Математическое развитие ребенка в системе дошкольного и начального школьного образования
На правах рукописи
БЕЛОШИСТАЯ Анна Витальевна
Математическое развитие ребенка
в системе
дошкольного и начального школьного образования.
13.00.02 – теория и методика обучения и воспитания (математика)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертация на соискание ученой степени
доктора педагогических наук
Москва 2003
Работа выполнена в Мурманском государственном педагогическом университете
Научный консультант: доктор педагогических наук, профессор
Истомина – Кастровская Наталия Борисовна
Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор
Луканкин Геннадий Лаврович
доктор педагогических наук, профессор
Жохов Аркадий Львович
доктор педагогических наук, профессор
Кумарина Галина Федоровна
Ведущая организация: Волгоградский государственный педагогический университет
Защита состоится …………………… в 14 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.136.02 в Московском государственном открытом педагогическом университете по адресу: 109544, г. Москва, ул. Верхняя Радищевская, д. 16 – 18.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного открытого педагогического университета по адресу: 109544, г. Москва, ул. Верхняя Радищевская, д. 16 – 18.
Автореферат разослан ……………………
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат технических наук
профессор А.Х.Ин
Общая характеристика исследования
Актуальность исследования. Преобразования в социальной, культурной, экономической жизни Российского общества обусловливают изменения в системе образования, являющейся важнейшим социальным институтом, который позволяет влиять на развитие общественного сознания, закрепляя в нем новые ориентиры развития. На необходимость обеспечивать “организацию учебного процесса с учетом современных достижений науки, систематическое обновление всех аспектов образования, отражающего изменения в сфере культуры, экономики, науки, техники и технологий” указано в тексте Концепции модернизации образования в Российской федерации.1
Демократические преобразования в Российском обществе привели к серьезным изменениям в системе дошкольного и начального школьного образования, которые коснулись как организационной, так и содержательной стороны этих ступеней образования. В частности, был разработан проект Концепции содержания непрерывного образования (дошкольное и начальное школьное звено)2, в основе которой лежат: конституционное право каждого ребенка как члена общества на охрану жизни и здоровья, получение образования, гуманистического по своему характеру; бережное отношение к индивидуальности каждого ребенка; адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития и подготовки детей.3
Гуманизация образования предполагает его ориентацию на развитие личности ребенка, направленность на конструирование содержания, форм и методов обучения и воспитания, обеспечивающих развитие каждого ученика, его познавательных способностей и личностных качеств. Таким образом, гуманизация образования, с одной стороны, предполагает максимально возможную индивидуализацию учебно-воспитательного процесса, а с другой – требует создания образовательных технологий, обеспечивающих реализацию основных положений Концепции непрерывного образования на дошкольном и начальном школьном звене на содержательном материале. Необходимость разработки таких технологий является чрезвычайно актуальной для практики обучения и воспитания детей дошкольного и младшего школьного возраста.
Наименее разработанными эти вопросы являются в теории и практике непрерывного математического развития ребенка в системе дошкольного и начального школьного образования.
В условиях развития вариативности и разнообразия дошкольного образования в последнее десятилетие происходит внедрение в практику работы дошкольных образовательных учреждений альтернативных образовательных программ, реализующих различные подходы к вопросам образования и развития ребенка дошкольного возраста. В этой связи, с теоретической и практической точек зрения все более актуализируется проблема разработки концептуальных подходов к построению системы непрерывного преемственного математического образования дошкольников и младших школьников, определения целей и оптимальных границ образовательного содержания дошкольных программ и их взаимосвязи со школьными программами, обеспечения качества и полноты методического обеспечения этих программ. Главной проблемой педагогов – воспитателей дошкольных образовательных учреждений является на сегодня необходимость реализации этих программ на уровне образовательных технологий.
Вопросы разработки концепции непрерывного математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста являются новыми для дошкольного образования, поскольку дошкольная педагогика традиционно ограничивалась созданием педагогических концепций воспитания дошкольника. Попытка решить указанные проблемы средствами создания содержательно обновленных, но методически не разработанных программ дошкольного образования (т.е. ограничиться только разработкой содержательной стороны) привела на сегодня к целому ряду противоречий в дошкольном математическом образовании, от которых страдают и дети, и педагоги – воспитатели. Таким образом, необходимость разработки концепции непрерывного математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста обусловлена, с одной стороны, современными требованиями к организации личностно-ориентированного образовательного процесса в ДОУ, цель которого – развитие ребенка, а, с другой стороны, необходимостью решения проблемы создания непрерывного образовательного процесса на дошкольном и начальном школьном этапе, цель которого, опять таки – развитие личности обучаемого в соответствии с его индивидуальными особенностями.
Вопрос о необходимости и возможности организации развивающего обучения ребенка младшего школьного возраста в процессе обучения математике весьма активно разрабатывается в дидактике и методике обучения в начальных классах (Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Н.Б.Истомина, А.А.Столяр, П.Э Эрдниев и др.). В дошкольном воспитании вопрос развития личности ребенка связывается в основном с развитием творческих способностей и работой с одаренными детьми. Многочисленные исследования педагогов и психологов посвящены проблемам исследования и формирования творческих способностей ребенка (А.К.Бондаренко, В.Я.Воронова, Р.И.Жуковская, Т.А.Маркова, Д.В. Менджерицкая, Е.А.Флерина и др.). Психолого-педагогические условия, закономерности и механизмы развития различных способностей детей в последние годы являются предметом активных исследований ученых в рамках проблемы детской одаренности (Ю.Д.Бабаева, Е.С.Белова, Ю.З.Гильбух, Н.С.Лейтес, Е.Л.Мельникова, В.И.Панов, Т.В.Симаева, А.И.Савенков, М.И.Фидельман, Н.Б.Шумакова, Е.И.Щебланова, В.С.Юркевич, Е.Л.Яковлева и др.).
Наибольшее количество работ посвящено развитию способностей ребенка в художественном творчестве: музыкальном (Н.А.Ветлугина, А.А. Мелик-Пашаев, К.В.Тарасова и др.); изобразительном (В.А.Езикеева, Е.И. Игнатьев, Т.С.Комарова, Н.П.Сакулина и др.); художественно-речевом (О.И.Соловьева, Н.Г.Комратова, О.С.Ушакова и др.); театрально-игровом (Н.С.Карпинская, Т.Н.Карманенко, Л.С Фурмина и др.). Большое внимание в теории и практике развития способностей дошкольников уделено технологии ТРИЗ (теория решения изобретательских задач). Проблемам разработки ТРИЗ в различных областях жизнедеятельности посвятили свои исследования Г.С.Альтшуллер, И.М.Верткий, Б.Л.Злотин, А.В.Зусман, Г.И Иванов, М.С.Гафитулин, А.Нестеренко, А.Б.Селюцкий, 3.Г.Шустерман и другие.
В то же время специальные исследования в области развития математических способностей ребенка дошкольного и младшего школьного возраста практически отсутствуют. Имеющиеся исследования и публикации чаще рассматривают средний и старший школьный возраст (А. В. Брушлинский, А. Н. Колмогоров, В. А. Крутецкий, В. В. Давыдов, З. И. Калмыкова, А. Я. Хинчин, Ю. М. Колягин, Д. Пойа, Л. В. Виноградова, И. В. Дубровина, К. А. Рыбников, Р.Атаханов и др.). Из 38 диссертационных исследований, по вопросам математического образования дошкольников только пять работ посвящено проблеме развития познавательных способностей дошкольников на материале обучения математике (Вахрушева Л.И., 1996; Данилова В.В., 1973; Демина Е.С., 1999; Ермолаева Л.И., 1982; Иванова Т.И., 2001); три – преемственности дошкольного и начального математического образования (Кочурова Е.Э., 1995; Попова И.А., 1968; Сагымбекова П., 1979) и две – вопросам подготовки педагога к руководству математическим образованием ребенка дошкольного возраста (Абашина В.В., 1998; Еник О.А., 2000). При этом понятие «математическое развитие» рассмотрено только в последних двух исследованиях, где оно понимается как формирование математических знаний и умений у ребенка. Таким образом, даже в рамках исследований о развитии познавательных способностей и творческой одаренности детей младшего возраста, математическому развитию ребенка уделено мало внимания. При этом понятие «математическое развитие» трактуется в основном как формирование и накопление математических знаний и умений. Следует отметить, что основа такой трактовки понятия «математическое развитие» дошкольников была заложена еще в работах Венгера Л.А.4 и на сегодня является наиболее распространенной в теории и практике обучения математике дошкольников. «Целью обучения на занятиях в детском саду является усвоение ребенком определенного заданного программой круга знаний и умений. Развитие умственных способностей при этом достигается косвенным путем: в процессе усвоения знаний. Именно в этом и заключается смысл широко распространенного понятия «развивающее обучение». Развивающий эффект обучения зависит от того, какие знания сообщаются детям и какие методы обучения применяются.» В данной цитате хорошо заметна предполагаемая иерархия категорий: знания – первичны, метод обучения – вторичен, т.е. подразумевается, что метод обучения «подбирается» в зависимости от характера знаний, сообщаемых ребенку (при этом употребление слова «сообщаемых» очевидно сводит «на нет» саму вторую половину высказывания, поскольку раз «сообщаемых», значит метод «объяснительно-иллюстративный», и, наконец, полагается, что само умственное развитие – это самопроизвольне следствие этого обучения.
Такое понимание математического развития устойчиво сохраняется в работах специалистов дошкольного образования. Например, в диссертационном исследовании Абашиной В.В. (Абашина В.В., 1998) понятию математического развития ребенка дошкольного возраста посвящен целый параграф (заметим, что это единственная работа в области дошкольного математического образования, которая специально рассматривает понятие «математическое развитие»). В этой работе дается определение понятию «математическое развитие»: «математическое развитие дошкольника - это процесс качественного изменения в интеллектуальной сфере личности, который происходит в результате формирования у ребенка математических представлений и понятий»5 .
Таким образом, математическое развитие рассматривается как следствие обучения математическим знаниям. В какой-то мере это, безусловно, наблюдается в некоторых случаях, но происходит далеко не всегда. Если бы данный подход к математическому развитию ребенка был верным, то достаточно было бы отобрать круг знаний, сообщаемых ребенку, и подобрать «под них» соответствующий метод обучения, чтобы сделать этот процесс реально продуктивным, т.е. получать в результате «поголовное» высокое математическое развитие у всех детей. Данный подход в значительной мере пытались реализовать специалисты школьного обучения при создании различных учебников математики для начальной школы (Л.В.Занков, В.В.Давыдов, Н.Я Виленкин, А.М. Пышкало и др.), наполняя эти учебники различным содержанием: увеличивая долю арифметического материала, долю алгебраического материала, вводя элементы теории множеств, комбинаторики, алгоритмики и др. Более чем сорокалетний этап апробации этих учебников показал, что заметного влияния на уровень математического развития младших школьников эти системы не оказывают. При этом, очевидно, что говорить об отсутствии влияния содержания обучения на развитие как математического мышления, так и общего развития мышления ребенка неправомочно.
В исследованиях Д.Б.Эльконина и В.В. Давыдова было достаточно убедительно доказано в частности, что проблема обновления содержания обучения в начальных классах является частью проблемы организации развивающего обучения ребенка младшего школьного возраста. Психологическое обоснование важности и особой значимости этой проблемы было разработано Д. Б. Элькониным (1960, 1966) и В. В. Давыдовым (1966, 1972), в исследованиях которых было детально показано, что одним из решающих факторов в развитии мышления младших школьников выступает содержание обучения. Естественным было бы предположить то же самое в отношении развития мышления дошкольников. Однако, как справедливо отмечал известный советский кибернетик А.А.Фельдбаум: «Накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую роль. Человек может забыть многие конкретные факты, на базе которых совершенствовались его качества. Но если они достигли высокого уровня, то человек справится со сложнейшими задачами, а это и означает, что он достиг высокого уровня культуры»6 (т.е. мышления). Таким образом, связь между содержанием обучения и процессом развития мышления ребенка, несомненно, существует, но ее нельзя считать достаточным условием обеспечения математического развития ребенка. В то же время, психологически и дидактически обоснованный отбор этого содержания, несомненно, будет играть значимую роль в процессе создания управляемой системы математического развития ребенка.
Необходимость осуществления математического образования ребенка дошкольного возраста сегодня не подвергается сомнению ни одной из существующих школ, направлений, авторских «команд», занимающихся разработкой теории и практики дошкольного воспитания и образования ребенка. Даже те авторские коллективы, которые ориентируют педагогов дошкольного образования на преимущественное использование образовательной среды и эпизодическое использование «образовательных ситуаций» в учебном процессе, формально отказываясь от систематических, программно определенных и методически разработанных занятий под предлогом их «формализма», «насилия над свободой личности ребенка» и вообще их «вредности для психического развития» малыша, тем не менее, не обходятся в своих образовательных «комплектах» без математического блока. Например, в методическом руководстве к программе «Радуга» утверждается: «Тенденция чрезмерно раннего (до 5 с половиной лет) обучения чтению, письму, математике, иностранным языкам, шахматам, музыке, работе на дисплее, игре со сложными электронными устройствами опасна потому, что при этом происходит ранняя и неправомерная стимуляция развития левого полушария головного мозга в ущерб правому – образному, творческому. А до 6 лет должно доминировать именно образное мышление. Буквы цифры, ноты, схемы вытесняют образы и подавляют развитие воображения. Обилие абстрактного материала ведет к «шизоидной интоксикации». Гасится и искажается эмоциональность»7. В то же время математическое содержание в программе «Радуга» и программе «Детство» в рамках эпизодического использования образовательных ситуаций рекомендуется к изучению детьми с трех лет.
Широкое распространение среди педагогов дошкольного образования подобных взглядов в 90-х годах 20-го века привело к тому, что в 1 класс в эти годы часто приходили дошкольники, воспитанные на позициях отказа от систематического обучения и целенаправленного интеллектуального развития в дошкольном образовательном учреждении. И особенно больно это несоответствие сказалось на школьном обучении двум ведущим в начальной школе предметам: математике и русскому языку.
В начальной школе в эти годы наблюдался «альтернативный взрыв»: получили официальный статус система Л.В. Занкова (учебники И.И. Аргинской) и В.В. Давыдова (учебники Э.Н. Александровой) (90-92 гг.); учебники Л.Г. Петерсон (тогда еще в системе Л.В. Тарасова «Экология и диалектика», а позднее в системе Р.Н. Бунеева «Школа 2000») (94-95 г.); учебники Н.Б.Истоминой (сейчас в системе «Гармония») (95-96 г.); учебники – тетради Т.Н. Жикалкиной, С.И. Волковой, Н.Г. Салминой и др.
Учебники математики перечисленных выше школ, написанные в начале 90-х годов, явились выражением идеи ведущей роли обучения в развитии ребенка (Выготский Л.С.). Активные поиски психологии и дидактики развивающего обучения в 60 – 70 годы (дидактика развивающего обучения Л.В. Занкова; теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина; психологическое обоснование системы развития теоретического мышления ребенка В.В. Давыдова) дали толчок для активного методического творчества по созданию учебных пособий по математике нового поколения, ориентированных на дидактику развивающего обучения, ведущими принципами которой являются принципы высокого уровня трудности, приоритетности теоретических знаний, быстрый темп обучения и др.
Традиционной для дошкольного обучения математике в то время являлась программа математического образования Л.С.Метлиной (Метлина Л.С., 1977, 1984 и др.), ученицы и последовательности А.М. Леушиной (Леушина А.М., 1955, 1961, 1974). Эта программа и имела целью обеспечить систематическое и прочное обучение детей элементарным математическим знаниям и умениям. Двадцатилетний опыт реализации этой программы показал как положительные, так и отрицательные моменты системы, ориентированной, как теперь принято говорить, на «знаниевую парадигму». Одним из очевидных результатов работы по этой программе являлось то, что отсутствие ориентации на математическое развитие ребенка часто приводило к формальному усвоению знаний детьми, преимущественной ориентации на заучивание минимального объема математического содержания наизусть при использовании методики многократного повторения материала. Такой подход к математическому образованию дошкольников весьма негативно сказывался на процессе дальнейшего школьного обучения математике. Особенно острой ситуация стала в начале 90-х, когда в школах стали активно внедряться учебники математики развивающих систем обучения.
В то же время отказ от традиционной программы дошкольного математического образования в начале 90-х во многих случаях приводил к отказу от систематических занятий вообще. Результат был закономерен: стала повсеместной вынужденная практика отбора детей в классы с «развивающим обучением». Системы, теоретически созданные для реализации общего интеллектуального развития любого ребенка, оказывались «по плечу» лишь части хорошо подготовленных дошкольников, поскольку были естественно ориентированы на определенный уровень знаний первоклассника. Эта ситуация вызвала к жизни появление во второй половине 90-х годов в дошкольном образовании новых, содержательно насыщенных программ: «Школа 2000» и «Детство» (при этом их содержание оказалось намного обширнее, чем содержание традиционной программы предыдущего двадцатилетия). Однако авторы этих программ обратились, главным образом, к разработке содержательной, но не методической стороны.
В начальной школе в эти годы наблюдается встречный процесс реакции на низкую подготовленность первоклассников к изучению развивающих курсов математики: появляются модификации альтернативных программ, рассчитанные на «нулевой» уровень подготовки дошкольника. Самое яркое проявление этого течения – система «Школа XXI века», где в первом полугодии 1 класса вообще нет ни математики, ни чтения, ни письма, а есть интегрированный урок «Грамота» с элементами словесности, математики, труда, окружающего мира и изо. Таким образом, в то время как дошкольные математические программы во второй половине 90-х начинают активно усложняться и содержательно расширяться, школьные учебники математики для 1 класса идут по пути уменьшения объема математического содержания при усилении внимания к умственному развитию ребенка.
Процесс усложнения и содержательного расширения математических программ для дошкольников порождает большие трудности для педагога – воспитателя, который методически подготовлен в соответствии с единственным имеющимся сегодня учебным пособием А.М. Леушиной8 (написанным в 70-е годы) и ориентированным на «знаниевую парадигму». Кроме того, необходимость обеспечения преемственности математического образования ребенка на дошкольном и начальном школьном этапе требует от воспитателя знания современных активно меняющихся каждые пять-шесть лет школьных программ и современных методик математического развития ребенка. Непривычной для воспитателя также является необходимость выбора одной из программ математического образования дошкольника, анализ ее согласованности с той или иной школьной программой по математике и реализации ее математически и методически грамотно, в соответствии с современными тенденциями личностно-ориентированного развивающего обучения, т.е. с максимальной пользой для ребенка, каким бы он ни был. Принятие Концепции содержания непрерывного образования на дошкольном и начальном школьном этапе требует от педагога – воспитателя методической деятельности по ее реализации, а, следовательно, организации непрерывного математического образования ребенка в контексте развивающего обучения.
Таким образом, сегодня в дошкольном математическом образовании налицо целый ряд противоречий как теоретического, так и практического характера.
Сформулируем эти противоречия:
Противоречие 1. Между необходимостью организации математического образования дошкольников на основе использования развивающих технологий и существующей «знаниевой» ориентацией в обучении математике педагогов - воспитателей.
Противоречие 2. Между осознаваемой в теории дошкольного воспитания необходимостью организации дошкольной математической подготовки систематического характера и неразработанностью теоретических концептуальных положений процесса математического развития ребенка.
Противоречие 3. Между признаваемой в практике дошкольного воспитания необходимостью организации систематической математической подготовки, направленной на развитие математических способностей ребенка, и неразработанностью прикладных аспектов этого процесса, т.е. методики математического развития ребенка.
Противоречие 4. Между требованием школьных программ обучения математике к уровню математического развития ребенка и результатами этого развития, наблюдаемыми в практике дошкольной математической подготовки.
Противоречие 5. Между необходимостью осуществления педагогом непрерывного математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста и несогласованностью содержания и методов обучения математике ребенка младшего возраста в существующих дошкольных и школьных программах.
Противоречие 6. Между основополагающим постулатом теории развивающего обучения, полагающим суть личности ребенка не как совокупность изначально заданных и неизменных индивидуальных особенностей, а как складывающуюся в образовательном процессе «саморазвивающуюся систему», поддающуюся управляемым процессам формирования и развития, посредством применения технологий развивающего обучения и отсутствием таковых технологий в дошкольном математическом образовании.
Эта группа противоречий обусловила проблему, разрешению которой посвящено данное исследование.
Объект исследования – процесс непрерывного математического развития детей дошкольного и младшего школьного возраста.
Предмет исследования – методическое обеспечение процесса непрерывного математического развития детей в системе дошкольного и начального школьного образования.
Цель исследования состоит в разработке и обосновании концепции математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста, позволяющей обеспечить осуществление непрерывности математического образования на дошкольной и начальной школьной ступени, его преемственности и повышение качества математической подготовки ребенка дошкольного и младшего школьного возраста, а также разработке и апробации ее прикладного аспекта в форме образовательной технологии (методы, средства, формы).
Генеральная гипотеза.
Если целью математического образования ребенка в системе дошкольного и начального школьного обучения сделать не накопление математических знаний и умений, а математическое развитие ребенка, под которым понимается целенаправленная методическая работа над формированием и развитием основных свойств и качеств математического мышления у каждого ребенка до максимально возможного для него уровня, то это приведет к реальному осуществлению непрерывности математического образования, его преемственности и повышению качества математической подготовки ребенка дошкольного и младшего школьного возраста.
Под математическим развитием ребенка младшего возраста понимается целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных (базовых) свойств и качеств математического стиля мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности. Такое развитие задает главную целевую установку обучения математике детей младшего возраста. Теоретические основы такой концепции позволяют построить эффективную методическую систему (включая технологию) непрерывного математического развития ребенка младшего возраста (дошкольника и младшего школьника), предоставляющую каждому ребенку условия для индивидуального продвижения в математическом содержании (траектории). Последовательная реализация концептуальной целевой установки на базе разработанной методики будет способствовать 1) практическому созданию единой системы преемственного дошкольного и начального обучения математике и 2) достижению оптимально возможного для ребенка, соответствующего возрастному этапу уровня его математического развития.
Данная гипотеза может быть представлена последовательностью частных гипотез:
Целенаправленная методическая работа над математическим развитием любого ребенка дошкольного и младшего школьного возраста возможна в процессе изучения программного учебного материала, если педагог опирается на такую технологию обучения математике, в которую изначально заложены методы и приемы, направленные на стимуляцию и развитие основных качеств и характерных особенностей математического мышления.
Если условия, порождающие преемственные связи в едином контексте математического развития ребенка разрабатывать в русле непрерывности дошкольной и школьной ступеней в системе развивающего образования на основе единого концептуального подхода к построению методологии и содержания математического образования ребенка младшего возраста, то это обеспечит реализацию преемственности дошкольного и начального математического образования.
Математическая подготовка ребенка дошкольного и младшего школьного возраста будет эффективной, если представляет собой целенаправленный и непрерывный процесс активизации и формирования характерных свойств и качеств математического мышления, что приводит к стимуляции и упрочению способностей к продуктивному оперированию математическим содержанием.
Если основным способом обучения ребенка сделать конструктивно-моделирующий способ деятельности с математическим материалом, а основным способом развития мыслительной деятельности – эмпирическое обобщение результатов своей собственной деятельности на основе сенсорно воспринимаемой информации, что соответствует ведущему типу мышления детей дошкольного возраста (наглядно-действенному в возрасте 3-5 лет и наглядно-образному в 6-10 лет), то такое обучение будет способствовать математическому развитию ребенка.
Если для построения систематической конструктивно-моделирующей деятельности ребенка на математических занятиях использовать такое математическое содержание, которое позволяет при работе с ним обеспечить полноценную опору сенсорики ребенка на вещественную или графическую модель, то это содержание будет играть роль средства математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста.
Если в центр внимания педагога ставить проблему индивидуального развития ребенка с природными математическими способностями, а также ребенка, требующего коррекционно-развивающего обучения, то ее разрешение реально возможно в рамках рассматриваемого в исследовании методического подхода, поскольку технология этого вида обеспечивает личностно-ориентированное обучение вне зависимости от уровня развития и природных способностей ребенка.
Если внедрить в практику обучения и повышения квалификации воспитателей детских учреждений и учителей начальной школы предлагаемую в исследовании технологию математического развития ребенка младшего возраста, то это существенно повысит уровень их методической компетентности и сделает процесс математического развития дошкольников преемственным и более эффективным.
Цель, предмет, проблема и гипотеза исследования определили три ведущие группы задач.
Первая группа задач связана с теоретико–методологическим обоснованием ведущих положений концепции математического развития ребенка младшего возраста. Она включает следующие задачи:
1. Провести анализ современного состояния теории и практики дошкольного математического образования с точки зрения:
а) соответствия основным положениям развивающего обучения
б) соответствия современным образовательным технологиям обучения математике в начальной школе.
2. Проанализировать проблему непрерывности и преемственности дошкольного и начального математического образования.
3. На основе проведенного анализа выявить и сформулировать теоретические и методические основания концепции математического развития ребенка на дошкольном и начальном школьном этапе.
Вторая группа задач связана с разработкой прикладного аспекта концепции математического развития ребенка младшего возраста и содержит задачи:
1. Разработать содержательную базу процесса математического развития ребенка, обеспечивающую преемственные связи дошкольной и школьной ступеней в системе развивающего образования в едином контексте математического развития ребенка.
2. Разработать целостную образовательную технологию математического развития ребенка дошкольного возраста, в соответствии с принятым возрастным делением на группы в детском саду, и реализовать ее в учебно-методическом комплекте.
3. Разработать образовательную технологию математического развития ребенка младшего школьного возраста на период его обучения в начальных классах, и реализовать ее в учебно-методическом комплекте.
Третья группа задач связана с внедрением в практику технологии математического развития ребенка младшего возраста. Эта группа содержит задачи:
Разработать методическое обеспечение подготовки будущего воспитателя к осуществлению руководством математическим развитием ребенка дошкольного возраста.
Разработать методическое обеспечение повышения квалификации воспитателей ДОУ по осуществлению математического развития ребенка дошкольного возраста.
Провести педагогический эксперимент с целью определения эффективности разработанной технологии математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста.
Методологической основой исследования явились фундаментальные работы в области дидактики и психологии (Л.В.Выготский, Л.С. Рубинштейн, П.Я.Гальперин, Л.И.Божович, В.В.Давыдов, Л.А.Венгер, Л.В.Занков, А.В.Запорожец, М.А.Данилов, М.И.Махмутов, П.И.Пидкасистый, Н.Н.Поддъяков, М.Н.Скаткин, Ш.А.Амонашвили и др.), теория индивидуальных различий (Б.М.Теплов, В.С.Мерлин), теория учебной деятельности (В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин, Г.А.Вергелес), исследования в области образовательной технологии и личностно-ориентированного образования (Л.В.Выготский, В.П.Беспалько, Д.Г.Левитес, В.В.Гузеев, М.Е.Бершадский, Н.Ф.Талызина, И.С.Якиманская, Л.М.Фридман), системный подход и его применение к педагогическим исследованиям, работы математиков и методистов по проблемам математического развития ребенка и организации математического образования в ДОУ и начальной школе (Д.Г.Глейзер, Б.В.Гнеденко, В.А. Гусев, Г.В.Дорофеев, Н.Б.Истомина, А.Н.Колмогоров, А.В.Крутецкий, Ю.М.Колягин, А.М. Леушина, А.Г.Мордкович, А.А.Столяр и др.)
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:
- анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы; изучение теории и практики организации математического образования ребенка дошкольного и младшего школьного возраста;
- изучение опыта профессиональной подготовки студентов педагогических вузов и опыта повышения квалификации педагогов ДОУ и начальной школы в системе ИПК;
- обобщение собственной работы автора с детьми всех возрастов в ДОУ, начальной и средней школе; обобщение опыта работы автора в системе повышения квалификации педагогов ДОУ и начального образования; обобщение опыта работы автора в педагогическом вузе;
- анкетирование студентов, учителей, воспитателей; анализ различных мнений и позиций специалистов, высказывавшихся в устной форме;
- обсуждение направлений работы и результатов на семинарах, конференциях и совещаниях работников образования различных уровней;
- наблюдение и анализ продуктов деятельности обучаемых (дошкольников, школьников, студентов, педагогов ДОУ и учителей начальных классов);
- длительный многоэтапный педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанной технологии математического развития ребенка младшего возраста и по подготовке педагогов ДОУ и учителей начальной школы к руководству математическим развитием ребенка;
- внешняя экспертиза экспериментальных материалов и практики экспериментальной работы педагогами-предметниками (математиками); школьными психологами; специалистами в области методики обучения математике в ДОУ, школе и вузе; специалистами в области психологии и дидактики обучения и развития.
Работа над диссертацией включала следующие этапы:
На I этапе (1987 – 1992 гг.) велись разработка, проверка и внедрение технологии математического развития младших школьников на основе использования моделирования как средства и способа обучения, результатом чего стала диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики. Одновременно с этим с 1989 по 1998гг. создавался и апробировался экспериментальный курс “Наглядная геометрия в начальных классах”, представляющий собой тетради на печатной основе для учащихся с 1 по 4 класс и методические пособия для учителя для каждого года обучения. С 1990 г. по настоящее время проводится масштабный эксперимент по теме исследования на базе средних школ г. Мурманска и области (в последние три года до 2000 детей ежегодно).
На II этапе (1993 – 2000гг.) велись разработка, проверка и внедрение технологии математического развития дошкольников на основе использования моделирования как средства и способа обучения, результатом чего стало создание учебно-методического комплекта, представляющего собой учебно-методические материалы для организации деятельности детей на математических занятиях в ДОУ по возрастам. С 1993 г. по настоящее время проводится масштабный эксперимент по теме исследования на базе дошкольных учреждений г. Мурманска и области (200 – 300 детей ежегодно).
На III этапе (1996 – 2002 гг.) велись разработка, проверка и внедрение учебно-методического обеспечения работы по развитию математических способностей дошкольников и младших школьников, завершившаяся созданием учебно-методических материалов для развития математических способностей дошкольников “Готовимся к математике”, серии методических пособий “Индивидуальная работа по математике в начальной школе” и тетрадей для индивидуальной работы с младшими школьниками по математике, включающими отдельные тетради для развития логического мышления и развития математических способностей. Было также разработано, внедрено и апробировано учебно-методическое обеспечение работы с младшими школьниками, требующими организации коррекционно-развивающего обучения, работа завершилась созданием учебно-методического комплекта по математике для 1 класса коррекционно-развивающего обучения.
На IV этапе (2000-2002 гг.) началась работа по описанию теоретических оснований образовательной технологии математического развития ребенка младшего возраста, завершившаяся созданием в 2002 г. лекционного курса «Математическое развитие дошкольников: вопросы теории и практики» для студентов педагогических специальностей «Дошкольная педагогика» и «Дошкольная педагогика и психология» и книги для воспитателя «Дошкольная математическая подготовка» для системы повышения квалификации педагогов ДОУ.
На V этапе (2001 – 2003 гг.) проводился анализ результатов контролирующего этапа педагогического эксперимента, выявление дальнейших направлений и перспектив исследования, осуществлялось написание и публикация монографии, проводилось оформление диссертационного исследования.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Концепция математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста, основные положения которой формулируются следующим образом:
а) Математическое развитие ребенка дошкольного и младшего школьного возраста будет эффективным в том случае, когда оно представляет собой целенаправленный и непрерывный процесс активизации и формирования характерных качеств математического мышления (гибкости, системности, критичности, логичности, вариативности, рациональности и др.) что приводит к стимуляции и упрочению способностей к продуктивному оперированию математическим содержанием.
б) Поскольку ведущим типом мышления детей дошкольного возраста является наглядно-действенное мышление, а наглядно-образное мышление представляет собой ведущий тип мышления на границе перехода в начальную школу, основным способом обучения ребенка должен стать конструктивно-моделирующий способ деятельности с математическим материалом, а основным способом развития мыслительной деятельности – эмпирическое обобщение результатов своей собственной деятельности на основе сенсорно воспринимаемой информации.
в) Индивидуализированный развивающий образовательный процесс, предоставляющий каждому ребенку индивидуальную траекторию движения в рамках изучения математического содержания, осуществим на математических занятиях через посредство системы конструктивных заданий на математическом материале, выполняемых ребенком самостоятельно, и при этом приводящих ребенка к осознанию различных свойств и закономерностей математического характера.
г) Условия, порождающие преемственные связи в едином контексте математического развития ребенка должны разрабатываться в русле непрерывности дошкольной и школьной ступеней в системе развивающего образования на основе единого концептуального подхода к построению методологии и содержания математического образования ребенка младшего возраста.
2. Технология математического развития дошкольников и младших школьников, представляющая собой целостную образовательную технологию на основе использования конструктивно-моделирующего способа деятельности с математическим материалом. При этом основным способом развития мыслительной деятельности ребенка становится эмпирическое обобщение результатов своей собственной деятельности на основе сенсорно воспринимаемой информации. Разработанная технология представляет собой систему заданий, моделирующего характера на математическом материале, выстроенную в соответствии с возрастными особенностями восприятия и мышления детей дошкольного и младшего школьного возраста, и направленную на развитие основных свойств и качеств математического мышления ребенка.
3. Методическое обеспечение подготовки воспитателя в педагогическом вузе к осуществлению математического развития ребенка дошкольного возраста, представляющее собой целостную методическую систему обучения педагогов ДОУ, разработанную на уровне требований, предъявляемых к полноценной образовательной технологии (методы, средства, формы).
4. Методическое обеспечение повышения квалификации воспитателя дошкольных образовательных учреждений в отношении математического развития ребенка, что существенно повысит уровень их методической компетентности и сделает процесс математического развития дошкольников преемственным и более эффективным.
Научная новизна исследования состоит в том, что в нем:
- разработаны теоретико-методологические основания концепции математического развития ребенка на дошкольном и начальном школьном этапе;
- обоснована необходимость ориентации процесса математического образования ребенка дошкольного и младшего школьного возраста на развитие и формирование характерных качеств математического мышления (гибкости, критичности, системности, и др.), что приводит к стимуляции и упрочению способностей ребенка к продуктивному оперированию математическим содержанием;
- обоснована возможность организации методической работы над математическим развитием каждого ребенка в соответствии с его актуальными возможностями, но с ориентацией на уровень ближайшего развития, что приводит к реальному продвижению ребенка по пути развития математических способностей;
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
- в условиях необходимости реализации требований развивающего личностно-ориентированного обучения на всех ступенях образования впервые в педагогике образования детей дошкольного и младшего школьного возраста разработана целостная, теоретически обоснованная и экспериментально апробированная система математического развития ребенка младшего возраста, позволяющая как решить задачи развивающего обучения на математическом материале, так и обеспечить преемственность математического развития ребенка на дошкольном и младшем школьном этапе;
- разработаны принципы построения содержательной базы процесса математического развития ребенка, обеспечивающие преемственные связи дошкольной и школьной ступеней в системе развивающего образования в едином контексте математического развития ребенка (принцип преимущественного использования модельного характера обучения; принцип системности, принцип преемственности);
- разработана целостная дидактическая система методического сопровождения процесса работы с математически способными от природы дошкольниками и младшими школьниками, позволяющая обеспечить индивидуализированный личностно-ориентированный подход к их математическому развитию в соответствии с процессуально-деятельностными особенностями способных детей;
- разработана целостная дидактическая система методического сопровождения процесса коррекционно-развивающей работы на математическом материале для начальной школы, позволяющая реализовать развивающую функцию математического содержания в процессе изучения программного материала в соответствии с особенностями и спецификой познавательных процессов детей рассматриваемой категории.
Практическая значимость исследования определяется тем, что:
- Разработанная методическая система математического развития дошкольников и младших школьников позволяет ставить и реализовывать в массовой практике учреждений дошкольного и начального образования задачу развивающего обучения математике преемственного характера в условиях образовательных альтернатив как в ДОУ, так и в начальной школе.
- Подготовлены, апробированы и опубликованы учебно-методические комплекты, обеспечивающие практику математического развития ребенка в ДОУ и в начальной школе, в которых представлены материалы для организации конструктивно-моделирующей деятельности детей и описание материалов и способов методической деятельности с ними педагога при работе на всех возрастных группах (3 – 10 лет). Их разработка реализована на уровне образовательной технологии и может быть освоена любым педагогом.
- Разработано, апробировано и внедрено в практику учебно-методическое обеспечение работы по сопровождению и развитию математических способностей дошкольников и младших школьников, в виде учебного пособия для работы со способными дошкольниками “Готовимся к математике” и тетрадей для индивидуальной работы с младшими школьниками по математике, включающими отдельные тетради для развития логического мышления и развития математических способностей. Данные материалы, независимо от знания их пользователем (воспитателем, учителем, родителями) теоретических основ концепции математического развития ребенка, позволяют практически перейти от преимущественно информативного обучения ребенка к деятельностному с высокой долей самостоятельной работы обучаемых даже в дошкольном возрасте.
- Созданные и опубликованные монография, курс лекций для студентов факультета дошкольной педагогики, учебные пособия, методические пособия дают возможность осуществлять методическую подготовку студентов к процессу математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста в педвузе или педучилище;
- Созданные и опубликованные монография, книга для воспитателей ДОУ, книга для учителя начальной школы, учебные пособия, методические пособия дают возможность существенно повысить уровень методической компетентности воспитателя ДОУ и учителя начальной школы в вопросах математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста. Указанные материалы могут быть использованы как в процессе повышения квалификации работников образования в системе ИПК и ИУУ, так и в самообразовательной деятельности педагогов.
Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечены применением совокупности методов исследования на методологическом, теоретическом и практическом уровнях, адекватных его предмету, цели и логике исследования, методологической обоснованностью исходных теоретических положений, репрезентативностью источниковой базы, подтверждением полученных выводов и результатов данными педагогической практики.
Апробация и внедрение результатов исследования.
- Апробация основных теоретических положений, полученных в результате исследования, проходила на ряде научных и научно-практических конференций, в том числе и международных (Москва, С-Петербург, Псков, Петрозаводск, Мурманск, Красноярск, Вологда и др.).
- Научные идеи, ход исследования, важные промежуточные результаты неоднократно отражались в публикациях автора в ведущих Российских научных и методических журналах (Начальная школа, Дошкольное воспитание, Ребенок в детском саду, Математика в школе, Вопросы психологии, Начальная школа: плюс-минус, Дошкольное образование, Воспитание школьника).
- Основные положения и выводы исследования использованы при разработке учебно-методических комплектов по наглядной геометрии для начальных классов, учебно-методических комплектов для организации математического развития дошкольников всех возрастов, учебно-методических комплектов для организации работы со способными к математике дошкольниками и младшими школьниками, учебно-методического комплекта для организации коррекционно-развивающей работы в классах КРО на материале математики (всего 21 учебное пособие общим объемом 83 п.л.).
- Основные научные идеи и их приложение к практике обучения и развития детей младшего возраста нашли отражение в монографии “Развитие математических способностей дошкольников: вопросы теории и практики”, учебном пособии в виде курса лекций для студентов факультетов дошкольной педагогики педагогических вузов “Математическое развитие дошкольников: вопросы теории и практики”, практико-ориентированной монографии “Развивающие технологии в дошкольном математическом образовании”, а также в различных методических пособиях (всего 24 методических пособия общим объемом более 65 п.л.) и статьях (46 статей, из них 34 статьи в центральных Российских журналах).
- Основные положения и выводы исследования внедрялись также через работу по подготовке будущих воспитателей ДОУ и учителей начальных классов, а также будущих учителей математики в Мурманском государственном педагогическом университете как на дневном, так и на заочном отделении. Внедрение результатов исследования осуществлялось также через многолетнюю систематическую работу со слушателями Мурманского областного института повышения квалификации и факультета повышения квалификации организаторов образования Мурманского государственного педагогического университета, через проблемные семинары, конференции и практикумы для воспитателей ДОУ и учителей начальных классов (Мурманск и область, Котлас, Архангельск, Вологда, Владимир, Москва).
- Методические материалы, способствующие организации работы педагога в направлении математического развития детей дошкольного, младшего школьного и среднего школьного возраста используются в практике работы воспитателей ДОУ и учителей, в практике работы центров развития, в практике коррекционно-развивающего обучения в ДОУ и начальной школе.
- Апробация результатов исследования осуществлялась в форме подготовки педагогических кадров: при написании дипломных исследований - под руководством автора защищено более 50 дипломных работ как на стационаре, так и на заочном отделениях; при повышении квалификации воспитателей ДОУ и учителей начальных классов – написано более 100 курсовых проектов и дано более 200 открытых занятий и уроков.
- Реализация системы математического развития дошкольников и младших школьников в учебных материалах для дошкольников от 3 до 6 лет и в учебных материалах для младших школьников от 1 до 4 класса и сопровождающих их методических пособиях для педагогов позволила провести массовую проверку эффективности предложенной методической концепции математического развития ребенка младшего возраста. По разработанным материалам работало более 1000 классов. Результаты экспериментального обучения изучались на протяжении 14 лет.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, материалы которого представлены выше, шести глав, заключения, списка литературы (229 наименований), списка опубликованных работ автора (80 наименований) и … приложений. Текст диссертации иллюстрирован рисунками, таблицами, диаграммами и графиками.
Основное содержание диссертации.
Первая глава: «Проблема непрерывности в теории и практике дошкольного и начального школьного математического образования ребенка» содержит анализ современного состояния теории и практики дошкольного математического образования с точки зрения соответствия основным положениям развивающего обучения и современным образовательным технологиям обучения математике в начальной школе.
В пункте 1.1. «Проблема целей непрерывного математического образования на дошкольной и начальной ступенях» кратко обсуждается имеющая место смена педагогической и дидактической парадигмы «знаниевого подхода» к постановке целей и задач обучения на развивающую парадигму, обусловленную сменой ориентации образовательной системы на личностно-ориентированные деятельностные подходы к формулировке целей и организации непрерывной преемственной образовательной системы на дошкольном и начальном школьном этапе. Предматематическая подготовка в дошкольный период очень важна не столько с предметной, сколько с психологической точки зрения. В этот период ребенок постепенно адаптируется к новому видению мира и приучается к специфике количественной оценки окружающей действительности. С точки зрения психологии восприятия характеристика «количество» является опосредованной, ее осознание и вычленение происходит тогда, когда ребенок научается видеть отдельные детали «цельного» объекта или отдельные элементы множества как «цельной» группы. Для становления такого видения необходима специальная целенаправленная подготовка (обучение). Для успешного становления адекватного восприятия количественных и пространственных характеристик у ребенка в достаточной мере должна сформироваться операция анализа, позволяющая успешно производить выделение нужной характеристики рассматриваемого явления и абстрагирование от других, несущественных для данного процесса признаков. Операция анализа формируется в неразрывной связи с операцией синтеза, а качество их сформированности в значительной мере зависит от технологии их формирования. При этом выявление сходства и различия форм и количественных характеристик объектов и групп объектов требует от ребенка умения проводить операции абстрагирования от несущественных признаков, сравнения и обобщения выделенных признаков, проведения аналогии с уже известными и освоенными понятиями и действиями и т.п. Таким образом важнейшим итогом предматематематической подготовки ребенка является не только и не столько накопление определенного запаса предметных знаний и умений, сколько умственное развитие ребенка, формирование у него необходимых специфических познавательных и умственных умений, которые являются базовыми для успешного усвоения в дальнейшем математического и любого другого обобщенного содержания.
В пункте 1.2. «Проблема преемственности в системе дошкольного и начального математического образования» кратко анализируется проблема преемственности дошкольного и начального математического образования в с современных личностно-деятельностных позиций.
Правильное понимание процессов преемственности имеет особое значение для анализа закономерностей развития того или иного процесса. С философской точки зрения, преемственность – это не только подготовка к новому, но, что более важно и существенно, сохранение и развитие необходимого и целесообразного старого, связь между новым и старым, как основа поступательного развития процесса.
Для образовательного процесса теоретическая разработка понятия преемственности является важнейшей проблемой, предваряющей собственно построение систем взаимосвязанных образовательных звеньев. Основные задачи, требующие решения на данном этапе, можно охарактеризовать следующим образом:
1. Определение общих и специфических целей образования на каждой из данных ступеней, и на основе поступательной взаимосвязи этих целей определение преемственных целей (сохраняющихся и развивающихся на обоих этапах).
2. Построение на этой основе единой взаимосвязанной и согласованной методической системы образования (целей, задач, содержания, методов, средств, форм организации) с обоснованием преемственных связей этих параметров на разных возрастных этапах.
3. Построение единой содержательной линии в предметных областях, согласующейся с обоснованием методической системы, и исключающей необоснованные содержательные перегрузки образовательных областей на дошкольном этапе, ориентацию на форсированное обучение (натаскивание) предметным знаниями умениям, дублирующее школьные программы, или не являющееся непосредственной пропедевтикой тех понятий и способов действий с объектами, с которыми ребенок столкнется в непосредственном ближайшем будущем при переходе в следующее образовательное звено.
Вторая глава: «Современное состояние теории и практики дошкольного математического образования» содержит анализ современного состояния проблемы математического развития ребенка младшего возраста.
Пункт 2.1. «Современные программы математического образования дошкольников» посвящен содержательному и методическому анализу современных программ математического образования дошкольников. Представленный в этом пункте анализ показал, что процесс создания альтернативных дошкольных программ математического образования во многих случаях не является приносящим пользу математическому развитию детей, поскольку ориентирован в большинстве случаев лишь на содержательную вариативность объема арифметических знаний и значительное расширение списка понятий, неперспективных с точки зрения обучения математике в начальных классах. Отсутствие реально работающих технологий математического развития ребенка дошкольного возраста делает разработку таких программ малопродуктивной, поскольку ее реализация в таком случае в основном зависит от индивидуальных возможностей педагога, а не от самой программы. Анализ показал, что отсутствие разработки методических аспектов современной методики математического развития ребенка дошкольного возраста при одновременном расширении границ арифметического содержания дошкольных программ математического образования приводит к тому, что воспитатели часто используют неподходящие, устаревшие и попросту неверные методические подходы к обучению детей этому материалу, поскольку не имеют методической подготовки к обучению математике на основе развивающих подходов. Это приводит к тому, что дети усваивают множество неадекватных представлений математического характера, и по приходу в школу детей необходимо переучивать, что, естественно, не является простым и легким процессом, связано с потерей времени, а также - потерей интереса детей к математике.
Отсутствие четкого разграничения целей дошкольной математической подготовки с целями школьными, приводит к тому, что в практической деятельности воспитатели и родители часто пытаются механически дублировать эти цели, причем, в связи с методической неподготовленностью к развивающему обучению математике, реально сводят процесс математического образования ребенка к заучиванию минимального объема математических знаний наизусть (состав числа, счет, табличное сложение и вычитание в пределах 10, решение некоторых типовых задач). При этом подобное положение вещей на практике не изменяется уже более полувека, несмотря на появление большого количества альтернативных программ математического образования дошкольников.
В пункте 2.2. «Проблема преемственности в современных программах математического образования дошкольников» анализируются способы и качество решения проблемы преемственности математического развития в современных программах математического образования дошкольников. Анализ показал, что основными путями решения этой проблемы авторы программ полагают содержательную подготовку детей к изучению арифметического материала в начальной школе. Отсутствие общего методологического подхода к проблеме математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста, ограничение методологии рамками частной методики формирования элементарных математических представлений и набора предметных знаний и умений в ДОУ приводит к нарушению преемственных связей в математическом развитии ребенка, к довольно низкой результативности дошкольной математической подготовки, а также к ситуации «методической неопределенности» для педагога, поскольку ни одна из альтернативных систем математического образования ребенка в ДОУ сегодня не предлагает педагогу действительно полноценную методическую систему математического развития ребенка. Это привело к тому, что педагоги ДОУ используют на практике методическую систему А.М. Леушиной, разработанную в 50-е годы. Использование этой системы для организации развивающего обучения математике в ДОУ требует на современном этапе значительной ее методической переработки.
Проведенный в главе 2 анализ подводит к мысли, что разработка полноценных программ математического образования дошкольников предполагает создание преемственной методической системы математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста, в основе которой лежат взаимосогласованные цели, методы, содержание, средства и формы в контексте развивающего подхода к обучению математике ребенка младшего возраста.
На основе проведенного в 1 и во 2 главах анализа в третьей главе: «Концепция математического развития ребенка младшего возраста» выявляются и формулируются теоретико-методологические основания концепции математического развития ребенка на дошкольном и начальном школьном этапе.
В пункте 3.1. «Математическое развитие ребенка как цель дошкольной и начальной математической подготовки» рассматриваются различные подходы к определению понятия «математическое развитие» ребенка. Проведенный анализ показывает, что понятие «математическое развитие» ребенка дошкольного и младшего школьного возраста, на практике часто ассоциируется с понятием «математические способности», имеющие природный характер. Успешность ребенка в освоении математического содержания во многих случаях связывается педагогами с наличием этих природных способностей у ребенка и отрицанием возможности методически влиять на эти способности. Как следствие, на практике часто наблюдается ориентация педагогов более на природные данные ребенка, чем на поиск и применение методик организации математического развития ребенка, обладающего слабыми природными способностями к математике.
Резюмируется, что понятие «математическое развитие» ребенка дошкольного и младшего школьного возраста не следует полностью ассоциировать с понятием «математические способности», имеющие природный характер. Успешность ребенка в освоении математического содержания во многих случаях связана с наличием этих природных способностей, но организация математического развития ребенка, обладающего слабыми природными способностями к математике, вполне возможна при условии применения соответствующих методик. При этом в одних случаях процесс целенаправленного математического развития ребенка будет приводить к дальнейшему развитию природных математических способностей, в других случаях – к оптимальному развитию необходимых для успешного усвоения математического содержания свойств и качеств мышления, в третьих случаях – к коррекции недостатков познавательного развития ребенка и создании предпосылок для более успешного усвоения математического содержания при дальнейшем обучении.
Обосновывается необходимость и возможность принятия направленности на математическое развитие ребенка как глобальной цели математического образования на дошкольном и начальном школьном этапе образования. Цель математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста – это стимуляция и развитие математического стиля мышления (соответствующих возрасту компонентов и качеств этого стиля мышления). В дошкольном возрасте сенситивным компонентом математического мышления является конструктивное мышление, а в младшем школьном возрасте основным компонентом математического мышления, сенситивным этому возрасту, является пространственное мышление.
При этом реализация целенаправленной работы по организации математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста требует научной и прикладной разработки технологии математического развития (содержание, методы, средства, формы) и не может рассматриваться как полностью зависящая от уровня подготовки педагога, его опыта и его возможностей в конструировании авторских методик в соответствии с собственными воззрениями в области математического развития ребенка, поскольку, как показывают исследования, большинство педагогов полагают, что организовывать математическое развитие следует только в отношении детей, имеющих математические способности от природы.
В пункте 3.2. «Влияние математического стиля мышления на личностное развитие ребенка» рассматривается влияние математического развития на личностное развитие ребенка. Показано, что целенаправленная работа по организации математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста будет способствовать общему повышению уровня развития интеллектуальных (умственных) способностей каждого ребенка, что в свою очередь благоприятно отразится на успешности обучения детей предметному содержанию. Эта работа будет также способствовать личностному развитию ребенка, поскольку такие качества математического стиля мышления как целеустремленность, критичность, широта, гибкость, организованность, логичность и др. являются в то же время личностными характеристиками качеств ума и характера человека.
В пункте 3.3. «Отбор содержания для организации математического развития ребенка младшего возраста (психолого-педагогическое обоснование)» приводится психолого-педагогическое обоснование отбора содержания для организации математического развития ребенка младшего возраста. Базой для построения технологии математического развития следует полагать специфику развития мышления и восприятия ребенка младшего школьного возраста. С этой точки зрения, наполнение содержания математического образования дошкольников геометрическим материалом позволяет на начальных этапах опираться на сенсорные способности (восприятие) ребенка, поскольку адекватные модели практически всех геометрических объектов можно дать ребенку в руки для непосредственного исследования и экспериментирования уже на этапе раннего детства. Пространственные характеристики, форма и размер объектов проще поддаются вещественному и затем графическому моделированию, тогда как количественные характеристики (число) удобнее моделировать знаками и символами. С этой точки зрения, геометрическое содержание более соответствует «детскому способу» вхождения в математику, чем арифметическое.
В четвертой главе: «Методические вопросы процесса математического развития дошкольников и младших школьников» рассматриваются вопросы построения методической системы математического развития ребенка младшего возраста на уровне образовательной технологии.
В пункте 4.1. «Моделирование как образовательная технология математического развития дошкольников и младших школьников» доказано, что в качестве общей методологии математического развития ребенка младшего возраста может быть рассмотрено моделирование. Являясь специфической опосредованной формой мышления, моделирование, будучи сформировано в специальном обучении, выступает впоследствии как универсальная, общая интеллектуальная способность ребенка, а для дошкольника - и как основное средство продуктивной интеллектуальной деятельности. В математике использование этой методологии требует построения сенсорно воспринимаемых ребенком адекватных моделей изучаемых понятий, а также построения системы моделирующих действий ребенка, связанных не только с изучением предлагаемой ему модели, но и позволяющих ребенку самому построить модель этого понятия, и через процесс ее построения осознать основные свойства и отношения изучаемых математических объектов. При таком подходе к формированию начальных математических представлений учитывается не только специфика математики – науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов, но и происходит обучение общим способам деятельности с математическими моделями реальной действительности и способам построения этих моделей.
Являясь общим приемом изучения действительности, моделирование позволяет эффективно формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логического мышления. Таким образом, можно считать, что данный подход будет обеспечивать формирование и развитие математического мышления ребенка. Данный методический подход к обучению математике на дошкольном этапе является преемственным и способствующим математическому развитию ребенка на дошкольном и начальном школьном этапах обучения, поскольку ориентирован на эффективное достижение тех же целей, что и процесс обучения математике в школе.
В пункте 4.2. «Методические принципы отбора содержания курса «Математическое развитие дошкольников» формулируются методические принципы отбора содержания курса «Математическое развитие дошкольников». Предлагаемый подход к построению методики математического развития ребенка дошкольного возраста позволяет сформулировать основные принципы отбора содержательного материала курса: принцип реализации модельного подхода к обучению, т.е. необходимости представления понятий в виде вещественных и графических моделей, обеспечивающих наглядно-действенный и наглядно-образный характер обучения; принцип системности, обеспечивающий взаимосвязь изучаемых математических понятий; принцип преемственности, обеспечивающий целенаправленный процесс математического образования ребенка по возрастам и подготовку к изучению математики в школе.
Построение программного списка дидактических единиц на основе предлагаемых принципов позволяет построить четко соблюдаемую спиралевидно расширяющуюся систему математических понятий. При таком построении программы соблюдается последовательность в изучении математических понятий и отношений между ними не в смысле линейной последовательности (одно за другим последовательно, что ведет к значительному расширению списка изучаемых понятий по годам обучения), а в смысле расширения последовательности изучаемых связей и отношений между понятиями. Построение программного содержания обучения математике дошкольников на основе сформулированных принципов позволяет также реализовать на этом содержании методическую систему целенаправленного математического развития дошкольников при соблюдении требований преемственности и непрерывности математического образования между дошкольным и начальным звеном: отсутствие «тупиковых» тем, математическая корректность программы, отсутствие перегрузок и неоправданных заимствований из школьной программы, методическая согласованность образовательного процесса, исключающая переучивание ребенка на следующей образовательной ступени.
Сформулированные принципы позволяют разработать содержательную базу процесса математического развития ребенка, обеспечивающую преемственные связи дошкольной и школьной ступеней в системе развивающего образования в едином контексте математического развития ребенка.
В пункте 4.3. «Основные направления математического развития младших школьников» Рассмотрены основные направления математического развития младших школьников. Дан анализ содержания учебников математики типов упражнений в учебниках математики для начальных классов, показывающий, что они не обеспечивают ни содержательно, ни методически процесс развития пространственного мышления ребенка младшего школьного возраста.
Сформулированы методические принципы отбора содержания для организации математического развития младших школьников: принцип реализации модельного подхода к обучению, т.е. необходимости представления понятий в виде вещественных и графических моделей, обеспечивающих наглядно-образный характер обучения; принцип системности, обеспечивающий взаимосвязь изучаемых математических понятий; принцип преемственности, обеспечивающий целенаправленный процесс математического образования ребенка и подготовку к изучению математики в средней школе. Использование единых принципов построения содержания математического развития дошкольников и младших школьников позволяет делает их преемственными, а также позволяет реализовать преемственность обучения математике со средней школой.
Обосновано, что, поскольку преобладающим видом мышления у большей части детей младшего школьного возраста является наглядно-образное мышление, которое является необходимой базой для формирования и развития пространственного мышления, можно считать, что младший школьный возраст является крайне важным периодом для формирования этого вида мышления. Таким образом, основная направленность процесса математического развития ребенка в начальной школе должна быть ориентирована на развитие пространственного мышления. Эта направленность требует организации целенаправленного развития трех типов пространственного оперирования, характерных для пространственного мышления человека. Вторым важным направлением математического развития младших школьников является подготовка к развитию логического понятийного мышления. Возможный вариант осуществления этого развития через систему конструктивных заданий, построенных на геометрическом материале, рассмотрен в главе 5.
Таким образом, проведенный в главах 3 и 4 анализ позволяет выявить и сформулировать теоретико-методологические основания концепции математического развития ребенка на дошкольном и начальном школьном этапе. Охарактеризуем эти основания:
«Концепция математического развития ребенка младшего возраста» представляет собой систему взглядов на психолого-дидактическое обоснование, цели, содержание, способы и средства организации непрерывного целенаправленного преемственного математического развития ребенка на дошкольном и начальном школьном этапе обучения. Она выражает необходимость и возможность методического руководства процессом развития математического мышления и математических способностей ребенка младшего возраста.
Психолого-дидактическим обоснованием концепции является своеобразие возрастного развития познавательных и когнитивных процессов ребенка младшего возраста, обусловленное тем, что в возрасте 3-5 лет ведущим типом мышления ребенка является наглядно – действенный тип, а в возрасте 6 –10 лет – наглядно-образный тип мышления. Возраст 10 –12 лет является переходным к ведущему абстрактному (словесно-логическому) типу мышления. Это обусловливает необходимость использования для организации математического развития ребенка на каждом из обозначенных этапов соответствующего содержания и методологии, максимально соответствующих «детскому способу» вхождения в математику оптимально возрасту ребенка. В исследовании доказано, что главным направлением организации математического развития ребенка дошкольного возраста является целенаправленное развитие конструктивного мышления, а ребенка младшего школьного возраста – развитие пространственного мышления. Эти виды математического мышления сенситивны указанным возрастам, и потому наиболее чувствительны к методическому развивающему воздействию педагога.
Методологическим обоснованием концепции является выбор в качестве ведущего метода обучения детей математическому содержанию метода моделирования, с преимущественным использованием на каждом возрастном этапе того вида моделирования, который более всего соответствует возрастным особенностям развития мышления и других познавательных процессов. В возрасте 3-5 лет - это конструирование (вещественное моделирование), в возрасте 6-10 лет – это сочетание конструирования с графическим моделированием с постепенным перенесением акцента на второе, в возрасте 10-12 лет – это графическое моделирование с элементами конструирования там, где необходимо практическое приложение знаний и умений ребенка в математике, и с элементами логико-символического моделирования (знакового и символьного) в качестве подготовки к переходу ребенка на ведущий словесно-логический (абстрактный) тип мышления в старшем возрасте. Такой подход к выбору ведущего метода обучения обеспечивает эффективное развитие приемов умственной деятельности у ребенка (анализа, синтеза, абстрагирования, обобщения и др.), развитие практико-ориентированной интуиции в применении математических знаний, самостоятельности в учебно-познавательной деятельности и таких качеств математического мышления как гибкость, критичность, активность, целенаправленность и др.
В свою очередь, модель изучаемого математического понятия или отношения играет роль универсального средства изучения свойств математических объектов. При этом наиболее целесообразным содержанием для организации процесса непрерывного математического развития ребенка младшего возраста является геометрический материал, поскольку модель геометрического понятия или отношения можно построить в любом необходимом виде (вещественном, графическом, символьном) в соответствии с целями обучения и возможностями и особенностями восприятия ребенка в каждый из указанных возрастных этапов. Логическая структурная стройность геометрического содержания позволяет выстроить систему необходимых логико-конструктивных заданий для детей всех указанных возрастов с целью организации их математического развития. При этом такая система позволяет адресовать процесс математического развития любому ребенку (как математически способному, так и ребенку без особых исходных возможностей в освоении математики). Опыт практической реализации предлагаемой системы показал ее высокую эффективность при организации математического развития детей с различными природными данными: во всех случаях наблюдалось значительное продвижение ребенка по пути математического развития.
Практический блок концепции, определяющий организационно-методическое обеспечение системы математического развития ребенка младшего возраста рассмотрен в пятой главе: «Методическое обеспечение математического развития дошкольников и младших школьников». В ней представлена целостная образовательная технология математического развития ребенка дошкольного возраста, в соответствии с принятым возрастным делением на группы в детском саду, в виде учебно-методических комплектов, включающих в себя материалы для организации конструктивно-моделирующей деятельности детей на математическом занятии и описания материалов и способов методической деятельности с ними педагога. В этой же главе рассматривается образовательная технология математического развития ребенка младшего школьного возраста на период его обучения в начальных классах в виде учебно-методического комплекта, включающего в себя материалы для организации конструктивно-моделирующей деятельности детей на уроках и описания материалов и способов методической деятельности с ними педагога.
В пункте 5.1. «Развитие конструктивного мышления дошкольника как основа его математического развития» приводится обоснование необходимости развития конструктивного мышления дошкольника как основы его математического развития. Тесная взаимосвязь между конструктивным и пространственным мышлением позволяет обоснованно высказать предположение о том, что в дошкольном возрасте развитие конструктивного мышления есть способ и средство стимуляции и развития пространственного мышления, которое, в свою очередь, является неотъемлемой составляющей математического стиля мышления. Под конструированием будем понимать вещественное моделирование различных объектов, понятий и отношений. Под обучением конструированию имеется в виду формирование общих конструктивных умений и развитие на этой базе конструктивного стиля мышления. Цель обучения конструированию – научить первичным приемам моделирования на самом простом наглядно-действенном уровне, т. е. уровне, соответствующем наглядно-действенному мышлению детей 3-5 лет и образному мышлению детей 6-10 лет.
При таком подходе к процессу формирования пространственного мышления дошкольника появляется возможность формировать базу первоначальных образов понятий (образов памяти) и образов способов действий (образов операций) через доступную ребенку деятельность конструирования с вещественными моделями. Процесс интериоризации этой деятельности как в виде отдельных операций, так и общих способов действий будет способствовать накоплению запаса образов, стимулирующих развитие пространственного мышления ребенка.
Рассматривая конструирование как частный, специфический вид такого общего способа деятельности с математическими понятиями и отношениями, как моделирование, предполагается выстроить формирование конструктивных умений у ребенка в процессе моделирования изучаемых математических понятий и отношений. С другой стороны, возможность воплощения изучаемого понятия или отношения в вещественной модели (макете, конструкции) позволяет сформировать у ребенка адекватное представление об абстрактном объекте на наглядно-действенном уровне и наглядно-образном уровне, что является наиболее соответствующим его возможностям и потребностям. При реализации конструктивного подхода к математическому развитию дошкольников необходимо привести конструктивную деятельность ребенка в соответствие с требованиями к построению учебных моделей понятий и этапами формирования умственных действий. Наиболее удобным математическим содержанием для реализации данной задачи является материал геометрического характера. Этот материал позволяет построение двухэтапного использования конструктивной деятельности ребенка с геометрическими образами (вещественного и графического).
В пункте 5.2. «Система логико-конструктивных заданий на математическом содержании как основа организации деятельности на математическом занятии при работе с детьми дошкольного возраста» рассмотрена методика построения системы логико-конструктивных заданий на математическом содержании как основы организации деятельности на математическом занятии при работе с детьми дошкольного возраста. Показано, что средством организации математического развития дошкольников является система логико-конструктивных заданий на математическом содержании. Суть методики, состоит в том, чтобы через систему специальных заданий и упражнений организовать ситуацию, позволяющую формировать и развивать у ребенка именно логические структуры в процессе знакомства с математическим содержанием. Сочетание такой работы с системой заданий, активно развивающих мелкую моторику, т. е. заданий логико-конструктивного характера, является фактором, активно влияющим на математическое развитие дошкольника.
В пункте 5.3. «Организация математического развития младших школьников» рассматривается методическое обеспечение математического развития младших школьников на примере использования геометрического материала. Решение проблемы организации деятельности учащихся начальных классов в процессе изучения математических объектов видится в разработке системы учебных заданий логико-конструктивного характера, включающих оперирование знаниями для всех этапов обучения в начальной школе (четыре года обучения).
Основным методом, используемым в процессе математического развития младших школьников при формировании геометрических представлений должна являться собственная моделирующая деятельность ребенка с адекватными (целесообразными) моделями изучаемых понятий и отношений. Сама же деятельность ребенка направлена на формирование пространственного мышления посредством моделирования пространственных отношений различных типов. Такая организация деятельности способствует общему математическому развитию ребенка, включающему развитие образного и абстрактно-логического мышления.
В шестой главе: «Организация и результаты экспериментального обучения» содержатся описание и анализ экспериментальной апробации предлагаемой технологии в детском саду и в начальной школе, а также некоторые итоги внедрения результатов данного исследования в процесс повышения квалификации педагогов ДОУ и средней школы и в процесс обучения студентов педагогических специальностей. За прошедший период (1990 – 2003 г.) был накоплен значительный опыт организации математического развития дошкольников и младших школьников. Сравнивать результаты обучения математике в ДОУ в экспериментальных и контрольных группах и в экспериментальных и контрольных классах в начальной школе при применении предлагаемой технологии в различных традиционных и альтернативных вариантах затруднительно, так как требования и критерии могут быть сопоставимы либо на уровне «знаниевого» подхода, либо на уровне качественного описания результатов экспериментального обучения.
Для определения эффективности разработанной методической системы мы применяли сравнение успеваемости учащихся экспериментальных и контрольных классов. Немаловажной была для нас и экспертная оценка учителей начальной школы, которые отмечают возросший интерес к изучению математики учащихся, занимающихся по разработанным материалам, а также повышение качества их знаний, особенно обобщенности и осознанности. Еще более значимыми мы полагали экспертные оценки учителей математики, принимающих экспериментальные классы: многие из них отмечали значительное отличие в уровне математического развития в экспериментальных классах. Большее количество расположенных к математике и хорошо успевающих в ней детей в этих классах отмечалось на протяжении всех лет эксперимента. При этом ни о каком предварительном отборе детей в эти классы речи не шло.
Из числа школ случайным образом были выбраны несколько из тех, которые участвовали в экспериментальном обучении. В первую очередь нас интересовали интегрированные оценки знаний учащихся и их сравнение с оценками учащихся контрольных классов. Контрольные классы, которые не участвовали в экспериментальном обучении, были выбраны в тех же школах. Приведем некоторые результаты контрольных срезов в трех случайно выбранных экспериментальных и трех контрольных классах, из которых экспериментальные классы занимались по программе «Наглядная геометрия» в начальной школе (начальный уровень подготовленности детей во всех классах в 1 классе был практически одинаковым).
Поскольку учитель математики в каждой паре выбранных двух классов одной школы был один и тот же, разница в результативности может быть объяснена только уровнем математической подготовки классов. Безусловно, можно сказать, что такая разница объясняется уровнем профессионального мастерства учителя начальных классов, работавшего с детьми в начальной школе. Именно поэтому мы и отмечали сложность аргументации результатов экспериментальной работы ссылками на количественные показатели оценок знаний детей. В этой связи мы более склонны апеллировать к качественным оценкам учителей математики, принимающих экспериментальные классы. По отношению к приведенной выше таблице можно отметить, что такая картина является характерной для экспериментальных классов. Многолетняя практика реализации курса «Наглядная геометрия» в начальной школе подтверждает его положительную оценку учителями математики. В нашей практике неоднократно наблюдались случаи, когда к данному курсу уже в 5 классе обращались сами предметники – математики, реализуя его в 5-6 классах по материалам для начальной школы.
Более интересным примером является анализ динамики успеваемости контрольных и экспериментальных классов на протяжении некоторого периода после выпуска из начальной школы. Приведем пример такого анализа для трех случайно выбранных пар классов.
Как видно из приведенного графика на конец марта (3 четверть) шестого класса картина достаточно наглядная. Изначально (в 1 классе) пары выбранных для сравнения классов были в целом равными по подготовке. При этом можно отметить, что по сравнению с общешкольными показателями, успеваемость в этих классах была значительно выше. Однако в целом, экспериментальные классы закончили начальную школу с более высокими показателями успеваемости по математике (следует отметить, что характерный «пик» падения успеваемости в IV четверти в 5 классе объясняется особенностями региона: резкой общей ослабленностью детей после «выхода» из полярной ночи и весенним витаминным и кислородным «голоданием», характерным для заполярного региона; однако при этом в экспериментальных классах пик менее резко выражен). При этом можно видеть, что этот более высокий потенциал экспериментальные классы продолжают сохранять в течение всего пятого и шестого классов (учитель математики у каждой пары выбранных классов один и тот же), хотя общеизвестно, что обычно в большинстве случаев выпускники начальной школы в пятом и шестом классе имеют по математике более низкую успеваемость, чем в начальной школе. Таким образом, можно высказать уверенность в том, что рассматриваемый подход, реализованный в период обучения в начальной школе, играет также роль адаптационного для детей, переходящих из начальной школы в среднюю.
Далее в главе рассмотрены результаты работы с детьми дошкольного возраста.
Эксперимент в работе с дошкольниками проводился также в несколько этапов. На первом этапе автор исследования лично проводил систему занятий с дошкольниками на протяжении пяти лет в условиях обычного детского сада и специально созданных групп развития, систематизируя и разрабатывая материал для развивающей работы с дошкольниками от 3 до 6-7 лет. На втором этапе были разработаны методические материалы для воспитателей ДОУ, представлявшие собой методические разработки занятий для детей всех возрастов (от 3 до 6 лет). Эти методические материалы предоставлялись воспитателям через курсы повышения квалификации и различные проблемные семинары с использованием ежегодно издаваемых методических пособий. С 1999-2000 гг. издаются тетради на печатной основе для организации индивидуальной работы с детьми дошкольного возраста, они содержат материал для развития основных компонентов и качеств математического мышления в соответствии с возрастными особенностями дошкольников.
Сравнение экспериментальных данных проводилось различными методами. Одним из основных мы считали экспертную оценку воспитателей, методистов и учителей начальной школы, принимающих этих детей в 1 класс, а также школьных психологов. Все они отмечают, что использование разработанных в ходе исследования материалов делает процесс математического развития ребенка ясным и понятным педагогу, не требует отвлечения на техническую сторону процесса, позволяя сосредоточиться на индивидуализации обучающего процесса. Воспитатели также отмечают интерес детей экспериментальных групп к математике и желание заниматься дополнительно. В свою очередь, школьные учителя отмечают, что у детей экспериментальных групп очень качественная подготовка к изучению школьного курса математики (в том числе и с содержательной стороны), и при этом эти дети практически всегда получают на входном тестировании высший балл по логике. К сожалению, традиция такова, что логическое развитие учителя начальных классов полагают более значимым, чем развитие пространственного мышления, поэтому тестирование на уровень сформированности этого вида мышления на вступительных тестированиях обычно не проводят. Но вот проверку зрительно-моторной координации проводят практически всегда, и ее результаты дают очень высокие показатели у детей экспериментальных групп. В психологии известно, что уровень развития зрительно-моторной координации значимо связан с уровнем развития пространственного мышления, но представляет собой, кроме того, сложный комплекс моторного характера, от уровня развития которого зависит овладение письмом.
Приведем выборочные результаты контрольных срезов математического развития дошкольников, проводившихся в разные годы в произвольно выбранных детских садах. Для этой цели была разработана серия проверочных заданий, которая включала в себя элементы стандартного тестирования на уровень сформированности математических представлений дошкольников (количественные представления, счет), а также специальные задания, направленные на выявление таких показателей математического развития как сформированность приемов умственных действий (анализ, синтез, обобщение); уровень развития внимания, восприятия и памяти в связи с количественной оценкой ситуации; уровень развития восприятия и образной памяти в связи с распознаванием и комбинированием геометрических фигур; умение распознавать и выстраивать логическое следствие по предлагаемой ситуации; конструктивные умения. Содержание системы заданий и пояснения к ней приводятся в главе 6. В 1996-97 гг. тестирование проходили 263 ребенка из различных детских садов. Его результаты следующие.
Тестирование повторялось несколько лет подряд, и данные результатов этих тестирований приводятся в главе. Здесь приведем его данные за последний год (194 ребенка):
Сравнение диагностических карт, приведенное в главе 6, показало, что результаты тестирования от 1996 к 1999 году значительно возросли, а в течение 1999-2003гг. держатся практически на одном уровне с незначительными колебаниями. Мы объясняем это тем, что уровень методического мастерства воспитателей в работе по данной программе существенно повысился; воспитатели хорошо освоили методику и содержание программы и поэтому могут полностью посвятить свою методическую деятельность ребенку, не отвлекаясь на сложности содержательного и методического характера. Кроме того, с 1999 года рассматриваемая работа стала подкрепляться тетрадями на печатной основе, содержащими материал для организации индивидуальной работы с детьми.
Таким образом, мы полагаем, что представленный количественный анализ, несмотря на свою простоту, хорошо показывает, что уровень математического развития детей (в виде характерных компонентов математического стиля мышления) при работе педагога по предлагаемым материалам значительно повышается именно по тем параметрам, которые при любых условиях считаются характеризующими способности ребенка к успешному усвоению математического содержания в начальных классах. Анализ дальнейшей успешности этих детей в школе по математике показывает, что на протяжении начальной школы эти дети успешно справляются с программой. Учителя отмечают хорошую подготовку детей и стабильно высокую успеваемость по математике в процессе обучения в начальной школе. Многие из детей, обучавшихся по этой программе, поступают в гимназические классы, при этом, как правило, отмечаются высокие результаты тестирования этих детей по математике и логике. Даже в тех случаях, когда по своим склонностям или желанию родителей, дети поступают в различные гуманитарные гимназии, математика не является для них проблемным предметом на протяжении всего периода обучения в начальной школе. Если при этом, они попадают в классы, где учитель продолжает работать по разработанной в исследовании программе, то работа над математическим развитием ребенка приобретает непрерывный преемственный характер и часто в этих случаях учителя математики отмечают детей таких классов, называя их «совсем другие дети».
В главе также приведены некоторые результаты работы диссертанта с органами народного образования, с воспитателями детских садов, учителями начальных классов и учителями математики в системе повышения квалификации работников образования.
Приложения содержат некоторые примеры методических материалов, разработанных в ходе экспериментальной работы:
- листы на печатной основе из тетрадей для организации математического развития дошкольников;
– листы на печатной основе из тетрадей для организации математического развития младших школьников.
Основные результаты исследования
В результате проведенного теоретического исследования, педагогических методических экспериментов и опыта внедрения полученных практических разработок, предложены возможные решения поставленных задач:
1. Проведен теоретический анализ проблемы создания системы непрерывного математического образования на дошкольной и начальной ступени на основе современного понимания реализации преемственности между дошкольным и начальным звеньями системы образования. Обоснована необходимость построения этой системы на основе единого методического подхода к пониманию процесса математического развития ребенка. Сформулировано положение о том, что для образовательного процесса теоретическая разработка понятия преемственности является важнейшей проблемой, предваряющей собственно построение систем взаимосвязанных образовательных звеньев. Сформулированы основные задачи, требующие решения на этапе подготовки к созданию концепции непрерывного математического развития ребенка младшего возраста.
2. В исследовании были проанализированы различные взгляды на возможность построения единого методического подхода к построению концепции математического развития ребенка младшего возраста, и в качестве оптимальной базы построения этой концепции выбрана методология моделирования математического содержания средствами, адекватными восприятию ребенка соответствующего возраста. При этом структура мыслительного процесса и специфика его протекания у ребенка дошкольного возраста должна учитываться как при выборе уровня материализации модели, так и при разработке системы моделирующих действий ребенка с ней, что является собственно искомой методикой (технологией) обучения ребенка данному предметному (моделируемому) содержанию.
3. Включение в учебный процесс систематической работы ребенка с адекватными моделями изучаемых понятий, а также построение системы моделирующих действий ребенка, связанных не только с изучением предлагаемой ему модели, но и позволяющих ребенку самому построить модель этого понятия, и через процесс ее построения осознать основные свойства и отношения изучаемых математических объектов, позволяет учитывать не только специфику математики – науки, изучающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов, но и осуществлять обучение ребенка общим способам деятельности с математическими моделями реальной действительности и способам построения этих моделей. Система моделирующих действий ребенка в этом случае направлена как на формирование начальных математических представлений, так и на формирование общей способности к моделированию изучаемых объектов. Во всех этих случаях использование моделей и моделирования играет важнейшую роль внешней материализованной опоры нового умственного действия, по типу которой оно будет строиться у ребенка. Методическая задача заключается в том, чтобы найти материализованную форму этого действия и построить систему моделирующих действий ребенка в соответствии с ее действительным содержанием, что обеспечит интериоризацию (переход во внутренний план) адекватного образа действия или образа понятия.
Предлагаемый подход к изучению математики позволяет эффективно формировать у ребенка такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие словесно-логического мышления. Фактически данный подход как раз и обеспечит формирование и развитие того, что называют математическим стилем мышления.
4. В соответствии с выбранной методологией был проведен анализ содержания математического образования дошкольников и младших школьников с точки зрения его соответствия закономерностям построения моделирующей деятельности при обучении ребенка математике. Данный анализ показал наибольшее соответствие данного методу геометрического содержания. Работа на геометрическом материале (базовыми компонентами которого являются фигуры и тела, расположенные на плоскости и в пространстве) позволяет уже на начальных этапах опираться на сенсорные способности ребенка, поскольку адекватные модели практически всех геометрических объектов можно дать ребенку в руки для непосредственного исследования и экспериментирования уже на этапе раннего детства.
Пространственные характеристики, форма и размер объектов проще поддаются вещественному и затем графическому моделированию (а, следовательно, могут восприниматься на чувственном уровне непосредственно), тогда как количественные характеристики удобнее моделировать знаками и символами. С этой точки зрения, геометрическое содержание более соответствует «детскому» способу вхождения в математику, чем арифметическое.
5. Такой подход позволяет построить качественно иную систему отбора содержания для постепенной адаптации дошкольника к миру математических абстракций. Преимущественная работа с геометрическим содержанием позволяет использовать вещественные и графические модели понятий и отношений между ними, дает возможность реализовать и первый, и второй принципы построения развивающего обучения дошкольников: опора на чувственный опыт и постоянное экспериментирование с моделями понятий.
6. Сформулированы принципы отбора содержания курса «Математическое развитие дошкольников», и в соответствии с этими принципами разработана программа курса. Установлено, что оптимальным направлением математического развития дошкольников является акцентуализация развития конструктивного мышления ребенка, а оптимальным средством организационно-методического характера является система логико-конструктивных заданий на математическом содержании. В соответствии с этим разработана методическая система математического развития дошкольников.
7. Сформулированы принципы отбора содержания для организации математического развития младших школьников. Установлено, что оптимальным направлением математического развития младших школьников является акцентуализация развития пространственного мышления ребенка с постепенным усилением ( к 4 классу) логико-символической составляющей теоретического вида мышления, а оптимальным средством организационно-методического характера является система логико-конструктивных заданий на математическом содержании. Разработанная методическая система математического развития младших школьников реализована на геометрическом содержании в виде учебно-методического комплекта.
В рамках поставленных задач выполненное диссертационное исследование можно считать завершенным. В ходе исследования частные гипотезы подтвердились и тем самым генеральная гипотеза может считаться доказанной.
Таким образом, для проблемы нашего исследования математического развития ребенка дошкольного и младшего школьного возраста предложено возможное решение: непрерывная преемственная методическая система математического развития ребенка в системе дошкольного и начального школьного образования.
Многолетняя апробация разработанной в ходе исследования системы хорошо себя зарекомендовала и подтвердила ее практическую значимость. В то же время, резюмируя содержание исследования и разработанного учебно – методического комплекса, мы остро чувствуем лишь относительный характер его завершенности. Рассматриваемое нами направление открывает перспективы для многолетних исследований сложнейших психолого-дидактических и методических проблем организации индивидуализированного процесса математического развития ребенка и исследования влияния этого развития на личностное становление индивида.
Основное содержание и результаты исследования опубликованы в 103 работах автора общим объемом более 150 п.л., в том числе:
Монографии и книги:
Развитие математических способностей дошкольников: вопросы теории и практики. Монография. Воронеж : “МОТЭК“. – 2003. – 352 с.
Развивающие технологии в дошкольном математическом образовании. Практико-ориентированная монография. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 320с.
Математическое развитие дошкольников: вопросы теории и практики. Курс лекций. М.: “Владос”. –2003. – 436 с.
Обучение решению задач в начальной школе. Книга для учителя. М.: “Русское слово”. – 2003. – 287с.
Математика. Справочно-методическое пособие для учителей начальных классов. М.: “Астрель”. – 2003.– 294 с.
Дошкольная математическая подготовка. Книга для воспитателя. Мурманск: “Пазори”. – 2001. – 198 с.
Учебники и учебные пособия.
Наглядная геометрия в 1 классе. Тетрадь 1. Учебное пособие. Мурманск: МГПИ. – 1998. – 56с.
Наглядная геометрия в 1 классе. Тетрадь 2. Учебное пособие. Мурманск: МГПИ. – 1998. – 44с.
Наглядная геометрия во 2 классе. Тетрадь 1. Учебное пособие. Мурманск: МГПИ. – 1998. – 44с.
Наглядная геометрия во 2 классе. Тетрадь 2. Учебное пособие. Мурманск: МГПИ. – 1998. – 44с.
Задачник-справочник по наглядной геометрии для ученика 3 класса. Мурманск: МГПИ. – 1999. – 120с.
Задачник-справочник по наглядной геометрии для ученика 4 класса. Мурманск: МГПИ. – 1999. – 130 с.
Математика и конструирование. Тетрадь с заданиями для детей 4-5 лет. Мурманск: МО ИПКРО. – 2000. – 79 с.
После трех еще не поздно! Тетрадь с заданиями для детей 3 –4 лет. Мурманск: МО ИПКРО. – 2000. – 44 с.
Готовимся к математике. 360 заданий для подготовки к успешному изучению математики в школе. Тетрадь с заданиями. Мурманск: МО ИПКРО. – 2001. – 136 с.
Математика и конструирование. Тетрадь с заданиями для детей 5-6 лет. Мурманск: МО ИПКРО. – 2001. – 95 с.
Математика и конструирование в 1 классе. Книга для учителя. Мурманск. МО ИПКРО. – 2001. – 150 с.
Математика и конструирование в 1 классе. Тетрадь 1. Мурманск: МО ИПКРО. – 2001. – 34 с.
Математика и конструирование в 1 классе. Тетрадь 2. Мурманск: МО ИПКРО. – 2001. – 46 с.
Наглядная геометрия в 3 классе. Тетрадь 1. Мурманск: МО ИПКРО. – 2001. – 56 с.
Наглядная геометрия в 3 классе. Тетрадь 2. Мурманск: МО ИПКРО. – 2002. – 64 с.
Методические пособия:
Развитие младших школьников в процессе обучения решению задач. Методические рекомендации к спецсеминару для студентов 3 – 4 курсов факультета подготовки учителей начальных классов. Мурманск: МГПИ, 1990. – 56 с.
Моделирование как основа формирования умения решать задачи. Методические рекомендации для учителей начальных классов. Мурманск: ИПК. – 1991. – 64 с.
Математика и конструирование в 1-2 классе четырехлетней начальной школы. Методическое пособие. Мурманск: ИПК. – 1991. – 120 с.
Математика и конструирование в 3 классе четырехлетней начальной школы. Методическое пособие. Мурманск: ИПК. – 1993. – 78 с.
Математика и конструирование в 4 классе четырехлетней начальной школы. Методическое пособие. Мурманск: ИПК. – 1994. – 96 с.
Индивидуальная работа с детьми в начальных классах. Часть 1. Методическое пособие для учителей начальных классов. Мурманск: МГПИ. – 1997. – 120с.
Индивидуальная работа с детьми в начальных классах. Часть 2. Методическое пособие для учителей начальных классов. Мурманск: МГПИ. – 1997. – 120 с.
Индивидуальная работа с детьми в начальных классах. Часть 3. Методическое пособие для учителей начальных классов. Мурманск: МГПИ. – 1998. – 78с.
Наглядная геометрия в 1 классе четырехлетней начальной школы. Часть 1. Методическое пособие для учителя начальной школы. Мурманск: МО ИПКРО. – 1999. – 48с.
Наглядная геометрия в 1 классе четырехлетней начальной школы. Часть 2. Методическое пособие для учителя начальной школы. Мурманск: МО ИПКРО. – 1999. – 52с.
Наглядная геометрия во 2 классе четырехлетней начальной школы. Методическое пособие для учителя начальной школы. Мурманск: МО ИПКРО. – 1999. – 64 с.
После трех еще не поздно! (Как развивать математические способности ребенка 3 – 4 лет.) Методическое пособие. Мурманск: МГПИ. – 1999. – 84 с.
Математика и конструирование для детей 4 – 5 лет. Методическое пособие. Мурманск: МО ИПКРО. – 2000. – 116 с.
Математика и конструирование для детей 5-6 лет. Методическое пособие. Мурманск: МО ИПКРО. – 2000. – 140с.
Наглядная геометрия в 3 классе четырехлетней начальной школы. Методическое пособие для учителя начальной школы. Мурманск: МО ИПКРО. – 2001. – 78с.
Развитие младших школьников в процессе обучения решению задач. Рабочая программа и методические рекомендации для учителей начальной школы. Мурманск: МО ИПКРО. – 2002. - 92.
Наглядная геометрия в 4 классе четырехлетней начальной школы. Методическое пособие для учителя начальной школы. Мурманск: МГПУ. – 2003. – 78с.
Научные и научно-методические статьи:
39. Моделирование в курсе «Математика и конструирование»// Начальная школа. – 1990. – № 9. – с.
40. Прием графического моделирования при обучении решению задач // Начальная школа. – 1991. – № 4. – с. 18 – 24.
41. Перспективы влияния курса «Математика и конструирование» в начальной школе на содержание и методику обучения геометрии в 5 – 6 классах / В сб. «Материалы областной научно-практической конференции «Развитие региональной системы образования». Мурманск: МО ИПКРО. – 1993. – с.
42. О курсе «Математика и конструирование» // Математике в школе. – 1994. – №5. – с.44 – 47.
43. Об использовании заданий на классификацию при формировании понятия о натуральном числе // Дошкольное воспитание. – 1995г. – №1. – с. 26 – 30.
44. О возможности построения системы развития математического мышления дошкольников / В сб. «Актуальные проблемы обучения и развития детей дошкольного возраста». Мурманск: МГПИ. – 1997. – с. 7– 16.
45. К вопросу о формировании и развитии математических способностей дошкольников / В сб. «Развитие детей дошкольного возраста как субъектов различных видов деятельности». Мурманск: МГПИ. – 1999. – с.
46. Методические спецдисциплины как фактор повышения профессиональной подготовки учителей начальных классов / В сб. «Подготовка специалистов в условиях моноуровнего образования». Мурманск: МГПИ. – 1999. – с. 50 – 57.
47. Почему школьникам так трудно дается геометрия? // Математика в школе. – 1999. – №6. – с.
48. Дошкольный возраст: формирование и развитие математических способностей // Дошкольное воспитание. – 2000. – №2. – с. 69 – 79.
49. Индивидуальная работа с ребенком как необходимое условие развития его личности // Вопросы психологии, – 2000. – №4. – с. 148 – 153.
50. К вопросу о развитии пространственных представлений и пространственного мышления младших школьников // Начальная школа: плюс – минус. – 2000. –№ 4. – с. 55 – 64.
51. Проблема организации индивидуальной работы с ребенком при изучении математики в начальных классах // Начальная школа: плюс – минус. – 2000.– №10. – с. 13 – 28.
52. Формирование математических способностей: пути и формы // Ребенок в детском саду. – 2001. – №1. – с. 5 – 18.
53. Формирование математических способностей: пути и формы ( продолжение) // Ребенок в детском саду. – 2001. – №2. – с. 9 – 26.
54. Индивидуальный подход в формировании и развитии математических способностей младшего школьника // Начальная школа: плюс – минус.– 2001.– №7. – с. 3 – 15.
55. Обучение математике с учетом индивидуальных особенностей ребенка // Вопросы психологии. – 2001. – №5. – с. 116 – 124.
56. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. – 2001. – №7. – с.
57. Пространственное мышление как необходимый элемент математического развития ребенка // «Новые подходы к пониманию сущности развивающего начального обучения». Межвузовский сборник научных трудов. Псков: ПГПИ. – 2001. – с. 185 – 192.
58. О путях создания преемственных программ обучения детей в детском саду и в начальной школе // «Личность, образование и общество в России в начале XXI века». Межвузовский сборник научных трудов. С-Пб: ЛОИРО. – 2001. – с.
59. Наглядная геометрия как средство развития мышления младшего школьника // Начальная школа: плюс – минус. – 2002. – №1. – с. 34 – 48.
60. Несколько замечаний о профессионализме в научно-методических изданиях // Дошкольное воспитание. – 2002. – №5. – с. 59 – 66 (в соавт.)
61. Современное понимание реализации преемственности между дошкольным и начальным звеньями системы образования // Начальная школа: плюс – минус. – 2002. – №7. – с. 3 – 11.
62. Методическое решение проблемы коррекции дефицитных школьно-значимых функций в начальном образовании (на материале математического образования) / «Детство в эпоху трансформации общества.» Материалы международной научно-практической конференции. Т. 2. Мурманск: МГПИ. – 2002. – с. 53 – 55.
63. Дошкольный возраст: формирование первичных представлений о натуральных числах // Дошкольное воспитание. – 2002. – № 8. – с. 30 – 40.
64. Дошкольный возраст: формирование первичных представлений о натуральных числах (продолжение) // Дошкольное воспитание. – 2002. – № 9. – с. 34 – 42.
65. Дошкольный возраст: формирование первичных представлений о натуральных числах (продолжение) // Дошкольное воспитание. – 2002. – № 10. – с. 17 – 26.
66. Дошкольный возраст: формирование первичных представлений о натуральных числах (окончание) // Дошкольное воспитание. – 2002. – № 11. – с. 20 – 25.
67. Дидактические и психологические основания построения преемственной программы математического образования дошкольного и начального звена / «Управление образованием: опыт, проблемы, тенденции». Сб. материалов межрегиональной научно-практической конференции. Т.2. Мурманск: МГПИ. – 2002. – с. 51 – 56.
68. Преемственность в математическом образовании дошкольников и младших школьников // «Человек. Общество. Государство». Сб. научных статей. Выпуск 7. Мурманск: МО ИПКРО. – 2002. – с. 3 – 11.
69. Методический семинар: обучение решению задач // Начальная школа: плюс-минус. – 2002. – №11. – с.
70. Задачи на построение в школьном курсе математики // Математика в школе. – 2002. – №9. – с. 47 – 51.
71. Учебно-методические проблемы развития инновационных образовательных технологий в обучении математике младших школьников // «Современные педагогические технологии в преподавании учебных дисциплин в процессе подготовки учителей начальных классов в системе заочного обучения». Сб. материалов международной научно-практической конференции. Часть 2. Мурманск: МГПИ. – 2002. – с. 83 – 87.
72. О коррекционно-развивающем обучении математике в начальной школе // Вопросы психологи. – 2002. – № 6. – с. 32 – 45.
73. О концепции математического развития дошкольников // Дошкольная педагогика. – 2002. – №5 (9).– с. 17 – 20.
74. Работа со способными к математике детьми как методическая проблема // Начальная школа. – 2003. – №1. – с. 44 – 54.
75. Методический семинар: вопросы семантического анализа текста задачи // Начальная школа: плюс до и после. – 2003. – №1.– с. 66 – 70.
76. Знакомство дошкольников с двузначными числами // Дошкольное воспитание, 2003. – № 4. – с.
Психолого-дидактические основы построения коррекционно-развивающего курса математики в ДОУ// Воспитание и обучение детей с нарушениями развития, 2003.– №2.– с. 2–8.
Организация и методика коррекционно-развивающего обучения математике в ДОУ// Воспитание и обучение детей с нарушениями развития, 2003. – №3.– с.
Примеры развивающих занятий для детей 1 и 2 коррекционной подготовительной группы на математическом материале // Воспитание и обучение детей с нарушениями развития, 2003. – №4. – с.
Преемственность в математическом образовании дошкольников и младших школьников// Начальная школа, 2003. – №4. – с. 68 – 72.
81. Подготовительная работа к обучению решению задач // Начальная школа: плюс до и после, 2003. – № 3.– с. 73 – 79.
82. Знакомство с простой задачей // Начальная школа: плюс до и после, 2003. – №4.– с. 13 – 23.
83. Знакомство с составной задачей // Начальная школа: плюс до и после, 2003. – №7.– с. 66 – 70.
84. Знакомство с арифметическими действиями // Дошкольное воспитание, 2003. – № 8. – с. 13 – 20.
85. Наглядная геометрия в 1 классе. Тетрадь 1. Для четырехлетней начальной школы. Учебное пособие. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 64 с.
86. Наглядная геометрия в 1 классе. Тетрадь 2. Для четырехлетней начальной школы. Учебное пособие. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 46 с.
87. Наглядная геометрия во 2 классе. Тетрадь 1. Для четырехлетней начальной школы. Учебное пособие. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 46 с.
88. Наглядная геометрия во 2 классе. Тетрадь 2. Для четырехлетней начальной школы. Учебное пособие. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 46 с.
89. Наглядная геометрия в 1 классе. Методическое пособие. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 108 с.
90. Наглядная геометрия во 2 классе. Методическое пособие. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 72 с.
91. Тетрадь для индивидуальной работы по математике в 1 классе. Тетрадь 1. Для четырехлетней начальной школы. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 64 с.
92. Тетрадь для индивидуальной работы по математике в 1 классе. Тетрадь 2. Для четырехлетней начальной школы. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 64 с.
93. Тетрадь для индивидуальной работы по математике в 1 классе. Тетрадь 3. Для четырехлетней начальной школы. М.: “Классик – Стиль”. – 2003. – 64 с.
94. Наглядная геометрия в 4 классе. Методическое пособие. Мурманск: МГПУ. – 2003. – 58 с.
95. Педагогические условия организации работы со способными к математике детьми в начальных классах // Наука и образование. Вестник МГПУ, 2003. – № 2. – с. 33 – 38.
ЛР № …….
Научное издание
БЕЛОШИСТАЯ Анна Витальевна
Математическое развитие ребенка
в системе
дошкольного и начального школьного образования.
АВТОРЕФЕРАТ
Подписано к печати ………..Формат 60х84/16. Печать офсетная. Бум. офс.
Гарнитура Times. Усл. печ. л. 2,3. Уч.– изд. л. 2,5. Тираж 120 экз. Заказ …
Отпечатано на полиграфическом участке МГПУ.
183038 г. Мурманск, ул. Коммуны, 9.
1 Концепция модернизации Российского образования на период до 2010 года // Вестник образования, 2002, Март 6. – с. 12.
2 Концепция содержания непрерывного образования (дошкольное и начальное звено) Проект // Начальная школа: плюс – минус, 2000, №8. – с. 8 – 26.
3 Там же. – с. 8.
2
3
4 Венгер Л.А. и др. Игры и упражнения по развитию умственных способностей у детей дошкольного возраста. – М., 1989. – с.3
5 Àáàøèíà Â.Â. Ïðîôåññèîíàëüíàÿ ïîäãîòîâêà áóäóùèõ ïåäàãîãîâ ê óïðàâëåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèì ðàçâèòèåì äåòåé äîøêîëüíîãî âîçðàñòà. Äèññ. êàíä. ïåä. íàóê. – Ñóðãóò, 1998. – ñ. 15
6 Фельдбаум А.А. Процессы обучения людей и автоматов / В кн. «Методы оптимизации автоматических систем». Под ред Я.З. Цыпкина. М., 1972. – с. 113.
7 «Ðàäóãà». Программа и руководство для воспитателей второй младшей группы детского сада. М.,1993.-ñ.141.
8 Леушина А.М. Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста. – М., 1974.