отраженной p-волны > > , как установлено в п. А , эта функция
при n>1 больше 0 при > > и меньше 0 при > >, при n<0 промежутки знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на> > в отраженной p-волне наблюдается при > > , а в случае падения из более плотной в менее плотную - при> >.
В случае отраженной s-волны > > , эта функция меньше 0 при > > и больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на> > в отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной среды в менее плотную.
В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким образом , можно получить , в общем случае волну произвольной (эллиптической) поляризации .
Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе (7) и (10) :
> > и > >
из этих соотношений видно , что , поскольку > > и > > , то всегда > >и > > . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит (причем это верно для волн произвольной поляризации).
Дополнительная литература:
Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика” , Москва , “Наука”,1985г.
Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.
1 -здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно оптически менее плотной , т.е. в этом случае в этой формуле стоит > >
2-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это возможно только в случае > > , но в этом случае > > , а это невозможно т.к. > > и > >
1