Переходные процессы в электрических цепях (работа 1)
Пример
решения задачи
по разделу «Переходные процессы»
Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.
Задачу следует решить двумя методами:
классическим и операторным. На основании
полученного аналитического выражения
построить график изменения искомой
величины в функции времени в интервале
от t = 0 до t =
,
где
–
меньший по модулю корень характеристического
уравнения.
Параметры цепи: R>1> = 15 Ом; R>2> = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.
Решение.
Классический метод.
Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:
i(t) = i>пр>(t) + i>св>(t); u(t) = u>пр>(t)+ u>св>(t), (1)
где
,
а
.
1.
Находим токи и напряжения докоммутационного
режима для момента времени t
= (0–). Так как сопротивление
индуктивности постоянному току равно
нулю, а емкости – бесконечности, то
расчетная схема будет выглядеть так,
как это изображено на рис. 2. Индуктивность
закорочена, ветвь с емкостью исключена.
Так как в схеме только одна ветвь, то
ток i>1>(0–)
равен току i>3>(0–),
ток i>2>(0–)
равен нулю, и в схеме всего один контур.
Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:
,
откуда
= 4 А.
Напряжение на емкости равно нулю [u>C>(0–) = 0].
2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации i>L>(0–) = i>L>(0+), т.е. ток i>3>(0+) = 4 А. По второму закону коммутации u>C>(0–) = u>C>(0+) = 0.
Для
контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением
R>2> и
емкостью С, согласно второго закона
Кирхгофа имеем:
или
;
i>1>(0+) = i>2>(0+) + i>3>(0+) = 14 А.
Напряжение на сопротивлении R>2> равно Е – u>C>(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.
3.
Рассчитываем принужденные составляющие
токов и напряжений для
.
Как и для докоммутационного режима
индуктивность закорачивается, ветвь с
емкостью исключается. Схема приведена
на рис. 4. и аналогична схеме для расчета
параметров докоммутационого режима.
= 10 А;
= 100 В;
;
4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = i>пр>(0+) + i>св>(0+) и u(0+) = u>пр>(0+) + u>св>(0+).
i>св1>(0+)
= 4 А; i>св2>(0+) = 10 А;
i>св3>(0+) = –6 А; u>св>>L>(0+)
= u>свС>(0+) = 0;
.
5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.
;
(2)
Производную
тока через индуктивность можно найти,
используя выражение:
,
а производную напряжения на емкости –
из уравнения
.
Т.е.
и
,
откуда
;
(3)
Подставляя (3) в (2), после решения получаем:
;
;
;
Все полученные результаты заносим в таблицу.
-
i>1>
i>2>
i>3>
u>L>
u>C>
u>R2>
t = 0+
14
10
4
0
0
100
10
0
10
0
0
100
4
10
–6
0
0
0
–105
–105
0
106
106
–106
6. Составляем характеристическое
уравнение. Для этого исключим в
послекоммутационной схеме источник
ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно
разрыва запишем входное сопротивление
для синусоидального тока
.
Например, разорвем ветвь с сопротивлением
R>2>:
.
Заменим j на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:
или
R>2>CLp2 + pL + R>2> = 0.
Откуда находим корни р>1> и р>2>.
р>1> = –1127, р>2> = –8873.
7. Определим постоянные интегрирования А>1> и> >А>2>. Для чего составим систему уравнений:
;
или
;
Например, определим постоянные интегрирования для тока i>1> и напряжения u>L>. Для тока i>1> уравнения запишутся в следующем виде:
4 = А>1>>i> + А>2>>i>;
.
После решения: А>1>>i> = –8,328 А, А>2>>i> = 12,328 А.
для напряжения u>L>:
;
.
После
решения:
=
129,1 В,
=
–129,1 В.
8. Ток i>1> cогласно (1) изменяется во времени по закону:
i>1>(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,
а напряжение u>L>:
u>L>(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.