Основная теорема алгебры (работа 1)

Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

План доказательства.

Лемма №1. Многочлен f(x) является непрерывной функцией комплексного переменного x.

Лемма №2. Если данн многочлен n-ой степени, n>0,

f(x)=a_>0>xⁿ+a_>1>x^n-1+…+a_>n>

с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений

|a_>n>xⁿ|>k|ax^n-1+a_>n>x^n-2+….+a_>0>|

Лемма №3. _> >

Лемма №4.(Лемма Даламбера).

_> >

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.

Доказательство основной теоремы.

Лемма №1.

Надо доказать, что _> > |f(x_>0>+x)-f(x_>0>)|<e.

Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x_>0>=0

Если A=max(|a_>0 >|,|a_>1>|,…,|a_{> n-1}>|) и _> >(1)

то |f(x)|=|a_>0>xⁿ+…+a_>n-1>x| _> >

_> >,

т.к |x|<б ,и из (1) б<1, то

т.к. a_>0>=0 то f(0)=0 _> >

Что и требовалось доказать.

Теперь докажем непрерывность любого многочлена.

f(x_>0>+x)=a_>0>(x_>0>+x)ⁿ+…+a_>n >

pаскрывая все скобки по формуле бинома и собирая вместе члены с

одинаковыми степенями x получим

_>>

Многочлен g(x)-это многочлен от x при x_>0 >=0 и а_>0>=0 _> >|f(x_>0>+x)-f(x)|=|g(x)|<e

Лемма доказана.

Лемма №2

Если дан многочлен n-ой степени, n>0,

f(x)=a_>0>xⁿ+a_>1>x^n-1+…+a_>n>

с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю значений x верно неравенство:

|a_>0>xⁿ|>k|a_>1>x^n-1+a_>2>x^n-2+….+a_>n>| (2)

Доказательсво.

Пусть А=max(_>>), тогда

_>>

пологая |x|>1, получим

_>>

откуда

_>>

следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и

_>>

Лемма №2 доказана.

Лемма №3.

_>>

Доказательство.

_>> (3)

применим лемму 2: при k=2 существует такое N_>1> , что при |x|> N_>1>

|a_>0>xⁿ|>2|a_>1>x^n-1+a_>2>x^n-2+….+a_>n>|

откуда

|a_>1>x^n-1+a_>2>x^n-2+….+a_>n>|<|a_>0>xⁿ|/2

тогда из (3)

_>>

при |x|>N=max(N_>1> ,N_>2>) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.

Лемма №3(Лемма Даламбера).

Если при x=x_>0> многочлен f(x) степени n,_>> не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае комплексное, что

|f(x_>0>+h)|<|f(x)|

Доказательство.

По условию f(x_>0>) не равно нулю, случайно может быть так, что x_>0> является корнем f’(x),..,f^(k-1)_> >(x). Пусть k-я производная будет первой, не имеющей x_>0> своим корнем. Такое k существует т.к.

f⁽ⁿ⁾( x_>0>)=n!a_>0>

Таким образом

Т.к f(x_>0>) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x_>0>)

и обозначим _> >

_>>

Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и его аргумент.

По лемме№1: _> >

С другой стороны при

_>> (4)

Пусть |h|<min(б_>1>, б_>2>), тогда

_> >

Теперь выберем аргумент h так, чтобы c_>k>h^k было действительным отрицательным числом.

_>>

При таком выборе c_>k>h^k=-| c_>k>h^k| следовательно учитывая (4) получим

_>>_>>

Что доказывает лемму Даламбера.

Лемма №5.

Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в замкнутом круге Е, то она ограничена.

Доказательство.

Предположим, что это не верно тогда

_>>

получена бесконечная ограниченная последовательность x_>n>,

из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность _> >, пусть ее предел равен x_>0>. Так как круг Е замкнут, то x_>0> пренадлежит Е. Тогда так как f(x) непрерывна

_>>

получено противоречие, следовательно неверно, предположение о неограничености f(x).

Лемма №6.

Действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывная в замкнутом круге Е достигает своего минимума и

максимума.

Доказательство.

Докажем это утверждение для максимума.

Так как f(x) непрерывна в Е, то она ограничена и следовательно существует M=sup{ f(x)}. Рассмотрим функцию _> >.

Если f(x) не достигает своего максимума, то M> f(x) следовательно M-f(x)>0 , следовательно g(x) непрерывна в Е.

_>>

Полученое противоречит тому, что M=sup{ f(x)}. Следовательно функция достигает свего максимума. Аналогично доказывается достижение минимума.

Доказательство основной теоремы.

Пусть дан многочлен f(x), очевидно что если a_>n>-свободный член, то f(0)= a_>n>. Теперь применим лемму№3: возьмем М=|f(0)| =|a_>n>| тогда существует такое N, что при |x|>N |f(x)|>M. Теперь возьмем круг Е ограниченный окружностью с центром в нуле и радиусом N, включая границы круга. Так как (по лемме №1) многочлен f(x)-непрерывен, то и |f(x)|-непрерывен внутри замкнутого круга Е, следовательно(по лемме №6), существует такая точка x_>0>, что для всех x из E выполняется неравенство |f(x)|>=|f(x_>0>)|. x_>0> является точкой минимума для |f(x)| внутри E. Т.к для любого x:|x|>N |f(x)|>M>|f(0)|>|f(x_>0>)| точка x_>0> является точкой минимуа |f(x)| на всей комплексной плоскости.

|f(x_>0>)|=0 т.к по лемме Даламбера если |f(x_>0>)|¹0 то x_>0> не точка минимума для |f(x)|Þ x_>0>-корень многочлена f(x).

Теорема доказана.