Основы линейной алгебры на примере балансовой модели
БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
Обозначим через x>i> валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через y>i >– конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).
Таким образом, разность x>i >- y>i > составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
Обозначим через x>ik > часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х>k>.
Таблица 1
№ потребление итого на конечный валовый
отрас. внутре продукт выпуск
производ. ( у>i > )> >(> >х>i>> >)
№ 1 2 … k … n потребление
отрас. ( х>ik > )
1 х>11> х>12> … х>1>>k>> > … х>1>>n > х>1>>k>> > у>1 > х>1 >
2 х>21> х>22> … х>2>>k> … х>2>>n> х>2>>k> у>2> х>2>
… … … … … … … … … …
i х>i1> x>i2> … x>ik> … x>in> x>ik> y>i> x>i>
… … … … … … … … … …
n x>n1> x>n2> … x>nk> … x>nn> x>nk> y>n> x>n>
итого
произв.
затраты х>i1 > x>i2> … x>ik> … x>in>
в k-ю
отрасль
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :
х>1 >- ( х>11> + х>12> + … + х>1>>n> ) = у>1>> >
> >> >х>2> - ( х>21 >+ х>22> + … + х>2n> ) = у>2>> > ( 1 )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x>n> - ( x>n1> + x>n2> + … + x>nn> ) = y>n>
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.
Будем снабжать штрихом ( х'>ik> , y'>i> и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.
Будем называть совокупность значений y>1> , y>2> , … , y>n> , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :
_
у = ( у>1> , у>2> , … , y>n> ) , ( 2 )
а совокупность значений x>1> , x>2> , … , x>n> ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом :
_
x = ( x>1> , x>2> , … , x>n> ). ( 3 )
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х>k> , содержат n2 неизвестных x>ik> , которые в свою очередь зависят от x>k>.
Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины a>ik> из соотношений :
x>ik>
a>ik> = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).
x>k>
Величины a>ik> называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a>ik> постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что
x'>ik > x>ik>
––– = ––– = a>ik> = const ( 4 )
x'>k > x>k>
Исходя из этого предложения имеем
x>ik> = a>ik>x>k> , ( 5 )
т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x>k>. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.
Рассчитав коэффициенты прямых затрат a>ik> по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу
a>11> a>12> … a>1k> … a>1n>
a>21> a>22> … a>2k> … a>2n>
A= ………………….
a>i1> a>i2> … a>ik> … a>in>
a>n1> a>n2> … a>nk> … a>nn>
которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы a>ik> этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.
Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1
Подставляя значения x>ik>> >= a>ik>> >= x>k> во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель :
x>1> - ( a>11>x>1> + a>12>x>2> + … + a>1n>x>n> ) = y>1>
x>2> - ( a>21>x>1> + a>22>x>2> + … + a>2n>x>n> ) = y>2 > ( 6 )
……………………………………
x>n> - ( a>n1>x>1> + a>n2>x>2> + … + a>nn>x>n> ) = y>n> ,
характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1
Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:
_ _ _
Е·х - А·х = У , или окончательно
_ _
( Е - А )·х = У , ( 6' )
где Е – единичная матрица n-го порядка и
1-a>11> -a>12 > … -a>1n>
E - A= -a>21> 1-a>22> … -a>2n>
…………………
-a>n1> -a>n2> … 1-a>nn>
Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( x>i> и y>i> ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных.
Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y>1> , y>2> , … , y>n> ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х>1> , х>2> , … х>n>> >).
Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:
табл.2
№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый
№ затрат продукт выпуск
отрас 1 2
0.2 0.4
1 100 160 260 240 500
0.55 0.1
2 275 40 315 85 400
Итого затрат 575
в k-ю 375 200
отрасль … 575
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2
Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:
100 160 275 40
а>11> = –––– = 0.2 ; а>12> = –––– = 0.4 ; а>21> = –––– = 0.55 ; а>22> = –––– = 0.1
500 400 500 400
Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.
Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2
х>1> - 0.2х>1> - 0.4х>2> = у>1>
х>2> - 0.55х>1> - 0.1х>2> = у>2>
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х>1> и х>2> при заданных значениях у>1> и у>2>, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.
Так, например, задавшись у>1>=240 и у>2>=85, получим х>1>=500 и х>2>=400, задавшись у>1>=480 и у>2>=170, получим х>1>=1000 и х>2>=800 и т.д.
РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.
Так, например, если
0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6' )
А= , то Е - А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запишется в виде 0.1 -0.8 х>1> у>1 > или в развернутой форме
-0.6 0.1 х>2 > у>2>
0.1х>1> - 0.8х>2> = у>1 > ( a )
-0.6х>1> + 0.1х>2> = у>2>
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0.5х>1> - 0.7х>2> = у>1> + у>2>,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х>1> и х>2>, если только у>1>>0 и у>2>>0 ( кроме х>1>=х>2>=0 при у>1>=у>2>=0 ).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.
Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || s>ik+ >||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде
_ _
х = S·У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:
x>1> = S>11>y>1> + S>12>y>2> + … + S>1n>y>n>
x>2> = S>21>y>1> + S>22>y>2> + … + S>2n>y>n >( 8 )
………………………………
x>n> = S>n1>y>1> + S>n2>y>2> + … + S>nn>y>n>
ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементов S>ik> матрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.
1
_ 0
У>1> = ;
0
Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим
1 S>11>
_ 0 S>21> _
х = S : = : = S>1>> >
0 S>n1>> > 0
_ 1
задавшись ассортиментным вектором У>2 >= 0 , получим
:
0
0 S>12>
_ 1 S>22> _
х = S : = : = S>2>
0 S>n2>
Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит
0 S>1k>
_ : S>2k> _
х = S 1 = : = S>k> , ( 9 )
: S>nk>
0
т.е. k-й столбец матрицы S.
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х>1>=S>1k>, во 2-й х>2>=S>2k> и т.д., в i-й отрасли выпустить x>i>=S>ik> и, наконец, в n-й отрасли выпустить x>n>=S>nk> единиц продукции.
Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S>1k>, S>2k>, …, S>ik>, …, S>nk>, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a>1k>, a>2k>, …, a>ik>, …, a>nk> на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a>ik>, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a>1k> ), 2-й отрасли (a>2k> ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( a>i1>, a>i2>, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2
Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х>2>=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a>12>=0.4 и 2-й отрасли a>22>=0.1.
Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у>2>=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х>1>=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а>11>=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х>1>=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х>1>'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у>2>=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у>1>=0 и у>2>=1 ( см п.2 ):
0.8х>1> - 0.4х>2> = 0
-0.55х>1> + 0.9х>2> = 1
Решив эту систему, получим х>1>=0.8 и х>2>=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х>1>=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S>12>. Таким образом, если а>12>=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S>12> учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а>12> ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S>12>-a>12>=0.8-0.4=0.4
Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а>12>=0.4 при х>2>=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.
Итак, величина S>ik> характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( a>ik> ), так и косвенные ( S>ik> - a>ik> ) затраты.
Очевидно, что всегда S>ik> > a>ik>.
Если необходимо выпустить у>k> единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):
x>1 >= S>1k>·y>k>, x>2> = S>2k>·y>k>, …, x>n> = S>nk>·y>k> ,
что можно записать короче в виде:
_ _
x = S>k>·y>k> ( 10 )
Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-
_ у>1>
ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли x>k>, необходимый для его
у>n>
обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца S>k> на вектор У, т.е.
_ _
x>k> = S>k1>y>1> + S>k2>y>2> + … + S>kn>y>n> = S>k>·y , ( 11 )
а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.
Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.
Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх>1>, Dх>2>, …, Dх>n>> >) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу>1>, Dу>2>, …, Dу>n> ) по формуле:
_ _
Dх = S·DУ , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:
0.2 0.4
А =
0.55 0.1
Следовательно,
1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4
Е - А = =
-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9
Определитель этой матрицы
0.8 -0.4
D [ E - A ] = = 0.5
-0.55 0.9
Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:
0.9 0.4
( Е - А )* = ,
0.55 0.8
откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:
1 0.9 0.4 1.8 0.8
S = ( Е - А )-1 = ––– =
0.5 0.55 0.8 1.1 1.6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S>11>=0.8 и S>21>=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а>11>=0.2 и а>21>=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S>12>=0.8 и S>22>=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.
Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х>1> найдется из равенства ( 7 ):
х>2>
_ _ 1.8 0.8 480 1000
х = S·У = · =
1.1 1.6 170 800 .
ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА, КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.
Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат x>ik>, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.
Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через x>n+1,k>, и затраты капиталовложений – через x>n+2,k> ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты a>ik>,
x>n+1,k>
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда a>n+1,k> = ––––– , и
x>k>
x>n+2,k>
капиталовложений a>n+2,k> = ––––– , представляющих собой расход соответствующего
x>k>
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:
a>11> a>12> … a>1k> … a>1n>
a>21> a>22> … a>2k> … a>2n> основная часть матрицы
…………………………………
А' = a>i1> a>i2> … a>ik> … a>in>
…………………………………
a>n1> a>n2> … a>nk> … a>nn>
a>n+1,1 >a>n+1,2> … a>n+1,k> … a>n+1,n>
a>n+2,1> a>n+2,2> … a>n+2,k> … a>n+2,n> дополнительные строки
При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.
Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.
_ 1
У = 0
:
0 .
Для этого требуется валовый выпуск продукции
S>11>
_ _ S>21>
x = S>1> = :
S>n1>
Подсчитаем необходимые при этом затраты труда S>n+1,1>. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов a>n+1,k> прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S>11>, S>12>, …, S>1n>, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как a>n+1,1>S>11>, во 2-ю – a>n+1,2>S>21> и т.д., наконец в n-ю отрасль a>n+1,n>S>n1>. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
_ _
S>n+1,1> = a>n+1,1>S>11> + a>n+1,2>S>21> + … + a>n+1,n>S>n1> = a>n+1>S>1> ,
т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим a>n+1>, на 1-й столбец матрицы S.
Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:
_ _
S>n+1,k> = a>n+1>S>k> ( 13 )
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:
_ _
S>n+2,k> = a>n+2>S>k> ( 14 )
Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов S>n+1,k> и S>n+2,k>, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:
S>11> S>12> … S>1k> … S>1n> матрица коэффициентов
S>21> S>22> … S>2k> … S>2n>> > полных внутрипроизводст.
………………………………… затрат
S' = S>i1> S>i2> … S>ik> … S>in>
………………………………… ( 15 )
S>n1> S>n2> … S>nk> … S>nn>
S>n+1,1> S>n+1,2> … S>n+1,k> … S>n+1,n> дополнительные строки
S>n+2,1> S>n+2,2> … S>n+2,k> … S>n+2,n>
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда x>n+1>, капиталовложений x>n+2> и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.
Очевидно,
x>n+1> = S>n+1,1>y>1> + S>n+1,2>y>2> + … + S>n+1,n>y>n> , ( 16 )
x>n+2> = S>n+2,1>y>1> + S>n+2,2>y>2> + … + S>n+2,n>y>n> ,
т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.
Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:
x>1>
x>2>
_ : _
x = x>n> = S'У ( 17 )
x>n+1>
x>n+2>
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда x>n+1,k> ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений x>n+2,k> ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3
Переходя к коэффициентам прямых затрат a>ik>, получим расширенную матрицу:
0.2 0.4
А' = 0.55 0.1
0.5 0.2
1.5 2.0
Таблица 3
№ отраслей потребление итого конечный валовый
№ затрат продукт выпуск
отраслей 1 2
1 100 160 260 240 500
2 275 40 315 85 400
труд 250 80 330
капиталовложе- 750 800 1550
ния
Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.
На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( S>n+1,k>=S>3,k> ):
_ _
S>31> = a>3>·S>1> = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ;
_ _
S>32> = a>3>·S>2> = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72
и капиталовложений S>n+2,k> = S>4,k>:
_ _
S>41> = a>4>·S>1> = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ;
_ _
S>42> = a>4>·S>2> = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 .
Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:
1.8 0.8
S' = 1.1 1.6
1.12 0.72
4.9 4.4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором
У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда x>n+1> и
85
капиталовложений x>n+2>, получили бы x>n+1> = x>3> = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и x>n+2> = x>n> = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.
Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда
170
_ х>1> 1.8 0.8 1000
х = х>2> = 1.1 1.6 480 = 800> >
х>3> 1.12 0.72 170 600
х>4> 4.9 4.4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х>1>=1000 и х>2>=800, при суммарных затратах труда х>3>=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х>4>=3100 тыс.руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.
Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.
Таблица
Нормы расхода
Обозначения Стоимость
I II III
Сырье I 1.4 2.4 0.8 a>4> 5
Сырье II – 0.6 1.6 a>5> 12
Сырье III 2.0 1.8 2.2 a>6> 2
Трудоемкость 10 20 20 а>7> 12
Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.
Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.
_ _ 235
а>4>х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088
397
Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.
Все это удобно записать в виде произведения:
1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I
0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье II
2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо
0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у>1>=1 ) найдем из выражения 1.4S>11> + 2.4S>21> + 0.8S>31>. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:
I II III
1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I
0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II
2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо
10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд
> >
Таким образом, например, для изготовления у>1>=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.
в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:
I II III
Сырье I 330 440 318
Сырье II 0 111 635
Топливо 470 335 873
Труд 2350 3720 7940
г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:
330 440 318
0 111 635 I II III
( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 )
2350 3720 7940
д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:
1.97 2.92 1.36
0.17 0.84 2.09 I II III
( 5; 12; 2; 1.2 ) 2.53 2.60 5.23 = ( 35.3; 59.6; 75.7 )
15.2 24.8 28.0
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.