Электрон в слое (работа 1)

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема: Электрон в слое.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей

Кишинёв 1997 г.

Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

 ћ²/(2m)²/x²  U_>0> , x < a

 

H =  ћ²/(2m_>0>)²/x² , a < x < a



 ћ²/(2m)²/x²  U_>0> , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m_>0> - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

 ²_>I>/x²  2m/ћ²(E  U_>0>)_>I> = 0 , x  a



_> > ²_>II>/x²  2m_>0>/ћ²E_>I> = 0 , a  x  a



_> > ²_>III>/x²  2m/ћ²(E  U_>0>)_>I> = 0 , x  a

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

_>I>(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

_>I>(x) = Aexp(nx).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

_>II>(x) = Cexp(ikx) + Dexp(ikx).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

_>III>(x) = Fexp(nx).

Где

k = (2m_>0>E/ћ²)^1/2

n = (2m(U_>0>E)/ћ²)^1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

• Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

• В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

• Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

_>I>(x=a) = _>II>(x=a)

_>II>(x=a) = _>III>(x=a)

_>I>(x=a)/m = _>II>(x=a)/m_>0>

_>II>(x=a)/m_>0> = _>III>(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

Aexp(na) = Cexp(ika) + Dexp(ika)

m^1A nexp(na) = ik/m_>0>(Cexp(ika)  Dexp(ika))

Cexp(ika) + Dexp(ika) = Fexp(na)

ik/m_>0>(Cexp(ika)  Dexp(ika)) =  n/mFexp(na).

Теперь составим определитель :

|exp(na) exp(ika) exp(ika) 0 |

|m^1nexp(na) 1/m_>0>ikexp(ika) 1/m_>0>ikexp(ika) 0 |

|0 exp(ika) exp(ika) exp(na) |

|0 1/m_>0>ikexp(ika) 1/m_>0>ikexp(ika) 1/mnexp(na)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)²  (k/m_>0>)²)Sin(2ka) + 2kn/(mm_>0>)Cos(2ka) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = Fexp(na){exp(ika) + exp(3ika) ( ik/m_>0>  n/m)/(n/m + ik/m_>0>)}

D = Cexp(2ika)( ik/m_>0>  n/m)/(n/m + ik/m_>0>)

A = exp(na)(Cexp(ika) + Dexp(ika)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = R_>A>F

C = R_>C>F

D = R_>D>F.

R_>A>, R_>C>, R_>D> - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

_>I>(x) = FR_>A>exp(nx)

_>II>(x) = F( R_>C>exp(ikx) + R_>D>exp(ikx)).

_>III>(x) = Fexp(nx).

I_>1> + I_>2> + I_>3> = 1

Где

I_>1> = F²R_>A>²_>>exp(2nx)dx = F²R_>A>_>2>(2n)^1exp(2nx) =

= F²R_>A>²(2n)^1exp(2na)

I_>2> = F²{ _>>R_>C>²dx + _>>R_>D>²dx + R_>C>R_>D>^*_>>exp(2ikx)dx +

+ R_>C>^*R_>D>_>>exp(2ikx)dx } = F²{ 2a(R_>C>² + R_>D>²) +

((exp(2ika)  exp(2ika))R_>C>R_>D>^*/(2ik) +

+ i((exp(2ika)  exp(2ika))R_>C>^*R_>D>/(2k) }

I_>3> = F²_>>exp(2nx)dx = F²(2n)^1exp(2na)

F² = { R_>A>²(2n)^1exp(2na) + 2a(R_>C>² + R_>D>²) +

((exp(2ika)  exp(2ika))R_>C>R_>D>^*/(2ik) +

+ i((exp(2ika)  exp(2ika))R_>C>^*R_>D>/(2k) + (2n)^1exp(2na) }^1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

²/x²  2m/ћ²(E  U_>0>) = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

 = exp(i 2ak)

Тогда (x+2ma) = (x)^m , где m=0, 1, 2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U_>0>) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

²_>I>/x²  2m_>2>/ћ²(E  U_>0>)_>I> = 0 , 0 > x > a

его решение выглядит просто:

_>I>(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).

Где n = (2m_>2 >(U_>0>-E) /ћ²)^1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

²_>II>/x²  2m_>1>/ћ²E _>II> = 0 , a  x  0

его решение выглядит просто:

_>II>(x) = Cexp(ipx) + Dexp(ipx).

Где p = (2m_>1>E/ћ²)^1/2

Рассмотрим область III:

²_>III>/x²  2m_>2>/ћ²(E  U_>0>)_>III> = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

_>III>(x) =  (Aexp(nx) + Bexp(nx)).

Запишем граничные условия:

_>I>(x=0) = _>II>(x=0)

_>II>(x=a) = _>III>(x=a)

_>I>(x=0)/m = _>II>(x=0)/m_>0>

_>II>(x=a)/m_>0> = _>III>(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m_>2 >= (C-D) i p / m_>1>

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m_>1 >= exp(i 2 a k) n/m_>2> (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 1 1 |

|exp(ik2ana) exp(ik2ana) exp(ipa) exp(ipa) |

|n/m_>2> n/m_>2> ip/m_>1> ip/m_>1 >|

|n/m_>2>exp(ik2ana) n/m_>2>exp(ik2ana)  ip/m_>1>exp(ipa) ip/m_>1>exp(ipa) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m_>1>=4; m_>2>=1

0.1135703312666857	0.6186359585387896	0.2019199605676639
0.3155348518478819	0.05047267055441365	1.263391478912778
0.4544326758658974	2.137353840637548	0.808172718170137
2.479933076698526	0.4544326758658974	6.168062551132728
5.611693924351967	1.820461802850339	1.529165865668653
1.023077302091622

a=10 U=10 m_>1>=2 m_>2>=1

0.1032788024178655	0.2324238959628721	0.41331603936642
0.6460490460448886	0.930750939555283	1.26759057783714
1.656787195799296	2.098624192369327
2.593469359607937	3.141805331837109
3.744277072860902	5.887485640841992

a=10 U=10 m_>1>=1 m_>2>=1

0.05408120469105441	0.2163802958297131	0.4870681554965061
0.86644533469418	1.354969224117534	1.953300729714778
2.662383817919513	4.418966218448088	7.961581805911094

a=10 U=10 m_>1>=0.5 m_>2>=1

0.118992095909544	4.249561710930034	1.068004282376146
0.4754473139332004	5.78216724725356	2.955345679469631
1.895012565781256

a=10 U=10 m_>1>=.25 m_>2>=1

0.2898665804439349	4.30026851446248
2.479039415645616	1.132264393019809