Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”
на
тему:
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В.Л.
Руководитель: профессор
Хабаров В.С.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.
“Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система
.
x=Ax+bx, s=c’x, (1)
где
x
и s
- в общем случае векторы (и, следовательно,
b и с - прямоугольные матрицы), а матрица
А не имеет собственных значений на
линейной оси. Предположим , что для
некоторого m,
£
m
£
система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива.
Для
абсолютной экпоненциальной устойчивости
системы (1) в классе М(
)
нелинейностей x=j(s,t),
удовлетворяющих условию
£
j(s,t)/s
£
(2)
достаточно, чтобы при всех w, -¥<w<+¥, выполнялось соотношение
Re{[1+
w)][1+W(jw)]}>0.
(3)
Круговой
критерий вытекает из квадратичного
критерия для формы F(x,s)=(s-x)(x-s).
Действительно, как было показано выше,
форма F(jw,x)
имеет вид
F(jw,x)=-Re{[1+W(jw)][1+W(jw)]}|x|
Из этой
формулы после сокращения на |x|
следует (3).
В
(3)
¹-¥
,
¹+¥.
Случай, когда либо
=-¥,
либо
=+¥
рассматривается аналогично.
Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(jw).
Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:
Re[(1+z)(1+z
)]£0,
если
¹-¥
,
¹+¥.
(4)
Re[(1+z)z]£0,
если
¹-¥
,
¹+¥.
(5)
Re[z(1+z)]£0,
если
¹-¥
,
¹+¥.
(6)
Пусть С()
- облость комплексной плоскости z,
определяемая этими условиями. Граница
В()
области определяемая уравнениями
получаемыми из (4)-(6) заменой знаков
неравенств равенствами. Для (4) получаем
окружность, проходящую через точки
-1/,
-1/
с
центром
на оси абсцисс,
причем область С будет внутренностью
этой окружности, если
>0,
т.е. если нелинейные характеристики
лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью,
если сектор ()
захватывает два смежных квадранта. Если
одна из границ сектора совпадает с осью
абсцисс, т.е. если
=0
или
=0
, то область С будет полуплоскостью, а
ее граница - вертикальной прямой,
проходящей соответственно через -1/
или -1/.
На
рисунке 1 показаны границы в плоскости
z для различного расположения секторов
()
в плоскости s,
x.
Там же изображены кривые W(jw),
w>0
для неособого случая, расположенные
так, что возможна абсолютная устойчивость.
Однако только приемлимого расположения
хаоактеристик W(jw)
еще недостаточно для суждения об
абсолютной устойчивости : кроме этого,
нужно еще потребовать, чтобы линейная
замкнутоя система была асимптотически
устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход s и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству
(s-x)(x-s)³0
(7)
Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.
А
Х Y
У
(P)
Z
(-)
G(p)
g
Рисунок 2.
Здесь W
(p)
- оператор линейной части системы,
которая может иметь в общем случае
следущий вид:
W(p)=
;
(8)
W(p)=
;
Алгоритм регулятора имеет вид:
y=Yx,
при gx>0
Y=
(9)
-
при gx<0,
g=(
В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:
=
,
=-
,
(10)
k
при g>0
где
=
-
k
при g<0,
g=c+;
=
.
Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при
W(p)=
в уравнениях (10) имеем:
(11)
а при W(p)=
имеем:
(12)
Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение
(13)
В
соответствии с изложенным одинаково
справедливо рассматривать в виде
структурной схемы на рис. 2 с известным
линейными операторами -
и G(p) или в виде формы Коши (10).
Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.
|x|=c
l
g y z
(-) x
G(p) W(p)
Рисунок 3.
Это
означает, что аналитической записи (10)
соответствуют два структурных
представления исследуемой СПС, причем
второе позволяет рассматривать систему
(10) как релейную систему с изменяемым
ограничение, когда
|x|
- var.
Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех w, изменяющихся от - ¥ до + ¥, выполнялось соотношение:
Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0,
а гадограф
mW(jw)+1
при
соответствовал
критерию Найквиста.
Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде
(4) и (5).
На
рис. 4 приведенны возможные нелинейные
характеристики из класса М()
и годографы W(jw),
расположенные таким образом, что согласно
(4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.
y ^
y=g
(
)
|x|
y=g
(при
=0)
>
0
“а” “б”
“в” “г”
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W(p)=,
когда
W(p)=
W(p)G(p),
G(p)=
p+1,
годограф W(jw) системы на рис. 5.
j
W(jw)
w=¥
>
<
=
w=0
Рисунок 5.
В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при
>
(14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову
а > 0 , y(t) > 0
и
a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование
y(t) > 0 (15)
поскольку,
согласно (11) и (13) a=a
=
.
Докажем это, используя условия существования скользящего режима
-k£y(t)=c
k
т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через
,
,
,
тогда получим
-£y(t)=
£
(16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при
=
,
y(t)=0
2) при
>
,
y(t)>0
3) при
<
,
y(t)<0,
что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.
|x|=c
l
g s
z
(-) x
G(p)
(p)
Рисунок 6.
В данном случае считаем что:
- варьируемая
величина,
=0.5,
=0.1
(анализ поведения системы при изменении
данного параметра исследуется в работе
ст-та Новикова, мы берем оптимальное
значение),
=0.1,1
(коэффициент обратной связи),
=10,100.
Рассмотрим теперь саму функцию:
W(p)=G(p)W(p),
где G(p) -
функция корректора, W(p)=
(p)W
(p),
где
(p)=
,
а W(p)
в свою очередь будет:
W(p)=
,
где
,
соответственно вся функция имеет вид:
W(p)=
;
Теперь заменяем p на jw и имеем вид:
;
Для построения гадогрофа выведем формулы для P(w), jQ(w) которые имеют вид:
P(w)=
;
jQ(
;
Графики можно посмотреть в приложении N 2.
Учитывая
, что добротность x
должна быть ³
0.5¸0.7
мы можем определить добротность нашей
системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо
видно, что из-за увеличения
и
,
x
уменьшается, можно сделать вывод, что
колебательность звена увеличиться. Это
можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в
приложении N 2.
Но
это не подходит по требованию нашей
задачи. Так как
>
, то можно сделать вывод, что коректор
будет влиять только на высоких частотах,
а на низких будет преобладать
,
что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4.
На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать
минемальные значения
,
это значит что, при этих значениях будет
максимальные значения полки
нечувствительности релейного элемента.
Минемальные
значения полки нечуствительности можно
наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно
при минемальном значении
.
Приложение N 1.
Программа для построения годографов на языке программирования
СИ ++.
#include <graphics.h>
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
#include <dos.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err);
void Osi(int Xc, int Yc, int kol);
int xmax, ymax;
float Kos[]={0.1,1.0},
Ko[] ={10.0,100.0},
Tpr[]={0.01,0.09,0.2,0.5};
void main(void)
{
float P_w, Q_w, w;
int driver, mode, err;
driver = DETECT;
initgraph(&driver,&mode,"");
err = graphresult();
if (err!=grOk) {cout<<"\n\t"<<grapherrormsg(err);
getch();}
else {
xmax = getmaxx();
ymax = getmaxy();
int Xc=(int)(xmax/2), Yc=(int)(ymax/2);
for(int i=0;i<=1;i++) for(int j=0;j<=1;j++) for(int k=0;k<=3;k++){
cleardevice();
setviewport(0,0,xmax,ymax,0);
Osi((int)(xmax/2),(int)(ymax/2),i+j+k);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,(int)(xmax/2),(int)(ymax/2),k,j,i,1);
setcolor(7);
setlinestyle(1,0,1);
rectangle(Xc-18,Yc-15,Xc+18,Yc+15);
setlinestyle(0,0,1);
rectangle(10,Yc+5,250,Yc+205);
setcolor(15);
setviewport(10,(int)(ymax/2)+5,250,(int)(ymax/2)+205,1);
setfillstyle(1,0);
floodfill(5,5,7);
line(10,100,230,100);
line(125,10,125,190);
Godograf(Tpr[k],Ko[j],Kos[i],15,125,100,k,j,i,0);};
closegraph();
}
}
void Godograf(float Tpr, float Ko, float Kos, int Color,
int Xc, int Yc, int x, int y, int z, int err)
{
float P_w1=0.0, Q_w1=0.0,
P_w, Q_w,
To=0.5, Tg=0.1, P_w_min=0.0;
for(float w=0;w<=100;w=w+0.05){
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = (Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = (Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
if (abs(P_w)>abs(P_w1)) P_w1=P_w;
if (abs(Q_w)>abs(Q_w1)) Q_w1=Q_w;
if (P_w<P_w_min) P_w_min = P_w;
if (P_w1==0) P_w1=P_w1+0.01;
if (Q_w1==0) Q_w1=Q_w1+0.01;
};
};
float KmasX =(float)(xmax-Xc-100)/P_w1,
KmasY =(float)(ymax-Yc-100)/Q_w1;
if (KmasX<0) KmasX=-KmasX; if (KmasY<0) KmasY=-KmasY;
if (KmasX>=220) KmasX=150;
if (KmasY>=140) KmasY=100;
if (err==0) {KmasX=KmasX*4; KmasY=KmasY*4;};
w = 0;
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
moveto(Xc+P_w,Yc-Q_w); };
setcolor(Color);
setcolor(9);
line(Xc+P_w_min*KmasX,10,Xc+P_w_min*KmasX,ymax-10);
gotoxy(2,5);
printf("K2=");
printf("%f",(-1/P_w_min));
setcolor(15);
for(w=0;w<=700;w=w+0.05){
if(((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w))!=0){
P_w = KmasX*(Ko*w*Tg*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)+
(Kos*Ko*Ko-(To+Tpr)*Ko*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
Q_w = KmasY*(Tg*(Kos*Ko*Ko*w-(To+Tpr)*Ko*w*w)-
Ko*(w+Tpr*Kos*Ko*Ko*w-Ko*To*Tpr*w*w*w))/
((Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)*(Kos*Ko-(To+Tpr)*w*w)+
(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w)*(w+Tpr*Kos*Ko*w-To*Tpr*w*w*w));
lineto(Xc+P_w,Yc-Q_w);
};
};
setcolor(13);
circle(Xc-KmasX,Yc,2);
circle(Xc-KmasX,Yc,1);
putpixel(Xc-KmasX,Yc,13);
outtextxy(Xc-KmasX-7,Yc-12,"-1");
setcolor(15);
if (err==1){
if (x==0) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.01");
if (x==1) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.09");
if (x==2) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.2");
if (x==3) outtextxy(10,10,"Tpr = 0.5");
if (y==0) outtextxy(10,30,"Ko = 10");
if (y==1) outtextxy(10,30,"Ko = 100");
if (z==0) outtextxy(10,50,"Koc = 0.1");
if (z==1) outtextxy(10,50,"Koc = 1.0");}
else {
char ch=' ';
while(ch!=27&&ch!=13)
if (kbhit()!=0) ch=getch();};
};
void Osi(int Xc, int Yc, int kol)
{
setcolor(15);
rectangle(0,0,xmax,ymax);
line(Xc,10,Xc,ymax-10);
line(10,Yc,xmax-10,Yc);
line((int)(xmax/2)-3,15,(int)(xmax/2),10);
line((int)(xmax/2),10,(int)(xmax/2)+3,15);
line(xmax-15,(int)(ymax/2)-3,xmax-10,(int)(ymax/2));
line(xmax-15,(int)(ymax/2)+3,xmax-10,(int)(ymax/2));
settextstyle(2,0,5);
outtextxy((int)(xmax/2)+7,10,"jQ(w)");
outtextxy(xmax-35,(int)(ymax/2)+7,"P(w)");
settextstyle(2,0,4);
outtextxy((int)(xmax/2)-8,(int)(ymax/2)+1,"0");
settextstyle(0,0,0);
if (kol==5) outtextxy(5,ymax-15,"'Esc' - exit");
else outtextxy(5,ymax-15,"'Enter' - next ");
setcolor(15);
};
Приложение N 2.
Рисунок
N 1.1
Рисунок N 1.2
Рисунок 1.3
Рисунок 1.4
Рисунок 1.5
Рисунок 1.6
Рисунок 1.7
Рисунок 1.8
Рисунок 1.9
Рисунок 1.10
Рисунок 1.11
Рисунок 1.12
Рисунок 1.13
Рисунок 1.14
Вставка 1.15
Рисунок 1.16
Литература:
1. Емильянов С.В., Системы автоматического управления с переменной структурой. - М.: Наука, 1967.
2. Воронов А.А.,Устойчивость управляемость наблюдаемость, Москва “Наука”, 1979.
3. Хабаров В.С. Сранительная оценка методов исследования абсолютной устойчивости СПС: Научн.-исслед. работа.
4. Хабаров В.С. Нелинейные САУ: Курс лекций/ Записал В.Л.Смык,-1997.
Список постраничных ссылок:
1. Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.-М.: Мир, 1964.-168 с.
2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - Собр. соч.- М.: Изд-во АН СССР, 1956, т. 2, с. 7-271.