Исследование операций и Теория систем (работа 3)
Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра Системы управления
Курсовая работа
по курсу
Исследование операций и Теория систем
Выполнил: Пушников А.А.
Группа: ПС-669
Проверила Плотникова Н.В.
Дата«____»____________2006г.
Челябинск
2006г
Содержание
Теория систем
Модели системы
Модель черного ящика
Модель состава
Модель структуры
Структурная схема
Динамическая модель
Классификация модели
Закономерности модели
Исследование операций
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Теория систем
Модели системы
Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа.
Модель черного ящика
К входам системы относятся управляющие органы летательного аппарата и возмущения окружающей среды. Рассматриваемый самолет обладает органом управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями: элероны, закрылки, руль направления и высоты (рис. 1). Так же на самолет влияет скорость ветра, температура и плотность окружающего воздуха.
Рисунок 1. Рулевые органы ЛА
К выходам ЛА относятся данные, полученные с датчиков самолета. Непосредственно измеряется положение летательного аппарата в пространстве относительно нормальной системы координат, для этого используются датчики углового положения и система глобального позиционирования (GPS). Так же измеряются угловые скорости, угловые ускорения, линейные скорости и линейные ускорения (перегрузки).
Модель состава
Модель движения летательного аппарата можно разбить на следующие подсистемы и элементы:
Аэродинамика летательного аппарата. Выражает воздушный поток вокруг самолета. Воздействие воздушного потока заключается в создании сил и моментов.
Момент и сила тяги, вызываемые двигателем.
Поступательное движение. Вычисляется скорость движения самолета в связной системе координат.
Вращательное движение. Вычисляются угловые скорости самолета в связанной системе координат.
Навигация. Вычисляет положение самолета в нормальной системе координат.
Угловое положение. Через углы Эйлера или матрицу направляющих косинусов.
Показания датчиков.
Сигналы управляющих приводов. Положение ручка тяги, закрылок, элеронов, руля высоты и направления.
Модель структуры
Структура движения летательного аппарата определяется отношениями между следующими парами элементов, указанны прямые отношения (табл. 1).
Таблица 1
-
Аэродинамические моменты
Угловые скорости
Аэродинамические силы
Угловые скорости
Аэродинамические силы
Аэродинамические моменты
Момент, вызываемый двигателем
Угловые скорости
Сила тяги
Скорость движения самолета
Сила тяги
Момент, вызываемый двигателем
Скорость движения самолета
Навигация
Навигация
Показания датчиков
Скорость движения самолета
Показания датчиков
Угловые скорости
Показания датчиков
Сигналы управляющих приводов
Аэродинамические моменты
Сигналы управляющих приводов
Аэродинамические силы
Сигналы управляющих приводов
Момент и сила тяги, вызываемые двигателем
Угловое положение
Угловые скорости
Структурная схема
Так как в модели нас интересует функции каждого элемента системы, рассмотрим структурную схему в зависимости от сил и моментов, действующих на модель (рис. 2).
Рисунок 2.Структурная схема.
Динамическая модель
Обозначения:
набор входных воздействий (входов) в системе – вектор управления (вход системы);
набор выходных воздействий (выходов) в системе – набор данных получаемых с датчиков будет выходом системы;
набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, – конструктивные и неконструктивные параметры летательного аппарата;
набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) – линейные и угловые скорости, положение в пространстве и угловое положение, аэродинамические силы и моменты, силы и моменты в двигателе;
параметр (или параметры) процесса в системе – t;
правило
- нелинейная зависимость скоростей и
положения в пространстве летательного
аппарата от вектора управления;правило
- нелинейная зависимость показаний
датчиков от вектора управления, скоростей
и положения в пространстве летательного
аппарата;правило
- нелинейная зависимость показаний
датчиков от скоростей и положения в
пространстве.
Тогда модель может быть записана так:
Классификация модели
Классификация системы:
по их происхождению - искусственная система, машина;
по описанию входных и выходных процессов - c количественными переменными, непрерывная, детерминированная система;
по описанию оператора системы – параметризованная, разомкнутая, нелинейная;
по способам управления – система управляемая извне, с управлением типа регулирование;
Закономерности модели
Целостность. Совокупность аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность движения в воздухе.
Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе.
Коммуникативность. На полет летательного аппарата действуют температура окружающей среды, скорость и направление ветра, плотность воздуха и др.
Эквифинальность. Рано или поздно, самолет вынужден будет приземлится или разобьется. Т.о. скорости, ускорения, моменты и силы будут равны нулю.
Исследование операций
Задача 1
Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает А>1> самолетами типа 1, А>2> самолетами типа 2, А>3> самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: В>1> для самолетов типа 1, В>2> для самолетов типа 2, В>3> для самолетов типа 3.
Авиакомпания обслуживает два города. Первому городу требуется тоннаж в С>1>, а второму – в С>2> т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.
Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «центральный аэродром – пункт назначения», обозначены символом a>ij>, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.
А>1>=8,
А>2> = 15, А>3>
=12, В>1> = 45, В>2>
= 7, В>3> = 4, С>1>
= 20000, С>2> =
30000, a>11>= 23,
a>12> = 5, a>13>
= 1.4, a>21> = 58,
a>22> = 10, a>23>
=3.8.
Решение
1. Составим математическую модель задачи. Возьмём в качестве целевой функции расходы на перелеты самолетов (соответственно, необходима минимизация целевой вункции), а в качестве переменных – число рейсов в день x>ij>, где первый индекс соответствует номеру города, а второй – типу самолета.
Целевая функция:
Ограничений задачи:
Основная задача линейного программирования:
2. Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:
Составим симплекс – таблицу:
|
bi |
x>11> |
x>12> |
x>13> |
x>21> |
x>22> |
x>23> |
||||||||
|
0 |
23 |
5 |
7/5 |
58 |
10 |
19/5 |
||||||||
|
y>1> |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||
|
y>2> |
15 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
y>3> |
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||||
|
y>4> |
-20000 |
-45 |
-7 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
y>5> |
-30000 |
0 |
0 |
0 |
-45 |
-7 |
-4 |
|||||||
|
bi |
x>11> |
x>12> |
x>13> |
x>21> |
x>22> |
x>23> |
||||||||
|
0 |
23 |
5 |
7/5 |
58 |
10 |
19/5 |
||||||||
|
-150 |
0 |
-10 |
0 |
0 |
-10 |
0 |
||||||||
|
y>1> |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>2> |
15 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
15 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||||||||
|
y>3> |
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>4> |
-20000 |
-45 |
-7 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>5> |
-30000 |
0 |
0 |
0 |
-45 |
-7 |
-4 |
|||||||
|
105 |
0 |
7 |
0 |
0 |
7 |
0 |
|
bi |
x>11> |
x>12> |
x>13> |
x>21> |
y>2> |
x>23> |
||||||||
|
-150 |
23 |
-5 |
7/5 |
58 |
-10 |
19/5 |
||||||||
|
-228/5 |
0 |
0 |
-19/5 |
0 |
0 |
-19/5 |
||||||||
|
y>1> |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
x>22> |
15 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>3> |
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||||
|
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
||||||||
|
y>4> |
-20000 |
-45 |
-7 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>5> |
-29895 |
0 |
7 |
0 |
-45 |
7 |
-4 |
|||||||
|
48 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
4 |
|
bi |
x>11> |
x>12> |
x>13> |
x>21> |
y>2> |
y>3> |
||||||||
|
-978/5 |
23 |
-5 |
-12/5 |
58 |
-10 |
-19/5 |
||||||||
|
464 |
-58 |
0 |
0 |
-58 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>1> |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||
|
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
||||||||
|
x>22> |
15 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
x>23> |
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>4> |
-20000 |
-45 |
-7 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
y>5> |
-29847 |
0 |
7 |
4 |
-45 |
7 |
4 |
|||||||
|
360 |
45 |
0 |
0 |
45 |
0 |
0 |
|
bi |
x>11> |
x>12> |
x>13> |
y>1> |
y>2> |
y>3> |
||||||||
|
1342/5 |
-35 |
-5 |
-12/5 |
-58 |
-10 |
-19/5 |
||||||||
|
x>21> |
8 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||
|
x>22> |
15 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
x>23> |
12 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||||||
|
y>4> |
-20000 |
-45 |
-7 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
y>5> |
-29487 |
45 |
7 |
4 |
45 |
7 |
4 |
|||||||
Ответ: Задача не имеет допустимого решения
Задача 2
|
№ вар |
с>1> |
с>2> |
с>3> |
с>4> |
с>5> |
с>6> |
b>1> |
b>2> |
b>3> |
Знаки ограничений |
a>11> |
a>12> |
a>13> |
a>14> |
||
|
1 |
2 |
3 |
||||||||||||||
|
8 |
2 |
6 |
2 |
–2 |
2 |
0 |
2 |
6 |
1 |
= |
= |
= |
–1 |
2 |
1 |
0 |
|
№ вар. |
a>15> |
a>16> |
a>21> |
a>22> |
a>23> |
a>24> |
a>25> |
a>26> |
a>31> |
a>32> |
a>33> |
a>34> |
a>35> |
a>36> |
Тип экстр. |
|
|
8 |
0 |
0 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
–1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
max |
1. Основная задача линейного программирования:
Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:
2. Составим симплекс – таблицу:
-
bi
x>1>
x>2>
2
-4
-6
x>3>
2
-1
2
x>4>
2
1
1
x>5>
1
1
-1
3. Решим задачу линейного программирования.
-
bi
x>1>
x>2>
2
-4
-6
6
-3
3
x>3>
2
-1
2
1
-0.5
0.5
x>4>
2
1
1
-1
0.5
-0.5
x>5>
1
1
-1
1
-0.5
0.5
|
bi |
x>1> |
x>3> |
||||
|
8 |
-7 |
3 |
||||
|
21/4 |
21/4 |
-21/8 |
||||
|
x>2> |
1 |
-0.5 |
0.5 |
|||
|
3/8 |
3/8 |
-3/16 |
||||
|
x>4> |
1 |
1.5 |
-0.5 |
|||
|
3/4 |
3/4 |
-3/8 |
||||
|
x>5> |
2 |
0.5 |
0.5 |
|||
|
-3/8 |
-3/8 |
3/16 |
|
bi |
x>4> |
x>3> |
||||
|
53/4 |
21/4 |
3/8 |
||||
|
x>2> |
11/8 |
3/8 |
5/16 |
|||
|
x>1> |
3/4 |
3/4 |
-3/8 |
|||
|
x>5> |
13/8 |
-3/8 |
11/16 |
|||
Оптимальное решение найдено.
Ответ: F=53/4, x>1>=3/4, x>2>=11/8, x>3>=0, x>4>=0, x>5>=13/8, x>6>=0.
Задача 3
-
№ вар.
а>1>
а>2>
а>3>
b>1>
b>2>
b>3>
b>4>
b>5>
с>11>
с>12>
с>13>
8
200
200
600
200
300
200
100
200
25
21
20
-
№ вар.
с>14>
с>15>
с>21>
с>22>
с>23>
с>24>
с>25>
с>31>
с>32>
с>33>
с>34>
с>35>
8
50
18
15
30
32
25
40
23
40
10
12
21
Исходные данные:
-
B>1>
B>2>
B>3>
B>4>
B>5>
а>i>
A>1>
25
21
20
50
18
200
A>2>
15
30
32
25
40
200
A>3>
23
40
10
12
21
600
b>i>
200
300
200
100
200
1000
Определение опорного плана задачи
|
B>1> |
B>2> |
B>3> |
B>4> |
B>5> |
а>i> |
|
|
A>1> |
25 |
21 |
20 |
50 |
18 |
200 |
|
200 |
||||||
|
A>2> |
15 |
30 |
32 |
25 |
40 |
600 |
|
300 |
200 |
100 |
||||
|
A>3> |
23 |
40 |
10 |
12 |
21 |
200 |
|
200 |
||||||
|
b>i> |
200 |
300 |
200 |
100 |
200 |
600 |
L=5000+9000+6400+2500+4200=27300
r+m-1=7>5 это вырожденный случай.
Определение оптимального плана
1.
|
B>1> |
B>2> |
B>3> |
B>4> |
B>5> |
а>i> |
|
|
A>1> |
25 |
21 |
20 |
50 |
18 |
200+e1 |
|
200 |
e1 |
|||||
|
A>2> |
15 |
30 |
32 |
25 |
40 |
600 |
|
300 |
200 |
100 |
||||
|
A>3> |
23 |
40 |
10 |
12 |
21 |
200+e2 |
|
e2 |
200 |
|||||
|
b>i> |
200 |
300+e1 |
200 |
100+e2 |
200 |
600+e1+e2 |
2.
|
B>1> |
B>2> |
B>3> |
B>4> |
B>5> |
а>i> |
|
|
A>1> |
25 |
21 |
20 |
50 |
18 |
200+e1 |
|
0 |
200+e1 |
|||||
|
A>2> |
15 |
30 |
32 |
25 |
40 |
600 |
|
200 |
100 |
200 |
100 |
|||
|
A>3> |
23 |
40 |
10 |
12 |
21 |
200+e2 |
|
e2 |
200 |
|||||
|
b>i> |
200 |
300+e1 |
200 |
100+e2 |
200 |
600+e1+e2 |
3.
|
B>1> |
B>2> |
B>3> |
B>4> |
B>5> |
а>i> |
|
|
A>1> |
25 |
21 |
20 |
50 |
18 |
200+e1 |
|
0 |
200+e1 |
|||||
|
A>2> |
15 |
30 |
32 |
25 |
40 |
600 |
|
200 |
100 |
200-e2 |
100+e2 |
|||
|
A>3> |
23 |
40 |
10 |
12 |
21 |
200+e2 |
|
e2 |
200 |
|||||
|
b>i> |
200 |
300+e1 |
200 |
100+e2 |
200 |
600+e1+e2 |
4.
|
B>1> |
B>2> |
B>3> |
B>4> |
B>5> |
а>i> |
|
|
A>1> |
25 |
21 |
20 |
50 |
18 |
200+e1 |
|
0 |
e2+e1 |
200-e2 |
||||
|
A>2> |
15 |
30 |
32 |
25 |
40 |
600 |
|
200 |
300-e2 |
100+e2 |
||||
|
A>3> |
23 |
40 |
10 |
12 |
21 |
200+e2 |
|
e2 |
200 |
|||||
|
b>i> |
200 |
300+e1 |
200 |
100+e2 |
200 |
600+e1+e2 |
Результат
|
B>1> |
B>2> |
B>3> |
B>4> |
B>5> |
а>i> |
|
|
A>1> |
25 |
21 |
20 |
50 |
18 |
200+e1 |
|
0 |
e2+e1 |
200-e2 |
||||
|
A>2> |
15 |
30 |
32 |
25 |
40 |
600 |
|
200 |
300-e2 |
100+e2 |
||||
|
A>3> |
23 |
40 |
10 |
12 |
21 |
200+e2 |
|
200 |
e2 |
|||||
|
b>i> |
200 |
300+e1 |
200 |
100+e2 |
200 |
600+e1+e2 |
|
B>1> |
B>2> |
B>3> |
B>4> |
B>5> |
а>i> |
|
|
A>1> |
25 |
21 |
20 |
50 |
18 |
200 |
|
0 |
200 |
|||||
|
A>2> |
15 |
30 |
32 |
25 |
40 |
600 |
|
200 |
300 |
100 |
||||
|
A>3> |
23 |
40 |
10 |
12 |
21 |
200 |
|
200 |
||||||
|
b>i> |
200 |
300 |
200 |
100 |
200 |
600 |
Так в
системе
нет положительных чисел, то найденный
план называется оптимальным.
Ответ: F=19100
Задача 4
|
№ |
b>1> |
b>2> |
c>11> |
c>12> |
c>22> |
extr |
a>11> |
a>12> |
a>21> |
a>22> |
p>1> |
p>2> |
Знаки огр. |
|
|
1 |
2 |
|||||||||||||
|
8 |
1 |
2 |
–1 |
0 |
–1 |
max |
1 |
2 |
1 |
1 |
16 |
8 |
|
= |
Приведем систему к стандартному виду:
Определение стационарной точки:
Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений.
1. Проверка стационарной точки на относительный max или min:
Стационарная точка является точкой относительного максимума.
2. Составление функции Лагранжа:
3. Применим теорему Куна-Таккера:
Нахождение решения системы:
Перепишем эту систему, оставив все переменные в левой части:
Из уравнения 3 системы следует, что x>1>=8-x>2>:
Тогда:
Для обращения неравенств системы в равенства введём V>1>, V>2>, W и преобразуем систему:
Запишем условия дополняющей нежесткости:
4. Метод искусственных переменных:
Введем
искусственные переменные
,
в первое и второе уравнения со знаками,
совпадающими со знаками соответствующих
свободных членов:
Далее
решаем полученную задачу линейного
программирования, для этого из 1 и 2
уравнений выражаем переменные
,
и принимаем их в качестве базисных.
Составляем симплекс-таблицу:
|
bi |
x>2> |
u>1> |
u>2> |
V>1> |
V>2> |
|||||||
|
-17M |
-4M |
-M |
0 |
-M |
M |
|||||||
|
M |
M |
0.5M |
-0.5M |
0 |
-0.5M |
|||||||
|
z>1> |
15 |
2 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
||||||
|
1 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
|||||||
|
z>2> |
2 |
2 |
2 |
-1 |
0 |
-1 |
||||||
|
1 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
|||||||
|
W |
8 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
bi |
x>2> |
z>2> |
u>2> |
V>1> |
V>2> |
|||||||
|
-16M |
-3M |
0.5M |
-0.5M |
-M |
0.5M |
|||||||
|
3M |
3M |
1.5M |
-1.5M |
0 |
-1.5M |
|||||||
|
z>1> |
16 |
3 |
0.5 |
0.5 |
1 |
-0.5 |
||||||
|
-3 |
-3 |
-1.5 |
1.5 |
0 |
1.5 |
|||||||
|
u>1> |
1 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
||||||
|
1 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
|||||||
|
W |
8 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||||||
|
1 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
|
bi |
u>1> |
z>2> |
u>2> |
V>1> |
V>2> |
|||||||
|
-13M |
3M |
2M |
-2M |
-M |
-M |
|||||||
|
13M |
-3M |
M |
2M |
M |
M |
|||||||
|
z>1> |
13 |
-3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
||||||
|
13 |
-3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|||||||
|
x>2> |
1 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
W |
9 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
bi |
u>1> |
z>2> |
u>2> |
z>1> |
V>2> |
|||||||
|
0 |
0 |
3M |
0 |
M |
0 |
|||||||
|
V>1> |
13 |
-3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
||||||
|
x>2> |
1 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
||||||
|
W |
9 |
1 |
0.5 |
-0.5 |
0 |
-0.5 |
||||||
u>1>=u>2>=z>1>=z>2>=V>2>=0
V>1>=13
x>2>=1
W=9
x>1>=8-x>2>=7
Ответ:
x>2>=1,
x>1>
=7,
Список используемой литературы
Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. – Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000г. – 436с.
Плотникова Н.В. «Исследование операций» Часть 1. Линейное программирование.
Плотникова Н.В. «Лекции по курсу теория систем»