Кривые второго порядка (работа 1)

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кривые второго порядка

СОДЕРЖАНИЕ

1 Окружность. Эллипс

2 Гипербола

3 Парабола

4 Литература

1 Окружность. Эллипс

При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведениех^·у (степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: _>> – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R; _>> – уравнение гиперболы, _>> – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть _>> – центр
окружности. R – радиус окружности. Пусть _>> – произвольная точка окружности. Следовательно, _>>= = _>>

0100090000037800000002001c00000000000400000003010800050000000b0200000000050000000c0201015102040000002e0118001c000000fb021000070000000000bc02000000cc0102022253797374656d000151020000d8c71100c7d4e330401d8c020c02000051020000040000002d01000004000000020101001c000000fb029cff0000000000009001000000cc0440001254696d6573204e657720526f6d616e0000000000000000000000000000000000040000002d010100050000000902000000020d000000320a5a00000001000400000000005202000120d82d00040000002d010000030000000000_>> (1)

(1) – уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами _>>

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F_>1> и F_>2> этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем _>> т. е. _>> – межфокусное расстояние эллипса.

Пусть _>> – произвольная точка эллипса. Величины _>> _>> называются фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению эллипса: r_>1> + r_>2> = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

_>>(2)

Умножим (2) на _>>

_>>

_>> (3)

Сложим уравнения (2) и (3):

_>>

_>>(4)

Возведем (4) в квадрат:

_>>

Пусть _>>

(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

_>>

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке _>>

Числа а и _>> называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > _>>, если а < _>>, то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = _>>, то эллипс превращается в окружность.

Точки _>>, _>> называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: _>>

Так как _>>

_>>(6)

Эксцентриситетом эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

_>>(7)

Следовательно, _>> причем _>> когда _>> т. е. имеем окружность.

При _>> стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.

Выразим фокальные радиусы точки _>> через эксцентриситет. Из (4):

_>>(8)

Из (3): _>>

Значит, подставив координаты точки _>> эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.

Прямые _>> называются директрисами эллипса.

_>>– левая директриса,

_>> – правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

_>>(9)

т. е. отношение расстояния r_>i> от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию d_>i> от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

2 Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек _>> той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина _>> меньшая, чем расстояние между фокусами _>>

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем _>> т. е. _>> Заметим, что _>>

Пусть _>> – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, _>> – фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы:

_>>

где _>>

Следовательно,

_>>(10)

Умножим (10) на

_>>

_>>(11)

Сложим уравнения (10) и (11):

_>>(12)

Возведем (12) в квадрат:

_>>

Пусть _>>

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

_>>

– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке _>>

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

_>>

Точки _>> называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид

_>>(14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как _>>, то _>>(15)

Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы _>> называется отношение межфокусного расстояния _>> к длине действительной оси _>>:

_>>(16)

Следовательно, _>>

Выразим фокальные радиусы точки _>> через эксцентриситет. Из (12)

_>>

_>>(17)

Прямые _>> называются директрисами гиперболы.

_>> – левая директриса,

_>> – правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

_>>(18)

т. е. отношение расстояния _>> от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию _>> от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые

_>>(19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить) _>>

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так _>> – эксцентриситет, _>> – уравнения директрис.

3 Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда _>>, а уравнение директрисы _>>.

Число p – называется фокальным параметром параболы.

Пусть _>> – произвольная точка параболы. Пусть _>> – фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда _>>

По определению параболы _>>. Следовательно

_>>

Возведем это уравнение в квадрат

_>>

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Так как для параболы _>>, а для эллипса и гиперболы _>>, то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

х² = 2q y (21)

Фокус этой параболы находится в точке _>>. Уравнение ее директрисы _>>. Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой _>>.

Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1

Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х² + у² – 4х + 6у – 3 = 0.

Решение.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х² + у² – 4х + 6у – 3 = (х² – 4х + 4) – 4 + (у² + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2)² + (у + 3)² = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

ПРИМЕР 2

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; _>>) и имеет эксцентриситет _>>. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид _>>_>>

Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению

_>>

Фокусы находятся на оси Ох, следовательно

_>>

Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а² и в²:

_>>

Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:

_>>

Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, _>>, _>>.

Þ r_>1> = а + eх = _>>= 8 – 3 = 5,

r_>2> = а – eх = _>>= 8 + 3 = 11.

ПРИМЕР 3

Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.

Решение.

Пусть М (х, у). Тогда çMNú = 2 çMFú, çMNú = ç–4 – xú, çMFú= = _>>, Þ ç– (4 + х)ú = _>>.

Возведем в квадрат: (4 + х)² = 4 ((х + 1)² + у²),

16 + 8х + х² = (х² + 2х + 1 + у²) · 4 = 4х² + 8х + 4 + 4у²,

3х² + 4у² = 12 Þ _>> Þ _>>.

Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.

ПРИМЕР 4

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса _>>.

Решение.

Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.

Следовательно, _>> Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F_>1>(–с; 0) = (–4; 0), F_>2>(4; 0).

Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)

_>>,

причем F_>1>(–5; 0), F_>2>(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с_>1> = 5. Найдем а_>1> и в_>1>.

Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а_>1> = с = 4. Следовательно:

_>>.

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид

_>>

ПРИМЕР 5

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.