Расчет тарифных ставок в страховании

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕСИТЕТ

(МАТИ им. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО)

КАФЕДРА "ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ"

РЕФЕРАТ по ДИСЦИПЛИНЕ

"Страховое дело"

Расчет тарифных ставок в страховании.

ВЫПОЛНИЛ:

Студент

Группы 6МФ-III-55

Скоркин Я. Л.

МОСКВА.

2002 учебный год

Содержание.

    Введение.

      Структура тарифной ставки.

      Некоторые понятия теории вероятностей, применяемые в страховании.

      Теоретические аспекты определения тарифной ставки.

    Расчет тарифных ставок в страховании жизни.

      Таблицы смертности.

      Операции на вероятностями в страховании жизни.

      Коммутационные функции и страховые аннуитеты.

      Страхование на дожитие.

      Страхование жизни.

      Пенсионное страхование.

      Расчет страховых резервов.

    Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования.

      Понятие тарификационной системы.

      Теоретические аспекты определения тарифных ставок.

      Практический подход к определению нетто-ставки.

ВВЕДЕНИЕ.

Определение тарифной ставки можно понять после того, как будут понятны схема работы страхового рынка. Так страховщик и страхователь заключают между собой сделку на то, что страховая компания, окажет определенную услугу своему клиенту при наступлении страхового случая, указанного в договоре. Любая услуга имеет свою стоимость или цену, которая выражается в страховом взносе (тарифе, премии), которую страхователь уплачивает страховщику. Страховая премия устанавливается при подписании договора и остается неизменной в течении срока его действия.

Реальная стоимость страховой услуги состоит в том, что если наступил страховой случай, то страховщик, например, оплачивает затраты страхователя, возмещая ему тем самым ущерб, понесенный им в связи с происшедшим. Необходимо определить, как страховщик определяет для себя данную цену, чем он руководствуется в процессе ее установления.

Во-первых, величина премии должна быть достаточна, чтобы:

- ответить по договору страхования в размере предлагаемых претензий;

- создать страховые резервы;

- покрыть издержки страховой компании;

- обеспечить определенный размер прибыли.

Во-вторых, цена страховой услуги, как и всякая рыночная цена, колеблется под влиянием спроса и предложения. Она варьируется в определенном интервале, нижняя граница которого определяется равенством между поступлениями платежей от страхователей и выплатами страхового возмещения (страховых сумм) по договорам плюс издержки страховой компании (П>н>=А+З). Понятно, что при таком уровне цены, страховщик не получи ни какой прибыли. Верхняя граница цены страховой услуги определяется размером спроса на нее и величиной банковского процента (П>в>=F(D>s>>;>i). Тогда П>н ><=П>X>>.><=П>в>.> >Влияние спроса подтверждается тем, что стоимость данной страховой услуги определяется потребностью в ней. Если спрос высокий, то растут цены на страховые услуги, вследствие этого появляется множество страховых фирм конкурентов, после чего страховые тарифы приходят к определенному уровню (выравниваются).

Динамика банковского процента в сравнении со страховыми тарифами определяют решения клиента по поводу того, как ему противостоять своим рискам. То есть, он определяет, что для него лучше: взять ссуду в банке или обратиться к страховой компании. Кроме этого, средства клиентов, аккумулированные в страховой компании, инвестируются в различные виды деятельности, в том числе кладутся на депозит в коммерческие банки, предоставляются в виде кредитов, вкладываются в недвижимость и ценные бумаги и т.д. В данном случае страховая компания может конкурировать с банком, в процессе чего она соизмеряет свои страховые тарифы со ставками в коммерческом банке, стараясь повлиять на выбор клиента. Другой вариант - доходы от инвестиционной деятельности покрывают расходы страховой компании и идут на формирование прибыли, тем самым, позволяя страховщикам снижать цены страховых услуг.

Цена страховой услуги определяется также некоторыми специфическими факторами, такими как: состояние дел страховой компании, величина и структура ее страхового портфеля, управленческие расходы, доходы, которые страховщик получает от инвестиций временно свободных средств и т.д.

Страховая услуга хотя и специфический, но все же товар, а, следовательно, она имеет определенный жизненный цикл, который, в свою очередь, влияет на величину стоимости страховой услуги. Жизненный цикл страховой услуги имеет вид параболы, который определяет тенденцию изменения размера страхового тарифа во времени.

Цена страховой услуги на языке страхования называется страховой премией, и имеет определенную структуру, элементы которой должны обеспечивать финансирование страховщика.

Структура страховой премии.

Элемент премии

Назначение

Нетто премия по риску + Страховая надбавка

Е>1>(X)+Н(х)

Покрытие ущерба при наступлении страхового случая и формирование страховых резервов

+Надбавка на покрытие расходов З(X)

Оплата расходов страховщика.

+Надбавка на прибыль V

Формирование прибыли

Итого: Брутто-премия (страховой тариф) П(X)

Все вышеперечисленное.

Нетто-премия – самая необходимая и неопределенная часть страхового тарифа. Она необходима для того, чтобы вовремя и сполна рассчитаться с клиентом, то есть возместить его потери после наступления страхового случая. Однако, в момент калькуляции цены величина ущерба неопределенна. На основе данных об ущербах за прошлый период рассчитывается частота наступления страховых случаев, к ним приведших, и их вероятность(q), после чего определяется средняя величина ущерба и их распределение. Другими словами, согласно договору страхования страхователь уплачивает страховщику определенную сумму (страховую премию), после чего он имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Так как вероятность страхового случая определена, то размер страховой премии определяется как: П=S*q (принцип финансовой эквивалентности). Нетто-премия – аванс за оказание услуги, по возмещению ущерба, минимальная оплата за риск, с ним связанный.

Техника расчета страховых тарифов совершенна с математической точки зрения, однако, она не подтверждается при ее практическом применении. Даже при очень хорошей информации об ущербах, реальные ущербы превосходят его реальную величину в 50% случаев. Для того чтобы гарантировать клиентам страховую защиту, страховым организациям приходится перестраховываться, и к собственно нетто-премиям по риску добавлять страховую надбавку. Она необходима, чтобы финансировать случайные отклонения реального ущерба над ожидаемыми показателями. Кроме того, она страхует ущербы, связанные с информационными ошибками.

Остальные составляющие тарифной ставки относятся к экономике страхового предприятия, их определение – это задача экономистов и бухгалтеров. Их расчеты схожи с подобными расчетами в других организациях и не имеют особых отличий. Другое дело обстоит с расчетом нетто-премии, исчисление которой можно отнести к страховой математике. Для страховщика данная задача является самой важной, самой сложной и самой ответственной. Главная проблема состоит в неопределенности ущерба на момент калькуляции тарифа. Определение-нетто ставки неразрывно связано со всей деятельностью страховой компании, она влияет на затраты, на прибыль и на уровень ее развития.

Расчет нетто-премии состоит в установлении закономерности для калькулируемого риска. В общем случае это вероятностное распределение общего ущерба от риска на калькулируемый период. Кроме того, устанавливаются некоторые параметры, характеризующие данное распределение, такие как средняя величина, рассеяние и т.д.

S1,S2,…,Sn. – Страховые суммы.

q1,q2,…,qn – вероятности ущербов.

P1,P2,…,Pn – премии от страхователей.

X1,X2,…,Xn – ущербы.

P1,p2,…, pn - вероятность того, что страховое событие не наступит, и не приведет к затратам на покрытие ущерба.

Для определения вероятностей ущербов необходима статистическая информация за предыдущие периоды по подобным страховым случаям. Чем больше анализируемый период, то есть чем длиннее история страховых событий, а, следовательно, чем больше совокупность исследуемых данных, тем точнее определяются вероятности и устанавливаются закономерности рисков.

Также важно определить факторы риска, такие как число ущербов и затраты на их ликвидацию. Если определены наиболее важные факторы, дающие объяснение закономерности риска, то они представляют собой тарифные факторы. Однородные факторы объединяются в группу тарифных факторов. В общем, при формировании исходной базы для тарифных расчетов используются три вида информации: данные индивидуальных ущербов по единичным рискам, ущербы по тарифным группам, и данные по всей рисковой совокупности.

В теории риска существуют отлаженные методы расчета страховой премии, которые полагаются на методы теории вероятностей и статистики. Итак, страховая премия, представляющая собой сумму нетто-премии и страховой надбавки, выражается следующей формулой: П(X)=Е>1>(X)+Н(X).

Страховая сумма зависит от величины ущерба, поэтому S=f(x). Нетто-премия зависит как от ущерба, так и от величины страховой суммы (Е=f1(s)=f2(x)=Е(Х)=Е(S)). Данные зависимости определяются вероятностями наступления страховых событий, а, следовательно, нужно знать и понимать характеристики случайных величин. Нетто-премия является случайной величиной, хотя и зависит от вполне определенной суммы страховой суммы. Для ее расчета, необходимо использовать формулы и применять закономерности из теории вероятностей.

Характеристики случайной величины.

Формула

Описание

Математическое ожидание – величина показывающая такое значение Х из всего множества, наступление которого наиболее вероятно. Прближенно равно среднему значению. В страховании это наиболее вероятная стоимость совокупной нетто-премии.

Дисперсия – величина, показывающая наиболее вероятное значение из множества отклонений средней величины от ее математического ожидания. Она характеризует рассеяние вариационного распределения. В страховании дисперсия показывает разброс в значении ущербов, а, следовательно, нетто-премий и страховых сумм..

Среднее квадратическое отклонение – величина по сути тождественная дисперсии (выражается в единицах случайной величины).

Коэффициент вариации – показывает степень отклонения от средней величины в %. Чем он больше, тем больше рассеяние.

; n–число страховых событий.

Средняя арифметическая. Применятся для расчета среднего значения.

Данные формулы применяются в страховании в различных вариантах, так как методы расчета нетто-премии отличаются один от другого, в зависимости от вида страхования. Наиболее часто используется 1-ая формула, как математическая основа нетто-премии. Страховая надбавка (Н(х)), добавляемая к нетто-премии пропорционально моментам распределения вероятностей страховых событий, одним из следующих способов:

    Исходя из принципа ожидаемой оценки – Н(Х)=а*Е>1>(х), (а>0). Здесь надбавка изменяется прямо пропорционально математическому ожиданию страхового случая.

    Исходя из принципа стандартного отклонения: Н(х)=b*(x), (b>0) – страховая надбавка прямо пропорциональна отклонению от среднего значения ущерба.

    По коэффициенту вариации: Н(х)=с*Var(x), (с>0), то есть страховая надбавка напрямую зависит от стандартного отклонения, и изменяется обратно пропорционально от его среднего значения.

(a,b,c) – числа, показывающие степень пропорциональности и уровень страховой надбавки.

Нетто-премию можно представить не только как математическое ожидание величины ущербов, но и как произведение среднего ущерба на значение вероятности его появления в различных временных периодах: Е>1>(Х)=, где t – временные периоды. Данная формула имеет смысл, если страховые события независимы, то есть наступление одного из них не влияет на появление другого. В принципе, эта формула также выражает принцип финансовой эквивалентности: нетто-премия равна произведению средней величины ущерба (так для себя ее оценивает страхователь) заранее известной вероятности его наступления (определенной на основании прошлого опыта).

Для определения страховой премии необходимо знать, что страховая премия уплачивается во время заключения договора страхования, а страховая сумма – спустя некоторое время (если произойдет страховой случай). Поэтому у страховщиков есть и запас времени, и возможность получить всю премию целиком, не заплатив ничего страхователю. Используя время, страховщик может инвестировать средства, получая от этого дополнительный доход. А если не произойдет страховой случай, то сумма страховых премий по данным договорам страхования остается у страховщика. В этих двух пунктах и заключаются основные доходы страховой компании.

Страховой бизнес обладает значительной долей авантюризма, в нем неотъемлемо присутствует элемент случайности. То есть, как страховщик, так и страхователь получают свои выгоды в зависимости от фортуны. Если рассмотреть формирование цены страховой услуги с точки зрения затрат, то их определение заключается в калькуляции ущерба, к которому приведет страховое событие. Его определяют как страховщик, так и страхователь, договариваясь о выплате определенной страховой суммы. Однако, в страховании нельзя определить придется ли нести эти затраты страховщику, как компании, оказывающей услуги. В данном случае сложно найти равновесную цену и определить взносы страхователя. Единственным путем в ее определении является анализ прошлых данных, при этом исследуемый период должен быть как можно дольше, а совокупность данных однороднее.

Величина выплат по договору страхования является случайной величиной, а, следовательно, сумма выплат по всем договорам, также величина случайная. Сумма выплат ограничена страховым фондом, который формируется из страховых премий. Поэтому совокупная страховая сумма варьируется в некотором интервале, верхняя граница которого равна сумме всех выплат по всем договорам. Для обеспечения 100%-ной гарантии того, что сумма нетто-премий превысит сумму выплат, страховщик должен создать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае страховая премия будет равна страховой сумме. В результате страхователь, с учетом нагрузки, должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Такие условия страхователь не примет, а, следовательно, страховщику приходится рисковать так, что его риск определяется вероятностью всех страховых событий от которых он страхует. Для себя страховщик определяет размер своего риска, что математически можно выразить следующим неравенством: или , где y – заданная страховщиком гарантия безопасности, Si – выплата, Pi - премия, b – верхняя граница страховой гарантии. Сущность данного неравенства такова: вероятность того, что сумма всех выплат превысит сумму всех взносов страхователей, должна быть определена страховщиком заранее. Это делается для определения нетто-премии.

Согласно теореме А.М.Ляпунова (если Х – случайная величина, равная сумме большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение близкое к нормальному) страховые события и страховые выплаты распределены по нормальному закону. Если известен закон распределения случайной величины, то приведенное выше неравенство легко решаемо. Во-первых, вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b (. Во-вторых, - функция нормального распределения, где a – матемпатическое ожидание случайной величины, а - ее среднее квадратическое отклонение. И в-третьих, , где Ф – функция Лапласа. Сумма нетто-премий является математическим ожиданием от суммы страховых выплат, а вероятность отклонения должна быть задана страховщиком заранее, то приведенное выше неравенство тождественно приведенному выше. Подставляя известные значения в данное уравнение можно найти суммарную величину нетто-премии.

Исходя из принципа финансовой эквивалентности, ожидаемую величину нетто-премии можно выразить как произведение страховой суммы и нетто-ставки, выражаемой в процентах (Е(X)=S(X)*T(X)/100). Где Т(Х) – нетто ставка, которая зависит как от вероятности наступления страхового случая, так и от тяжести страхового случая (величины ущерба). Страховую сумму определяет сам страхователь. Верхняя ее граница – максимальная стоимость страхуемого имущества.

Нетто-премия является частью брутто-премии (П(Х)), которую также можно выразить в процентах к общей величине выплат: П(Х) = S(X)*L(X)/100, где L(X) – брутто ставка в %. При этом, L(X) = Т(Х) *f , где f – доля нагрузки, выраженная в процентах. Доля нагрузки рассчитывается по данным бухгалтерского учета страховщика: , где R - расходы, за исключением комиссионных. - сумма собранных брутто-премий по данному виду страхования, K(%) – процент комиссионных, получаемых посредниками по данному виду страхования, V- доля прибыли в брутто-ставке, которую страховщик хочет получить по данному виду страхования. Исходя из приведенных выше формул, расчет брутто-ставки можно представить следующим выражением: П(Х)=Т(Х)/(1-f) или П(Х)=Т(Х)/100-f%.

Выше были описаны общие принципы формирования нетто-ставок, которые являются основой частных расчетов, зависящих от вида страхования. Каждый из видов имеет свои особенности, связанные с характером страхуемых событий и объектов. Некоторые из этих особенностей оказывают существенное влияние на расчет нетто-ставок.

Виды страхования сточки зрения особенностей расчета нетто-ставок можно разделить на 2 категории:

    Страхование жизни. Здесь формирование резерва взносов и расчеты тарифных ставок производятся с помощью актуарных методов, на основе таблиц смертности и норм доходности по инвестициям временно свободных резервов по страхованию жизни.

    Рисковые виды страхования. Это те виды страховой деятельности, отличающиеся от страхования жизни. Они не предусматривают обязательств страховщика по выплате страховой суммы при окончании срока действия договора страхования, и не связаны с накоплением страховой суммы в течении срока действия договора страхования. В рисковых видах страхования не используется принцип капитализации и, следовательно, при расчете нетто-ставок не используются методы финансовых исчислений (дисконтирование и компаундинг). Данные виды страховой деятельности можно условно разделить на два вида:

    Массовые рисковые виды страхования. Они охватывают значительное число субъектов страхования и страховых рисков, характеризующихся однородность объектов страхования и незначительным разбросом в размерах страховых сумм. Наличие большого числа застрахованных объектов подразумевает, что по указанным рискам существует достаточный объем статистических данных, на основе которых можно описать всю совокупность рисков с помощью их числовых характеристик, таких как среднее значение и дисперсия. При этом, учитывая однородность застрахованных объектов, можно утверждать, что средние значения будут характеризовать всю совокупность с достаточной точностью.

    Страхование редких событий и крупных рисков. В данном случае речь идет о рисках, связанных с низкой частотой наступления страхового события и высокой стоимостью ущерба. Число объектов, которое можно застраховать, ограничено, а разброс страховых сумм составляет значительную величину. Для страхования редких событий и крупных рисков существуют некоторые особенности расчета нетто-ставок, обусловленные спецификой страхуемых рисков и объектов. Во-первых, при расчете тарифов необходимо опираться на данные за несколько лет (чем больше срок тем точнее расчет). Определенная таким образом премия должна поддерживать финансовое равновесие страховщика в пределах не одного года, а достаточно продолжительного периода. Во-вторых, при расчетах нетто-премий необходимо использовать реальную стоимость риска, а не среднюю, в отличии от страхования массовых рисков, так как совокупность рисков неоднородна. В-третьих, страховщики вынуждены учитывать перестрахование на величину ущерба по всему портфелю рисков данного типа. В-четвертых, для взвешенного расчета тарифных ставок необходимо расширить базу данных за пределы статистической информации и использовать данные других страховых компаний.

Расчет тарифных ставок при страховании жизни.

Страхование жизни обуславливает ряд особенностей, которые влияют на выбор форм и методов анализа подготовки и проведения страховых операций. Можно выделить основные факторы, которые влияют на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни:

    Объектом договора по данному виду страхования является жизнь, здоровье и трудоспособность граждан. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и смертность среди населения страны централизовано собираются и обрабатываются в федеральных и региональных органах статистики. На основании подобных данных составляются таблицы смертности, которые используются страховщиками при расчете нетто-ставок по страхованию жизни.

    Договоры страхования жизни, обычно, заключаются на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и моментом выплат достигает нескольких лет. В течении этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения применяются методы финансовых исчислений (дисконтирование).

В страховании жизни неопределенность связана со случайным характером продолжительности человеческой жизни. Поэтому страховщики должны располагать данными для расчета вероятностей дожития до определенного возраста лиц различного пола. Источником таких данных являются таблицы смертности, составляемые на основе переписи населения.

Таблица смертности.

Таблица смертности и коммутационных функций. (мужчины, i=9%

Аннуитет.

x

lx

qx

dx

Dx

Nx

Cx

Mx

N(12)x

N(12)x

ax

18

100000

0,00149

149

21199,37402

244591,9762

28,978961

1003,702

254308,36

234875,5965

11,53769805

19

99851

0,001732582

173

19419,98803

223392,6022

30,868544

974,7228

232293,43

214491,7744

11,50323069

20

99678

0,001956299

195

17785,63423

203972,6142

31,921122

943,8543

212124,36

195820,8652

11,46839137

21

99483

0,002161173

215

16285,1745

186186,98

32,289068

911,9332

193651,02

178722,9417

11,4329128

22

99268

0,002337108

232

14908,238

169901,8055

31,965281

879,6441

176734,75

163068,8631

11,39650477

23

99036

0,002494043

247

13645,31729

154993,5675

31,22202

847,6788

161247,67

148739,4637

11,35873679

24

98789

0,002631872

260

12487,41769

141348,2502

30,151637

816,4568

147071,65

135624,8504

11,3192538

25

98529

0,002770758

273

11426,19487

128860,8325

29,045155

786,3051

134097,84

123623,8265

11,27766802

26

98256

0,002931119

288

10453,70243

117434,6376

28,111048

757,26

122225,92

112643,3573

11,23378424

27

97968

0,003123469

306

9562,441641

106980,9352

27,401825

729,1489

111363,72

102598,1494

11,18761706

28

97662

0,003327804

325

8745,480415

97418,49355

26,700225

701,7471

101426,84

93410,14836

11,13929583

29

97337

0,003564934

347

7996,676302

88673,01314

26,153784

675,0469

92338,156

85007,86983

11,08873359

30

96990

0,003814826

370

7310,246493

80676,33683

25,584698

648,8931

84026,866

77325,80719

11,03606245

31

96620

0,004046781

391

6681,063461

73366,09034

24,804406

623,3084

76428,244

70303,93625

10,98119944

32

96229

0,004250278

409

6104,611614

66685,02688

23,803942

598,504

69482,974

63887,07989

10,92371327

33

95820

0,004445836

426

5576,757172

60580,41527

22,74619

574,7001

63136,429

58024,40156

10,86301831

34

95394

0,004654381

444

5093,544793

55003,65809

21,749814

551,9539

57338,199

52669,11673

10,7986992

35

94950

0,004865719

462

4651,227061

49910,1133

20,762902

530,2041

52041,926

47778,3009

10,73052608

36

94488

0,00514351

486

4246,417888

45258,88624

20,038068

509,4412

47205,161

43312,61137

10,65813291

37

94002

0,005499883

517

3875,758159

41012,46835

19,556162

489,4031

42788,858

39236,0792

10,58179243

38

93485

0,005947478

556

3536,185269

37136,71019

19,294848

469,8469

38757,462

35515,95861

10,50191304

39

92929

0,006488825

603

3224,91182

33600,52492

19,198062

450,5521

35078,61

32122,44034

10,4190523

40

92326

0,007083595

654

2939,436635

30375,6131

19,102549

431,354

31722,855

29028,37131

10,33382137

41

91672

0,00770137

706

2677,628309

27436,17647

18,918722

412,2515

28663,423

26208,93016

10,24644697

42

90966

0,008310797

756

2437,621011

24758,54816

18,585848

393,3327

25875,791

23641,3052

10,15684885

43

90210

0,008879282

801

2217,763703

22320,92715

18,066191

374,7469

23337,402

21304,45212

10,06461018

44

89409

0,009428581

843

2016,579408

20103,16345

17,443562

356,6807

21027,429

19178,89788

9,968942143

45

88566

0,009969966

883

1832,62929

18086,58404

16,762616

339,2371

18926,539

17246,62895

9,869199483

46

87683

0,010572175

927

1664,548659

16253,95475

16,144862

322,4745

17016,873

15491,03661

9,76478198

47

86756

0,011261469

977

1510,963999

14589,40609

15,61071

306,3297

15281,931

13896,88092

9,655694043

48

85779

0,012077548

1036

1370,594794

13078,44209

15,186628

290,719

13706,631

12450,25281

9,542165305

49

84743

0,013027625

1104

1242,239788

11707,8473

14,847187

275,5323

12277,207

11138,48739

9,42478852

50

83639

0,014084339

1178

1124,822344

10465,60751

14,534292

260,6851

10981,151

9950,063933

9,304231523

51

82461

0,015219316

1255

1017,412812

9340,785164

14,205804

246,1508

9807,0994

8874,470959

9,18091954

52

81206

0,016365786

1329

919,2004449

8323,372352

13,801319

231,945

8744,6726

7902,072148

9,055013407

53

79877

0,017539467

1401

829,5018416

7404,171907

13,347725

218,1437

7784,3603

7023,983563

8,926046377

54

78476

0,018719099

1469

747,6631389

6574,670066

12,839982

204,796

6917,349

6231,991127

8,793626064

55

77007

0,01997221

1538

673,0895034

5827,006927

12,333106

191,956

6135,5063

5518,507571

8,657105626

56

75469

0,021359764

1612

605,1802003

5153,917423

11,85918

179,6229

5431,2917

4876,543165

8,516335169

57

73857

0,022936215

1694

543,3520131

4548,737223

11,43343

167,7637

4797,7736

4299,700884

8,371621184

58

72163

0,024694095

1782

487,0546557

4005,38521

11,034288

156,3303

4228,6186

3782,151826

8,223687348

59

70381

0,026654921

1876

435,8048455

3518,330554

10,657196

145,296

3718,0744

3318,586667

8,073179063

60

68505

0,028713233

1967

389,1637631

3082,525709

10,251513

134,6388

3260,8924

2904,158984

7,920896037

61

66538

0,030794433

2049

346,7794619

2693,361946

9,7971349

124,3873

2852,3025

2534,421359

7,76678622

62

64489

0,032966863

2126

308,3491604

2346,582484

9,3259673

114,5902

2487,9092

2205,255785

7,610147148

63

62363

0,035229222

2197

273,5631707

2038,233323

8,8416677

105,2642

2163,6164

1912,850203

7,450686137

64

60166

0,03749626

2256

242,1337182

1764,670153

8,3294577

96,42253

1875,6481

1653,692198

7,287998406

65

57910

0,040269384

2332

213,8115682

1522,536434

7,8991377

88,09308

1620,5334

1424,539466

7,120926372

66

55578

0,043092591

2395

188,2582643

1308,724866

7,4426939

80,19394

1395,0099

1222,439828

6,951752535

67

53183

0,046161367

2455

165,2713101

1120,466602

6,9992199

72,75124

1196,216

1044,717251

6,779559024

68

50728

0,049459864

2509

144,6258353

955,1952918

6,5625451

65,75203

1021,4821

888,9084507

6,604596544

69

48219

0,053028889

2557

126,1217074

810,5694566

6,1358661

59,18948

868,37524

752,763674

6,426882994

70

45662

0,056896325

2598

109,5721224

684,4477491

5,7194964

53,05361

734,66831

634,227193

6,246550074

71

43064

0,061071893

2630

94,80538649

574,8756268

5,3118756

47,33412

618,3281

531,423158

6,063744351

72

40434

0,065563635

2651

81,66554318

480,0702403

4,9121925

42,02224

517,50028

442,6401997

5,878491976

73

37783

0,0704285

2661

70,01032418

398,4046971

4,5235982

37,11005

430,49276

366,3166318

5,690656368

74

35122

0,075650589

2657

59,70605696

328,3943729

4,1438517

32,58645

355,75965

301,0290968

5,500185235

75

32465

0,081256738

2638

50,63234731

268,688316

3,7745132

28,4426

291,89481

245,4818234

5,30665336

76

29827

0,087370503

2606

42,67718158

218,0559687

3,4208503

24,66809

237,61634

198,4955938

5,109427581

77

27221

0,093898093

2556

35,73252729

175,3787871

3,07818

21,24724

191,7562

159,0013787

4,908099156

78

24665

0,100952767

2490

29,70395515

139,6462598

2,7510977

18,16906

153,26057

126,031947

4,701268201

79

22175

0,10854566

2407

24,50023732

109,9423046

2,4398114

15,41796

121,17158

98,71302919

4,487397537

80

19768

0,116653177

2306

20,03747055

85,44206731

2,1444354

12,97815

94,625908

76,25822663

4,264114429

81

17462

0,125415187

2190

16,2385651

65,40459675

1,8684061

10,83371

72,847272

57,96192108

4,027732522

82

15272

0,134821896

2059

13,02936001

49,16603165

1,6115991

8,965305

55,137822

43,19424165

3,773480171

83

13213

0,144857337

1914

10,34194219

36,13667164

1,3744094

7,353706

40,876728

31,3966148

3,494186195

84

11299

0,155677494

1759

8,113610993

25,79472944

1,1588134

5,979297

29,513468

22,07599107

3,179192282

85

9540

0,167180294

1594,9

6,284866394

17,68111845

0,9639503

4,820483

20,561682

14,80055469

2,813284697

86

7945,1

0,239053001

1899,3

4,801982189

11,39625206

1,0531452

3,856533

13,597161

9,195343554

2,373239135

87

6045,8

0,341625591

2065,4

3,352343059

6,594269868

1,0506846

2,803388

8,1307604

5,0577793

1,967062962

88

3980,4

0,488066526

1942,7

2,024859522

3,241926809

0,9066662

1,752703

4,1699874

2,313866194

1,601062579

89

2037,7

0,695048339

1416,3

0,951003092

1,217067286

0,6064157

0,846037

1,6529437

0,78119087

1,279772166

90

621,4

0,981670422

610,01

0,266064195

0,266064195

0,2396214

0,239621

0,3880103

0,144118106

1

Формула

l>x>*(1+i)-x

d>x>*(1+i)-x+1

Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей.

Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы определения нетто-премий в личном страховании.

В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами (Е(Р)+I>=E(S)), где I – доход от инвестиций временно свободных средств. Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной величины S, а, следовательно, является величиной случайной.

К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом, равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов (g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1-g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню.

В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой, а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.

Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают основные принципы расчета тарифных ставок:

    E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать страховую выплату.
    Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.

    E+I>S>p> – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах применяют ее наиболее вероятное значение (S>p>).

    E>S>p>-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость единовременной нетто-премии.

    E>p>-I>E>>S>p>-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением (математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий, уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость выплат.

Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные данные необходимо приводить к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, q>n> – вероятность страхового события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq>1>+2Pq>2>+3Pq>3>+…+nPq>n>. Однако, премия выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному): E(P)=P(q>1>+(1+v)q>2>+(1+v+v2)q>3>+…+(1+v+…+vn-1)q>n>), где v=(1+i)-1-дисконтный множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых премий.

Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq>1>, во втором году -> >Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых выплат выглядит так: E(S)=S(vq>1>+v2q>2>+…+vnq>n>)/

Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное равенство можно определить размер нетто-премии.

Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель таблицы смертности – число людей l>x> в возрасте х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности l>0> (обычно равной 100000 человек). Величины l>x> (кроме l>0>) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (q>x>)> >в возрасте х лет, или на основе количества умерших (d>x>). Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием.

Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:

    l>x+1>=l>x>-d>x>;

    d>x>=l>x>*q>x>;

    q>x>=1-p>x>=1-l>x+1>/l>x>=d>x>/l>x> .

Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними:

    >n>p>x>=l>x>>+>>n>/l>x>> >– вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет.

    p>x>=1-q>x>=1-d>x>/l>x>=l>x>>+1>/l>x>> >– вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.

    >n>q>x>=1->n>p>x>=(l>x>-l>x>>+>>n>)/l>x> – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.

    >m>q>x>=>m>p>x>*q>x>>+>>m>=(l>x>>+>>m>/l>x>>)>*(d>x>>+>>m>/l>x>>+>>m>>)>=d>x>>+>>m>/l>x>> > - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.

    >m>>/>>n>q>x>=>m>p>x>*>n>q>x>>+>>m>=(l>x>>+>>m>/l>x>>)>*(l>x>>+>>m>-l>x>>+>>m>>+>>n>)/l>x>>+>>m>=(l>x>>+>>m>-l>x>>+>>m>>+>>n>)/ l>x>> >– вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.

Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших.

    Dx=l>x>*vx

    , где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

    N>x>=N>x+1>+D>x>; N>w>=D>w>

    (N>x+1>-N>x+2>)+(N>x+2>-N>x+3>)+…+N>x+k>-N>x+k+1>=N>x+1>-N>x+k+1>

    C>x>=d>x>*v>x+1; >C>x>=d>x>*vx+1=(l>x>-l>x+1>)*vx+1=l>x>*vx*v-l>x+1>*vx+1=D>x>*v-D>x+1>

    ;

Страхование на дожитие.

Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто-премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты (>n>E>x>*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:

    Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты (S*>n>p>x>). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии (S*>n>p>x>*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:

    >n>E>x>*S = S*>n>p>x>*vn

    >n>E>x>=> n>p>x>*vn= (l>x+n>/l>x)*> vn

    >n>E>x>=> >(l>x+n>*vx+n/l>x>*vx+n>)*> vn=D>x+n>/D>x>

    Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.

    (P>1>+P>2>*v+…+P>t>*vt-1)*S = S*>n>p>x>*vn

    Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=>n>p>x>*vn или

Страхование жизни.

Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти. Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного. Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:

    Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы (S*>n>A>x>). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*q>x>*v (q>x> – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить S*>2>q>x>*v2=S*v2*d>x>>+1>/l>x>;

    если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*d>x>>+2>/l>x> и так далее.

    В силу финансовой эквивалентности:

S*>n>A>x>=S*d>x>/l>x>*v+ S*d>x+1>/l>x>*v2+S*d>x+2>/l>x>*v3+…+S*d>x+n-1>/l>x>*vn

    Умножим и разделим данное выражение на vx,> >тогда:

>n>A>x>=(d>x>/D>x>)*vx+1+(d>x+1>/D>x>)*vx+2+(d>x+2>/D>x>)*vx+3+…+(d>x+n-1>/D>x>)*vx+n=1/D>x >*(C>x>+C>x+1>+…+C>x+n-1>)

M>x>=C>x>+C>x+1>+…+C>x+n-1>+C>x+n>+C>x+n+1>+…+C>w>

M>x+n>= C>x+n>+C>x+n+1>+…+C>w>

M>x>-M>x+n>= C>x>+C>x+1>+…+C>x+n-1>

>n>A>x>= 1/D>x >*(M>x>-M>x+n>)

    Если страхование пожизненное, то >n>A>x>= M>x>/D>x>

    Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую сумму, но и премии.

    Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие выражение: S*(P+P*p>x>*v+P*>2>p>x>*v2+P*>3>p>x>*v3+…+P*>t>>-1>p>x>vt-1) = S*d>x>/l>x>*v+ S*d>x>>+1>/l>x>*v2+S*d>x>>+2>/l>x>*v3+…+S*d>x>>+>>n>>-1>/l>x>*v>n>> >

    P*(1+l>x+1>/l>x>*v+l>x+2>/l>x>*v2+l>x+3>/l>x>*v3+…+l>x+t-1>/l>x>*vt-1)= (M>x>-M>x+n>)/D>x >

    P*( 1+l>x+1>/l>x>*v+l>x+2>/l>x>*v2+l>x+3>/l>x>*v3+…+l>x+t-1>/l>x>*vt-1)* (v>x>/v>x>)= (M>x>-M>x+n>)/D>x>

Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом (страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут вносится в начале года – пренумерандо, и в конце года - постнумерандо. В зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором производятся платежи. Аннуитет уже применялся в приведенных выше расчетах. Далее он будет рассмотрен более подробно, так как широко используется в пенсионном и других видах страхования, о которых речь пойдет ниже.

Виды страховых аннуитетов.

Пояснение

Формула

Постнумерандо.

Аннуитет пожизненный, немедленный – лицу, начиная с возраста х лет пожизненно в конце года выплачивается по 1 рублю.

Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный – уплачивается пожизненно лицу в возрасте x+n лет по одному рублю в конце каждого года.

Аннуитет немедленный, ограниченный – выплачивается лицу в возрасте x лет в течение t лет, по 1 рублю, в конце каждого года.

Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный – лицу, в конце каждого года выплачивается по 1 рублю, начиная с возраста n лет, до возраста t лет.

Пренумерандо.

Аннуитет пожизненный, немедленный

Выплаты производятся в начале года.

Аннуитет отложенный на n лет, пожизненный

Аннуитет немедленный, ограниченный

Аннуитет отложенный на n лет, ограниченный

Соотношения

Рента уплачиваемая k раз в год.

Для ограниченной ренты

Для пожизненной ренты.

Пенсионное страхование.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе негосударственных пенсионных фондов – это долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций свободных денежных средств, на втором – получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий.

Пенсионное страхование делится на два вида:

    Нефондируемые – выплата пенсий осуществляется из текущих поступлений. В этом случае страховые тарифы не рассчитываются.

    Накопительные – для выплаты пенсий создаются специализированные фонды. Они в свою очередь делятся также на три вида схем страховых выплат:

    Сберегательные – данная схема не учитывает вероятность дожития каждого участника фонда, предусматривается наследование накоплений, отсутствует солидарность участников в обеспечении выплат (при смерти одного из участников его вклад не идет на выплату пенсий), оговаривается конкретный срок выплат.

    Страховые – участники солидарны между собой, учитывается вероятность дожития застрахованных, нет наследования накоплений.

    Смешанные сберегательно-страховые – здесь предусматривается последовательное использование описанных выше схем, то есть, например, в период накопления применяется сберегательная схема, а в период выплат – страховая.

Расчет тарифных ставок в пенсионном страховании основывается на принципе финансовой эквивалентности (равенстве обязательств). С практической точки зрения основа всех расчетов – страховые аннуитеты. При применении любой из пенсионных схем с использованием специализированного фонда необходимо решить две задачи:

    Определение размера пенсии по величине установленных взносов ( расчет величины взносов по заданным размерам пенсии)

    Расчет страховых резервов.

Условные обозначения, используемые в расчетах.

Переменная

Описание.

-R-

Годовая сумма пенсии

-E-

Размер единовременного взноса

-A-

Сумма, накопленная на индивидуальном счете, на начало выплат пенсий.

-x-

Возраст застрахованного в момент заключения договора.

-L-

Возраст выхода на пенсию.

-w-

Возраст в момент окончания действия контракта.

-n-

Срок накопления, n=L-x

-t-

Срок выплат пенсий, t=w-L

Сберегательные схемы.

В данном случае пенсия представляет собой финансовый аннуитет, в котором не учитываются вероятности дожития до определенного возраста, то есть, что человек вкладывает, то он и получает, с учетом доходности на вложенные средства. Рассчитывать пенсии можно двумя методами:

    Взносы уплачиваются единовременно. Данная схема отображена на графике. Видно, что после уплаты в фонд первоначальной суммы, она накапливается с годами (срок n лет), пропорционально норме доходности до момента начала выплат пенсий. После чего накопленные в фонде средства постепенно расходуются, до тех пор, пока не кончатся совсем (срок t лет). В силу финансовой эквивалентности, некоторые из приведенных на графике обозначений можно объединить следующим выражением:

    Премия уплачивается в рассрочку. Здесь схема похожа на предыдущую, это подтверждает график, нарисованный справа. Разделенные на равные части премии представляют собой поток платежей, поэтому накопление происходит медленнее, чем в первом случае, при прочих равных условиях. Период выплат такой же, как и в первом случае. Математически данную схему можно отобразить следующим выражением:

Преобразовывая приведенные выше равенства, не составит труда определить как размер требуемой пенсии, та к и размер необходимой величины премии, которую нужно внести в пенсионный фонд для обеспечения себя нужной пенсией. Кроме этого, можно определить срок , в который необходимо внести платеж, для обеспечения заданной величины пенсии, или срок в течении которого будет уплачиваться накопленная в фонде пенсия.

Страховые схемы.

По сути дела пенсионное страхование является одним из видов страхования на дожитие. Если бы пенсия выплачивалась разовой выплатой, то эти два вида страхования были бы полностью одинаковыми. Существенным отличием здесь является то, что пенсия представляет собой страховой аннуитет. То есть каждая последующая выплата зависит от вероятности дожития лица до следующей выплаты. Кроме этого, все платежи приводятся здесь к начальному моменту времени (момент вклада первого взноса).

Нетто-премия в данном виде страхования может быть определена при двух условиях, когда она вносится единовременно и когда платежи вносятся в рассрочку. Система определения нетто-тарифов основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, поэтому, приведенные ниже тождества отличаются от предыдущих лишь некоторыми нюансами.

    Нетто-премия вносится единовременно. Здесь нетто тариф равен стоимости аннуитета , соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия – произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Условия выплат, в данном случае, влияют на применяемый в расчетах вид аннуитета. Рассмотрим некоторые из них:

    Пенсия буде выплачиваться с возраста x лет пожизненно, в начале года:

    Пенсия будет выплачиваться с возраста x+n лет пожизненно, в начале года:

Зная формулы для определения аннуитетов, можно определить размер пенсии и размер нетто-премий для любого варианта пенсионного обеспечения.

    Нетто-премия вносится в рассрочку. Для обеспечения себя достаточной пенсией нужно вносить в пенсионный фонд большую сумму средств, которой мы не всегда располагаем, или достаточно большим интервалом времени до момента выплат пенсий, что чревато риском развала страховой компании и прочими рисками, связанными с нестабильностью политических и экономических систем. Удобным вариантом вложения средств является данная схема, которая позволяет не в ущерб себе и близким вносить часть доходов в пенсионный фонд, обеспечив себя в будущем должной пенсией. Платежи можно вносить как ежемесячно, так и раз в год. Здесь буде рассмотрен 2-ой вариант. В данном случае, как размер пенсии, так и вкладываемые средства зависят от вероятности дожития, поэтому, в приведенных ниже уравнениях финансовой эквивалентности, как слева, так и справа используются страховые аннуитеты. Например, взносы делаются раз в год начиная с возраста x лет до возраста x+t лет, а пенсия выплачивается с возраста x+n лет, пожизненно. Как взносы, так и пенсии уплачиваются в конце каждого года: . Если взносы производятся в начале года, то в данном случае применяется аннуитет пренумерандо: .

Так применяя различные виды аннуитетов, можно построить различные варианты пенсионных схем. Здесь, как и везде выше, все равенства строятся по принципу финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Исходя из составленных равенств, можно определить помимо ежегодных взносов, размер ежегодной пенсии и наоборот.

Страховые резервы.

При уплате страхователем страховой премии выполняет свои финансовые обязательства, и обязывает страховщика отвечать по договору страхования. То есть страховщик, по сути, становится кредитором страхователя. И если наступает страховой случай, то страховщик обязуется уплатить страхователю страховую сумму. Чтобы суметь произвести обещанные выплаты, страховщику необходимо создать резервы.

В личном страховании существуют резервы двух типов:

    резервы по страховым случаям, подлежащим урегулированию (резервы по уже произошедшим, но не оплаченным страховым событиям)

    резервы по текущим (действующим) договорам.

Страховой резерв отражает долг страховщика перед страхователем. Обязательства страховщика носят вероятностный характер, так как страховой случай может не произойти, и все средства страхователя останутся у страховщика, долг исчезнет. Кроме того выплаты страховых премий и страховой суммы не совпадают во времени, а, следовательно, имеет место эффект накопления. Поэтому при расчете математических резервов необходимо использовать современную вероятную стоимость обязательств.

Схема баланса компании по страхованию жизни.

Актив

Пассив

Инвестиции

Собственные фонды

Математические резервы

Прочие активы

Другие обязательства

Из данной схемы видно, что математические резервы – это разница между обязательствами компании и обязательствами перед компанией. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно изменить данное определение, а, именно, страховой резерв – разница между современной вероятной стоимостью будущих обязательств страховщика и современной вероятной стоимостью будущих обязательств страхователя. Так как страховые резервы накапливаются у страховщика, то они достигают со временем огромных размеров, которые можно эффективно инветировать. Однако, при использовании этих средств, необходимо помнить, что они принадлежат страхователям, и являются активами, направленными на выполнение обязательств перед страхователями.

Резерв можно определить на любой момент действия страхового контракта. Для понимания сущности страхового резерва рассмотрим несколько вариантов его определения:

    Определение математического резерва в момент заключения договора до первой выплаты премии. При этом, предусматриваются пожизненные взносы в начале года Р>х>. Тогда, по определению: , где A>x> – современная стоимость неких обязательств страховщика, >0>V>x> – размер страхового резерва в возрасте х лет, в момент заключения договора. Так как, страхователь еще не заплатил ни одной страховой премии, то страховщик также ему ничего не должен, поэтому >0>V>x>=0. С математической точки зрения, страховой резерв – разница между некоторым постоянным числом и ожидаемой суммой поступлений от страхователя. Размер резерва зависит от страховой суммы, размера страховой премии, доходности от инвестиций и периода сделки.

    Если страховые премии уже выплачиваются страхователем в течении времени t, тогда величина страхового резерва определяется по формуле:

    Страхование на дожитие. В данном случае страховые премии уплачиваются одним платежем в момент заключения договора, а после истечения срока t (в момент x+t) выплаты уже не ожидаются, поэтому величина резерва определяется современной величиной обязательств страховщика, зависящих от уплаченной нетто-премии: >t>V>x>=A>x+t>. Современная вероятная стоимость обязательств будет определяться в зависимости от страховой суммы R, вероятности дожития от возраста x+t до возраста x+n, а также ставкой доходности, сроком страхования и моментом заключения сделки: .

    Если в страховании на дожитие страховые премии уплачиваются в рассрочку, на протяжении всего срока страхования, до наступления страхового случая (период t), исходя из определения страховго резерва, его величина определяется по формуле: , где р – страховой тариф.

    Накопленные в страховой компании средства инвестируются в различные виды деятельности, следовательно, на них начисляется процент. В данном случае, возникает путаница между страховым резервом и накопленной суммой, так как кажется, что страховщик, чтобы обеспечить возврат средств страхователю, при наступлении страхового случая, накапливает их по обычной схеме наращения (как в банке). Пусть нетто-премия увеличивается на коммерческом счете по ставке i% в до момента x+t, тогда наращенная сумма определется по формуле: . А в этот же момент времени страховой резерв определяется выражением:. То есть страховой резерв больше чем наращенная нетто-премия, если вероятность дожития до момента t не равна единицы. Это очевидно, так как если бы вероятность наступления страхового события не влияла на величину страховой суммы, или обязательств страховщика, то клиенту, было бы выгоднее положить деньги в банк, а не застраховаться. Величина страхового резерва – есть величина наращенной нетто-премии, который изменяется, обратно пропорционально вероятности дожития от х лет до возраста x+t лет. Чем больше вероятность умереть в этом интервале, тем меньше страховой резерв. Страховой резерв и страховые суммы больше, чем банковский процент, так как в страхователи несут солидарную ответственность перед друг другом, в зависимости от вероятности наступления страхового случая. То есть, если страховое событие не наступит, то часть средств не полученных страхователем получит кто-нибудь другой.

    Страхование жизни. По определению имеем: . При уплате нетто-премии единовременным платежем, после момента времени x+t взносы страхователь не уплачивает, следовательно, правая часть равенства определяется лишь обязательствами страховщика А>x+t>. Тогда, . Аналогично данным преобразованиям выводятся формулы для расчета страхового резерва при платежах в рассрочку. Все данные приводятся к моменту времени x+t.

    Страхование пенсии. Рассмотрим вариант, когда страховая премия уплачивается единовременно в возрасте x лет, а пенсия выдается с возраста L лет (L>x) пожизнено. Тогда весь период от возаста x до предельного возраста можно разделить на два временных интервала. В первом происходит накопление средств – период до выплаты пенсии (L-x), а во втором периоде, с продолжительностью (w-L) – выплата пенсий (расходование средств). Схематично это можно увидеть на представленном выше графике, показывающем накопление страховых премий и их расходование. На начало взноса резерв равен страховой премии, или современной стоимости страховых выплат. Пусть размер годовой пенсии равен R, а ее выплата происходит в начале года, тогда . Далее, в интервале от х лет до L лет, резерв увеличивается пропорционально норме доходности: . Здесь имеется ввиду, что от момента х лет проходит срок t<(L-x), и страховой резерв определяется как нетто премия в момент времени t+x. Чем больше проходит времени, тем меньше знаменатель, а, следовательно, тем больше величина страхового резерва. Затем, в интервале от возраста L лет до предельного возраста w лет, происходит выплата пенсий, а следовательно обязательства страховщика сокращаются. Коме того, часть страхователей пенсию не получают, так как они умирают и договоры страхования перестают действовать, что также является фактором сокращения обязательств страховщика. Страховой резерв в этот период времени определяется по формуле: . Здесь страховой тариф определяется страховым аннуитетом пренумерандо, в момент времени x+t. Данная формула соответствует формуле по вычислению нетто-премии в момент x+t, при пенсионном страховании. Следовательно, страховой резерв здесь равен нетто-премии, уплачиваемой страховщику для обеспечения страхователя немедленной пенсией в размере R. Действительно, внося взнос, страхователь начинает получать пенсию сразу же, поэтому накопления сразу начинают расходоваться. Они остаются постоянными лишь в том случае, когда наращение процентов, и смертность других клиентов так влияют на изменение страховой суммы, что ее увеличение больше ее уменьшения. Это может быть, когда процентная ставка слишком велика, и(или) смертность клиентов страховщика слишком высока, и(или) маленький размер выплат. Описанное выше можно отобразить графически. В данном случае, страховой резерв представляет собой нетто-премию по пенсионному страхованию, в различные моменты времени.

    Если взносы производятся в рассрочку, то по сути ничего не меняется. Пусть предусматривается пожизненная выплата пенсий и рассрочка выплат в течении k лет. В данном случае общих срок страхования можно разбить на три анализируемых периода, где страховой резерв изменяется с различной скоростью. Первый период – от возраста x до возраста x+k лет. Здесь сумма резерва увеличивается как за счет премий, так и за счет процентов. Во втором периоде ( от x+k лет до L лет) резерв увеличивается только за счет процентов. И в третьем периоде (от L до w лет) резерв увеличивается за счет процентов, и сокращается за счет выплаты пенсий. В возрасте x резерв равен первому взносу, а в возрасте w лет резер равен 0. Пусть пенсия уплачивается 1 раз в году, пренумерандо. Величина резерва в момент x+t определяется по формуле: , где A>x>>+>>t>- современная стоимость пенсионных выплат (обязательства страховщика), производимых после возраста x+t лет; P>x>- годовой размер премии, установленный в возрасте x лет; a>x>>+>>n> – стоимость немедленного, ограниченного страхового аннуитета пренумерандо в возрасте x+t лет. Данная формула представляет собой чисты обязательства страховщика перед клиентом, в возрасте x+t лет. Для первого периода страховой резерв определяется по формуле: . Здесь страховой резерв равен определяется в момент времени t (x<t<L), он равен разнице между стоимостью пенсий в момент времени t и накопленными страховыми выплатами, к этому же моменту. Применяя принцип финансовой эквивалентности можно предположить, что Для второго периода (k<t<n): . И для третъего периода (t>n): . Как видно для последних двух периодов, величины страховых резервов остаются такие же, как и в случае с единовременной нетто-премей. Это объясняется тем, что процесс накопления в этих двух вариантах, становятся одинаковыми с момента x+k.

Расчет тарифных ставок в рисковых видах страхования.

В каждой страховой компании со временем накапливается опыт вместе с которым формируется тарификационная система. Другими словами, каждый страховщик составляет схемы рисков, наподобие таблиц смертности, откуда можно определить вероятность наступления страхового случая, по тем видам страхования, которыми занимается страховая компания.

Тарификационная система представляет собой некую взаимосвязь данных по рисковым видам страхования. Она выглядит следующим образом. Все страхуемые объекты делятся на несколько крупных категорий, для каждой из которых рассчитывается базовая тарифная ставка. Кроме того, страховщик описывает факторы риска, которые он учитывает при составлении договора страхования. Каждый фактор риска входит в расчет тарифной ставки в виде поправочного коэффициента.

При заключении договора страхования, прежде всего, определяется принадлежность страхуемого объекта к тарификационной группе, на основании чего определяется базовая тарифная ставка. Потом анализируются факторы риска, присущие данному договору страхования, и определяются поправочные коэффициенты.

Создание тарифных ставок по каждой категории страхуемых объектов, т.е. процесс тарификации, обеспечивает создание страхового фонда, необходимого для выполнения обязательств страховщика, с минимальной долей отклонения от требуемого размера фонда. Например, если использовать одну среднюю тарифную ставку, для формирования страхового фонда, то его размер может сильно отличаться от истинных значений величин ущербов.

Пусть страховые события первой группы наступают с вероятностью q1, страховые события второй группы – с вероятностью q2, а страховые события группы N – с вероятностью qn. Тогда средняя вероятность по данному виду страхования , где ki – число застрахованных по каждой группе. Чем неоднороднее страховые события в группах, чем больше число групп страховых событий, тем сильнее qср отличается от qi.

Пусть страховой фонд B1, созданный на основании нетто-премий, которые, в свою очередь, рассчитываются с применением qср, а B2 – с применением qi. Тогда В1 будет тем сильнее отличаться от истинного В2, чем больше разница между qср и qi. Хорошо если после применения нетто-ставок В1>B2, тогда страховщик сможет ответить по обязательствам страхователей, а, если наоборот, то страховая компания понесет убытки.

Если рассматривать тарификационную систему с коммерческой точки зрения, то необходимо проанализировать поведение страхователя при выборе страховой услуги, предлагаемой определенным количеством компаний. Пусть эти компании разработали одинаковые страховые продукты. При этом первая половина компаний использует тарифы рассчитанные на основе qi, другая – на основе qср. Существует N групп страховых событий, страхование каждого из них пользуется определенным спросом, который зависит от цен на данный вид страхования (от нетто-премии). Чем больше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Если нетто-премия первой группы страховщиков больше чем у второй группы по i-тому виду страхования, то в конкурентной борьбе выигрывает компания, со страховыми тарифами рассчитанными на основании qср, и наоборот. Все равно, лучше индивидуально рассматривать каждое страховое событие и применять вероятности qi – отдельные для каждого события. Это хотя и затрудняет расчеты, однако позволяет быть уверенным страховщику в своей платежеспособности.

Факторы риска – это различные составляющие, влияющие на наступление страхового события. Например, если страховой случай – авария, то факторы риска – водительский стаж, стоимость автомобиля, физическое состояние водителя, время года и т.д.

Теоретические основы расчета тарифных ставок.

Расчет тарифных ставок необходим для расчета страхового фонда, такого, чтобы ответить по всем договорам страхования, то есть выплатить все причитающиеся страховые суммы. Размер страхового фонда определяется размером страхового тарифа, который нужно определить.

Для нахождения нетто-премии необходимо сначала определить размер страхового фонда. Основное и очевидное условие платежеспособности страховщика - размер фонда должен превышать размер страховых выплат. Зная это, страховая компания заранее задает для себя вероятность того, что величина страхового фонда (В) превысит размер страховых выплат(S), то есть: P(S<B)>=y. Где y – заданная гарантия безопасности. Если число договоров N, а Vi – выплата по каждому договору страхования, то - сумма убытков страховщика.

Страховой компании заранее неизвестно наступит ли событие Vi, так же ему не известен размер наступившего ущерба Vi, который может колебаться в интервале от Vmin до Vmax. Отсюда следует, что Vi – величина случайная, определяемая двумя вероятностями. Как известно из теории вероятностей, сумма случайных величин есть величина случайная. Поэтому S – случайная величина, которая может быть задана законом распределения с помощью функции распределения F(x).

Если x – действительное число, Х – случайная величина, а F(x) – вероятность того, что X<x, тогда F(x)=P(X<x). Пусть S=x, а В – страховой фонд (сумма нетто премий), тогда F(B)=P(S<B)>=y, или F(B)>=y. То есть, функция распределения случайной величины должна принимать значения большие или равные y. В свою очередь плотность распределения определяется следующим образом: f(x)=F’(x) => f(B)=F’(B).

Для того, чтобы определить размер фонда, который бы с вероятностью y обеспечивал финансовую устойчивость страховщика, необходимо найти такую величину В, при которой функция распределения F(B) случайной величины S будет больше или равна y. Для этого необходимо:

    Найти закон распределения случайной величины S.

    Решить приведенное выше неравенство, относительно В.

    Вычислить отдельную нетто-премию (страховой тариф.

Допустим:

    Что наступление одного события не зависит от наступления другого, тогда все события ведущие к страховым выплатам (убыткам) – события независимые.

    Что в массовых рисковых видах страхования ущербы по рискам не сильно отличаются друг от друга, поэтому можно предположить, что рассеяние выплат по ущербам не будет велико, а, следовательно, наиболее вероятные размеры выплат не будут сильно отличаться друг от друга. Тогда, числовые характеристики ущербов (Vi) будут одинаковы:

    Математическое ожидание выплат: mv = mv1=mv2=…=mvN.

    Среднее квадратическое отклонение выплат:

Случайная величина S представляет собой сумму очень большого числа других случайных величин (Vi), влияние каждой из которой не оказывает сильного влияния на S. Тогда согласно центральной предельной теореме (Ляпунова) величина S распределена по нормальному закону:

    Математическое ожидание случайной величины S:

    Cреднее квадратическое отклонение случайной величины S:

    По определению, нормальное распределение описывается плотностью:

    Так как дифференцирование – действие обратное интегрированию, то функция распределения задается формулой:

    Для того, чтобы можно было решить приведенное выше неравенство, необходимо привести функцию распределения S к другому виду, что позволит пользоваться табличными значениями. Для этого введем новую переменную z.

    Тогда,

    Табличная функция Лапласа:

    В итоге получим:

    Можно предположить, что

    По определению функция распределения является неубывающей, поэтому: , значение g определяется из таблицы значений Ф(g). Однако, предварительно необходимо найти Ф(-M/), задать y, и определить M b .

    Убыток страховщика по i-тому договору представляет собой случайную величину Vi, которая распределена следующим образом:

    Если страховой случай не наступил (вероятность такого события равна 1-q), тогда выплата по договору i равна 0.

    Если страховой случай наступил (вероятность такого события равна q), то выплата по данному договору может принять любое значение из интервала (0,Vi), в зависимости от тяжести ущерба. Для массовых рисковых видов страхования наступление мелких ущербов чаще, чем наступление крупных, то есть величина ущерба Vi описывается плотностью вероятности f(Vi)=k*e-kVi (показательное распределение), где k- постоянная положительная величина, задающая определенный уровень ущербов. Если величина ущербов распределена по данному закону, математические характеристики ущербов определяются так:

    - математическое ожидание величины ущерба.

    - дисперсия и среднее квдратическое отклонение, соответственно.

    Ущерб Vi характеризуется двумя вероятностями, следовательно, он задается двумя законами распределения. Каждая величина ущерба имеет свое математическое ожидание (наиболее вероятное значение) и среднее квадратическое отклонение, которые у всех ущербов одинаковые, так как застрахованные объекты достаточно однородны. Кроме этого наступление страхового случая – величина также случайная. Поэтому математическое ожидание того, что случай ущерба Vi не наступит определяется так: mv=q*hi, где hi-математическое ожидание величины ущерба Vi. А среднее квадратическое отклонение:

    Для общей суммы ущерба математические характеристики вычисляются по формулам:

    .

    Размер страхового фонда определяется неравенством - . Подставим сюда известные значения:

    Зная минимальный размер страхового фонда можно определить минимальную нетто-премию или страховой тариф. Логика данного заявления следующая;

    Страховой фонд состоит из страховых премий по всем N договорам =>

    Страховая премия определяется как произведение страхового тарифа на страховую сумму по данному договору:

    Страховой тариф одинаков по всем договорам, поэтому:

    Вместо отдельных страховых сумм по каждому договору удобнее использовать среднее ее значение, что позволяет однородность рисковых событий, тогда:

    Откуда: , где , а

    Условно можно предположить, что U1 –основная часть нетто-ставки, а U2 – рисковая надбавка.

Практический подход к расчету тарифных ставок.

Расчет тарифных ставок производится по группам страхуемых объектов в соответствии с разработанной тарифной системой. В результате данного расчета страховщик должен получить для каждой группы базовую тарифную ставку (брутто). Выше была выведена формула расчета брутто-ставки: , где Т – нетто-ставка, f – доля нагрузки в брутто ставке. Доля нагрузки принимается одинаковой для всех тарификационных групп в рамках одного страхового продукта.

Для определения нетто-ставки страховщик должен определить гарантию безопасности (y), вероятность наступления страхового случая (q), математическое ожидание величины страховой суммы (М), математическое ожидание величины выплаты по одному страховому случаю hi. Указанные величины являются параметрами теоретического распределения убытков. Они определяются из статистических данных.

Пусть необходимо определить размер тарифной ставки по данным страховой компании, накопленным за год, по массовому виду страхования. Для этого выбирается некоторая совокупность договоров страхования. При этом все застрахованные объекты должны быть однородны, число договоров как можно больше, все договоры заключены на один и тот же срок и к моменту расчета полностью истек срок их действия.

    Итак, имеется N договоров, а S1,…,Si,…,SN – причитающиеся страховые выплаты по ним.

    V1,…,Vi,…,VW – W наступивших страховых событий, а, следовательно реально уплаченные страхователям суммы из числа SN.

    Тогда вероятность наступления страхового случая определяется частотой его наступления:>> Это требование выполняется тогда, когда по договору страхования предусмотрена выплата не больше 1 страховой суммы, то есть частота должна быть меньше единицы.

    Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание приближеноо равно среденй величине, поэтому:

    Математическое ожидание одной выплаты:

    Математическое ожидание суммы выплат:

    Страховщик определяет для себя гарантию безопасности y.

    Определяется переменная g: где , а

    Итоговая формула для определения страхового тарифа будет выглядеть следующим образом:

Расчет тарифных ставок во втором виде страхования предполагает множество допущений, а, следовательно, неточностей. Данный метод расчета требует соблюдения от страховщика множества условий, что подчас ему не под силу. Этот расчет можно считать как типовой, однако, его применение в других видах страхования, даже с небольшими отклонениями от рассмотренного, требует его корректировки. Кроме этого практический расчет и теоретическая его подоплека являются хорошим пособие при разработке методов-аналогов.

В страховании жизни и подобных, расчет тарифных ставок осуществляется на основании таблиц смертности – хорошо отработанных и проверенных статистических данных. Страхование жизни распространенный и давно практикуемый вид страхования в отличии от других видов, здесь объектом страхования является предмет, который есть у каждого – жизнь, здоровье, трудоспособность, что позволило создать точные данные для расчета. Поэтому методы, рассмотренные в данной работе, являются точным и пока единственным способом расчета страховых тарифов.

Основанием для расчета тарифных ставок служит вероятность наступления страхового события, которая является задающей величиной для расчета. На основании ее рассчитываются математические характеристики страхового события, законы его распределения, страховые аннуитеты и прочие данные.

Список использованной литературы.

    В.Г. Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика»

    Т.А. Федорова «Основы страховой деятельности».

    Четыркин А.П «Финансовая математика».

    В.В. Ковалев «Курс финансовых вычислений»

    Елисеева П.Р. «Общая теория статистики»

    К. РэдхЭд «Управление финансовыми рсками.»