Интеграл помогает доказать неравенство Коши (работа 2)

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a_>1>, a_>2>, ..., a_>n> – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a_>1> + a_>2> + ... + a_>n>

n

>

ⁿ



a_>1 >a_>2 >... a_>n>

.

(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через S_>n> и докажем его в такой форме:

(S>n >) n > a>1 >a>2 >... a>n >.

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a>1> ≤ a>2> ≤ ... ≤ a>k> ≤ S>n> ≤ a>k+1> ≤ ... ≤ a>n–1> ≤ a>n>.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

b b – a b < ∫ dt t = ln b a < b – a a , a

(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a b

= ln

b a

=

b – a a

.

Из (3) и (4)

S>n> – a>1> S>n> + S>n> – a>2> S>n> + ... + S>n> – a>k> S>n> ≤ ln S>n> a>1> + ln S>n> a>1> + ... + ln S>n> a>k> ,

(5)

или

kS>n> – (a>1> + a>2> + ... + a>k>) S>n> ≤ ln (S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k> .

(6)

Опять-таки из (3) и (4)

ln a>k+1> S>n> + ln a>k+2> S>n> + ... + ln a>n> S>n> ≤ a>k+1> – S>n> S>n> + a>k+2> – S>n> S>n> + ... + a>n> – S>n> S>n> ,

(7)

или

ln a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k ≤ (a>k+1> + ... + a>n>) – (n – k)S>n> S>n> .

(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k ≤ ln (S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k> .

(9)

Поскольку среди чисел a_>1>, a_>2>, ..., a_>n> есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k

< ln

(S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k>

,

или

a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k

<

(S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k>

,

откуда вытекает (2).

Если же a_>1> = a_>2> = ... = a_>n>, то, очевидно,

a>1> + a>2> + ... + a>n> n

=

n



a>1 >a>2 >... a>n>

.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/