16. Планиметрическая задача
Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г. – задание №16. Докажите, что прямые AD и BC параллельны. Найдите площадь треугольника.
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке , D прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение:
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно.
Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке , K пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM и KM=BM Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр . AD Значит, . AD⊥ AB Аналогично, получаем, что . BC⊥ AB Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, 
. Пусть SBKC = S, тогда
S AKD =16S
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, 
, то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.
Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H,
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника
O2HO1 :
Тогда
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и S AKB = 4S = 3,2.
Ответ: 3,2