Теория отображений

Фирсов Дмитрий 441

№368В

Отобразить верхнюю половину плоскосто сразрезами по отрезкам _> > на верхнюю полуплоскость.

Решение:

Отображение _> > отображает верхнюю полуплоскость с разрезами на верхнюю полуплоскость без разрезов (под операцией взятия в квадратные скобки надо пономать взятие целой части от числа). Докажем это:

Рассмотрим отображение _> > из полосы _> > полуплоскости сразрезами в полуплоскость без разрезов. _> >(*) совершенно очевидно ,что в нашем случае _> >. То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость без действительной оси. Рассмотрим образ луча _> >. Подставляя в формулу (*) значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий на действительной оси _> >. В результате мы получили, что образом полосы _> >(1) является _> >. Если на полосу _> > плоскости без разреза подействовать отображением sin(Z) то в образе получим такое множество _> >(2). Применив отображение _> > к полосе(1) с разрезом в образе получим множество (2). Поэтому функция _> > отображает полосу _> > с разрезом в полосу _> > без разреза. Продолжим эту функцию на всю полуплоскость с разрезами. Рассмотрим функцию _> > заданную в полосе _> > с разрезом. Функция _> > отображает эту полосу на полосу _> > без разреза. И тогда отображение _> > отображает полосу _> > без разреза. Проверим является ли функция _> > аналитическим продолжением функции _> >. Для этого применим теорему:

Теорема.

Пусть функция _> > аналитична в области _> > и функция _> > аналитична в области _> >. И области _> > и _> > имеют общий фрагмент граници _> >. Если функции на _> > совпадают то функция _> > является аналитическим продолжением функции _> > в область _> >.

Естественно функции _> > и _> > совпадают на луче _> >. Поэтому функция _> > является аналитическом продолжением функции _> > на полосу _> >. Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю верхнюю полуплоскость с вырезами. И в результате получим функцию: _> > отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами на верхнюю полуплоскость без вырезов.