Сопряженная однородная задача

Сопряженная однородная задача

План.

    Сопряженный оператор.

    Сопряженная однородная задача.

    Условия разрешимости.

Сопряженный оператор.

Обозначим через > > дифференциальный оператор второго порядка, т.е.

>> (1)

где > > представляют собой непрерывные функции в промежутке > >. Если > > и > >- дважды непрерывно дифференцируемые на > >функции, то имеем:

>> (2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:

>> (3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через > >, т.е. > > (4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

>> (5)

Оператор > > называется сопряженным по отношению к оператору > >. Умножая соотношение (4) на > > и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору > >. Таким образом, операторы > > и > > взаимно сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

>>(6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

>>(7)

Если же > >, то оператор > > и дифференциальное уравнение > >будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что > > тогда и только, когда:

>>

Таким образом, оператор > > будем самосопряженным тогда и только тогда, когда > >.

При этом:

>>

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию > >.

Дифференцируя соотношение (5) по > >, получаем так называемую формулу Лагранжа:

>> (8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:

>> (9)

где

>> >> >> (10)

Отметим, что:

>> и следовательно, матрица > >-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:

>>(11)

Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование > > в вектор > >:

>>(12),

где

>> >>

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе > >две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам>>. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку > >, мы можем обратить преобразование (12) и получить:

>>.

При этом (11) можно переписать как:

>>

или

>> (13),

где > > (14)

Билинейная форма > > в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)

>> >и получим:

>> (15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:

>> (16)

>> (17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

>> (18)

При ненулевом векторе > > последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты > > и > > принимали любые требуемые значения, лишь бы > > и > >не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия > >. При этом из соотношения (11) следует, что > >. Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства > >. При этом из соотношения (11) вытекает, что > >. Таким образом, задача, сопряженная задаче > >(19)

имеет вид:

>> (20)

где > > и > > связаны с компонентами > > вектора > > соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда > >и каждая из двух компонент > > и > > является линейной комбинацией > > и > >, т.е. > >пропорциональна > >.

Один из определителей:

>>

матриц-блоков

>>

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что > >. Далее, выберем такие > > >, чтобы строки матрицы А были линейно независимы.

Например, положим > > >.

При этом матрица А примет вид:

> > (21).

Из формулы (19) следует, что > >.

Тогда

>> (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

>>Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

>> (22)

>> (23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы > > и чтобы каждая из компонент > > и > > являлась линейной комбинацией > > и > >. Как указывалось выше, > > тогда и только тогда, когда > >. При этом условия (21) и (20) принимают вид:

>> (24)

Разрешая равенства относительно > > и > > при > > и заменяя > > на > >, получаем:

>> (25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:

>> (26)

Краевая задача при > > самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство > >.

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

>> (27)

>>,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

>> (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь > > и > > с вектором > >, описываемую формулой (14а) т.е.:

>> (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

>>

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.