Фрактальная размерность стримерных каналов
Фрактальная размерность стримерных каналов
Балханов Василий Карлович
Бурятский НЦ СО РАН, г. Улан-Удэ
Тремя независимыми методами измерена фрактальная размерность плоскостной проекции стримерных каналов. На основе фрактального исчисления скейлинговые показатели полной длины внутри выделенной области и числа ветвлений стримерных каналов выражаются через фрактальную размерность.
Введение.
В последнее время активизировалось
изучение стримерных разрядов - сети
каналов, возникающих при электрическом
пробое в диэлектриках (воздухе, полимерных
изоляторах, фотоэмульсии) [1,2]. Изучение
стало особенно актуальным в связи с
использование кабелей с полимерной
изоляцией [2]. Однако отмечается, что
количественной теории, описывающей
рост ветвления электрического пробоя,
до сих пор нет. В статье геометрическую
конфигурацию разрядных каналов, рост
числа каналов, их ветвление предложено
рассматривать как фрактальные
разветвленные объекты и описывать их
количественно с помощью понятия
фрактальной размерности [3-5]. Электрический
пробой - видимый в оптическом диапазоне
стримерный канал в диэлектриках,
образованный локально растущим
электрическим полем. Пробой возникает,
когда на небольшой участок удаленной
от заряженной подложки подается такое
высокое напряжение, что происходит
собственно электрический пробой. Под
такое определение подходят разряды
молний в воздухе, частичные разряды в
эпоксидной смоле, плазменные структуры
в фотоэмульсии. В указанном смысле
стримерные каналы относятся к классу
универсальности, зависящие только от
двух безразмерных величин: фрактальной
размерности и размерности пространства,
в котором происходит процесс. М.Д.
Носковым и др. [2] прямым измерением, было
определено, что фрактальная размерность
D
частичных разрядов лежит в пределах
1.45 ¸ 1.55.
Н.А. Поповым [1] определялась фрактальная
размерность коронного разряда, им
получено, что D = 2.16
0.05.
Для разряда молний также измерялась
фрактальная размерность, при этом
установлено, что на масштабах от десятков
метров и выше D
= 1. Видим существенное различие в
значениях для размерности. В связи с
этим в статье тремя независимыми методами
измерена фрактальная размерность
планового рисунка системы стримерных
каналов (рис. 1) [1].
Рис. 1. Система микроразрядов, пересекающих диэлектрическую фотопластинку [1].
Используемые методы являются результатами фрактального исчисления [6], основы последнего для связности изложения представлены в следующей части. Изложение в статье теории фрактального исчисления также связано с тем, что начиная с первых книг Б. Мандельброта и кончая научными работами последнего времени, пишут "- структуры, обладающие в том или ином смысле пространственным самоподобием -". Мы дадим замкнутую систему аксиом фрактального исчисления, и теперь не нужно будет говорить "- в том или ином смысле -".
Аксиомы фрактального исчисления. Фрактальная геометрия, открытая Б. Мендельбротом 30 лет назад, основывается на экспериментальном факте, что в общем случае длина L произвольной кривой (которая может быть изломана в любой точке) степенным образом зависит от масштаба измерения d :
L = C> >d 1-D. (1)
Здесь С - типичный для фрактальной геометрии размерный множитель, свой для каждой кривой, D - фрактальная размерность. Для обычных, гладких линий D = 1 и получаем "истинную" длину. Если кривая плотно заполняет всю плоскость (простой пример - броуновская траектория), то для нее D = 2. Формулу легко проверить, нарисовав синусоподобную линию и, меняя раствор циркуля, измерить длину такой линии. С появлением формулы Мандельброта (1) сразу же было осознано, что фрактальные линии масштабно - инварианты (самоподобны). Самоподобие означает, что как вся линия, так и любой ее участок обладают одной и той же размерностью. Если линию увеличить в l раз, то для измерения новой длины l L достаточно использовать масштаб, равный ld, т.е.
l L = C(l> >d ) 1-D. (2)
Формулы Мандельброта и условие самоподобия в форме (2) достаточно взять в виде аксиом фрактального исчисления, тогда чисто логическим путем можно получить практически все известные на последнее время результаты. Мы их применим к "разветвленным структурам", к которым относятся и сети стримерных каналов.
Разветвленные
структуры. Для построения разветвленных
структур возьмем линию и разрежем ее
на множество неравнозначных отрезков.
Разбросав эти отрезки по плоскости, мы
как раз и получаем пример искомых
структур. Проведем в (2) замену обозначений,
это аналогично тому, что шестиметровую
длину сначала измеряем двухметровым
масштабом, укладывая ее три раза. Но
можно использовать трехметровый масштаб,
прикладывая ее только два раза. Итак,
переобозначим l
на 1/R,
где R
считаем линейным размером выделяемой
области. Тогда из (2) получаем
L
= C×d
1-D×R
D.
Убрав все неопределенные масштабные
множители, находим:
L ~ R D. (3)
Применение формулы (3) к определению фрактальной размерности разветвленных структур состоит в следующем. На плановом рисунке стримерных каналов выделяется некоторая область (на рис. 1 это окружность радиусом R), и подсчитывается общая длина всех каналов, попадающих в рассматриваемую область. Так мы получаем первые значения L>1> и R>1>. Далее выделяется другая область (чуть больше первоначальной), и после подсчета получаются другие значения L>2> и R>2>. Таким образом, в итоге мы получаем набор значений L и R, по которым методом линейной регрессии строим прямую на осях Ln L и Ln R. Угловой коэффициент будет равняться фрактальной размерности D. Таким образом было установлено, что для стримерных каналов
D = 1.52
0.03.
Для улучшения статистики нами выбирались разные формы областей разбиения - от прямоугольных до круглых, а также менялось и само число таких разбиений.
Здесь мы изложили первый из используемых методов измерения фрактальной размерности. Второй метод измерения состоит в подсчете числа N пересечений ветвлениями стримерных каналов периметра области. На рис. 1 границей выделенной области является окружность радиусом R. Легко сосчитать, что для изображенного на рисунке случая N = 53. Варьируя радиус R, находим, что N и R связаны степенным (скейлинговым) законом:
N ~ R n, (4)
с
показателем n =
1.012
0.05.
Аппарат фрактального исчисления [6]
позволяет связать n
с размерностью
D,
именно:
n = 2 (D -1). (5)
Качественно результат можно обосновать следующим образом. Для обычных дифференцируемых линий число N не должно зависеть от R, т.е. при D = 1 должно быть n = 0. Если линия заполняет всю плоскость, т.е. D = 2, то N будет квадратично зависеть от области, т.е. n = 2. Предполагая линейную зависимость между n и D, приходим к результату (5). При строгом подходе необходимо использовать понятие фрактальной производной, в данном случае от степенной функции (3) с нормирующим множителем 1/R 2:
.
А
это и есть формула (4) с показателем (5).
Теперь находим D
= 1 + n
/ 2 = 1.506
0.005.
Приступим к третьему методу измерения величины D. Метод основан на анализе графика на рис. 2 [2], где представлена зависимость роста границы канальных лучей от
Рис. 2 Зависимость длины дендрита от времени роста. Сплошная кривая - эксперимент, штриховая - моделирование.
времени. Пропорционально со временем увеличивается и число ветвлений, т.е. N ~ t и из (4) следует, что
R ~ t 1/n. (7)
На интервале времен от 1 мин до 6 мин из рис. 2 следует, что R ~ t 0.943, откуда n = 1.06 и D = 1.53.
Обсуждение. Тремя независимыми методами получена фрактальная размерность плоскостной проекции стримерных каналов, представленных на рис. 1. Полученные значения 1.53, 1.52 и 1.52 совпадают с данными работы [2]. Согласованность значений для размерности указывает на работоспособность предложенных выше аксиом фрактального исчисления. Подобной рис. 2 имеется и результат в работе [1], где полечен следующий закон для числа ветвления: N ~ R 1.18. Из него следует, что D = 1.59, т.е. близкая к нашим значениям размерность. Из энергетических соображений Н.А. Поповым [1] приведено D = 2.16, отличие этого значения от 1.59 указывает, что величина D = 2.16 относится только к скейлинговому показателю и еще предстоит задача связать ее с фрактальной размерностью.
Полученный в работах [1,2] и нами усредненный результат D = 1.53 указывает на выполнение закона класса универсальности для электрических разрядов в различных диэлектрических средах.
Список литературы
Попов Н.А. Исследование пространственной структуры ветвящихся стримерных каналов коронного разряда // Физика плазмы, 2002, том 28, ¦ 7, с. 664-672.
Носков М.Д., Малиновский А.С., Закк М., Шваб А.Й. Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле // ЖТФ, 2002, том 72, вып. 2, с. 121-128.
Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991, 254 с.
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 528 с.
Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 128 с.
Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления. - Улан-Удэ.: Изд. Бурятского гос. ун-та, 2001, 58 с.