Кратные интегралы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курсовая работа

По дисциплине: Высшая математика

(Основы линейного программирования)

На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Выполнил: ______________

Преподаватель:___________

Дата ___________________

Оценка _________________

Подпись ________________

ВОРОНЕЖ 2008

Содержание

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

1.2 Тройной интеграл

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2 Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1 Криволинейные интегралы

2.2 Поверхностные интегралы

2.3 Геометрические и физические приложения

Список используемой литературы

1 Кратные интегралы

Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей _>>, а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d_>1>, d_>2>, ..., d_>n>. Выберем в каждой части _>> точку Р_>i>.

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P_>1>), f(P_>2>),…, f(P_>n>) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P_>i>)ΔS_>i>:

_>>, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при _>> и _>>, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек P_>i> в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

_>>. (2)

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями _>> x = a, x = b ( a < b ), где φ_>1>(х) и φ_>2>(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Рис. 1

_>>= _>> (3)

Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δv_>i> , считая объем каждой части равным Δv_>i> , и составим интегральную сумму вида

_>>, (4)

Предел при _>> интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек P_>i> в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

_>>_>> . (5)

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

_>>_>>. (6)

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда _>>, tg_>>.

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ_>1> (φ) и ρ=Φ_>2> (φ), где φ_>1
<> φ < φ_>2> , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

Рис. 4

Тогда

_>> (7)

В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).

Рис.5 Рис.6

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (8)

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом

_>>

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (9)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

_>>, (10)

где F_>1> и F_>2> – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Площадь плоской области S:_>> (11)

Пример 1.

Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями _>>

у = 2, у = 5.

Решение.

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

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями _>> и

_>>

где _>> вычисляется с помощью интегрирования по частям:

_>>

Следовательно,

_>>

2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:

_>>(12)

3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:

_>> (13)

где D – проекция S на плоскость Оху.

4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:

_>> (14)

Пример 2.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки

(x – a)² + (y – b)² < 4b² относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.

Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.

Уравнения границ пластинки имеют вид

_>>

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I_>1> сделаем замену: _>>

_>> при x = a – 2b _>> при x = a + 2b _>>

_>>

Для вычисления интеграла I_>2> преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:

_>>

Тогда

_>>

Следовательно, _>>

Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:

_>> (15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

_>> (16)

Пример 3.

Найти массу пластинки D плотности γ = ух³, если _>>

Решение.

_>>

Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

_>> (17)

Пример 4.

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у² = ах и _>>

Решение.

Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.

Тогда _>>

Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:

_>>

Соответственно

_>>

6) Объем тела V:

_>> (18)

Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями _>>

_>>

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость _>> проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х² и х + у = 2:

_>> посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

_>>

7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

_>>(19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

_>>

_>> (20)

_>>

_>> (21)

где γ (х, y, z) – плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

_>> (22)

9) Координаты центра масс тела:

_>>

_>> _>>

II. Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δs_>i> длиной Δs_>i> и выберем на каждой из частей точку M_>i>. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: _>>.

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы _>>, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек M_>i>:

_>> (24)

Если кривую L можно задать параметрически:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t_>0> ≤ t ≤ T,

то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой

_>>(25)

В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=φ(х), где х_>1> ≤ х ≤ х_>2>, формула (40) преобразуется к виду:

_>>. (26)

Теперь умножим значение функции в точке M_>i> не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность x_>i> – x_>i>_>->_>1> = Δx_>i>.

Если существует конечный предел при _>> интегральной суммы _>>, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек M_>i>, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

_>>_>>. (27)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

_>>

Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора _>>, и существуют интегралы

_>>,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

_>>.

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то

_>>. (28)

Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:

_>> (29)

где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.

Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

_>>

от пути интегрирования являются:

_>>. (30)

При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

_>>

При этом функцию и можно найти по формуле

_>> (31)

где (x_>0>, y_>0>, z_>0>) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.

Поверхностные интегралы

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S_>1>, S_>2>,…, S_>п> (при этом площадь каждой части тоже обозначим S_>п>). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S_>i> точку

M_>i> (x_>i>, y_>i>, z_>i>) и составим интегральную сумму

_>>

Если существует конечный предел при _>> этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M_>i>, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

_>>. (32)

Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = φ(x, y), вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла:

_>> (33)

где Ω – проекция поверхности S на плоскость Оху.

Разобьем поверхность S на части S_>1>, S_>2>,…, S_>п>, выберем в каждой части S_>i> точку M_>i>(x_>i>, y_>i>, z_>i>), и умножим f(M_>i>) на площадь D_>i> проекции части S_>i> на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы

_>>,

не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается

_>>(34)

Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

_>> и _>>.

Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:

_>>(35)

Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Оху, Oxz и Oyz, то

_>> (36)

Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского:

_>>_>> (37)

где запись «S⁺» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:

_>> (38)

2.3 Геометрические и физические приложения

1) Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

_>> (39)

2) Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

_>>(40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью _>> заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где _>>

Решение.

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

_>>

3) Моменты кривой l:

_>> - (41)

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

_>>- (42)

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

_>> - (43)

моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

_>>. (44)

5) Работа силы _>>, действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

_>>, (45)

Пример 7.

Вычислить работу векторного поля _>> вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Решение.

Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

_>>

Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

_>> (46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности

_>> (47)

Пример 8.

Найти массу поверхности _>>с поверхностной плотностью γ = 2z² + 3.

Решение.

На рассматриваемой поверхности _>>

_>> Тогда

_>>

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

_>>

8) Моменты поверхности:

_>> (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

_>> (49)

моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

_>> - (50)

моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

_>> - (51)

момент инерции поверхности относительно начала координат

Координаты центра масс поверхности:

_>>. (52)

Список используемой литературы

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.

Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 2004.

Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.

Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.