Использование расчетных формул в задачах

Задача 1.

Определить центр тяжести сечения.


Решение


Укажем оси координат X и Y с началом в нижнем левом углу сечения.

Сечение разобьем на два простых сечения – прямоугольник 1 с центром тяжести С>1> и квадрат 2 с центром тяжести С>2>.

Координаты центра тяжести С сечения находим по формулам:

и , где

x>1> = 15 мм - координата центра тяжести С>1> прямоугольника по оси Х;

y>1> = 30 мм - координата центра тяжести С>1> прямоугольника по оси Y;

x>2> = 45 мм - координата центра тяжести С>2> квадрата по оси Х;

y>2> = 15 мм - координата центра тяжести С>2> квадрата по оси Y;

F>1> = = 1800 мм2 - площадь прямоугольника;

F>2> = = 900 мм2 - площадь квадрата.

Тогда

мм, мм.

Задача 2.

К стальному валу приложены три известных момента М>1>, М>2>, М>3>. Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего, равного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).

Для стали принять G = МПа. Полярный момент инерции м4

a = 1,9 м, b = 1,2 м, c = 1,4 м,

М>1> = 1900 Нм, М>2> = 1200 Нм,

М>3> = 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.


Решение.

1) Угол поворота правого концевого сечения определяется как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечений на участках АВ, BC, CD, DE

.

Отсюда определим момент X

Х = 1178,125 Нм

2) Строим эпюру крутящих моментов M>(см. рис а)

Определяем опорные реакции. Отбросив опору (в данном случае защемление), заменим ее возможными реакциями. Т. к. все активные силы представляют собой крутящие моменты, то в опоре возникает только одно воздействие крутящий момент М>, который определим из уравнения равновесия:

; М> – 1900 + 1200 – 1700 + 1178,125 = 0

М> = 1900 – 1200 + 1700 – 1178,125 = 1221,875 Нм

При построении эпюры крутящих моментов М> применяем метод сечений дл каждого из четырех участков.

Для участка DE:

; Нм


Для участка CD:

; Нм

Для участка ВС:

; Нм

Для участка АВ:

; Нм

3) Определяем диаметр вала

Из эпюры максимальный М> = 1221,875 Нм на участке DE. На этом участке возникает максимальное касательное напряжение , где W>P> – момент сопротивления сечения

Приравнивая τ [τ], определим диаметр вала

0,043 м или 43 мм,

Согласно условиям задачи принимаем d = 45 мм.

4) Строим эпюру углов закручивания (см. рис. в) для всех участков по формуле

.

Выбираем начало координат в точке Е.

Участок DE:

Угол поворота сечения, взятого на расстоянии z от неподвижного сечения Е, будет

, где ;

при z = 0 φ = 0;

при z = a = 1,9 м

= – 0,071 рад.

Участок CD:

, где

при z = а = 1,9 м φ = – 0,071 рад;

при z = (a + b) = 3,1 м = – 0,046 рад.

Участок BC:

, где

при z = (а + b) = 3,1 м φ = – 0,046 рад;

при z = (a + b +c) = 4,5 м = – 0,068 рад.

Участок AB:

, где

при z = (а + b + c) = 4,5 м φ = – 0,068 рад;

при z = (2a + b + c) = 6,4 м = 0 рад.

5) Наибольший относительный угол закручивания будет на участке DE

== 0,037 рад/м

Задача 3.

Для поперечного сечения, составленного из стандартных прокатных профилей, требуется:

    определить положение центра тяжести;

    найти значения осевых и центробежных моментов инерции относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через центр тяжести сечения;

    определить направления главных центральных осей инерции;

    найти значения моментов инерции относительно главных центральных осей;

    вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нем все оси и размеры.

Схема сечения состоит из двух прокатных профилей:

профиля I - швеллера № 30,

профиля II - двутавра № 33.


Решение.

Геометрические характеристики швеллера берем по ГОСТ 8240-72:

hI = 300 мм, bI = 100 мм, dI = 6,5 мм, tI = 11 мм,

см4, см4, А>1> = 40,5 см2, z>0> = 2,52 см.

Геометрические характеристики двутавра берем по ГОСТ 8239-72:

hII = 330 мм, bII = 140 мм, dII = 7 мм, tII = 11,2 мм,

см4, см4, А>2> = 53,8 см2.

Выбираем вспомогательные оси V, Z и определяем относительно их координаты центра тяжести составного сечения

19,7 см;

13,4 см.

Вспомогательные центральные оси X>C> и Y>C> параллельны осям V и Z.

Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. Центральные вспомогательные оси X>C> и Y>C> параллельны осям центральным осям швеллера и двутавра, относительно которых моменты инерции известны.

Тогда

Осевые моменты инерции

см4 = м4

см4 = м4

Центробежный момент инерции

Для швеллера оси X>1>, Y>1> являются главными, поэтому . Для двутавра оси X>2>, Y>2> являются главными, поэтому .

Тогда

см4 = м4


Определяем положение главных осей инерции составного сечения (угол наклона) к исходной оси X>C>

–1,165 .

Определяем главные моменты инерции составного сечения по формулам

м4;

м4.

Проверим правильность расчетов по выполнению соотношений

м4

м4

, то есть расчет произведен точно.

Задача 4.

Определить диаметр стального вала постоянного сечения из условия прочности, приняв [τ] = 30 Н/мм2. Мощности P>1> = 52 кВт, Р>2> = 100 кВт, Р>3> = 60 кВт. Угловая скорость ω = 32 рад/с.


Решение

Разбиваем вал на три участка – по сечениям, в которых приложены вращающие моменты. Находим вращающие моменты

= 1625 Нм, = 3125 Нм, = 1875 Нм.

Равномерное вращение обеспечивается условием

; =0; = – 375 Нм.

Знак «–» указывает, что момент M>4> направлен в противоположную сторону, указанному в условии задачи.

Крутящий момент на участке 1


Справа ;

3125 Нм.

Крутящий момент на участке 2

Справа ;

3125 – 1875 = 1250 Нм.

Крутящий момент на участке 3

Справа ;

1625 + 3125 – 1875 = 375 Нм.

По полученным результатам строим эпюру.

Диаметр вала определяем для наиболее напряженного участка.

Наиболее напряженный участок – первый – 3125 Нм.

Касательное напряжение сечения вала . Из условия прочности .

Отсюда = 80,5 мм.