14. Стереометрическая задача

Скачайте в формате DOCX

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г.  – задание №14. Угол между плоскостями. Все рёбра правильной треугольной призмы  ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер  AA1 и  соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и  ABB1 .

Подсказки и ответы

Решение: 

а) Пусть точка H — середина AC . Тогда BN2 = BH2 + NH2 = (3√3)2 + 62 = 63.
Вместе с тем, BM2 + MN2 = (32 + 62) + (32 + 32) = 63, а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M .

 

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой 1 1 A B .
Тогда NP ⊥ A1B1 и NP ⊥ A1A. Следовательно, NP ⊥ ABB1 . Поэтому MP — проекция MN на плоскость 1 ABB1 .
Прямая BM перпендикулярна MN , тогда по теореме о трёх перпендикулярах BM ⊥ MP . Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1 , то есть

. Поэтому 

Следовательно,

Ответ: б) 


Точка М – середина ребра C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. Найдите угол между прямыми АМ и ВА1.

Подсказки и ответы

Решение: 

 

Найдем координаты точек:

A(2;0;0), M(0;1;2), B(2;2;0), A1(2;0;2)

Строим вектора через данные точки:

  

Находим cosα между векторами, где α – искомый угол:

Ответ: 


У правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 сторона основания равна AB=6, боковое ребро AA1=8. Найдите синус угла между прямой BC1 и плоскостью BCA1.

Подсказки и ответы

Решение: 

Найдем координаты точек:

B(0;3;0), C1(0;-3;8), C(0;-3;0), A1(3√3;0;0)

Строим вектора через данные точки:

Находим перпендикулярный вектор (нормальный вектор) плоскости BCA1 через уравнение плоскости:

 и 

Находим sinα, где α – искомый угол:

Ответ: 


Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет  от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.

Подсказки и ответы

Решение: 

1-й способ:

O(0;0;0), S(0;0;5x), C(4x√6;0;0)

 

2-й способ:

Ответ:  или 


Задания down- школы экспертов. Математика. 2016 год.

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Подсказки и ответы

Решение: 

а) SAB треугольник

SB2=SA2+AB2 ⇒ 85=21+64  ⇒ 85=85

SAD треугольник

SD2=SA2+AD2 ⇒ 57=21+36 ⇒ 57=57

Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD.

б)

S(0;0;√21); B(0;8;0); C(6;8;0); D(6;0;0)

  

Ответ:  


Материалы down- экспертов Единый государственный экзамен ЕГЭ 2016

В основании четырёхугольной пирамиды ABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды 

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Подсказки и ответы

Решение: 

а) SAB треугольник

SB2=SA2+AB2 ⇒ 9.3=11+16 ⇒ 27=27

SAD треугольник

SD2=SA2+AD2 ⇒ 4.5=11+9 ⇒ 20=20

Так как прямая SA перпендикулярная прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости SABD, следовательно, SA — высота пирамиды.

б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Угол между прямыми SC и SB – α

 

Ответ:  30º


Скачайте в формате DOCX