Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Примеры

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y = arcsin(1/x)

Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,

| x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

Функция нечетная

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )

Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

Решение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

f(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

X

0

< x <

1

< x <

+∞

u=1/(x2-1)

-1

+ ∞

- ∞

0

y=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

y=x и y=sin(arcsin(x))

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.


Аргумент

функция

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arcctg(x)

sin

sin(arcsin(x))=x

>>

>>

>>

cos

>>

x

>>

>>

tg

>>

>>

x

1 / x

ctg

>>

>>

1 / x

x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

    Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

>>

>>

Перед радикалом > >следует взять знак “+”, т.к. дуга > >принадлежит правой полуокружности (замкнутой) > >, на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

>>

    Из тождества > >следует:

>>

    Имеем

>>

    >>

Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение > >

Решение: Применяем формулу > >, имеем: > >

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:

>>

>>

Пример №3. Пользуясь

>>

Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:

>>

>>

>>

>>

>>

>>

Пример №5. Положив в формулах

>>, и >>

>>, получим:

>>, >>

Пример №6. Преобразуем > >

Положив в формуле > >, >>

Получим:

>>

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга > >принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

>>

>>

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга > >имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно

>>

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

>>

А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

>>

Так, например:

>>

>>

Аналогично:

>>

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

    Выражение > >>>через арктангенс.

Пусть > >, тогда

>>

Дуга > >, по определению арктангенса, имеет тангенс, равный > > и расположена в интервале (-π/2; π/2).

Дуга > >имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

Следовательно,

>> (1)

(в интервале ( -1 : 1 )

    Выражение > >через арксинус.

Т.к. > >, то >> (2)

в интервале > >

    Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства > >следует тождество

>> (3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

>>

Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга > > не может быть значением арксинуса. В этом случае

>>

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

    Выражение арксинуса через арккосинус.

Пусть > >, если > >, то > >. Дуга имеет косинус, равный > >, а поэтому > >

При > >это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

>>, а для функции > >имеем: > >

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень > >, т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

Х>0 X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

>>

Таким образом, имеем окончательно:

>>если > >, (4)

> >, если > >

График функции > >

Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

> >, если > >

> >, если > >

    Аналогично установим, что при > >имеем:

>>, если же > >, то

>>

Таким образом:

>>>>, если > > (5)

> >, если > >

    Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения

>> при > >имеем:

>>

Если же х<0, то

>>

Итак,

>>>>, если > > (6)

>>, если > >

    Выражение арккосинуса через арктангенс. Если > >, то > >

При > > имеем:

>>

Итак,

>> > >, если > > (7)

> >, если > >

    Выражение арктангенса через арккотангенс.

>> > >, если х>0 (8)

> >,если x<0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

>>.

    Выражение арксинуса через арккотангенс.

>> >>, если > > (9)

> >, если > >

    Выражение арккотангенса через арксинус.

>> >>, если 0<x (10)

> >, если х<0

    Выражение арккотангенса через арктангенс.

>> > >, если x>0 (11)

> >, если x<0

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию > >

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:


y= 0 , если x>0

-π , если x<0

На чертеже изображен график

данной функции

Пример №2. Исследовать функцию > >

Решение: Первое слагаемое определено для значений > >, второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. > >, то получаем

>>,

откуда:

>> на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию > >

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

>>

Приняв во внимание равенство

>> > >, если > >

> >, если > >

получим:

y = 0 , если > >

> > , если > >

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

>>

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

>>

Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

>> и >>

Областью определения функции > > служит интервал > >, так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента > >содержится на сегменте > >. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

>>

но при х=5π/6

>>

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

>>, то имеем y=π-х;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то

y=-π-х

Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то

y=х+2π

Вообще, если > >, то

y=х-2πk

и если > >, то

y=(π-х)+2πk

График функции > >представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.

Рассмотрим функцию > >

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x, где > >

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и > >, поэтому:

>>

Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x

Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π

Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x

Вообще, если > >, то y = x - 2πk

Если же > >, то y = -x + πk

Графиком функции > >является ломаная линия

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму

>>

Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где

>>; >>

В данном случае > > (т.к. > >, а следовательно, > >), а также > >, поэтому > >.

Вычислив синус дуги γ, получим:

>>

Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то

>>

Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:

>>

Откуда

>>

Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму > >

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. > >, а > >. Вычисляем > >

В рассматриваемом примере > >, так как дуги γ и > >заключены в различных интервалах,

>>, а >>

В данном случае > >

Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем

>>

Обе дуги γ и > >расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: > >

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.

Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):

>>, и >>

Сумма α + β заключена в верхней полуокружности > >, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

>>;

>>

Разность α – β заключена в правой полуокружности: > >

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

>>;

>>

Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.

    Преобразуем в арккосинус > >, где > > и > >

Имеем:

>>

Откуда

>>

    Аналогично

>>, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

>>, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

>>

>>

>>

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

    Выразить сумму > >через арксинус

По определению арксинуса

>> и >>,

откуда

>>

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1: > >

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при > > >, имеем:

>>, и >>,

откуда

>>

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) > > б) > >

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

>> в случае а) и > > в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия > > и > >(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив > >, получим:

>>

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. > >или

>>

Откуда

>> и, следовательно, > >

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

>>;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

>> или > >

Случай 2. > >

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия > >получим > >

Случай 3. > >

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и > >

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

>>

откуда > >

Дуги γ и > > имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) > >, следовательно в случае 1 > >;

в случае 2 > > и в случае 3 > >.

Итак, имеем окончательно:

>> , > > или > >

>> >>; x > 0, y > 0, и > > (1)

>>; x < 0, y < 0, и > >

Пример:

>>

>>; >>

2. Заменив в (1) x на –x получим:

>> , > > или > >

>> >>; x > 0, y > 0, и > > (2)

>>; x < 0, y < 0, и > >

3. Выразить сумму > >через арккосинус

>> и >>

имеем

>>

Возможны следующие два случая.

Случай 1: > >если > >, то

>>

Приняв во внимание, что обе дуги > > >расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

>>

и следовательно, > >, откуда > >

Случай 2: > >. Если > >, то

>>,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим > >. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если > >, а случай 2, если

>>.

Из равенства > > следует, что дуги

>> и > > имеют одинаковый косинус.

В случае 1 > >, в случае 2 > >, следовательно,

>> >>, > >

>>, > > (3)

4. Аналогично

>> >>, > >

> >, > > (4)

пример: > >

5.

>>; xy < 1

>> >>; x > 1, xy > 1 (5)

>>; x < 0, xy > 1

При xy=1 не имеет смысла

6.

>>; xy > -1

>> >>; x > 0, xy < -1 (6)

>>; x < 0, xy < -1

7.

>>; > >

>> >>; > > (7)

>>; > >

8.

>> >>; > > (8)

>>; > >

9.

>>; > >

>> >>; x > 1 (9)

>>; x < -1

10. >> (10)

>> (11)

>> >> , если > > (12)

>>, если > >