Теория устойчивости (работа 2)

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений


x’ = f ( t , x )


(1)


с начальными условиями x ( t>0 >) = x>0 > (2)

где x = ( x>1>, x>2>, ... , x>n> ) - n - мерный вектор; t Î I = [t>0>, + ¥ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;


f ( t, x ) = ( f>1> ( t , x ) , f>2> ( t , x ) , ... , f>n> ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t>0> ) = x>0>. С целью упрощения все рисунки п. 10 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

x

0 t

Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1 (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t>0 >, x>0 >) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t>0> , x>0> ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t>0> , x>0> ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t>0> , x>0> ) приводят к существенному изменению решения x ( t ; t>0> , x>0> ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t>0> , x>0> ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t>0> , x>0> ) , вызванное отклонением D x>0> начального значения x>0> , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t>0> , x>0 >+ D x>0 >) - x ( t ) | = | x ( t ; t>0> , x>0 >+ D x>0 >) - x ( t ; t>0> , x>0 >) |.

Определение 1. Решение x ( t ) = x ( t ; t>0> , x>0> ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x>0> на интервале I = = [ t>0>, + ¥ [ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x>0 >

| D x>0> | £ d Þ | x ( t ; t>0> , x>0 >+ D x>0 >) - x ( t ) | £ e " t ³ t>0>.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + ¥ для достаточно малых D x>0> , т.е. $ D > 0 " D x>0>.

| D x>0> | £ D Þ | x ( t ; t>0> , x>0 >+ D x>0 >) - x ( t ) | ® 0 , t ® + ¥ . (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t>0> , x>0 >+ D x>0 >) , близкие в начальный момент t>0> к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t ³ t>0> .

x

0 t

Рис.2

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x>1> ( t ) , начинающееся в момент t>0> в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x>2> ( t ), начинающееся при t = t>0> за пределами области притяжения, но в пределах d - трубки, не покидает e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t>0> , x>0> ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t>0> к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t>1> ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.

x

0 t

Рис.3 Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

y’ = F ( t, y ). (4)

где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) º 0 " t ³ t>0>.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) º 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 " t ³ t>0>, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) º 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x ( t ) º 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x>0>

| D x>0> | £ d Þ | x ( t ; t>0> , x>0 >) | £ e " t ³ t>0>.

Если кроме того,

$ D > 0 " x>0> | D x>0> | £ D Þ | x ( t ; t>0> , x>0 >) | ® 0 , t ® + ¥ ,

то решение x ( t ) º 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4. Нулевое решение x ( t ) º 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$ e > 0 $ t>1> > t>0> " d > 0 x>0> ¹ 0 | x>0> | £ d Þ | x ( t ; t>0> , x>0 >) | > e .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) º 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.

x

t

0

Рис.5

x

t

0

Рис.6


x

t

0

Рис.7


2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f ( x ). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая g , которую можно параметрически задать в виде x>i> = x>i> ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x>1> , ... , x>n> ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x>1> = x>1> ( t ), ... , x>n> = x>n> ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами ( t , x>1 >, x>2> , ... , x>n> ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rn+1 - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x>1> = x>1> ( t ) , x>2> = x>2 >( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x>1> = x>1> ( t ) , x>2> = x>2 >( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

x>2 >x>2>

0 t 0 x>1>

x>1 >

а) Рис.8 б)

Определение 5. Точка ( a>1>, a>2> , ... , a>n> ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f>1> , f>2> , ... , f>n> системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0,> >где a = ( a>1 >, a>2> , ... , a>n> ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если ( a>1> , ... , a>n> ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) º 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность " t ³ t>0> (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постоянная матрица размера n ´ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

x>2>

0 x>1>

Рис.9

x>2>

0 x>1>

Рис.10


x>2>

0 x>1>

Рис.11


3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

æ dx / dt = P ( x , y ),

í (A)

î dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x>0 >, y>0> ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x>0> , y>0> ) = 0 , Q ( x>0> , y>0> ) = 0.

Рассмотрим систему

æ dx / dt = a>11> x + a>12> y,

í (7)

î dy / dt = a>21> x + a>22> y.

где a>ij> ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a >1 >e k t , y = a >2 >e k t . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a>11 >- k a>12>

= 0. (9)

a>21> a>22> - k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k>1> < 0, k>2> < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k>1> > 0, k>2> > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k>1> > 0, k>2> < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k>1> = 0, k>2> > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k>1> = 0, k>2> < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные : k>1> = p + q i, k>2> = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q ¹ 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q ¹ 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q ¹ 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k>1 >= k>2> . Подслучаи :

1) k>1> = k>2> < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k>1> = k>2> > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k>1> = k>2> = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dx>i> >n>

= å a>i j >x>j> ( i = 1 , 2 , ... , n ) (10)

dt i=1

характеристическим уравнением будет

a>11 >- k a>12> a>13 >... a>1n>

a>21> a>22 >- k a>23> ... a>2n> = 0. (11)

. . . . . . . .

a>n1> a>n2> a>n3> ... a>nn >- k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x>i> ( t ) º 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k >i >= p >i> > 0, то точка покоя x>i> ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x>i> ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

.

æ x = a>11> x + a>12> y,

í . (12)

î y = a>21> x + a>22> y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k2 + a>1> k + a>2> = 0.

1) Если a>1> > 0 , a>2> > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а>1> > 0 , a>2> = 0, или a>1> = 0 , a>2> > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a>1> = a>2> = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( l ) = l n + a>1> l n-1 + a>2> l n-2 + ... + a>n> = 0. (13)

Зная его корни l >1> , l >2> , ... , l >n> , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( l ) = ( l - l >1> ) ( l - l >2> ) ... ( l - l >n> ). (14)

Im Im

0 Re 0 Re

а) б)


Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней l и l >i> ;

б - для четырех корней l >1> , l ‘>1> , l >2> , l ‘>2>

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l >i> ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - ¥ до + ¥ векторы j w - l >1> и j w - l ‘>1> комплексных корней l и l ‘>1> повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l >2> и j w - l ‘>2> повернутся > >по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l >i> ) для корня характеристического уравнения l >i >, находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)

- ¥ < w < ¥ для левой для правой

полуплоскости полуплоскости

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w )n + a>1> ( j w )n-1 + a>2 >( j w )n-2 + ... + a>n> (16)

содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до ¥ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18)

0 £ w < ¥

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)

0 £ w < ¥

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

j V’ j V’

0 U’ 0 U’

а) б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.