Численный расчет дифференциальных уравнений

Міністерство освіти України

ДАЛПУ

Кафедра автоматизації

технологічних процесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

на тему “Розв’язок диференціального рівняння

виду а>п(п)>п-1(п-1)+…+а>11>0>у=кх при заданих

початкових умовах з автоматичним вибором кроку

методом Ейлера”

Виконала студентка групи БА-4-97

Богданова Ольга Олександрівна

Холоденко Вероніка Миколаївна

Перевірила Заргун Валентина Василівна

1998

Блок-схема алгоритма

Блок-схема алгоритма

начало

у/=f(x,y)

y(x>0>)=y>0 >

x>0>, x>0>+a

h, h/2

k:=0

x>k+1/2>:=x>k>+h/2

y>k+1/2>:=y>k>+f(x>k, >y>k>)h/2

> >α>k>:=> >f(x>k+1/2,> y>k+1/2>)

x>k+1>:=x>k>+h

y>k+1>:=y>k>+α>k>h

>нет> k:=n

> да>

> >

x>0>, y>0>,

x1, y1…

x>n>,> >y>n>

> > конец

> >

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х>0>, х>1>…, х>n> и числа у>0>, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у>1>, у>2>,…, у>n>, что у>i>=F(x>i>)(i=1,2,…, n) и F(x>0>)=y>0>.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x>k>-x>k>>-1> называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y/=f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x>0>, y(x>0>)=y>0 > (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х>0>, х>1>, х>2>,…, х>n>, где x>i>=x>0>+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х>i>)»y>i> вычисляются последовательно по формулам у>i>+hf(x>i>, y>i>) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М>0>(х>0>, у>0>), заменяется ломаной М>0>1>2>… с вершинами М>i>(x>i>, y>i>) (i=0,1,2,…); каждое звено М>i>M>i+1> этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку М>i>.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x>0>|£a, |y-y>0>|£b}удовлетворяет условиям:


|f(x, y>1>)- f(x, y>2>)| £ N|y>1>-y>2>| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x>n>)-y>n>| £ hM/2N[(1+hN)n-1], (3)

где у(х>n>)-значение точного решения уравнения(1) при х=х>n>, а у>n>- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у>n>* оценивается формулой

|y>n>-y(x>n>)|»|y>n>*-y>n>|.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)

с начальным условием y(x>0>)=y>0>. Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей. На малом участке [x>0>,x>0>+h]

>у >интегральную кривую заменим прямой

> >N>k>/ >y=y(x) > линией. Получаем точку М>(х>,у>).

> >

М> М>/

y>k+1 >

y>k>

х> х>к1>>/2> x>k+h=>x>k1> х

Через М>проводим касательную: у=у>=f(x>k>,y>k>)(x-x>k>).

Делим отрезок (х>,х>к1>) пополам:

x>Nk>/=x>k>+h/2=x>k+1/2>

> > y>Nk>/=y>k>+f(x>k>,y>k>)h/2=y>k>+y>k+1/2>

Получаем точку N>k>/. В этой точке строим следующую касательную:

y(x>k+1/2>)=f(x>k+1/2>, y>k+1/2>)=α>k>

Из точки М> проводим прямую с угловым коэффициентом α> и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х>к1>. Получаем точку М>/. В качестве у>к+1> принимаем ординату точки М>/. Тогда:

у>к+1>=у>+α>h

x>k+1>=x>k>+h

(4) α>k>=f(x>k+h/2>, y>k>+f(x>k>,Y>k>)h/2)

y>k>=y>k-1>+f(x>k-1>,y>k-1>)h

(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у>к+1>>/>>2> в точках х>к+1>>/2>, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/>k>>+1>>/2>=f(x>k+1/2>, y>k+1/2>) и определяют у>к+1>.

Для оценки погрешности в точке х> проводят вычисления у> с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| у>*-у(х>)|=1/3(y>k>*-y>k>),

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x>0>)=y/>0>, y(x>0>)=y>0>, выполняется замена:

y/=z

z/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия: y(x>0>)=y>0>, z(x>0>)=z>0>, z>0>=y/>0>.

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y/=2x-y

Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2

Начальные условия: у>0>=1;

Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:

1). x>1>=0,2; х>1>>/2>=0,1; y(x>1>)=y(x>0>)+α>0>h; y(x>1/2>)=y(x>0>)+f(x>0>,y>0>)h/2;

f(x>0>,y>0>)=2*0-1=-1

y(x>1/2>)=1-1*0,1=0,9

α>0>=2*0,1-0,9=-0,7

y>1>=1-0,1*0,2=0,86

2). y(x>2>)=y(x>1>)+α>1>h; x>2>=0,2+0,2=0,4; x>1+1/2>=x>1>+h/2=0,2+0,1=0,3

y(x>1+1/2>)=y(x>1>)+f(x>1>,y(x>1>))h/2

f(x>1>,y>1>)=2*0,2-0,86=-0,46

y(x>1+1/2>)=0,86-0,46*0,1=0,814

α>1>=2*0,3-0,814=-0,214

y>2>=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x>3>=0,4+0,2=0,6; x>2+1/2>=x>2>+h/2=0,4+0,1=0,5

f(x>2>,y>2>)=2*0,4-0,8172=-0,0172

y>2+1/2>=0,8172-0,0172*0,1=0,81548

α>2>=2*0,5-0,81548=0,18452

y>3>=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x>4>=0,8; x>3+1/2>=x>3>+h/2=0,6+0,1=0,7

f(x>3>,y>3>)=2*0,6-0,854104=0,345896

y>3+1/2>=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

α>3>=2*0,7-0,89=0,5113064

y>4>=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x>5>=1; x>4+1/2>=0,8+0,1=0,9

f(x>4>,y>4>)=2*0,8-0,956=0,64363472

y>4+1/2>=0,956+0,643*0,1=1,020728752;

α>4>=2*0,9-1,02=0,779271248

y>5>=0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Дано уравнение второго порядка:

y//=2x-y+y/

Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;

Замена: y/=z

z/=2x-y+z

Начальные условия: у>0>=1

z>0>=1

1).x>1>=0,2; x>1/2>=0,1

y(z>1>)=y(z>0>)+α>0>h z(x>1>,y>1>)=z(x>0>,y>0>)+β>0>h

y(z>1/2>)=y(z>0>)+f(z>0>,y>0>)h/2 z(x>1/2>,y>1/2>)=z(x>0>,y>0>)+f(x>0>,y>0>,z>0>)h/2

f(z>0>,y>0>)=f>10>=1 f(x>0>,y>0>,z>0>)=f>20>=2*0-1+1=0

y>1/2>=1+1*0,1=1,1 z>1/2>=1+0*0,1=1

α>0>=z>0>=1 β>0>=2*0,1-1,1+1=0,1

y>1>=1+0,2*1=1,2 z>1>=1+0,2*0,1=1,02

2).x>2>+0,4; x>1+1/2>=0,3

f>11>=z>1>=1,02 f>21>=2*0,2-1,2+1,02=0,22

y>1+1/2>=1,2+1,02*0,1=1,1 z>1+1/2>=1,02+0,22*0,1=1,042

α>1>=z>1+1/2>=1,042 β>1>=2*0,3-1,302+1,042=0,34

y>2>=1,2+1,042*0,2=1,4084 z>2>=1.02+0,34*0,2=1,088

3).x>3>=0,6; x>2+1/2>=0,5

f>12>=z>2>=1,088 f>22>=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796

y>2+1/2>=1,4084+1,088*0,1=1,5172 z>2+1/2>=1,088+0,4796*0,1=1,13596

α>2>=z>2+1/2>=1,13596 β>2>=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876

y>3>=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z>3>=1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x>4>=0,8; x>3+1/2>=0,7

f>13>=z>3>=1,211752 f>23>=2*0,6-1,636+1,212=0,77616

y>3+1/2>=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z>3+1/2>=1,212+0,776*0,1=1,289368

α>3>=z>3+1/2>=1,289368 β>3>=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008

y>4>=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z>4>=1,212+0,93*0,2=1,39827216

5).x>5>=1; y>4+1/2>=0,9

f>14>=z>4>=1,39827216 f>24>=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656

y>4+1/2>=1,893+1,398*0,1=2,0332928 z>4+1/2>=1,398+1,105*0,1=1,508752816

α>4>=z>4+1/2>=1,508752816 β>4>=2*0,9-2,03+1,5=1,27546

y>5>=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z>5>=1,398+1,275*0,2=1,65336416

3. Чтобы решить уравнение третьего порядка

y///=2x-y-y/+y//

на отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями

y>0>//=1

y>0>/=1

y>0>=1

необходимо сделать 3 замены: y/=a y>0>/=a>0>=1

y//=a/=b y>0>//=b>0>=1

b/=2x-y-a+b

1).x>1>=0,2; x>1/2>=0,1

y(a>1>)=y(a>0>)+a>0>h y(a>1/2>)=y(a>0>)+f>10>h/2

a(b>1>)=a(b>0>)+β>0>h a(b>1/2>)=a(b>0>)+f>20>h/2

b(x>1>,y>1>,a>1>)=b(x>0>,y>0>,a>0>)+γ>0>h b(x>1/2>,y>1/2>,a>1/2>)=b(x>0>,y>0>,a>0>)+f>30>h/2

f>10>=f(a>0>,y(a>0>))=1 y>1/2>=1+1*0,1=1,1

f>20>=f(b>0>,a(b>0>))=1 a>1/2>=1+1*0,1=1,1

f>30>=f(x>0>,y>0>,a>0>,b>0>)=-1 b>1/2>=1-1*0,1=0,9

α>0>=a>1/2>=1,1 y(a>1>)=1+1,1*0,2=1,22

β>0>=b>1/2>=0,9 a(b>1>)=1+0,9*0,2=1,18

γ>0>=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1 b(x>1>,y>1>,a>1>)=1-1,1*0,2=0,78

2).x>2>=0,4; x>1+1/2>=x>1>+h/2=0,3

f>11>=a>1>=1,18 y>1+1/2>=1,22+1,18*0,1=1.338

f>21>=b>1>=0,78 a>1+1/2>=1,18+0,78*0,1=1,258

f>31>=2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22 b>1+1/2>=-1,22*0,1+0,78=0,658

α>1>=a>1+1/2>=1,258 y>2>=1,22+1,258*0,2=1,4716

β>1>=b>1+1/2>=0,658 a>2>=1,18+0,658*0,2=1,3116

γ>1>=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338 b>2>=0,78-1,338*0,2=0,5124

3).x>3>=0,6; x>2+1/2>=0,5

f>12>=a>2>=1,3116 y>2+1/2>=1,47+1,3*0,1=1,60276

f>22>=b>2>=0,5124 a>2+1/2>=1,3116+0,5*0,1=1.36284

f>32>=2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708 b>2+1/2>=0,4-1,4*0,1=0,36542

α>2>=1,36284 y>3>=1,4716+1,3116*0,2=1,744168

β>2>=0,36542 a>3>=1,3116+0,3654*0,2=1,384664

γ>2>=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018 b>3>= 0,51-1,60018*0,2=0,192364

4).x>4>=0,8; x>3+1/2>=0,7

f>13>=1,384664 y>3+1/2>=1,74+1,38*0,1=1,8826364

f>23>=0,192364 a>3+1/2>=1,38+0,19*0,1=1,4039204

f>33>=2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488 b>3+1/2>=0,19-1,7*0,1=0,0187152

α>3>=1,4039204 y>4>=1,74+1,4*0,2=2,0249477

β>3>=0,0187152 a>4>=1,38+0,9187*0,2=1,388403

γ>3>=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416 b>4>=0,192-1,87*0,2=-0,1812235

5).x>4>=1; x>4+1/2>=0,9

f>14>=1,388403 y>4+1/2>=2,02+1,388*0,1=2,16379478

> > f>24>=-0,1812235 a>4+1/2>=1,4-0.181*0,1=1,370306608

f>34>=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834 b>4+1/2>=-0,18-1,99*0,1=-0,38066266

α>4>=1,3703 y>5>=2,02+1,37*0,2=2,2990038

β>4>=-0,38066 a>5>=1,388-0,38*0,2=1,3122669

γ>4>=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056 b>5>=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734

Программа на Turbo Pascal

uses crt,pram,kurs1_1;

var

yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;

y,a,b:array[0..10,0..1] of real;

i,n,o:integer;

c,d,h,k:real;

label

lap1;

begin

screen1;

clrscr;

writeln('введите наивысший порядок производной не больше трех ');

readln(n);

if n=0 then begin

writeln('это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера ');

goto lap1;end;

writeln('введите коэффициенты {a0,a1}');

for i:=0 to n do

readln(l[i]);

if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin

writeln('деление на ноль');

goto lap1;

end;

writeln('введите коэффициент при x');

readln(k);

writeln('введите отрезок ');

readln(c,d);

o:=5;

h:=abs(d-c)/o;

writeln('шаг=',h:1:1);

writeln('задайте начальные условия y(x)= ');

for i:=0 to n-1 do

readln(v[i]);

if n=3 then begin

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

by[0]:=v[2];

p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];

x[0]:=c;

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y a b ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];

b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];

by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,4+o);

write(' ');

end;

if n=2 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y a ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[I+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,4+o);

write(' ');

end;

if n=1 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];

xy[i]:=x[i]+h/2;

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];

yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];

end;

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,o+4);

write(' ');

end;

lap1:readln;

pramo;

delay(10000);

clrscr;

end.



ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ

Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых содержатся заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu.

Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9. Появится первая заставка, далее нажать enter и ввести все необходимые начальные условия: порядок производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения у(х>0>). На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами. После нажатия enter выводится вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

1 – ввод данных, используемых в программе

2 – использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение

дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных

условий

3 – присвоение начальных условий для дифференциального уравнения

третьего порядка

4 – вывод таблицы со значениями

5 – ввод формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка

6 – присвоение начальных условий для решения дифференциального

уравнения второго порядка

7 – вывод таблицы для уравнения второго порядка

8 – формулы метода Эйлера для уравнения второго порядка

9 – начальные условия для дифференциального уравнения первого порядка

10 – формулы метода Эйлера для решения уравнения первого порядка

11 – вывод таблицы

12 – обращение к метке, задержка для просмотра результатов, очистка

экрана, конец программы.