Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:
>
>
Квадратною
матрицею n-го
порядку зветься матриця розміром n
x n. Важливою
числовою характеристикою матриці є її
визначник, який позначається detA. Для
2x2 матриці >
>
>
>.
Матриці А та В однакових розмірів
називаються рівними, якщо іх відповідні
елементи однакові, що записують так:
А=В.
З матрицями можна здійснювати такі операції:
Множити на число
Приклад:
>
>
Додавати матриці однакових розмірів:
Приклад:
>
>
Множити матриці:
Приклад:
>
>
Взагалі,
добутком матриці А розмірів m x
r та матриці
В розмірів r x n
називається матриця С розмірів m
x n, яка
позначається АВ. Елемент c>ij>
цієї матриці – це сума попарних добутків
елементів i-го
рядка матриці А та елементів j-го
рядка матриці В, а саме: >
>
Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
Квадратна
матриця порядку n,
у якої єлементи >
>,
а інші елементи є нулями, називається
одиничною матрицією порядку n.
Однична матриця має таку властивість:
АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця порядку
n, Е –
одинична матриця такого ж порядку.
Нехай А –
квадратна матриця, тоді матриця А-1
зветься оберненою до матриці А, якщо >
>
Не в кожної
матриці є обернена до неї, а саме А-1
існує тоді і тільки тоді, коли >
>.
Беспосередньо можна первірити, що для
>
>
Визначення:
Число l
називається власним значенням n
x n матриці А,
якщо знайдется стовпчик >
>такий,
що АХ=lХ.
При цьому Х називається власним вектором
матриці А, що відповідає власному
значенню l.
Якщо
власний вектор Х відповідає власному
значенню l,
то сХ, де с - const, також власний вектор,
що відповідає l.
Власне значення є коренем характеристичного
рівняння>
>
. Звідки видно, що не у кожної матриці є
власні значення.
Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:
1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний вектор.
2. інші власні значення по модулю < r.
3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Нехай
>
>.
Тоді
>
>.
Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:
>
>.
Це квадратне рівніння з дискримінантом:
>
>
І тому
>
>
Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=l>1>.
Знайдемо
власний вектор >
>,
що відповідає власному значенню l>1>
з рівності
>
>
Тоді
>
>,
або >
>
Враховуючи, що
>
>
перепишемо систему у вигляді:
>
>
Але
>
>
і тому рівняння системи пропорціональні,
а це означає, що одне з них можна відкинути.
Знайдемо
x>1>
з
першого рівняння системи >
>
Щоб
довести, що власний вектор можна вибрати
додатним, достатньо перевірити, що
>
>,тому
що поклавши отримаємо
x>1>>0.
Враховуючи,
що b>0 треба довести, що >
>,
але це
випливає з того, що >
>,
бо cb>0.
Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.
Визначення:
Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною,
якщо однаковим переставленням рядків
та стовпців її не можна привести до виду
>
>,
де А>1>,
А>2> -
квадратні матриці розмірів k x
k та (n-k)
x (n-k)
відповідно. Для 2х2 матриць >
>
це означає, що >
>
та >
>
Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.
Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю.
Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо
1) >
>
2) >
>
Теорема
Маркова:
Нехай для стохастичної матриці P
існує натуральне число k>0>
таке, що >
>
(тобто всі елементи додатні). Тоді
1. >
>
(існування границі матриці означає, що
існує границя кожного її елементу)
2. Матриця
>
>
- має однакові рядки.
3. Всі елементи цих рядків додатні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Запишемо
стохастичну матрицю у вигляді >
>,
де >
>
Запишемо
її характеристичне рівняння: >
>,
>
>
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
>
>
І тому
>
>
З урахуванням
>
>
маємо >
>,
але якщо >
>,
то це значить, що p=q=1
або p=q=0,
відкіля матриця P
буде мати вигляд >
>,
або >
>
і тоді Pn
містить нулі >
>,
що суперечить умові. Таким чином >
>.
Беспосередньою
перевіркою з урахуванням стохастичності
встановлюємо, що власному значенню >
>
відповідає власний вектор >
>,
де x>1>=x>2>,
тобто, наприклад >
>
власний вектор. Знайдемо власний вектор
>
>,
що відповідає власному значенню >
>.
За визначенням
>
>
Звідки
>
>
Згадуючи,
що >
>
отримуємо
>
>
Очевидно,
що рівняння системи пропорційні, тому
одне з них можна відкинути. Знайдемо y>1>
з першого рівняння:
>
>
або >
>
звідки >
>,
але >
>
, бо в протилежному випадку дана матриця
мала б вигяд: >
>,
а тоді матриця >
>
мала б нульовий елемент >
>,
що суперечить умові. Тому можна записати,
що >
>
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.
Позначимо
>
>.
Оскілки
>
>,
то існує S-1.
Перепишемо рівняння >
>
та >
>
у матричній формі
>
>
або >
>.
Відкіля >
>
і взагалі >
>
Знайдемо границю Pn:
>
>
Твердження 1 теореми доведено.
Доведемо
тепер, що рядки матриці >
>
однакові. Для цього обчиcлимо >
>.
Оскільки
>
>,
то >
>Ми
бачимо, що рядки матриці >
>
- однакові. Доведемо тепер, що їх елементи
додатні. Для цього врахуємо отриману
раніше залежність >
>
Для
того, щоб довести треба довести, що >
>,
треба довести, що >
>
та >
>.
Маємо
>
>,
>
>,
тому що p>0
і
q
>0
Теорема доказана.
Зауваження1
В процесі доведення ми вивели, що для
2х2 матриць >
>
Зауваження2
Позначимо
>
>
рядки граничної матриці >
>.
Тоді >
>можна
знайти з умови:
>
>
Доведення.
Оскільки
>
>
Зівдки
>
>
Або
>
>
Звідки
>
>
Зокрема,
для 2х2 матриці >
>
Умовою
>
>
рядок >
>
визначається однозначно, що для 2х2
матриці можна перевірити.
В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невід’ємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розв’язків квадратного рівняння та розв’язків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.
Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.
Список літератури:
С.А.
Ашманов. Математические модели и метод
в экономике.
МГУ. 1980
С.А.
Ашманов. Введение в математическую
экономику. “Наука”.
М., 1984
Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969
Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967
Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988
С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964
Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963
П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978
Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978
В.
Феллер. Введение в теорию вероятностей
и ее приложение.
Т1. “Мир”.М. 1984