Исследование влияния режимных факторов прессования древесностружечной плиты на разбухание

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА

Кафедра технологии лесопиления и деревообработки

КУРСОВАЯ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Научные исследования в деревообработке»

на тему:

«Исследование влияния режимных факторов прессования древесностружечной плиты на разбухание»

Студентки Боженовой М.С.

Руководитель курсовой

работы Пятков В.Е.

Москва – 2006

Глава 1. Теоретические сведения

№ п/п

Наименование факторов

Обозначение

Единица измерения

Диапазон варьирования факторов

1

Температура прессования

Х1

0С

160-180

2

Продолжительность прессования

Х2

мин/мм

7-13

3

Содержание кислоты

Х3

%

10-20

Выходная величина – разбухание ДСтП Уразб, %

Пресс – самое дорогое оборудование в производстве плит, поэтому уменьшение времени прессования позволяет лучше использовать пресс. С 1950 г. Время прессования сильно сократили за счет улучшения связующего и усовершенствования самих прессов. Например, при толщине плиты 19 мм время прессования сократили с 15 до 3-5 мин при использовании карбамидных связующих. Таким образом, пропускная способность пресса более чем удвоилась.

При прессовании следует учитывать ряд факторов, а именно: тип связующего, отвердители связующего, температуру плит пресса, породу древесины и геометрию частиц, влажность пакета, распределение и передачу тепла, время смыкания плит пресса, удельное давление прессования, его распределение по толщине плиты, давление пара в пакете во время прессования, а также предварительное и последующее отверждение связующего.

1.1 Вид связующих и отвердителя

Карбамидные и меламинокарбамидные связующие отверждаются гораздо быстрее и стоят дешевле, чем связующие на фенольной основе. Поэтому фенольные связующие используют лишь тогда, когда это абсолютно необходимо из-за более медленного режима прессования. В карбамидные связующие для более быстрого отверждения добавляют отвердитель. Последние достижения в области использования фенольных связующих также сделали возможным ускорять их время отверждения. И все же карбамидные связующие отверждаются быстрее.

1.2 Время прессования

При использовании фенольных связующих требуются высокие температуры плит пресса, от 182 до 204 0С. Высокие температуры плит в прессе ускоряют отверждение и карбамидных связующих, но можно с успехом использовать и более низкие. В прошлом многие заводы работали при температурах близких к 143 0С, и сейчас такие температуры используются. Однако новые виды прессов конструируют так, что они могут работать при гораздо более высоких температурах, в частности, если это одноэтажные прессы, где время прессования особенно важно. Тепло от пресса пополняется также теплом, получаемым за счет реакции поликонденсации при отверждении связующего.

1.3 Порода древесины и геометрические размеры частиц

Важные факторы, влияющие на уплотнение плит – порода древесины и конфигурация частиц. Породы, которые легко поддаются уплотнению требуют для уплотнения более низкого давления, чем породы, трудно поддающиеся уплотнению, как, например дуб. Легко уплотняемые породы имеют тенденцию герметизировать поверхность плиты, что приводит к вздутиям и расслаиваниям, так как пар не может найти выхода на лицевых сторонах пакета во время прессования.

Геометрия частиц влияет на выбор давления, так как более крупные частицы, которые должны слиться воедино, требуют большего давления в процессе уплотнения, чем более мелкие. К мелким частицам относят такие, которые проходят через сито -20 меш, и некоторые более мелкие волокна. Однако мелкие фракции пород с высокой плотностью трудно поддаются уплотнению так, чтобы получилась гладкая поверхность, как в случае применения мелких частиц, используемых при производстве ДСтП из мягких пород древесины. Между мелкими частицами древесины высокой плотности, используемых для наружных слоев, можно обнаружить пустоты, так как они не поддаются уплотнению и не соединяются вместе.

1.4 Уровень влажности в ковре и распределение влаги

Вероятно, наиболее важные факторы, обусловливающие свойства той или иной плиты – его влагосодержание, распределение влажности и время смыкания плит пресса. Влажность ковра в момент поступления в пресс для горячего прессования очень важна для прессования композиционных плит. Во-первых, остается определенная влажность в частицах после того, как их высушили. В зависимости от характера технологической линии она составляет 2-5 % в пересчете на абсолютную сухую массу древесины. Этот уровень всегда держат выше, если используют порошковое связующее. Сохранение, по возможности, уровня влажности по верхнему пределу при смешивании со связующим предупреждает проникновение его внутрь частиц и потерю его как связующего.

Во-вторых, есть влага, попадающая в частицы как составная часть жидкого связующего. Карбамидные связующие обычно содержат около 65 % сухих веществ. Их можно наносить с такой концентрацией или (из производственных соображений там, где пытаются получить лучшее распыление) разбавленными до 55-60 %. Фенолформальдегидные связующие используют в самой различной концентрации.

Так как фенольные связующие добавляют обычно в размольное оборудование, избыточное содержание влаги можно удалить во время сушки. Для ДСтП фенолформальдегидные связующие выпускали с 40 %-ным содержанием сухих веществ, так что влага составляла 60 %. Во многих случаях это избыточное количество влаги увеличивало конечное влагосодержание ковра более чем на 10-11 % - максимум того, что допускают многие установки в тех случаях, когда требуется более высокий уровень содержания влаги. Так как при производстве ДСтП не проводят дополнительной сушки, это значительно ограничивает количество фенольных связующих, которые можно было добавлять в частицы. В последние годы разработаны новые составы фенолформальдегидных связующих с содержанием сухих веществ 53 %. Это не просто фенольные связующие, в них используют новую добавку для снижения влагосодержания и улучшают их рабочие характеристики и отверждение. Содержание фенолов осталось в пределах 40 %.

Третий источник влаги в ковре – реакция поликонденсации во время отверждения связующего. Как правило, две молекулы связующего соединяются и отделяют одну молекулу воды, так что в результате образуется дополнительная влага.

Четвертый тип влаги может вызвать трудности при прессовании плит. Это пар, образующийся во время горячего прессования из самой древесины.

Как и в любой операции склеивания, избыточная влага может препятствовать или тормозить адгезию двух частиц древесины. Большинство ДСтП можно склеивать при влажности древесных частиц от 2 до 18 %. Полусухая твердая плита может содержать до 30 % влаги в ковре. При высоком уровне содержания влаги может потребоваться дополнительное время прессования. При низком влагосодержании трудности могут возникнуть в смыкании плит пресса, так что не удается получить требуемую толщину плиты. Очень важным вспомогательным фактором при смыкании плит пресса является влага в ковре, которая во время горячего прессования превращается в пар. Этот пар пластифицирует частицы древесины и позволяет уплотнять пакет в прессе при относительно низком давлении по сравнению с подпрессовкой. Плиты прессуют при влажности стружечно-клеевой смеси от 7 до 16 %, в зависимости от конкретных рабочих параметров. Капризные породы, такие, как красный кедр и желтая сосна, трудно прессуются при содержании влаги в пределах 11-12 %.

Одноэтажные прессы требуют очень короткого времени прессования для достижения экономичности. Таким образом, влажность пакета сохраняют на уровне 7 %. Более высокое давление необходимо для уплотнения пакета, а избыточные количества влаги не препятствует быстрому действию клея.

Уровень влажности и ее распределение тесно связаны с передачей тепла в прессе для горячего прессования. Высокочастотная система нагревания отлична в том отношении, что весь пакет можно нагревать одновременно, в то время как при контактном нагреве тепло передается от пластей к середине пакета.

Температура в центре плиты низкой плотности быстро повышается и достигает температуры близкой к температуре точки кипения воды, в то время кА температура плит высокой плотности сначала повышается медленно, но повышается в течение всего времени прессования. Увеличение влажности ускоряет начальное повышение температуры и приводит к тому, что температура в среднем слое плиты низкой плотности быстрее выравнивается, а температура в среднем слое плит высокой плотности быстрее повышается. С другой стороны, на плиты высокой плотности мало влияет увеличение температуры во внутреннем слое в начале цикла прессования. Увеличение температуры происходит на более поздней стадии цикла, не ограничивая влияние горизонтального потока пара. В тонких плитах увеличение температуры во внутреннем слое происходит быстрее во время прессования из-за того, что они близко расположены к плитам пресса.

Отверждение связующего, особенно во внутреннем слое плиты, может быть задержано избытком влаги. Более высокое влагосодержание наружных слоев пакета способствует пластификации частиц древесины и дает плотные твердые лицевые стороны. Уровень влагосодержания в 16 % очень хорош для этих целей. Такое высокое влагосодержание в наружных слоях имеет и другое преимущество – оно задерживает отверждение связующего в наружных слоях и предотвращает, таким образом, проблему преждевременного отверждения. Однако более высокое содержание влаги в пакете приводит к более низкой плотности плиты во внутреннем слое, более низкой прочности, возможности вздутий и расслоений и прилипанию поддона к плите. Время смыкания плит пресса, различное содержание влаги и ее распределение в пакете имеют большое значение для распределения плотности по толщине профиля готовой плиты, а также для физических и механических ее свойств. Если частицы из той или иной породы древесины уплотняются легко, может появиться необходимость снизить содержание влаги в пакете.

Можно назвать следующие преимущества низкого влагосодержания ковра: отсутствие прилипания к поддону и более однородное распределение плотности по толщине плиты. Недостатки: более высокое водопоглощение, более шероховатые лицевые стороны из-за снижения пластификации частиц древесины, более медленная теплопередача к внутреннему слою плиты, более продолжительное время полного смыкания плит пресса при определенном давлении, а также трудности с показателем липкости связующего.

Трудно определить оптимальные условия для содержания влаги в пакете и ее распределения в последующий период производства. Если учитывать содержание влаги только во время прессования, то оптимальным является 10-12 %. Однако линии с одноэтажным прессами работают на уровнях 6,5-7 %. Проблема недостаточного влагосодержания для получения хорошего склеивания частиц при использовании стандартных клеев следует преодолевать изменением состава связующего. Более высокое влагосодержание в пакете может потребовать продолжительности прессования, хотя достоинства связующего позволяют преодолеть ряд других трудностей.

1.5 Давление пара в плите

Внутреннее соединение в плите в горячем состоянии в момент выхода из пресса должно быть достаточно высоким для того, чтобы противостоять любому давлению пара, которое существует внутри плиты при открытии пресса. Относительно низкая температура в внутреннем слое плиты в обычных случаях не дает очень высокого давления пара. С повышением температуры во внутреннем слое там быстро увеличивается давление пара. Увеличение давления пара может вызвать расслаивание и вздутие.

Расслоение определяют как четкое расхождение частиц во внутреннем слое плиты. Это может быть результатом низких температур плит пресса, недостаточного давления, низкого качества связующего или сочетания этих факторов. Некоторые из этих факторов могут вызвать разнотолщинность. Вздутия в плите образуются, когда давление пара летучих продуктов (влаги, пара и других веществ) больше, чем сила внутреннего сцепления в плите. Вздутие обычно имеет место в центре плиты, так как в этой области плита наиболее слабая. Многие участки плиты могут иметь хорошее сцепление наряду с вздутиями в разных местах. Раньше причиной вздутия считали закупорку поверхностей пакета. Следует также отметить, что плотность и порода древесины и плотность плиты также могут быть причиной такого явления.

1.6 Время полного смыкания плит пресса, удельное давление и распределение плотности по толщине плиты (профиль плотности)

Один из самых важных факторов в определении свойств плит – время смыкания плит пресса. Это время тесно связано с содержанием влаги, а также с рядом других факторов. Время полного смыкания определяют как время, необходимое для уплотнения пакета до конечной толщины плиты, как только плиты пресса вступают в контакт с поверхностью пакета. Ряд профилей плотности можно получить в плите, изменяя эти факторы. Как только наступает дисбаланс температуры, давления или влагосодержания, профиль становится не симметричным, а сдвинутым. Такого явления следует избегать, так как это влияет на свойства плиты и плита коробится. Как только тепло от плит пресса начинает проникать в пакет, происходят два явления, определяющие конечный профиль плотности (наряду с давлением). Во-первых, передается тепло с наружных слоев к внутреннему. Во-вторых, влага превращается в пар, а пар смягчает древесные частицы и облегчает процесс сжатия. Такая пластификация сначала происходит на наружных слоях. С увеличением скорости смыкания плит пресса, когда пакет достиг почти конечной толщины (за 1 мин или меньше), мягкие наружные слои прессуются до большей плотности. Внутренний слой все еще холодный и сопротивляется давлению. Когда достаточное количество тепла достигает внутреннего слоя для его пластификации, наружные слои приобрели более высокую плотность и связующее отвердело, так что удерживает эти слои при большей плотности. При более медленном смыкании плит пресса требуется меньшее давление и, следовательно, меньшее сжатие в наружных слоях. Кроме того, связующее в наружных слоях может отверждаться до того, как произойдет уплотнение. Таким образом, наружные слои довольно жесткие. При более низкой плотности во время последующего этапа времени смыкания плит пресса происходит пластификация и уплотнение промежуточных и внутренних слоев, когда связующее еще жидкое. Профиль плотности может быть изменен предварительным прессованием. Предварительное прессование пакета до конечной толщины приводит к тому, что будут исключены колебания плотности по всей толщине плиты.

Качество поверхности плит можно улучшать повторным дополнительным прессованием при 371 0С в течение нескольких секунд. Такая высокая температура потребует дополнительного пресса, но зато не потребуется прикладывать столь высокое давление.

1.7 Предварительное и последующее отверждение связующего

Более низкая плотность плиты на ее пласти происходит, возможно, за счет полного отверждения связующего до достижения окончательной толщины плиты в процессе прессования. Большая часть этой более мягкой поверхности удаляется во время процесса шлифования. Мягкие поверхности связаны с предварительным отверждением или высыханием связующего, вызываемым в первый момент, когда горячие плиты пресса вступают в контакт с пакетом. При обычных температурах 163-191 0С отверждение связующего в наружном слое происходит почти мгновенно до того, как пакет уплотнен до конечной толщины. Хотя предварительное отверждение можно снять увеличением влажности наружного слоя, это может увеличить время прессования.

Вспомним относительно медленное смыкание плит в первых многоэтажных прессах для изготовления плит. Получали очень мягкие наружные поверхности и шлифованием снимали с наружных слоев до 3.2 мм. Многие многоэтажные прессы были модификацией прессов для производства фанеры, приспособленных для производства композиционных плит. Они смыкались снизу, что сначала закрывались нижние этажи, а потом верхние. В 16-этажном прессе это приводило к тому, что каждая плита имела различный профиль плотности, а следовательно, и различные свойства. Этот недостаток был ликвидирован в результате разработки системы одновременного смыкания плит пресса, так что все плиты прессуются идентично.

Последующее отверждение может быть и полезно и вредно. С одной стороны, оно выгодно для штабелирования в горячем состоянии плит с фенольным связующим; здесь отверждение заканчивается после выгрузки из пресса. С другой стороны, укладка плит в горячем состоянии с карбамидным связующим может привести к разрыву связей связующего в результате гидролиза, что вызывается воздействием температуры, влагосодержания и времени. Гидролиз происходит там, где молекулы связующего расщепляются, правда, по этому поводу существуют различные мнения. Одни считают, что такое явление происходит исключительно в древесине, так как она более чувствительна к потере прочности, другие считают, что разрыв происходит на плоскости соединения древесины со связующим.

Глава 2. Выбор и обоснование математической модели объекта

Выбрать модель означает выбрать вид функции. Данный этап самый ответственный. На данном этапе выбора вида модели экспериментатор должен располагать знаниями заранее проведенных исследований. На основании которых он может предположить о характере влияния фактора на параметрах процесса.

Полные и дробные факторные планы позволяют получить линейное описание зависимости отклика от каждого из варьируемых факторов. При детальном изучении большинства процессов лесопромышленных и деревообрабатывающих производств такое представление оказывается слишком грубым. В такой ситуации необходимо обратиться к экспериментальным планам второго порядка.

Планами второго порядка называют такие планы многофакторного эксперимента, с помощью которых можно получить математическое описание объектов в виде полиномов второго порядка. Для трех факторов соответствующее уравнение регрессии записывается в виде:

.

Эта модель содержит все слагаемые линейной модели: свободный член b0, линейные члены b1x1, b2x2, b3x3.

Также модель второго порядка включает квадратичные члены, являющиеся произведениями коэффициентов регрессии на квадраты двух различных факторов, т.е. члены вида b12x1x2, b13x1x3, b23x2x3. Зависимость выходной величины от каждого из факторов, полученная на основе квадратичной модели, представляется на графике отрезком параболы, имеющей ветви, направленные либо вверх, либо вниз. Позволяет достаточно полно описать широкий круг реальных зависимостей.

Глава 3. Выбор и составление плана эксперимента

К планам второго порядка относятся: В-планы и униформ-рототабельные планы (УРП).

В УРП опыты в угловых точках факторного пространства отсутствуют.

В В-планах второго порядка опыты поставлены в угловых точках факторного пространства, т.е. в условиях, когда все факторы принимают свои граничные значения. Это опыты вида .

В-планы синтезированы математиками, исходя из требований наибольшей точности оценок коэффициентов регрессии. В этих планах каждый фактор варьируется на трех уровнях: -1, 0, +1 в нормализованных обозначениях. В-планы обладают следующим свойством, называемым композиционностью. Составной частью В-плана является полный факторный план ПФП. Это свойство полезно в тех случаях, когда по результатам поставленного ПФП и ДФП получилась неадекватная модель. Тогда есть возможность дополнительно поставить некоторое число опытов, так что все опытов в целом образуют В-план 2-го порядка, а их обработка позволит получить соответствующую модель.

Назовем звездной точкой В-плана условия опыта, в котором один из факторов принимает нормализованное значение: +1 или –1, а остальные фиксируются на основном уровне – ноль в нормализованных обозначениях. Звездные точки для трех факторов (в нормализованных обозначениях):

При числе факторов k имеется 2k различных звездных точек.

В-план состоит из точек ПФП, к которым добавлено 2k звездных точек. Общее число опытов В-плана, таким образом, равно

.

В-план для трех варьируемых факторов в нормализованных обозначениях представлен в таблице 3.1

Таблица 3.1

Номер опыта

x1

x2

x3

y

1

+1

+1

+1

y1

2

+1

+1

1

y2

3

+1

1

+1

y3

4

+1

1

1

y4

5

1

+1

+1

y5

6

1

+1

1

y6

7

1

1

+1

y7

8

1

1

1

y8

9

+1

0

0

y9

10

1

0

0

y10

11

0

+1

0

y11

12

0

1

0

y12

13

0

0

+1

y13

14

0

0

1

y14

В-план для трех варьируемых факторов в натуральных обозначениях представлен в таблице 3.2

Таблица 3.2

Номер опыта

x1

x2

x3

y

1

180

13

20

2

180

12

10

3

180

7

20

4

180

7

10

5

160

13

20

6

160

13

10

7

160

7

20

8

160

7

10

9

180

10

15

10

160

10

15

11

170

13

15

12

170

7

15

13

170

10

20

14

170

10

10

Глава 4. Проверка нормальности распределения выходной величины

Результаты предварительной серии опытов представлены в таблице 4.1

Таблица 4.1

9,342

9,199

9,356

9,221

9,303

9,224

9,324

9,84

9,495

9,085

9,439

10,07

8,718

9,606

9,651

9,583

10,192

9,818

9,501

9,208

9,931

9,839

9,562

9,553

10,657

10,115

9,7

9,965

10,007

9,642

10,054

8,111

9,775

9,992

8,482

9,323

10,019

9,664

9,213

9,898

9,253

11,085

9,039

8,962

9,418

9,596

9,611

8,921

9,183

9,946

9,941

9,909

9,714

9,365

9,47

9,567

8,959

9,239

9,179

9,043

Разобьем диапазон от 8,111 до 11,085 на интервалы равной длины. Для определения числа интервалов k воспользуемся формулой:

k = 1 + 3,2ln n, (4.1)

где n – объем выборки.

Значение k, найденное по формуле, округляем до ближайшего целого.

k = 1 + 3,2ln 60 7.

Длина каждого интервала:

(4.2)

Предполагается, что выходная величина подчиняется нормальному закону распределения. Это предположение можно проверить разными способами. Наиболее строгим из них является применение критерия χ2 Пирсона. Для этого необходимо иметь выборку достаточно большого объема: n > 50 – 150. Диапазон изменения выходной величины в этой выборке разбивается на l интервалов так, чтобы эти интервалы покрывали всю ось от - до + и в каждый интервал при этом попало не менее пяти значений выходной величины. Подсчитывают количество mi наблюдений, попавших в каждый интервал. Затем вычисляют теоретические попадания случайной величины в каждый i-й интервал. Для этого используют формулу

pi = Ф(z2) – Ф(z1), где (4.3)

z1 = (- ) / s; z2 = ( - ) / s;

где - среднее арифметическое выборки; s – среднее квадратическое отклонение выборки; - нижняя граница i-го интервала; - верхняя граница i-го интервала; Ф(z) – нормированная функция Лапласа:

Ф(z) =

Значения ее для z = z1 и z = z2 определяют из таблиц. При отыскании значений этой функции для отрицательных значений аргумента следует иметь в виду, что функция Ф(z) нечетная:

Ф(- z) = - Ф(z).

Следующим этапом является вычисление величины χ2 по формуле

χ2 = . (4.4)

По выбранному уровню значимости q и числу степеней свободы k = l – 3 из таблицы отыскивают . Гипотезу о нормальности распределения можно принять, если .

Вычисления удобно вести заполняя таблицу:

Таблица 4.2

№ интервала

mi

z1

z2

Ф(z1)

Ф(z2)

pi

pin

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

8,111

8,537

2

-2,19

-2,06

0,014

0,019

0,005

0,3

2,89

9,633

2

8,537

8,963

3

-2,06

-1,18

0,019

0,119

0,1

6

9

1,5

3

8,963

9,389

19

1,18

-0,3

0,119

0,382

0,263

15,78

10,3684

0,657

4

9,389

9,815

18

-0,3

0,58

0,382

0,719

0,337

20,22

4,9284

0,244

5

9,815

10,241

16

0,58

1,46

0,719

0,927

0,208

12,48

12,3904

0,993

6

10,241

10,667

1

1,46

2,34

0,927

0,990

0,063

3,78

7,7284

2,045

7

10,667

11,093

1

2,34

3,22

0,990

0,999

0,009

0,54

0,2116

0,392

Данные выборки разобьем на 7 интервалов, границы которых указаны во втором и третьем столбцах. В четвертом столбце приведено количество наблюдений, попавших в каждый интервал. Далее по данным таблицы 4.1

вычислены среднее и стандарт s выборки.

= =

=

=

=

=

= 9,535

Среднее квадратическое отклонение:

%

По формулам 4.3 рассчитываем значения z1 и z2 для каждого интервала (пятый и шестой столбец таблицы 4.2)

По таблице находим нормированную функцию Лапласа:

Согласно формуле (4.3) вычисляем теоретическое попадание случайной величины в каждый i-й интервал:

Искомую величину получают суммированием значений последнего столбца . Выберем уровень значимости q = 0,05, число степеней свободы k = 7-3 = 4. По найденным величинам q и k из таблицы отыскиваем - гипотеза о нормальности распределения отвергается.

Определение параметров генеральной совокупности

Математическое ожидание My определяется по формуле

Уровень значимости q = 1-P = 1 – 0,95 = 0,05

Число степеней свободы f = n – 1 = 60 – 1 = 59

Распределение Стьюдента tqf = 2,00

Глава 5. Расчет необходимого числа параллельных опытов

Исходными данными для этого расчета служат результаты серии опытов представлены в таблице 5.1

Таблица 5.1

9,342

9,199

9,356

9,221

9,303

9,224

9,324

9,84

9,495

9,085

9,439

10,07

8,718

9,606

9,651

9,583

10,192

9,818

9,501

9,208

9,931

9,839

9,562

9,553

10,657

10,115

9,7

9,965

10,007

9,642

10,054

8,111

9,775

9,992

8,482

9,323

10,019

9,664

9,213

9,898

9,253

11,085

9,039

8,962

9,418

9,596

9,611

8,921

9,183

9,946

9,941

9,909

9,714

9,365

9,47

9,567

8,959

9,239

9,179

9,043

Пусть требуется найти минимальное число n повторений опытов, при котором среднее арифметическое , найденное по этой выборке, отличалось бы от математического ожидания не более, чем на заданную величину ∆. Для ее решения необходимо знать оценку дисперсии s2. Искомое значение n определяется по формуле

(5.1)

Величину t отыскивают из таблицы при уровне значимости q и числе степеней свободы f, связанном с оценкой дисперсии s2.

Глава 6. Обработка результатов эксперимента

Условия эксперимента и результаты дублированных опытов представлены в таблице 6.1

Таблица 6.1

Номер опыта

Нормализованные значения факторов

Результаты дублированных опытов

x1

x2

x3

Y1

Y2

Y3

Y4

1

+

+

+

9,675

6,600

8,127

12,770

9,293

12,568

6,949

2

+

+

-

7,812

6,600

10,133

8,586

8,283

8,478

2,189

3

+

-

+

9,834

6,740

12,930

11,382

10,222

14,063

6,985

4

+

-

-

12,324

9,229

10,776

10,003

10,583

9,972

1,746

5

-

+

+

12,786

8,918

13,560

12,013

11,819

12,341

4,139

6

-

+

-

7,675

6,600

8,449

10,771

8,374

4,652

3,128

7

-

-

+

20,700

20,700

12,133

18,323

17,964

17,888

16,367

8

-

-

-

13,951

15,498

13,177

11,630

13,564

10,199

2,593

9

+

0

0

18,209

13,567

11,246

20,498

15,880

12,723

17,858

10

-

0

0

7,623

8,656

10,204

11,751

9,559

12,723

3,261

11

0

+

0

14,630

16,177

13,856

17,725

15,597

15,360

2,944

12

0

-

0

17,691

19,238

16,917

20,700

18,637

18,881

2,823

13

0

0

+

8,182

6,635

11,277

12,825

9,729

13,425

7,983

14

0

0

-

12,386

13,933

10,065

8,517

11,225

7,5357

5,787

Сумма

170,729

84,752

Расчет коэффициентов регрессии.

Для построения регрессионной модели по результатам В-плана нет необходимости обращаться к ЭВМ. Имеются формулы для статических оценок коэффициентов регрессии, пригодные для научного расчета. Они применимы для широкого класса планов, называемых симметричными к которым относятся и В-планы второго порядка. Коэффициенты регрессии для этих планов рассчитываются по формулам:

(6.1)

где - свободный член;

- линейные коэффициенты регрессии, i = 1,2,…,k;

- квадратичные коэффициенты регрессии, i = 1,2,…,k;

- коэффициенты при парных взаимодействиях, ;

- коэффициенты, значения которых указаны ниже.

В формулах (6.1) обозначено:

(6.2)

Значения коэффициентов для В-планов с ПФП в ортогональной части с числом факторов k = 3 при отсутствии опытов в центре плана приведены в таблице 6.2:

Таблица 6.2

Вид плана

0,40624

0,15624

0,1

0,5

- 0,09375

0,125

Число коэффициентов регрессии такого плана равно:

(6.3)

В нашем случае, когда число факторов k = 3, число коэффициентов регрессии равно:

.

Средние арифметические по результатам каждой серии дублированных опытов:

Оценки дисперсий опытов:

Проверка однородности дисперсий опытов по критерию Кохрена: для проверки однородности нескольких дисперсий при равных объемах всех рассматриваемых выборок может быть использован G-критерий Кохрена.

Пусть m – количество выборочных дисперсий, однородность которых проверяется. Обозначим эти дисперсии . Вычисляется G-отношение по формуле

В числителе этой формулы стоит наибольшая из рассматриваемых дисперсий, а в знаменателе – сумма всех дисперсий. Далее обращаемся к таблицам распределения Кохрена. По выбранному уровню значимости q = 0,05, числу степеней свободы каждой выборки f = n - 1= 4 - 1 = 3 и по количеству выборок m = 14 из этой таблицы отыскивают величину G = Gтабл, Gтабл = 0,28. Gрасч < Gтабл - принимаем гипотезу об однородности дисперсий.

Оценка дисперсий воспроизводимости :

При вычислении коэффициентов регрессии по формуле 6.1 удобно воспользоваться таблицей 6.3:

Таблица 6.3

№

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2x3

1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

9,293

9,293

9,293

9,293

9,293

9,293

2

+1

+1

-1

+1

-1

-1

8,283

8,283

-8,283

8,283

8,283

8,283

3

+1

-1

+1

-1

+1

-1

10,222

-10,222

10,222

10,222

10,222

10,222

4

+1

-1

-1

-1

-1

+1

10,583

-10,583

-10,583

10,583

10,583

10,583

5

-1

+1

+1

-1

-1

+1

-11,819

11,819

11,819

11,819

11,819

11,819

6

-1

+1

-1

-1

+1

-1

-8,374

8,374

-8,374

8,374

8,374

8,374

7

-1

-1

+1

+1

-1

-1

-17,964

-17,964

17,964

17,964

17,964

17,964

8

-1

-1

-1

+1

+1

+1

-13,564

-13,564

-13,564

13,564

13,564

13,564

9

+1

0

0

0

0

0

15,880

0

0

15,880

0

0

10

-1

0

0

0

0

0

-9,559

0

0

9,559

0

0

11

0

+1

0

0

0

0

0

15,597

0

0

15,597

0

12

0

-1

0

0

0

0

0

-18,637

0

0

18,637

0

13

0

0

+1

0

0

0

0

0

9,729

0

0

9,729

14

0

0

-1

0

0

0

0

0

11,225

0

0

11,225

-

-

-

-

-

-

-7,019

-17,604

29,448

115,541

124,336

111,056

№

1

9,293

9,293

9,293

2

8,283

-8,283

-8,283

3

-10,222

10,222

-10,222

4

-10,583

-10,583

10,583

5

-11,819

-11,819

11,819

6

-8,374

8,374

-8,374

7

17,964

-17,964

-17,964

8

13,564

13,564

13,564

9

0

0

0

10

0

0

0

11

0

0

0

12

0

0

0

13

0

0

0

14

0

0

0

8,106

-7,196

0,416

Уравнение регрессии имеет вид:

Оценки дисперсии коэффициентов регрессии определяется по формуле:

Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Оценка значимости коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Из таблицы t-распределения по величине fy для уровня значимости q = 5 % берется табличное значение, tтабл = 2,02. Для каждого коэффициента регрессии bi вычисляется расчетное t-отношение:

где - среднеквадратичное отклонение коэффициента , равное корню из его дисперсии. Проверяется условие . Коэффициенты регрессии, для которых это условие выполняется, являются незначимыми:

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Затем вычисляем значения отклика по уравнению регрессии для каждого опыта:

Проверка адекватности математической модели

После постановки опытов, вычисления коэффициентов регрессии и проверки их значимости приступают к проверке соответствия полученной модели результатам эксперимента. Такая проверка называется проверкой адекватности полученной модели.

Вычисляем сумму квадратов, характеризующую адекватность:

,

где - число дублированных опытов в каждой серии;

- усредненное по всем наблюдениям значение отклика в j-ом опыте;

- значение выходной величины, рассчитанное по уравнению

регрессии.

Вычислим число степеней свободы

где N – число опытов;

P – число коэффициентов регрессии проверяемой модели, полученной

после отбрасывания незначимых коэффициентов регрессии.

Вычислим дисперсию адекватности:

, ()

С помощью F-критерия Фишера проверим однородность дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости:

,

Далее сравним полученное значение с табличным значением F-критерия , найденным при уровне значимости q = 5% для чисел степеней свободы в числителе и в знаменателе. ; , а следовательно, математическую модель можно считать не адекватной.

Глава 7. Интерпретация результатов эксперимента

Основываясь на построенной модели в нормализованных обозначениях факторов, необходимо построить три семейства графиков зависимости отклика от каждого из факторов .

Первое семейство: зависимость от .