Эквивалентность элементарных функций

Киевский национальный университет им. Т.Г. Шевченко

Реферат

Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару



студента группы ТК

четвертого курса

Польщи М.В.

Научный руководитель: профессор Лисовик Леонид Петрович

Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s1, In>m>, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L>1> ­ Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L>2> ­ Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, 2x ,S, а также конечного применения операции суммирования.

L>3> ­ Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, x*y, 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L>4> ­ Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, x+y 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L>5> ­ Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L>1>L>2>L>3>L>4>L>1>

2. L>1>L>5>

3. L>5>L>3>

Докажем, что L>1>L>2> (для этого выразим 2x через функции L>1> )

>>

Докажем, что L>2>L>3> (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L>2> )

>>

Пусть

>> тогда

>> > >

Докажем, что L>3>L>4> (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L>3> )

>>

Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.

>>

Пусть

>> тогда

>>

Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L>4>L>1> (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L>4>)

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.

>>

Где (x,y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.

>>

Докажем, что L>1>L>5> (для этого выразим x*y через функции L>5> )

>>

Докажем, что L>5>L>3> (для этого выразим 2x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L>5> )

>>

Пусть

>> тогда

>>

Эквивалентность классов доказана.

1999 р.