Елементи інформаційних технологій в математичному програмуванні
Завдання 1
Розв'язати графічним способом при умовах:
Розв'язування
Зобразимо розв’язок системи нерівностей та вектор F (1;2):
Максимум функції досягається в точці А:
Мінімум функції досягається в точці В:
Завдання 2
Розв'язати транспортну задачу методом потенціалів.
Розв'язування
Спочатку перевіримо задачу на замкненість:
.
Задача є замкненою.
Вихідна таблиця:
|
А/В |
10 |
20 |
25 |
40 |
||||
|
25 |
4 |
|
7 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
15 |
9 |
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||
|
35 |
8 |
|
5 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
20 |
2 |
|
1 |
|
7 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Складемо початковий план методом мінімального елементу:
|
А/В |
10 |
20 |
25 |
40 |
||||
|
25 |
4 |
|
7 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
25 |
|
|||||
|
15 |
9 |
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
|
10 |
|
|
5 |
|||||
|
35 |
8 |
|
5 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
35 |
|||||
|
20 |
2 |
|
1 |
|
7 |
|
4 |
|
|
|
20 |
|
|
Опорний план є виродженим, адже число зайнятих клітинок менше ніж m+n-1=8. Зробимо його невиродженим, розміщуючи базисні нулі в клітину з координатами (i,j)=(1,1) та (4,1). Вирішимо задачу методом потенціалів:
|
А/В |
10 |
20 |
25 |
40 |
U |
||||
|
25 |
4 |
|
7 |
|
2 |
|
5 |
|
0 |
|
0 |
|
25 |
|
||||||
|
15 |
9 |
- |
3 |
+ |
4 |
|
6 |
|
5 |
|
10 |
|
|
5 |
||||||
|
35 |
8 |
|
5 |
|
9 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
35 |
||||||
|
20 |
2 |
+ |
1 |
- |
7 |
|
4 |
|
-2 |
|
0 |
20 |
|
|
||||||
|
4 |
3 |
2 |
1 |
295 |
|||||
Сформуємо оціночну матрицю
з елементів
:
|
Оціночна матриця |
|||
|
0 |
4 |
0 |
4 |
|
0 |
-5 |
-3 |
0 |
|
2 |
0 |
5 |
0 |
|
0 |
0 |
7 |
5 |
План не є оптимальним, адже є від’ємні елементи.
Переміщуємо по циклу вантаж величиною 10 одиниць, додаючи цю величину у клітинах зі знаком «+», та віднімаючи її від клітин зі знаком «- ».
Маємо,
|
А/В |
10 |
20 |
25 |
40 |
U |
||||
|
25 |
4 |
- |
7 |
|
2 |
|
5 |
+ |
0 |
|
0 |
|
25 |
|
||||||
|
15 |
9 |
|
3 |
+ |
4 |
|
6 |
- |
0 |
|
|
10 |
|
5 |
||||||
|
35 |
8 |
|
5 |
|
9 |
|
3 |
|
-3 |
|
|
|
|
35 |
||||||
|
20 |
2 |
+ |
1 |
- |
7 |
|
4 |
|
-2 |
|
10 |
10 |
|
|
||||||
|
V |
4 |
3 |
2 |
6 |
245 |
||||
|
Оціночна матриця |
|||
|
0 |
4 |
0 |
-1 |
|
5 |
0 |
2 |
0 |
|
7 |
5 |
10 |
0 |
|
0 |
0 |
7 |
0 |
План не є оптимальним, адже є від’ємні елементи.
Переміщуємо по циклу вантаж величиною 0 одиниць, додаючи цю величину у клітинах зі знаком «+», та віднімаючи її від клітин зі знаком «- ».
Отримаємо,
|
А/В |
10 |
20 |
25 |
40 |
U |
||||
|
25 |
4 |
|
7 |
|
2 |
|
5 |
|
0 |
|
|
|
25 |
0 |
||||||
|
15 |
9 |
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
1 |
|
|
10 |
|
5 |
||||||
|
35 |
8 |
|
5 |
|
9 |
|
3 |
|
-2 |
|
|
|
|
35 |
||||||
|
20 |
2 |
|
1 |
|
7 |
|
4 |
|
-1 |
|
10 |
10 |
|
|
||||||
|
V |
3 |
2 |
2 |
5 |
245 |
||||
|
Оціночна матриця |
|||||||||
|
1 |
5 |
0 |
0 |
||||||
|
5 |
0 |
1 |
0 |
||||||
|
7 |
5 |
9 |
0 |
||||||
|
0 |
0 |
6 |
0 |
Як бачимо усі
.
Адже отриманий план є оптимальним.
При цьому загальна вартість перевезень складає 245 і є мінімальною.
Завдання 3
Розв'язати задачу ЛП симплекс-методом:
Розв'язування
Запишемо в канонічному виді:
Вирішимо задачу симплекс методом.
|
Базис |
БП |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
|
x4 |
6 |
1 |
3 |
-3 |
1 |
0 |
|
x5 |
4 |
-2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
ИС |
0 |
3 |
-2 |
-1 |
0 |
0 |
|
Обрано ключовий елемент (1,2) |
||||||
|
Базис |
БП |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
|
x2 |
2 |
1/3 |
1 |
-1 |
1/3 |
0 |
|
x5 |
2 |
-7/3 |
0 |
2 |
-1/3 |
1 |
|
ИС |
4 |
11/3 |
0 |
-3 |
2/3 |
0 |
|
Обрано ключовий елемент (2,3) |
||||||
|
Базис |
БП |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
|
x2 |
3 |
-5/6 |
1 |
0 |
1/6 |
1/2 |
|
x3 |
1 |
-7/6 |
0 |
1 |
-1/6 |
1/2 |
|
ИС |
7 |
1/6 |
0 |
0 |
1/6 |
3/2 |
Отримано оптимальний план x* = (0, 3, 1). За нього fmin = (x*) = -7.
Список використаних джерел
Бурий В.В., Шевченко І.В. Математичне програмування. — К.: НАУ, 2007. — 168с.
Єгоршин О.О., Малярець Л.М. Математичне програмування. — Х.: ВД "ІНЖЕК", 2006. — 383с.
Жильцов О.Б., Кулян В.Р., Юнькова О.О. Математичне програмування (з елементами інформаційних технологій) / Міжрегіональна академія управління персоналом / Олена Олександрівна Юнькова (ред.). — К.: МАУП, 2006. — 184с.
Зеленський К.Х. Математичне програмування. — К.: Університет "Україна", 2007. — 241c.
Івченко І.Ю. Математичне програмування. — К.: Центр учбової літератури, 2007. — 232с.
Лебідь М.Т., Синявіна Ю.В. Математичне програмування. — Х., 2007. — 72с.