20. Задачи на смекалку

Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2018 – 2017 г.  – задание №20 В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

 за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;

 за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Решение: 

Отсутствие золотых монет говорит о том, что Николай все золотые монеты, полученные с помощью второй операции, обменял с помощью первой. Значит, вторых операций было четное число. Пусть вторых операций было ровно . Тогда при применении второй операции:

 серебряных  <=>   золотых +  медных.

Теперь нужно обменять все  золотых монет с помощью первой операции. Всего таких операций будет .

 золотых   <=>    серебряных +    медных.

Получается, что затратив  серебряных монет, Николай при реализации всех золотых получает  серебряных. Значит всего он потратил n серебряных. При этом Николай по итогу применения всех операций получил  медных. Возвращаясь к условию задачи:

,          

Ответ: 10

ИЛИ

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными отрезками. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны   и . Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Решение: 

Составим уравнения с помощью формулы периметра прямоугольника:

        

          

.

Ответ: 12