Об ориентационном взаимодействии спиновых систем

Об ориентационном взаимодействии спиновых систем

Валерий Эткин

Введение

В предыдущей статье [1] при анализе результатов экспериментов по изучению ядерного магнитного резонанса в системе ядерных спинов [2, 3] был сделан вывод о несводимости обнаруженного в экспериментах спин-спинового взаимодействия к теплообмену, а также к электрическому или магнитному мультипольному взаимодействию. Специфика этого взаимодействия, названного нами ориентационным, проявилась в передаче упорядоченной ориентации одной системы ядерных спинов другой и в самопроизвольном установлении при этом единой «средневзвешенной» ориентации различно (в том числе противоположно) направленных спинов. Специфичность этого взаимодействия признается и квантовой механикой, согласно которой главную роль в установлении спин-спинового равновесия играет некоторое особое взаимодействие, названное обменным. Так называют взаимное влияние тождественных частиц, которое обусловлено действием так называемых обменных сил и присутствует даже в случае, если прямым силовыми (электрическим, магнитным) взаимодействием частиц можно пренебречь [4]. Однако обменные силы становятся заметными только тогда, когда среднее расстояние между частицами становится сравнимым с длиной волны де Бройля. Поэтому представляет интерес показать, что ориентационное взаимодействие спиновых объектов имеет место и в макромире.

Ориентационная составляющая потенциальной энергии

Известно, что различные положения тела в пространстве и его различные ориентации в нем с механической точки зрения не эквивалентны [5]. Изучению ориентационной составляющей энергии системы (т.е. той её части, которая зависит от взаимной ориентации её частей) до настоящего времени уделялось недостаточно внимания. Возможно, это было связано с тем, что для решения многих практических задач законы движения тел было удобнее сводить к законам движения отдельных материальных точек, ориентация которых в пространстве уже не имела значения. Это позволяло ограничиться рассмотрением так называемых центральных полей, потенциальная энергия которых U(r) зависела только от расстояния между телами (от радиус-вектора центра их инерции r). Иное дело, когда в качестве объекта исследования выбирается вся совокупность взаимодействующих (взаимно движущихся) тел. Именно к ней как к замкнутой системе и относятся законы сохранения. Рассмотрим, в частности, законы сохранения импульса P и момента импульса L замкнутой механической системы, состоящей из k–х тел (k=1,2,...,К):

(1)

где P_>k>=m_>k>v_>k>;L_>k>=r_>k>×P_>k> – импульс k-го тела и момент его импульса; r_>k>, m_>k>, v_>k> – радиус-вектор, масса и скорость центра инерции тела.

Согласно (1), изменение импульса P_>k> или момента импульса L_>k> любого из тел замкнутой системы невозможно без равных им по величине и противоположных по знаку изменений импульса или момента импульса всех остальных тел в тот же момент времени. С учетом конечной скорости взаимодействия это означает наличие соответствующих полей сил F_>k>=dP_>k>/dt и крутящих моментов M_>k>=dL_>k>/dt во всех точках рассматриваемой системы.

Параметры P_>k> и L_>k> можно представить в виде произведения их модулей P_>k>=|P_>k>| и L_>k>=|L_>k>| и единичного вектора e_>k>, характеризующего их направление, т.е. P_>k>=Pe_>k> и L_>k>=Le_>k>. Если классифицировать процессы по особым, не сводимым к другим изменениям состояния, которые они вызывают, то следует признать, что производные по времени t от параметров системы P_>k> и L_>k> характеризуют, вообще говоря, два различных процесса. Один из них – процесс ускорения соответственно поступательного и вращательного движения e_>k>(dP_>k>/dt) и e_>k>(dL_>k>/dt), выражающийся в изменении величины импульса P_>k> или его момента L_>k> при неизменном их направлении e_>k>. Другой – процесс переориентации этого движения P_>k>(de_>k>/dt) и L_>k>(de_>k>/dt), выражающийся в изменении направления векторов P_>k> и L_>k> при неизменной величине самого импульса P_>k> или его момента L_>k>. Следовательно, изменение направления скорости v_>k> или момента импульса L_>k> каждого из тел рассматриваемой системы также с необходимостью сопровождается переориентацией импульса или момента импульса всех других тел данной системы. Силы, порождающие поля F_>k> и M_>k>, принципиально отличаются по своей природе. Если, например, ускорение тела осуществляется полем центральных сил F_>k>, являющихся полярными векторами, то процесс его переориентации (поворота) – центростремительными силами, силами Кориолиса или магнитной составляющей силы Лоренца, являющимися аксиальными векторами. Принято считать, что эти последние силы не совершают никакой работы, поскольку они всегда направлены по нормали к вектору скорости тела v_>k>. Отсюда якобы следует, что не существует какой-либо формы энергии, соответствующей этим силам. Между тем в замкнутой системе действуют лишь пары таких сил, т.е. крутящие моменты M_>k>, которые и совершают работу переориентации тел. Действительно, элементарное изменение положения любой материальной точки твердого тела ds можно представить в виде суммы члена dR, характеризующего поступательное движение тела относительно неподвижной системы отсчета, и вектора dφ×r, характеризующего его поворот вокруг мгновенной оси вращения на бесконечно малый угол dφ (где r – радиус-вектор точки в подвижной (сопутствующей) системе координат) [2]:

ds = dR + dφ×r. (2)

Согласно (2), элементарная работа dW_>k>=F_>k>·ds_>k> какой-либо результирующей силы F_>k> также складывается из работы смещения тела F_>k>·dR_>k> и работы его поворота F_>k>·(dφ_>k>×r_>k>)=M_>k>·dφ_>k>, где M_>k>=dL_>k>/dt=r_>k>×F_>k> – крутящий момент, действующий на k-е тело. Таким образом, переориентация тел осуществляется полем моментов M_>k> и также связана с совершением определенной работы, Это свидетельствует о существовании специфической составляющей потенциальной энергии, которую уместно назвать ориентационной энергией.

Наличие поля крутящих моментов M_>k>, передающего изменение ориентации одних тел другим, свойственно, вообще говоря, любым упорядоченным формам энергии. Известно, например, что поляризация диэлектриков сопровождается не только разделением в пространстве положительных и отрицательных зарядов (т.е. созданием диполей), но и переориентацией по полю уже имеющихся «жестких» диполей с неизменным плечом [6]. На это расходуется часть работы поляризации dW_>е>=E·dZ_>e>, где E – напряженность электрического поля, Z_>e> – вектор поляризации. Эта часть в соответствии с вышеизложенным определяется выражением dW_>е>=Z_>e>E·de и может быть представлена в виде произведения действующего на электрический диполь крутящего момента M_>Е> на элементарный угол его поворота dφ_>е> в поле E. Точно так же в процессе намагничивания наряду с изменением плеча магнитных диполей происходит их переориентация во внешнем магнитном поле H. Затрачиваемая на это работа dW_>м>=Z_>м>H·de (где Z_>м> – модуль вектора намагничивания Z_>м>) также может быть представлена в виде произведения действующего на магнитный диполь крутящего момента M_>Н> на угол его поворота dφ_>м>. Таким образом, в электрических и магнитных полях помимо центральных сил всегда можно выделить ориентационную составляющую, действующую на тела с несферической симметрией. Это относится в полной мере и к гравитационным полям. Рассмотрим, например, потенциальную энергию U(r) гантели с массой грузов m и расстоянием между ними l, расположенных в поле тяжести Земли с массой М на расстоянии r:

E_>1>(r) = –2GMm/r, (3)

где G – гравитационная постоянная.

Однако, если тот же стержень повернуть вокруг неподвижного центра масс в вертикальное положение, координаты центров массы его половинок будут равны соответственно:

r_>1> = r + l/2 и r_>2> = r – l/2,

а потенциальная энергия примет значение:

E_>2>(r) = –GMm[1/(r + l/2) + 1/(r – l/2)], (4)

т.е. изменится на величину:

E_>2>(r) – E_>1>(r) = –(2GMm/r)[l/(r – l/2) + l/(r + l/2)]. (5)

Отсюда следует, что поворот в поле тяжести тел с несферической симметрией также требует затраты некоторой работы, связанной с переходом потенциальной энергии центральных сил в ориентационную энергию и обратно. Таким образом, ориентационная составляющая потенциальной энергии систем присуща в принципе всем известным силовым полям. Существование наряду с полем центральных сил F_>k> поля моментов M_>k> приводит к тому, что потенциальная энергия тела U=U(r, φ) включает в себя в общем случае две составляющие, зависящие соответственно от положения тела U=U(r) и его ориентации U=U(φ). Это означает, что потенциальная энергия силовых полей является в общем случае функцией шести переменных – трех координат центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию тела относительно неподвижной системы отсчета [7].

Ориентационная энергия спиновых систем

Вывод о существовании ориентационной составляющей энергии выглядел бы достаточно банальным, если бы он относился только к известным силовым полям. Значительно интереснее показать, что эта составляющая энергии присуща и вращающимся телам независимо от наличия у них упомянутых выше форм энергии. С этой целью рассмотрим систему вращающихся тел с несферической симметрией (уравновешенный волчок или гироскоп – центр тяжести которого совпадает с центром подвеса). Предположим, что момент количества движения любого k-го тела такой системы L_>k> по каким-либо причинам не совпадает с собственной осью его вращения, так что оно помимо вращения вокруг собственной оси с постоянной угловой скоростью Ω_>k> испытывает регулярную прецессию с угловой скоростью ω_>k> относительно направления вектора момента его количества движения L_>k> (рис.1).

Рис. 1.

Воспользовавшись произвольностью выбора осей координат, совместим вслед за [2] ось x с осью симметрии волчка, а ось y – с плоскостью, образованной векторами L_>k> и Ω_>k>, как это показано на рисунке. Тогда угловая скорость вращения волчка вокруг собственной оси Ω_>k> = |Ω_>k>| и угловая скорость его прецессии ω_>k>=|ω_>k>| определятся соотношением [2]:

Ω_>k> = L_>k>cosφ/I_>x>; ω_>k> = L_>k>/I_>y>, (6)

где L_>k> = |L_>k>|; I_>x>, I_>y> – моменты инерции волчка относительно осей x и y; φ – угол, образованный векторами L_>k> и Ω_>k>.

Этим угловым скоростям соответствуют кинетические энергии собственного E_>k>^c и прецессионного E_>k>^п вращения, равные:

E_>k>^c = L_>k>² cos²φ/2I_>x>; E_>k>^п = L_>k>²/2I_>y>. (7)

Таким образом, суммарная кинетическая энергия рассматриваемого волчка

E_>k> = E_>k>^c + E_>k>^п = ΔE_>k> = L_>k>²(cos²φ + I_>x>/I_>y>)/2I_>x>, (8)

является в общем случае функцией не только количества движения L_>k>, но и угла φ, определяющего ориентацию оси его собственного вращения в пространстве E_>k>=E_>k>(L_>k>,φ).

Сопоставляя E_>k>(L_>k>,φ) с величиной E_>k0>=L_>k>²/2I_>x> при том же значении L_>k> и φ=0, находим:

ΔE_>k> = E_>k> – E_>k0> = L_>k>²(cos²φ + I_>x>/I_>y> – 1)/2I_>x> = L_>k>²(I_>x>/I_>y> – sin²φ)/2I_>x>. (9)

Согласно (8), при sinφ<(I_>x>/I_>y>)^0,5 кинетическая энергия прецессирующего волчка E_>k> превышает таковую в отсутствие прецессии (при φ=0). Это означает, что для возбуждения прецессионного движения необходимо затратить определенную работу. В условиях замкнутой системы с неизменным суммарным моментом количества движения L_>0>=ΣL_>k0> это может быть вызвано только превращением в кинетическую потенциальной энергии взаимной ориентации тел U=U(φ). Вычислить эту работу и тем самым найти изменение ориентационной энергии можно из следующих соображений.

Известно, что прецессия волчка или гироскопа (т.е. дополнительное вращение их вокруг оси, не совпадающей с осью собственного вращения) возникает, когда к ним приложен определенный крутящий момент M_>k>=dL_>k>/dt. Работа dW_>k>=–M_>k>·dφ, которая затрачивается на отклонение оси гироскопа от его первоначального положения (при φ=0) в условиях Ω_>k>=const и L_>k0>=I_>x>Ω_>k>=const, равна, очевидно, дополнительной кинетической энергии dE_>k>^п=ω_>k>dL_>k>, которую приобретает гироскоп в результате прецессии. При этом величина угловой скорости прецессии ω_>k>=|ω_>k>| определяется известным соотношением [4]:

ω_>k>=M_>k>/I_>x>Ω_>k>·sinφ. (9)

Подставляя (9) в выражение dE_>k>^п и приравнивая последнее величине dW_>k>, получим:

dL_>k> = L_>k0>sinφ·dφ, (10)

Интегрируя это выражение в пределах от φ=0 до φ в условиях постоянства L_>k>, имеем:

(11)

Поскольку при φ=0 прецессия отсутствует, C=1, так что окончательно получаем:

L_>k> = L_>k0>(1 – cosφ). (12)

Согласно этому выражению, по мере увеличения угла φ под действием крутящего момента M_>k> момент количества прецессионного движения L_>k> также возрастает. Следовательно, с возникновением прецессии у вращающихся тел появляется дополнительная кинетическая энергия внутреннего вращения Eω. Таким образом, кинетическая энергия прецессионного движения E_>k>(φ) может служить мерой «разориентации» системы вращающихся тел. В этом порядке идей совершенно естественным выглядит тот факт, что прецессия прекращается с исчезновением крутящих моментов M_>k>. Это соответствует наступлению ориентационного равновесия в системе взаимодействующих тел, т.е. состояния, характеризующегося одинаковой ориентацией осей вращения тел или частиц. При «раскрутке» гироскопов направление L_>k> у них не изменяется, т.е. ориентационное равновесие не нарушается. Потому-то уравновешенные гироскопы и не изменяют в дальнейшем своей ориентации. Напротив, возникновение прецессии вращающихся тел свидетельствует об отсутствии в системе ориентационного равновесия и о наличии в ней поля крутящих моментов M_>k>. Источником возмущения при этом может служить, например, относительное движение тел, а в микромире – тепловое движение частиц. Это и объясняет, почему в упомянутых выше экспериментах для достижения спин-спинового равновесия требовались достаточно низкие температуры.

Обсуждение результатов

Зависимость всех упорядоченных форм энергии от взаимной ориентации тел с несферической симметрией свидетельствует о существовании в природе специфического ориентационного взаимодействия и соответствующего ему ориентационного равновесия. Специфика этого взаимодействия (независимо от его физической природы) состоит в стремлении к установлению единой ориентации осей симметрии тел (а для вращающихся тел – единой ориентации осей их вращения), соответствующей минимальному значению поля крутящих моментов (ориентационного поля) M(r,φ). Это поле не следует смешивать с гипотетическим торсионным полем (полем кручения), порожденным различной плотностью угловых скоростей Ω_>k> или моментов вращения (спинов) тел и частиц L_>k> [6]. В отличие от последнего, поле M(r,φ) является составляющей известных силовых полей, т.е. присуще и неподвижным телам. Далее, оно существует и в системе тел (частиц), вращающихся с одинаковой угловой скоростью Ω_>k>. Кроме того, оно направлено по нормали к Ω_>k> и вызывает не ускорение, а переориентацию вектора их угловой скорости, т.е. изменяет ω_>k>, а не Ω_>k>. При этом наглядным проявлением отсутствия ориентационного равновесия является возникновение в спиновых микро- и макросистемах прецессионного движения.

Дальнодействие полей M(r,φ) определяется их конкретной физической природой и в принципе ограничено. Однако это ограничение не относится к волнам, возникающим при осцилляции этих полей. В частности, при осцилляции электромагнитных полей возникают электромагнитные волны, а при нарушении спинового порядка – так называемые спиновые волны, также обнаруженные экспериментально у целого ряда веществ [4]. Сфера распространения волн определяется, как известно, исключительно свойствами проводящей их среды, и для сред типа физического вакуума (с пренебрежимо малой диссипацией ориентационной энергии) может быть практически неограниченной. Поэтому ввиду направленного характера и возможности накопления ориентационного воздействия (в отличие от хаотических возмущений) оно может оказаться достаточным для упорядочивания не только микро, но и макросистем.

Наличие ориентационных полей и взаимодействий объясняет целый ряд явлений, начиная от выстраивания в одной плоскости колец Сатурна до явления спонтанного намагничивания ферромагнетиков. Однако более важным представляется вывод о существовании в Природе наряду с тенденцией к превращению упорядоченных форм энергии в тепловую противоположной тенденции к установлению порядка, обусловленной наличием полей M(r,φ) и ориентационных взаимодействий. Это положение не следовало из классической, статистической и неравновесной термодинамики [7] и является существенным дополнением к ним. Его учет проливает новый свет на процессы «самоорганизации» объектов живой и неживой природы, на противоположные диссипативным процессы в ряде областей Вселенной и другие явления, казавшиеся странными с позиций современного естествознания.

Список литературы

ЭткинВ.А. О специфике спин-спинового взаимодействия. НиТ, 2002.

RamseyN.F. Thermodynamics and Statistical mechanics by Negative Absolute Temperature. // Phys. Rev. – 1956. – V.103. – №1. – р.279.

АбрагамА., ПрокторУ. Спиновая температура. // Проблемы современной физики. – М., 1959. – Вып.1. (A.Abragam, W.Proctor. Spin Temperature. // Phys. Rev., 109, 1441...1458 (1958)).

Физический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия, 1984.

ЛандауЛ.Д, ЛившицЕ.М. Теоретическая физика, Т.1 (Механика). М.:Наука, 1973

АкимовА.Е. Эвристическое обсуждение проблемы поиска новых дальнодействий. EGS-концепции. – М., МНЕЦВЕНТ 1992. Препринт №7А, 63с.

ЭткинВ.А. Термокинетика (термодинамика неравновесных процессов переноса и преобразо вания энергии). Издание 2-е. – Тольятти, 1999, 228с.