Философские вопросы математики

Философские вопросы математики

Введение

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкование этих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мира или же они трактуются как продукт совершенно "свободного" творчества субъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру "идей", имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).

Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром "идей" и являются лишь слабыми "тенями" последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами "свободного" мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире "идей", "идеальных объектов". [15; 8]

В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например, Леонард Эйлер, писал: "…математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых они зависят по природе самих вещей" [21; 9]. На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Чебышев.

Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что еще осталось за границами знания. Например, законы механики и методы математики помогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в.), а потом и П.Ловеллу (ХХ в.) теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном, планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтверждено астрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света, после чего П.Н.Лебедев подтвердил прогноз К.Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видах геометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах, гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретической электротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельных вопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий. Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики; после этого был раскрыт их физический смысл.

1. Математика и действительность как основной философский вопрос математики.

Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Н.Бурбаки пишет, что "основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" [2; 258]. Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей книге "Развитие познания и математика" отмечают, что "сам автор отказывается всерьез обсуждать эту проблему, но не потому, что он стремится соблюсти "нейтральность" при рассмотрении основного философского вопроса математики, а потому, что он выступает как математик, понимающий всю сложность философских проблем и не решающийся обсуждать их "из-за отсутствия компетентности" [16; 53]. Из этих слов можно сделать вывод, что основной философский вопрос математики далеко не легок в своем разрешении. И этот вывод очень хорошо подчеркивает Т.И.Ойзерман: "Многие философские проблемы, в отличие от проблем, возникающих перед естествознанием, являются вечными в том смысле, что они всегда сохраняют свое значение для человечества" [17; 217].

Получая свое определенное решение в каждую историческую эпоху, это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в новой форме, обусловленной уровнем достигнутых знаний и характером социальных преобразований. Этот вопрос никогда не станет окончательно завершенным, не подлежащим дальнейшему изменению, развитию.

В настоящее время основной вопрос философии по отношению к математике сместился в план соотношения действительности и языка. "Считать ли математику наукой, изучающей определенные отношения действительности, или же утверждать, что она имеет дело лишь с формальными преобразованиями символов, не отрицающих никаких реальных связей и отношений? – так ставится вопрос" [17; 227].

Проблему соотношения математики и действительности пытались решить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести все теоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точку зрения и по отношению к математике. В наиболее яркой форме эти идеи были выражены в работах английского философа Дж.Ст.Милля.

Представление, согласно которому математики рассуждают не о реальных предметах, а о символах, есть, согласно Дж.Ст.Миллю "…иллюзия, возникшая вследствие того, что когда математик пользуется своими знаками, не действительно не думает о тех вещах, которые эти знаки обозначают. Но это происходит потому, что истины арифметики справедливы относительно всех вещей и не возбуждают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частности. Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах, а о всех вещах, которые этот символ обозначает" [14; 561].

Основой того, почему мы верим, что, например, 2+1=3 является наш опыт, под которым Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельного изолированного индивида. Это соотношение, согласно Дж.Ст.Миллю, резюмирует эмпирический факт, который мы до сих пор постоянно встречали в своем непосредственном опыте. Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенном порядке, разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи. Это интуитивная истина, ставшая нам известной благодаря обыденному опыту и с тех пор постоянно подтверждающаяся. Алгебра ведет это обобщение дальше: всякий алгебраический символ изображает любые числа. Аналогично в геометрии: "Всякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может быть установлена путем обобщения наблюдений и опытов" [14; 583].

Миллевская концепция математического знания показывает, как недостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельное значение математики. Применение его идей к математике возможно лишь с грубыми натяжками, искажающими ее сущность.

Пытаясь рассмотреть математическое знание как продукт чувственного опыта отдельного субъекта, эмпиризм встречается с непреодолимыми трудностями. Чувственный опыт всегда имеет дело с единичным и случайным, а математические положения всеобщи и необходимы. Математика оперирует такими понятиями, содержание которых далеко выходит за рамки того, что доступно чувственному опыту отдельного человека. Непосредственным опытом отдельного субъекта всеобщие математические положения могут лишь подтверждаться, но не порождаться, так как выводы из непосредственного опыта всегда индуктивные, а математические положения носят необходимый характер. Поэтому невозможно построить грандиозное здание математики на таком шатком основании, как единичный чувственный образ в сознании индивида.

Неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличие от остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществления языковых преобразований в науках о фактах. Б.Рассел, например, так говорит о характере математического знания: “...математическое знание не выводится из опыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе с другой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще не эмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле просто словесное знание о мире. “3” обозначает “2+1”, а “4” означает “3+1”. Отсюда следует, что “4” означает то же, что “2+2”. Таким образом, математическое знание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и “великая истина”, что в ярде 3 фута” [19; 839].

Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка, как и выделение в самостоятельную область мышления. Об этом предупреждал К.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в области логики и математики: “Так же, как философы обособили мышление в самостоятельную силу, так должны были они обособить и язык в некое самостоятельное, особое царство. В этом тайна философского языка, в котором мысли, в форме слов, обладают своим собственным содержанием” [11; 448].

Для диалектического материализма не существует дилеммы: либо признать, что математика сводится к чувственно воспринимаемому, либо считать ее не имеющей никакого отношения к действительности. Диалектический материализм не связывает объективность предмета научного исследования с формой, в которой субъект постигает его. Объективно не только то, что чувственно воспринимаемо, но и то, что находит свое выражение в теоретической форме, несводимой к чувственно воспринимаемому. В.И.Ленин, делая замечания на книге А.Рея “Современная философия”, отмечает как безусловно правильную мысль о том, что “…полезность разума тем и объясняется, что выводя предложения из предложений, он вместе с тем выводит друг из друга отношения между фактами природы” [9; 479].

Установление математических фактов, например, не путем эмпирических процедур, как это было в математике древних вавилонян и египтян, а с помощью дедуктивных рассуждений в аксиоматической системе Евклида, совсем не означает, что математика перестает иметь дело с реальностью и погружается в изучение умозрительных сущностей. Различие, которое здесь есть, коренится в отличие эмпирического уровня познания от теоретического, а не в различии объективного от субъективного. Однако решение проблемы объективной ценности математики не сводится к признанию того, что существует некоторое объективное содержание, соответствующее содержанию математических понятий. Главная задача состоит в том, чтобы раскрыть, как это объективное содержание входит в науку.

2. Проблема существования в современной математике.

В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам. Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятии абстрактных объектов, причем отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что в противном случае мы придем к постулированию мира идей Платона. Те же, кто признают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя, что их рассмотрение не ведет к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм в лице своих виднейших представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению проблемы существования.

Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то о каком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.

В.И.Ленина интересовал этот вопрос. Конспектируя гегелевские "Лекции по истории философии", В.И.Ленин обращает внимание на то, что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемой существования абстрактных математических объектов. "Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не суть непосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чем число, - тело не имеет никакого сходства с последним" [9; 225]. На полях В.И.Ленин отмечает важность такой постановки вопроса, наивное недоумением, вызванное действительной трудностью, когда абстрактный объект ставится на очную ставку с чувственно воспринимаемой действительностью.

Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Причем как математик он имеет дело лишь со "второй реальностью", а с чувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку, поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхать и т. д.

Некритический подход к проблеме существования таит в себе немалую опасность. Например, немецкий физик Г.Герц не может скрыть своего преклонения перед миром математических объектов: "Невозможно избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было" [12; 112]. Отсюда остается всего один шаг до признания, что "материя исчезает, остаются одни уравнения". [16; 76]

Но привычка обращаться с математическими объектами так, как будто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика, вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.

А.Н.Колмогоров в своей статье "Современные споры о природе математики" ("Научное слово", 1929, №6) и Г.Вейль в книге "О философии математики" (М.-Л., 1934) прямо указывают на то, что именно такая привычка обращаться с математическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении математических теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.

Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики.

При наивном понимании проблемы существования в математике, при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе, интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание не могут быть одновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение А может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или истинно.

Немецкий математик Л.Кронекер, а также представители парижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математические объекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему они только и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию "полуинтуиционистской" [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.

Классическая математика не принимает во внимание очевидное различие между двумя следующими определениями натуральных чисел - числа К и числа Е.

"I. К есть наибольшее простое число, такое, что К-1 также простое. Если такого числа нет, то К=1.

II. Е есть наибольшее простое число, такое, что Е-2 также простое. Если такого числа нет, то Е=1." [16; 84]

Для интуиционизма же это различие весьма существенно. Если число К может быть вычислено (К=3), то число Е не вычисляется, так как проблема "близнецов" не разрешена. Поэтому интуиционисты считаю неправильным давать определение натурального числа в форме II и считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Или в более общей форме: "Существовать" должно означать то же самое, что "быть построенным" [6; 11].

На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.

В конструктивной математике отрицают так называемые “чистые” теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.

В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе “О критике классической математики” [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и эмпирическим материалом в области естествознания.

Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивости доказательством их существования. "В математике существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от противоречия" [18; 124].

Представление о самостоятельном существовании математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме "существовать - значит быть воспринимаемы", рьяно выступал против представления о самостоятельном существовании математических объектов. В своем памфлете "Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику…" Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]

Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию. В своем труде “Принципы математики” Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]

Абстрактные объекты не существуют в качестве самостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами выражения действительности. Сама же действительность выступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность. Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть те или иные аспекты количественных отношений.

Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В “Правилах для руководства ума” он писал, что “мысля о числе, не нужно делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…”. [7; 149]

В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает математические средства выражения предмета математики в сам предмет, превращается , по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный предмет математики.

А.Гейтинг замечает, что “мы не могли бы сравнивать натуральные числа друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами материального представления, почему они и продолжают существовать после акта их построения” [6; 24].

Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что человек должен считаться с их природой как и с природой реально существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом существовании абстрактных объектов.

3. Функция как отражение окружающей действительности

Функция представляет собой одно из основных математических понятий XX в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его действительное значение для развития математического познания.

Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от латинского “функтус” - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы.

Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17]. Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.

Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова "функция" Ньютон применял термин "ордината". Он сводил изучение геометрических и физических зависимостей к изучению этих "ординат", а сами "ординаты" описывали различными аналитическими выражениями.

Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, стало полноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) в одной из своих работ пишет: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых" [2; 18].

В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной." [11; 284]

Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются понятия "функция", "отображение", "оператор", возник после того, как во второй половине XIX века было введено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения. Его можно сформулировать:

Пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение f множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют образом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная функция, сложная функция и т. д.

В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множества возникла новая отрасль математики - теория функций действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие многих других отделов математики

В начале XX века на базе этой теории функций возникла новая ветвь математики - функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие из функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе, пространства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический язык.

Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой, он находит многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный математик Р. Курант (1888-1972) писал:

“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации, устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает решающее испытание - приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели...” [4; 25]

В XX веке понятие функции подверглось дальнейшим обобщением. Возникло понятие функции, отражавшее свойства физических величин, сосредоточенных в отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребности физики привели к изучению функций, принимавших случайные значения. Но методы математического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций, нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.

Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом: "функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению одного из них сопутствует изменение другого" [13; 615-616]

Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых позволяет найти значение другой величины.

В результате изучения различных функций в математике появились новые теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию конформных отображений - советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин и др. На основе комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.

Выше приведенные примеры теорий функции показывают нам важность данного понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочный вывод (в силу множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, что все эти теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительности же эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-за запросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самой математики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории не имеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.

Как мы уже выяснили, понятие “функция” в математике играет значительную роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие в философии. Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовки этого понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами некоторых множеств, - как одна из смысловых сторон “функции”, имеет непосредственное отношение к окружающему миру.

В. И. Ленин писал: “Первое, что бросается нам в глаза при рассмотрении мира в целом – это взаимная связь всего существующего” (см. Ленин В.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).

Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в виде формул. Это, например, второй закон Ньютона , закон Гука , законы Кеплера и многие другие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.

Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие, непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.

Заключение

Таким образом, проблемы реальности и существования в математике имеют неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношении понятий и утверждений математики и окружающей действительности был освещен с разных философских позиций. А именно, с точки зрения материализма и субъективного и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое из вышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешение поставленного вопроса.

Проблема существования в математике также была представлена несколькими философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивным материализмом и субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело свою точку зрения на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленных проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и разрешении.

В качестве примера одного из математических абстракций было рассмотрено понятие “функция”. Описана история возникновения данного понятия, неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.