Переходные процессы в линейных цепях
E
МЭИ
Типовой расчет по Электротехнике.
(Переходные процессы в линейных цепях.)
Студент Ухачёв Р.С.
Группа Ф-9-94
Преподаватель Кузнецов Э.В.
Вариант 14
Москва 1996
Типовой расчет по дисциплине
Основы теории цепей для студентов гр. Ф-9-94
Содержание работы
В коммутируемой цепи содержатся источники постоянных э.д.с. E или тока J, источники гармонической э.д.с. e=E>m>> >sin(wt +j) или тока j=J>m>> >sin(wt +j) c частотой w =1000 c-1 или источник с заданной линейной зависимостью напряжения или тока от времени, три коммутируемых в заданные моменты времени ключа . Непосредственно перед первой коммутацией в цепи имеется установившийся режим.
Рассчитать:
1. Классическим методом ток, указанный на схеме, на трех интервалах, соответствующих коммутациям ключей, при наличии в цепи постоянных и синусоидальных источников .
2. Операторным методом тот же ток.
3. Любым методом на четвертом интервале ток i>1>=(t) после замены синусоидального источника источником с заданной зависимостью напряжения или тока от времени.
Задание
1. Схема замещения анализируемой цепи и значения параметров выбираются на рис. 1 и в таблице 1 в соответствии с номером варианта N-номером в списке учебной группы. Остальные параметры рассчитываются по формулам E=10N (В), E>m>=10N (В), J=0,4N (А), J>m>=0,4N (А), j =30N (°). Для всех вариантов L=20 мГн, C=100 мкФ. Зависимости токов и напряжений источников, включаемых в начале четвертого интервала, приведены на рис. 2.
2. Ключи коммутируются по порядку их номеров через одинаковые интервалы времени Dt=T/6, где T=2|p|/w>св> -период свободных колебаний. Для апериодического процесса Dt =1/|p|, где p -наименьший по модулю корень характеристического уравнения. Четвертый интервал начинается также через Dt после коммутации последнего ключа.
Указания
1. Для каждого интервала времени сначала рекомендуется провести расчет классическим методом, а затем-операторным. При совпадении результатов расчета обоими методами можно приступать к расчету переходного процесса на следующем интервале времени.
2. Результаты расчетов следует оформить с помощью ПЭВМ в отчете, содержащем описание задания, формулы, числовые значения, графики искомых функций.
Типовой расчёт по Элекротехнике вариант №14
Исходные данные:
R>1>=95 Ом R>2>=5 Ом R>3>=4 Ом
C=100 мкФ L=20 мГн
e=140sin(1000t+4200) В
1. Расчёт ПП для первой коммутации:
Uc>пр>=E=140В i>Cпр>=0 А i>1пр=>i>2пр>=E/(R>1>+R>2>)=1,4 A
1.2
Расчёт классическим методом:
Замкнули К>1> t=0 i>2>(0)=0 Uc(0)=E=140В
{ i>1>R>1>=Uc
{ i>2>=0
(1.2.1)
{ CU'c+i>1>=i>2>
решив (1.2.1) получим i>1>=1,47A i>2>=0A U'c=-14700B/c
Составим характеристическое ур-е: Z>вх>(р)=0
=0
или 0,000019p2+0,0675p+100=0
p>1>=-177,632+703.394j p>2>=-177,632-703.394j
Т.к. Uc(t)=Uc>св>(t)+Uc>пр>(t) (1.2.2)
Uc>св>=A>1>ep1t+A>2>ep2t Uc>пр>=ER>1>/(R>1>+R>2>)=133B
найдём константы A>1> и A>2 >из системы
Uc(0)=A>1>+A>2>+133=0 или A>1>+A>2>=7 A>1>=3,5+9,565j
U'c(0)=A>1>p>1>+A>2>p>2>=0 A>1>p>1>+A2p>2>=-14700 A>2>=3,5-9,565j
Подставив данные в (1.2.2) получим Uc(t)=e-177,632t(7cos(703.394t)-19.14sin(703.394t))+133 B
i>c>(t)=CU'c(t)=-e-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A
i>1>(t)=Uc/R1=
A
i>2>(t)=i>c>(t)+i>1>(t)=
A
1.2 Расчёт операторным методом:
{ I>2>(pL+R>2>)+I>c>/pC=Li>2>(0)+E/p-Uc(0)/p
{ I>2>-I>c>-I>1>=0
{ I>1>R>1>=I>c>/pC-Uc(0)/p
решив систему для I>2>,I>c>,I>1>> >имеем вектор решений
далее используя обратные преобразования Лапласа получим окончательно
i>c>(t)=CU'c(t)=-e-177,632t(1.471cos(703.394t)+0.152sin(703.394t)) A
i>1>(t)=Uc/R1=
A
i>2>(t)=i>c>(t)+i>1>(t)=
A
2.
Расчёт ПП для второй коммутации:
Возьмём интервал времени Dt=T/6=|p|/3w>св>=0,001с
тогда Uc(Dt)=133,939 В
2.2 Расчёт классическим методом:
Составим
характеристическое ур-е: Z>вх>(р)=0
=0
p=-2105,63
Uc>пр>(t)=133 В Uc>св>(Dt)=Ae-2106,63t
Uc(Dt)=A=0.939 В
Uc(t)=0.939e-2106,63t+133 В
i>c>(t)=CU'c(t)=-0,198e-2106,63t A
i>1>(t)=Uc(t)/R>1>=0,0099e-2106,63t+1,4 A
i>2>(t)=i>c>(t)+i>1>(t)=-0,188e-2106,63t+1,4 A
2.3 Расчёт операторным методом:
{
I>1>R>1>=I>c>/pC+Uc(Dt)/p
{ I>2>=I>1>+I>c>
{ I>1>R>1>+I>2>R>2>=E/p
решив систему для I>1>,I>2>,I>с>> >имеем вектор решений
Обратные преобразования Лапласа дают окончательно
i>c>(t)=CU'c(t)=-0,198e-2106,63t A
i>1>(t)=Uc(t)/R>1>=0,0099e-2106,63t+1,4 A
i>2>(t)=i>c>(t)+i>1>(t)=-0,188e-2106,63t+1,4 A
3 . Расчёт ПП для третьей коммутации:
3.1 Расчёт классическим методом:
Принуждённые
составляющие токов
рассчитаем как суперпозицию от
постоянного и синусоидального источника
3.2 Расчёт на постоянном токе:
| i>1>R1+i>2>R>2>=E
{ i>2>R2+i>3>R>3>=0 ---> i>1>=1.44sin(1000t)
| i>1>+i>3>=i>2>
3.3 Расчёт на синусоидальном токе:
{ I>1>R>2>+I>3>R>3>=E=140ej 73,27
{ I>2>R>2>-jXcIc=0
{ I>1>R>1>+jXcIc=0
{ I>2>-I>1>-I>3>-Ic=0
i>2>=14.85sin(1000t+0.83)A
i>1>=0.02sin(1000t+0.29) A
Суперпозиция
даёт для i>1пр>=
>
>
>Ucпр(t)=i>>1пр>>/>>R>>1>
>Uc(t)= Ucпр(t)+Ae>pt
Составим характеристическое ур-е: Z>вх>(р)=0
p=
>
>
Dt=1/|p|=0.00022 c
Uc(Dt)=133.6 В
A=3.2
>i>>2>>(t)=(E-Uc(t))/R>>2 >
>2>>(t)=
>
>
A>
3.4 Расчёт операторным методом:
e=140sin(1000t+4200)
{ I>1>R>1>=Ic/pC+Uc(0)/p
{ I>2>R>2>+I>3>R>3>=E(p) =>I>1>,I>2>,I>3>,Ic
{ I>1>R>1>+I>2>R>2>=E/p
{ I>2>-I>3>-I>1>-Ic=0
I>2>(p)=>
>
Используя обратные преобразования Лапласа получим окончательно
i>2>(t)=>
>
>
A>
>4. Расчёт ПП после замены синусоидального источника источником с заданной линейной>
>
зависимостью ЭДС
от времени.>
Начальные
условия Uc(0)=0
Для расчёта воспользуемся операторным методом
{ I>2>R>2>+I>3>R>3>=1/p
{ I>1>R>1>=Ic/pC+Uc(0)/p =>I>1>,I>2>,I>3>,Ic
{ I>1>R>1>+I>2>R>2>=0
{ I>2>-I>3>-I>1>-Ic=0
Обратные
преобразования Лапласа дают i>2>(t)=h(t)=>
>
>
A>
>Запишем интеграл Дюамеля:>
>fв(t)=140-140t/>>>>t>
>f’в(t)=-140/>>>>t>
Графики тока i2(t) для 1-й,2-й и 3-ей коммутации:
E