6. Планиметрия: задачи, связанные с углами
Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017-2018 г. – задание №6. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
Решение: 
Вписанный угол равен половине градусной мере дуги , на которую он опирается. Поэтому дуга BC равна 64°.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. В нашем же случае угол BOC равен дуге BC. Отсюда следует, что угол BOC равен 64°.
Ответ: 64
Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.
Решение:
Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия 
. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда
Ответ: 1
Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Введём обозначения как показано на рисунке.
Заметим, что острый угол трапеции равен 30° и найдем высоту DH из прямоугольного треугольника AHD:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Ответ: 42
Угол ACB равен 42°. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 124°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть искомый угол равен x. Тогда дуга DE, равна 2x. Угол между секущими CB и CA равен полуразности дуг AB и DE:
62-x=42
x=20
Ответ: 20
Сторона ромба равна 1, острый угол равен 
. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Решение:
Сторона ромба равна 1, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому
Ответ: 0.25